第9单元 相似三角形

中考基本考点分析——相似三角形

一、有关相似形的概念

(1)相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

(2)如果两个边数相同的多边形的角相等，对应边__________,这两个多边形叫

做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做(相似系数).

二、比例线段的相关概念

(1)如果选用同一单位量得两条线段〃力的长度分别为〃2,那么就说这两条线段的比是

7=-,或写成_______________________.注：在求线段比时，线段单位要统一。

bn

(2)在四条线段a,b,c,d中,如果〃和。的比等于c和〃的比,那么这四条线段叫

做成比例线段，简称比例线段.注：①比例线段是有顺序的，如果说。是的第四比

例项，那么应得比例式为：2=4.②在比例式色=£(3b=c：d)中,a、d叫_________,

cabd

b、c叫,4、c叫比例前项，b、d叫比例后项，d叫比例项，如果〃二c,

即a：h=b：d那么人叫做〃、d的,此时有

(3)黄金分割：把线段AB分成两条线段AC,8C(AC>8C),且使4。是4加118c的比

例中项，即，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段A8的黄金分割点,

V5-1血即篇箝与简圮为嚏嚏=亨

其中AC二二一^ABP

2

注：黄金三角形：顶角是的等腰三角形。

黄金矩形：与的比等于黄金数的矩形。

三、比例的性质(注意性质立的条件：分母不能为0)

(1)基本性质：

①a:b=c:dad—be；②a:b=b:cob1=a・c.

注：由一个比例式只“J化成一个等枳式，而一个等积式共“J化成八个比例式，如ad=bc.

除了可化为a：〃=c：d，还可化为o:c=Z?:d,

b:d=a\cc:a=cl:b,,d:b=c\G.

（2）更比性质（交换比例的内项或外项）:

9=$，友换内项）

ca

ac

-=-0，友换外财

bd

，洞时交换内外项）

（3）反比性质（把比的前项、后项交换）:

ac

-=-<=>

bd

（4）合、分比性质:

ac

—=—=

bd

注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

发生同样和差变化比例仍成立.

h-a

一a=—c—a

bda—b

a-Vb

(5)等比性质：如果上=±=£=-='s+d+/+…+〃。0),

bdjn

那么

注:

①此性质的证明运用了“设&法气即引入新的参数上）这样可以减少的个数,

这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法.

②应用等比性质时，要考虑到.是否为零.

③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成

,acea-2c3ea-2c+3ea廿

上.如：—=—=—=—=----=—=------------=—；其中

bdfb-2d3fb-2d+3fb

四、比例线段的有关定理

1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的截（或两边的

延长线）所得的.

由DE〃BC可得:

ADEC^ADAE

=--sS————或——=——

DBECEAAB

注：

①重要结论：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线,所截的与

________________________对应成比例.

②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果-条直线截三角形的两边（或两边的延

长线）所得的线段.那么这条直线于三角形的第三边.

此定理给出了一种证明两直线平行方法，即：利用比例式证平行线.

③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做线，但应遵循的原则是

不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.

2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.

已知AD〃BE〃CF,

平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那

两个三角形相似.简述为:

4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且

夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为:

5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么

这两个三角形相似.简述为:

6、判定直角三角形相似的方法:

(1)以上各种判定均适用.

(2)如果一个直角三角形的和一条直角边与另一个直角三角形的.

且,边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.

(3)直角三角形被斜边I：的高分成的两个直角三角形与相似.

注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条青角动是•这条真.角功在斜动上的射影和斜功的比例中项。

如图，Rl^ABC中，NBAC=90。，AD是斜边BC上的高,

则AD2=,AB2=，AC2=

八、相似三角形常见的图形

平行型AZ

1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形:

(1)如图：称为“平行线型”的相似三角形(有“A型”与“X型”图)

相似三角形：____________________

相似条件：____________________

（2）如图：其中N1=N2,则△ADEs/iABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角

型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）

相似三角形：；；

相似条件：：:

（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”产“三

相似三角形：；;

相似条件：：;

（4）如图；N1=N2,NB=ND,WOAADE^AABC,称为“旋转型”的相似三角形。

相似三角形：;相似条件：：

2、几种基本图形的具体应用：

（1）若DE〃BC（A型和X型）则4____:

（2）射影定理若CD为RlZ\ABC斜边上的高（双直角图形）

则RtAABC^RtAACD^RtACBD且

AC2=，CD2=，BC2=；

AEDC

'A

BCBCADB

(3)只要满足=ADAB,ZACD=ZZ=ZADC,中的一个都

可判定△ADCs^ACB.

