第06讲 数列（教师卷）-【寒假衔接讲义】高二数学寒假讲义练习（新人教A专用）

第06讲数列

（三）单蠲性与最值

【知识梳理】

知识点1数列及其有关概念

1.一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的虹数列的

第一个位置上的数叫做这个数列的第L项，常用符号由表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第1项，

用。2表示……，第〃个位置上的数叫做这个数列的第〃项，用”表示.其中第1项也叫做苴项.

注：数列的第〃项与项数〃：数列｛斯｝的第〃项为%,为在数列｛斯｝中的项数为〃

2.数列的一般形式是“I，。2,。3,…，4»，…，简记为｛a〃｝.

3.对数列概念的理解

（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺

序有关，这有别于集合中元素的无序性.因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是

不同的两个数列.

（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别.

（3）数列是一种特殊的函数

数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集N*和正整数集N'的有限子集.所以数列的函数的图像不是连

续的曲线，而是一串孤立的点.

知识点2数列的分类

分署类型含义

有穷数列项数有限的数列

按项数

无穷数列项数无限的数列

按项的递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有a〃+i>a”SGN・）

变化趋递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有斯+W即SWN.）

势1常数列各项都相等的数列，即恒有a〃+i=a“（〃£N）

按其他一般地，对于数列｛斯｝,若存在一个固定的正整数T,使得斯+「=诙恒成立，则称｛〃”｝是周期

周期数列

标准为7的周期数列

有界（无界）

按其他任一项的绝对值都小于某一正数的数列称为有界数列，即mMGR,否则称为无界数列

数列

标准

摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

知识点3数列的表示方法

1.列表法

列出表格来表示数列｛斯｝的第〃项与序号〃之间的关系.见下表:

序号n123•••n•••

项（Ina\ai••••••

2.图象法

在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点（〃，%）.

3.通项公式法

如果数列｛为｝的第〃项即与它的序号〃之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数

列的通项公式.即可=/（〃）,不是每一个数列都有通项公式，也不是每一个数列都有一个个通项公式,数列的

通项公式实际上是一个以正整数集V或它的有限子集｛1,2,3,…为定义域的函数的表达式.

注：通项公式就是数列的函数解析式,以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量

为离散的数的函数.

4.递推公式法

如果已知数列的第1项(或前几项i，且从第2项(或某一项)开始的任一项即与它的前一项即"或前几项)间

的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

注：常见数列的通项

(1)1,2,3,4,…的一个通项公式为斯=〃.

(2)2,4,6,8,…的一个通项公式为斯=2〃.

(3)3,5,7,9,…的一个通项公式为斯=2〃+1.

(4)2,4,8,16,…的一个通项公式为%=2〃.

(5)-1,1,-1,1,…的一个通项公式为斯=(一1)”.

14-(―1)«->

(6)1,0,1,0,…的一个通项公式为斯=------z----------

迎(。+力)+(~1)"I(。一力)

(7)%bfa,b,…的一个通项公式为由=--------------2----------------------

(8)9,99,999,…的一个通项公式为即=10”-1.

知识点4数列的前n项和Sn与an的关系

1.把数列(为｝从第1项起到第〃项止的各项之和，称为数列｛即｝的前〃项和，记作§“，即

Sn=。1+。2+…

,、-6(D

2.数列｛外｝的前〃项和S.和通项明的关系：则：

-兀522)

特别地，若“I满足"〃=S"-S〃一4栏2),则不需要分段.

知识点5数列的性质

(1)数列的单调性--递增数列、递减数列或是常数列;

a^a-ifan^dn-i,

在数列｛“”｝中，若斯最大，则，ltn若4“最小，贝!||

(2)数列的周期性.

根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前〃项的和.

注：由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、

最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集｛1,2,…，〃｝这一条件.

知识点6等差数列的有关概念

1.等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个

数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.用递推公式表示为

aa

n-n-\=d(n>2)或。用一。“二d(〃21)・

注：(1)要注意概念中的“从第2项起”.如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项

与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列.

⑵注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别.

(3)等差数列(通常可称为AP数列)的单调性：在公差为d的等差数列｛〃“｝中：①G＞00｛小｝为递增数列;

②400｛斯｝为常数列；③火00｛。“｝为递减数列.

2.等差数列的通项公式：勺=4+(〃-1)〃；=当］工0时，%是关于〃的一次函数模型.

等差数列通项公式的变形及推广

设等差数列｛〃“｝的首项为由，公差为d,则

①a“=d〃+(ai—")(〃WN'),

②。〃=am+(n-m)d(m,〃£N*),

③4=包__色2(〃］,〃£N*,且〃zW”).

n-m

其中，①的几何意义是点(小。“)均在直线)，=公+(田一＜/)上.

②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求3.

③可用来由等差数列任两项求公差.

3.从函数角度认识等差数列｛%｝

若数列｛斯｝是等差数列，首项为公差为d,

则l)d=〃d+(ai-〃).

(1)点(〃，斯)落在直线了=公+(4［一＜7)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为©二比；

⑵这些点的横坐标每增加L函数值增加［

4.等差中项的概念：

定义：如果。，A,〃成等差数列，那么A叫做。与力的等差中项，其中八=字.

2

a，A,〃成等差数列04=孚.

2

注：在等差数列｛小｝中，从第二项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即｛”“｝成等差数列Oa“+i+a“T

=2a“(〃22).

知识点7等差数列的四种判断方法

(1)定义法：对于数列｛%｝,若%讨―4=1(〃£77。(常数)，则数列｛%｝是等差数列；

(2)等差中项：对于数列｛♦〃｝,若2册+1=4+%+2(〃£N*),则数列｛%｝是等差数列；

(3)通项公式：4“=p〃+q(p,q为常数,〃eN*)=｛%；是等差数列；

⑷前〃项和公式：，=加2+砌(43为常数，〃£"*)=｛4｝是等差数列；

s

⑸小｝是等差数列=请是等差数列.

提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证。2—m=d这一

关键条件.

知识点8等差数列的性质

(1)通项公式的推广：在等差数列｛4｝中，对任意〃?，〃wN+,a〃=ani+(n-m)d,d=上也(加工〃)；

n-m

(2)在等差数列｛q｝中，若〃？，〃，p,qw—且根+〃=〃+4,则品+a„=ap+a(/，特殊地，2m=p+q

aa

时，则2am=P+q,册是%4的等差中项.

⑶akfak+m，四+2,”，…仍是等差数列，公差为〃必A,，〃WN*)；

(4)两个等差数列｛q｝与｛2｝的和差的数列｛%±々』仍为等差数列，｛p斯+q打｝也是等差数列

(5)若数列｛可｝是等差数列，则伙见｝仍为等差数列.

(6)如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的

公差是两个原等差数列公差的最小公倍数.

知识点9等差数列的前n和公式

已知量首项，末项与项数首项，公差与项数

〃（。1+斯）〃（〃一I）

求和公式

Sn=2S/i=〃m+2d

注：(1)等差数列的前n和公式的推导

对于一般的等差数列｛〃”｝,如何求其前〃项和S〃？设其首项为M，公差为d.(倒序相加法)

S〃=a"+〃”_i+“〃_2+…+。1,

S“=m+ai+d+ai+2d+…+m+(〃-1川，

今ls”=a"+a”-d+〃”-2d+…

〃(ai+a〃)

两式相加可得2S〃=〃(m+a“)，即S”=2，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”

的两项的和相等.

(2)等差数列｛为｝的前〃项和公式的函数特征

〃@+斯）flu=ai+（„_lwd（d\

Sn=2---S〃=M+24=次+1一2方=当d用时，s〃关于n的表达式是一个常数项

为零的二次函数式，即点（〃，S〃）在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前〃项和公式是关于

〃的二次函数，它的图象是抛物线），=幺2+（为一乳上横坐标为正整数的一系列孤立的点.且d>0时图象

开口向上，dvO时图象开口向下.

（3）公式一反映了等差数列的性质，任意第〃项与倒数第k项的和都等于首末两项之和；

知识点10等差数列前n项和的性质

（1）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即5“,52〃-5〃,53”-52〃成等差数列，公差

为n2d；

（2）设数列｛〃“｝是等差数列，且公差为d,

S奇

（I）若项数为偶数2",则§2"=〃（。1+。2〃）=〃（。〃+。”+1）；S属一S奇=，ld；焉=”“+［；

（11）若项数为奇数，设共有2〃—1项，则S2〃T=（2〃-1）斯；5鸨-5奇=4=/（中间项）；②卷=念・

（3）等差数列中，%,=qq=P（P。办则%;=。,S,“.〃=S“,+S”+.

注：在等差数列中，若S“=〃z,S,n=n»则$〃+"=—（〃，+〃）

（4）若｛%｝与｛"｝为等差数列，且前〃项和分别为S“与S,「，则》汜

»2/H-I

（5）若｛斯｝是等差数列，贝梧｝也成等差数列，其首项与｛飙｝首项相同，公差是｛呢｝公差的3；

知识点11等差数列的前n项和的最值

（1）利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值.

在等差数列5”｝中，

当4>0,c/vO时，S”有最大值（即所有非负项之和）；4<0,d>0时，S“有最小值（即所有非正项之

和）;

an>0

若已知知，则S“最值时〃的值（〃cN.）则当q>0,d<0,满足八的项数〃使得S”取最大值，

I-40

an<0

当丹<0,4>0时，满足八的项数〃使得S,,取最小值.

l^+i之0

⑵利用等差数列的前〃项和：5=条+1—狐5”二加+加（43为常数，”EN*））,若收0,则从

二次函数的角度看；当d>0时，S〃有最小值；当d<o时，S〃有最大值.当〃取最接近对称轴的正整数时，

S“取到最值，通过配方或借助图像，二次函数的性质等，将等差数列的前"项和最值问题转化为二次函数的

最值的方法求解.

注：当m>0,加>0时S”有最小值S,当mvO,d<0时S”有最大值Si；（2）S”取得最大或最小值时的〃不一

定唯一.

知识点12等比数列有关概念

1.等比数列定义

一般地，如果一个数列从第三项磨，每一项与它的前一项的比等于同一个箪裂，那么这个数列就叫做等比

数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母4表示9,0）,即：—=^*o）.

（In1

注：（1）定义的符号表示：£7?=q（〃wN且〃22）或二丁=g（〃£N*）；（2）定义强调“从第2项起”，因为第一

项没有前一项；（3）比必须是同一个常数；（4）等比数列中任意一项都不能为0：（5）公比可以为正数、负数，

但不能为0.

2.等比数列通项公式为：•d1（qpwO）（%=aqm些a产斯“一”,通项公式还可以写成

凡=幺・/,它与指数函数），=/有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列.

q

注；（1）等比数列通项公式的推导

设一个等比数列的首项是0,公比是夕，则由定义可知且〃22）.

«L1

方法一an=^~X^~^X…X乎X詈Xai=qXqX…XqXgXai=a同G,

当〃=1时，上式也成立.

方法二ai=a\q,

。3=。24=（。同）4=〃142'

。4=。3夕=（"q2）夕=。同3,

由此可得I当〃=1时，上式也成立.

（2）由等比数列的通项公式可以知道：当公比4=1时该数列既是等比数列也是等差数列;

（3）等比数列的通项公式知：若｛q｝为等比数列，则詈=

3.等比中项

如果在。与人中间插入一个数G,使。,G的成等比数列，那么G叫做。与人的等比中项，印G是。与》

的等比中项台。，G,〃成等比数列今G?=".

注：①只有当两个数同号时，这丙数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数.

②在等比数列｛4｝中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；

③与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列｛q｝中，a；

④等比中项与等差中项的异同，对比如下表：

对比项等差中项等比中项

若凡4,。成等差数列，则A若a,G,〃成等比数列.则G

定义

叫做“与b的等差中项叫做a与b的等比中项

G_b_

定义式A—a=b—A

a~G

a+b

公式A~2G=±\[cib

〃与。的等比中项有两个，且互

个数a与b的等差中项唯一

为相反数

只有当时＞（）时，a与人才有等

备注任意两个数。与人都有等差中项

比中项

知识点13等比数列的通项公式与指数型函数的关系

1.当妙＞0且产1时，等比数列｛斯｝的第〃项斯是指数型函数.心）芍q'（x£R）当尸〃时的函数值，即以

=加"）.

2.任意指数型函数yu）=kf（左,。是常数，kWO,〃＞0且。片1）,

则川）=七,m）=收尸，…，危）=痴，…构成一个等比数列｛5｝,其首项为版，公比为@

注意点：(1)0>O,q>\时，数列｛&｝为正项的递增等比数列；(2)内>0,0<4<1时，数列｛〃〃｝为正项的递减等比

数列；(3)s<0,*>1时，数列｛m｝为负项的递减等比数列；(4孙<0,0%<1时，数列｛〃”｝为负项的递增等比数

列；(5)q=l时,数列｛为｝为常数列;(6)厅0时,数列｛斯｝为摆动数列；奇数项符号相同,偶数项符号相同.

知识点14等比数列的判定与证明

证明等比数列的方法

I.定义法：#-=4(〃£N*且〃22,为不为0的常数)；

〃〃一1

2.等比中项法：星=出匚!%±1(〃£N"且〃22)；

3.通项公式法：a„=a\Cfn~\

注：用定义法证明时，石和誓中的〃的范围不同

an-\Un

知识点15等比数列的性质

(1)在等比数列｛q｝中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列，如：《，%，%，%.......%，

〃8，《3'“18......；

注：若〃?，〃，〃成等差数列，则时，诙，斯成等比数列.

nm

(2)在等比数列｛4｝中，对任意加，nsN-all=atllq-i

(3)在等比数列｛〃,,｝中，若加，R,p,q£N*且m+n=p+q,则凡,・。“=。/」外,特殊地，2m=p+q

时，则a”：=册•%，q”是%,、%的等比中项.也就是：%•4〃=。2,an-\=。3,an-2=...»如图所示：

，------------A------------S

a】，a、2M3，…__，_*-2，%-J1，〃/?•

a2an-\

注：⑴性质的推广：若〃?+〃+p=x+y+z,有c%=4MMz；

(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；

(3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即0“=他・小T=….

(4)等比数列下标为奇数的项正负相同，下标为偶数的项正负相同；

(4)若｛〃“｝,｛仇｝(项数相同)是等比数列，则｛〃“｝(杼0),｛洲，｛如仇｝,喇仍是等比数列.

(5)在等比数列｛斯｝中按序号从小到大取出若干项：气，用，气,…,气，…，若木，自，依，…，公，…成等

差数列，那么%,%，%，…，纵，，…是等比数列.

（6）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即生-4,。3一。2，

…成等比数列，且公比为一二夕.

（7）等比数列的单调性

当<4>°或［时，｛4｝为递增数列，当［4>°或!时，①〃｝为递减数列.

q>\［0<I［0<^<1

知识点16等差数列与等比数列的区分与联系

⑴如果数列｛4｝成等差数列，那么数列｛A"”｝（A%总有意义）必成等比数列.

⑵如果数列｛%｝成等比数列，且%>0,那么数列｛log,《J（。>0,且4W1）必成等差数列.

（3）如果数列｛q｝既成等差数列又成等比数列，那么数列｛6｝是非零常数数列.数列｛%｝是常数数列仅是数

列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.

⑷如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行

讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列.

知识点17等比数列的前n项和公式

已知量首项，71,项数〃与公比q首项。i,末项a“与公比g

na\fq=l,fiaitq=l,

公式■S>=<SLaLMq

[Lq，户1♦q'户1

注：（1）等比数列前〃项和公式的推导

若等比数列｛%｝的首项是由，公比是如如何求该等比数列的前〃项的和？

思路一：因为5〃=。［+。2+。3+…+斯-】+。〃，

所以S”=〃i+aiq+aiq2+i+a4-2+aq”-i,

上式中每一项都乘等比数列的公比可得qS”=aiq+aiq2+aiq3+・・・+aW「i+aiq",

发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得S〃一qS”=m一①

即（I-q）S“=a«—q"），当夕关1时，有S”=畔三彳2而当夕=1时，S“=〃即上述等比数列求前〃项和的

方法，我们称为“错位相减法”.

思路二当.时，由等比数列的定义得：*琮=♦♦・=公=公

〃2+的+…+斯S"一

根据等比数列的性质，有v=q

〃1+。2+…+。”-1Sn-an丫

S"一"I

----------=qn（l-q）Sn=ai-a“q,

Sn—an

所以当qWl时，Sn若詈,该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，

推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前〃项和的两种形式，而这两种形式可以

利用斯=。引门相互转化.

思路三：5”=。1+。2+。3+—+。"=。1+式。1+。2+~+。”-1），

所以有S“=ai+qS〃-]=S”=ai+6S”一a“）n（l—g）S“=aLG”q,

所以当qWl时，S,尸爷等或ST弋二R显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已

知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决.

（2）在通项公式和前〃项和公式中共出现了五个量：ai,//,q,ant5”.知道其中任意三个，可求其余两

个.（cii，q,/?,S〃和%,%,q,Stl各已知三个可求第四个

（3）注意求和公式中是通项公式中是/I不要混淆；

（4）应用求和公式时gwl,必要时应讨论4=1的情况.在应用公式求和时，应注意到s〃=的使

用条件为qWl,而当q=l时应按常数列求和，即Sn=n（n.

（5）等比数列前〃项和公式的函数特征

当公比gKl时，设从=当\等比数列的前〃项和公式是S〃=A（g〃-l）.即S”是〃的指数型函数.

1-

（£="；，设4=-p,则sn=A^'—A.）

i—q1—qi—q「q

当公比g=l时，因为所以5“=/皿，5”是〃的正比例函数.

知识点18等比数列前n项和的性质

1.数列｛斯｝为公比不为一1的等比数列（或公比为一1,且〃不是偶数），S“为其前〃项和，则S“，S2n—Sn，

必.一S2n仍构成等比数列.

注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即s“wo.

注；S“，Szn—Sn,Sj“一Sz”…仍成等比数列，证明如下；

思路一：当《=1时，结论显然成立；

当好Cm（L0'）c”1（1一产）田（1一产）

3叼，3〃一[9O2n—J.9一I一•

1―q1—q1—q

。1（1一炉”）“[（1-q"）⑴0〃（1一,）

-ql—q-1—q，

〃i（l——"）。1（1——"）ai/"。一小）

S3〃f2〃=[_q-Lq=l—q，

而《«\2缶如一叫c/scaig2，，a-0，)

而(52”—5")"—[1_q)~，SniSin—Sln)—X，

2

故有(S2n-Sn)=S„(S3n~S2n)»

所以S”，Sm~S”，S3LS'”成等比数列.

思路二：由性质S„+〃=Sm+/"S〃可知S2〃=S〃+g〃S〃，故有S2”-S“=q"S“，

S3”=S2”+/S”，故有S3”一$2"=严S〃，故有(§2”-S")2=S"(S3"—S2”)，

所以S“，S2”一S"，S3"—S2〃成等比数列.

2.｛%｝为等比数列，若初〃2♦•…a=T〃,则T”,祟耙…成等比数列.

>n/In

3.若｛斯｝是公比为q的等比数列，则S“+„,=S〃+q〃S,”(〃，mGNjug"=‘〃+；§"«为公比).

注：思路―：S,”+〃=。1+。2+…+%+。,”+1+%+2H-------F=S,”+。14"+…

=$"+g'"S〃.

思路二：Sm+,t=ai+a2H--------ba〃+M+i+%+2+…

Hnn

=S“+a1/7+(i2q+…+amq

=S〃+/S,”.

4.若｛斯｝是公比为q的等比数列，S«,S号分别是数列的偶数项和与奇数项和，则:

(1)在其前2〃项中，:=q;

ai+a2〃+q。1+。2”+2

(2)在其前2〃+1项中,SSH=“l-“2+03-44+…-。2”+。2"+1=(户—1).

1一(一4)i+q

S奇=ai+gS«.

注：若等比数列｛小｝的项数有2〃项，则

其偶数项和为S偶=a2+a4H--------

其奇数项和为S奇=外+“3+…+。2〃7,容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S狷=aq+Bg+…+

a?n-iq=qS苦,所以有点=g.

若等比数列｛斯｝的项数有2/24-1项，则其偶数项和为S偶=生+。4+…+。2"，其奇数项和为S侍=©+。3+…+

。2”-1+。2〃+1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有Sai=a.H--------\-ain-\+ain+\=aiq

+。4[-1--------\-ai,tq=qS辑,即S奇二田+qS国

知识点19等比数列前n项和的实际应用

1.解应用问题的核心是建立数学模型.

2.一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型.

3.注意问题是求什么(〃，"”，S”).

注：(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答.

(2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数〃计算准确.

⑶在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系.

(4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求.

考点剖析】

考点一由前n项归纳数列的通项公式

1.(2023秋・上海松江.高二上海市松江二中校考期末)已知数列：121231234则3:是数列

中的()

A.第18项B.第19项C.第20项D.第21项

【答案】A

【分析】通过观察将数列分为第1组1个，第2组2个，……，第〃组〃个，找到每一组中数的分子、分母

的和为〃+1,进而判断结果.

【详解】将数列分为第I组I个，第2组2个，……，第〃组〃个，

即电岗乂咒彳乂抬，曲“…R高昌”…7),

则这〃组中，每一组中数的分子、分母的和为〃+1,

所以1是第6组的第3个数，在数列中的项数为1+2+3+4+5+3=18,

故选:A.

2.(2023秋•河南南阳•高二统考期末)已知一组数据2,5,10,17,26,…，按此规律可以得到第100个

数为()

A.9802B.9991C.100()1D.10202

【答案】C

【分析】由所给的数据写出数列的一个通项公式，从而可求出其第100个数

【详解】因为2,5,1(),17,26,…的一个通项公式为q=标+1,

所以第100个数为1(X)2+1=10001，

故选：C

上小…，〃

3.（2023秋・上海长宁•高二上海市延安中学校考期末）数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4…,

的第2022项的值是（）

A.61B.62C.63D.64

【答案】D

【分析】根据数列中数字出现规律，到数字〃共有色=也罗项，进而判断n-1和〃对应项数刚好包含2022

即可.

【详解】由题设，数字〃出现次教为〃，

所以数列到数字〃共有S”=妁/项，

63x64

当〃=63时.，563=—=2016<2022,

当尸64时，Sz=:=2080>2022,

所以第2022项的值是64.

故选：D

4.（2023秋・河南濮阳•高二统考期末）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”

早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记勺为图中虚线上的数1,3,6,10,…构成

的数列｛《,｝的第〃项，则%）的值为（）

1

11

12,才

Z

I3Z31

14,6/41

15⑻105

A.1225B.1275C.1326D.1362

【答案】B

从而可求得结果

【分析】观察前4项可得q二o

【详解】由题意可得％=1,%=3=1+2,6=6=I+2+3,《=10=1+2+3+4,

观察规律可得q=1+2+3+…+〃=吗2,

所以％0=竺/=1275

故选：B

5.（2023春・河南洛阳•高二统考期末）如图三角形数阵:

1

23

456

78910

1112131415

按照自上而下，自左而右的顺序，2021位于第i行的第，列，则i+J=

【答案】69

【分析】由图可知，第〃行有〃个数，求出第（〃-1）行的最后一个数，从而可分析计算出即可得出答案.

【详解】解：由图可知，第〃行有〃个数,

第（〃—1）行最后一个数为=

竺也;2016,竺出=208。,

因为

22

所以第63行的最后一个数为2016,

所以2021位第64行,即i=64,

X2021-2016=5,

所以2021位第64行第5列，口"=5,

所以i+j=69.

故答案为:69.

6.（2023秋•黑龙江•高二黑龙江实验中学校考期末）数学源于生活，数学在生活中无处不在!学习数学就是

要学会用数学的眼光看现实世界!1906年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下:

从一个边长为2的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分另!向外作正三

角形，再去掉底边（如图①、②、③等）.反复进行这一过程，就得到雪花曲线.

【答案】C

【分析】根据题图规律确定第〃个图边的条数及其边长，并写出其通项公式，再求第5个图的周长.

【详解】由图知：第一个图有3条边，各边长为2,故周长4=3x2；

第二个图有12条边，各边长为2故周长见=12、[9；

J3

7?

第三个图有48条i力，各功长为/故周长《=48x，：

99

所以边的条数是首项为3,公比为4的等比数列，则第〃个图的边有3・4小条,

边K是首项为2,公比为1的等比数列，则第〃个图的边长为2・(；广1

JD

故。=3X44X2X(1)4=娑.

327

故选：C

考点二由a与Sn的关系求通项公式

7.(2023春•陕西西安・高二期末)设S“为数列｛q｝的前〃项和，若S“=〃、2〃，则《=()

A.2〃+1B.2/7-1C.”+1D.n-\

【答案】A

S],〃=1

【分析】根据公式q,=二c、「即可求解.

电-S”T，〃22

【详解】当〃=1时，4=5=12+2x1=3,

当〃之2时，4=S”-S“_]=//+2”一+2(〃-1)]=2〃+1,

验证，当〃=1时，«|=2xl+l=3,

所以巴=2〃+1.

故选：A

8.（2023春•陕西渭南•高二期末）记S”为数列｛qj的前〃项和，若邑=24-1,则勺=（）

A.B.-2"TC.TD.-2n

【答案】A

【分析】根据S“与勺的关系求出入利用q=5“-Si即可得到数列是等比数列,进而得到见.

【详解】解：当〃=1时，$=24-1=4=4=1,

当〃220寸，an=S“一S,-=24—1-（2q一1一1）=初一2q-,

,'an=2a”-i，

所以，数列｛%｝是等比数列，

所以勺=6/1=1x21=2"一

故选:A.

9.（2023春・安徽宿州•高二校联考期末）已知数列｛4｝的前〃项和为S”，生=3,且a“7=2S”+2（〃wN,），

则下列说法中特送的是（）

179

A.=~B.54=y

C.｛4｝是等比数列D.｛S”+l｝是等比数列

【答案】C

【分析】根据已知条件，令〃=1代入可7=2邑+2,求得q=g,判断A;结合数列前〃项和与q的关系式，

求出〃22时。.产3«"，结合生=3吗=；,判断C,求出4=9,a4=27,即可判断B;利用%=2S“+2可得

S”+「S“=2S”+2,进而推出法?=3,即可判断D.

~十1

【详解】由题意数列｛%｝的前〃项和为S.,生=3,且%+|=2S“+2,

则%=251+2,即3=2%+2,「.4=g,即选项A正确；

・・・%+L2S“+2①,

・•・当〃22时，%=252+2②,

①-②可得，an+}-an=2ant即q讨=3%,

生=3,4=3不满足%=3《，

故数列也｝不是等比数列，故C错误,

由〃22时，4+|=3。”可得,=3x3""=3""，则4=9,4=27,

179

^5=-+3+9+27=—,故B正确；

422

由%”=2S”+2得：S..「S0=2Sn+2,/.Sn+1=3S“+2,

则S,川+1=3（S.+1）,即上^=3,

故⑸+1｝是首项为S+l=q+l=,公比为3的等比数列，D正确，

故选：C.

10.（2023春•河北石家庄•高二统考期末）若数列出｝满足伪+32+•他+…+（2"-1次=〃，则数列也｝的通

项公式为（）

A.2=2〃B.〃=2"

41

Cb“=KD.^r=——

LZ—1

【答案】D

【分析】由4+3&+7&+…+（2”-1），=〃，分两步，当〃=1求出白，当〃22时得到

4+3a+7A+…+（2"--）〃-=〃-1,两式作差即可求出数列低｝的通项公式；

【详解】解：因为。+3/+7/+…+（2"-1）"=〃①，当〃=1时，"=1,当〃22时

*+34+7/+…+（2”T-I）%=〃一[②，

①一②得（2“一1）包=1,所以a=占，当〃—1时”=不二也成立，所以a=4；

故选：D

考点三由递推公式求通项公式

11.（2023春•山东•高二沂水县第一中学期末）已知数列｛凡｝满足4=1,见”=见+3〃，则4=（）

A.30B.31C.45D.46

【答案】D

【分析】利用析加法可求得%的值.

【详解】由已知％+i-%=3〃,

%一q=3,a3-a2=6,L,-a5=15,

上述等式全加可得4-4=3+6+9+12+15=45,.•.4=1+45=46.

故选：D.

12.（2023春・海南・富二统考期末）已知数列｛4｝满足。向=2%+2且q=l,则（）

A.｛4｝是等差数列B.｛《；｝是等比数列C.｛《,+1｝是等比数列D.｛q,+2｝是等比数列

【答案】D

【分析】由q“=24+2,化简得色吟=2,结合等比数列、等差数列的定义可求解.

（I-2

【详解】由为“=24+2,可得a-+2=2（为+2）,所以十==2,

n

乂由6=1,q+2=3,

所以｛q+2｝是首项为3,公比为2的等比数列，

所以4+2=3x21,4=3x21-2,dn+1=3x2"-2,

a.—a“=3x2”—2—（3x2"7—2）=3x2i,所以｛q｝不是等差数列；

也=罟三不等于常数，所以｛%｝不是等比数列.

故选：D.

13.（2023秋•湖北•高二期末）在数列｛4｝中，4=1,%+产2a喘〃eN+，则”“=（）

2c2〃「n+1-n+2

A.a=---B.a