ADAE,、

(4)当一=—或时，AADE^AACB.

ACAB

九、全等与相似的比较:

三角形全等三角形相似

相似判定的________定理

两角夹一边对应相等(ASA)

两角一对边对应相等(AAS)一角________相等

两边及夹角对应相等(SAS)____边对应_________，且_____角相等

三边对应相等(SSS)_________边对应成比例

直角三角形中一直角边与斜边对应相等(HL)一角三角形中一边与一____边对应成比例

十、相似三角形的性质

(1)相似三角形角相等，对应边.

(2)相似三角形对应的比，对应的比和对应的比都等于相似比.

(3)相似二角形的比等于相似比.

(4)相似三角形的比等于相似比的平方.

注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等.

十一、相似三角形中有关证(解)题规律与辅助线作法

1、证明四条线段成比例的常用方法：

⑴线段成比例的定义

（2）三角形相似的预备定理

（3）利用相似三角形的性质

（4）利用中间比等量代换

（5）利用面积关系

2、证明题常用方法归纳：

（1）总体思路:“等积”变""，“比例”找“”

（2）找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不

同的字母，并且这几个字母不在直线上，能够组成三角形，并且有可能是相

似的，则可证明这两个三侑形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.

（3）找中间比：若没有三角形（即横向看或纵向寻找的时候•共有四个字母或者三个字母,

但这几个字母在同一条直线上），则需要进行“转移”（或“替换”），常用的“替换”方法有这样的

三种：等线段代换、等比代换、等积代换.

即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。

：=_5=_（上为中间比）

①bdn

②dnd且满足

③8nd「且满足

（4）添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线（通常是添加线）

构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.

注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标

系中通常是作线或线构造相似三角形或比例线段。

（5）比例问题：常用处理方法是将“份”看着左;对丁等比问题，常用处理办法是设“公

比”为k.

（6）对「复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的

办法处理。

十二、相似多边形的性质

（1）相似多边形周长比，对应对角线的比都等于.

（2）相似多边形中对应二角形相似，相似比等于的相似比.

（3）相似多边形面积比等于.

注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三

角形知识是基础和关键.

十三、位似图形有关的概念与性质及作法

1.如果两个图形不仅是相以图形，而且每组对应顶点的连线都,那么这样的两

个图形叫做位似图形.

2.这个点叫做,这时的相似比乂称为比.

注：

（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线.

（2）位似图形一定是相似图形，相似图形是位似图形.

（3）位似图形的对应边互相或.

3.位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到的距离之比等于相似比.

注：位似图形具有相似图形的所有性质.

4.画位似图形的一般步骤：

（1）确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）

（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.

（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.

（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.

注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形

边上或顶点上）。

②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）

③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似（即反向位似图形）

（5）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点0为位似中心，相似比为A（Q0）,

原图形上点的坐标为（X,），），那么同向位似图形对应点的坐标为（去向，），反向位似图形对应点

的坐标为（也+y）,

2018年全国各地中考分类选题——相似三角形

一.选择题（共28小题）

1.（2018•重庆）制作一块3mx2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相

同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是

（）

A.360元B.720元C.1080元D.2160元

2.（2018•玉林）两三角形的相似比是2：3,则其面积之比是（）

A.加：V3B-2：3C.4：9D.8：27

3.（2018•重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm,

6cm和9cm,另一个三角形的最短边长为2.5cm,则它的最长边为（）

A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm

4.（2018•内江）已知AABC与相似，且相似比为1：3,则AABC与△AiBC]

的面积比为（）

A.1：IB.I：3C.I：6D.I：9

5.（2018•铜仁市）己知AABCsaDEF,相似比为2,且4ABC的面积为16,则ADEF

的面积为（）

A.32B.8C.4D.16

6.（2017•重庆）已知△ABCs^DEF,且相似比为1：2,则△ABC与4DEF的面积比为

（）

A.1：4B.4：IC.1：2D.2：1

7.（2018•临安区）如图，个正方形的边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与4ABC

相似的是（）

8.（2018•广东）在AABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则AADE与AABC的

面积之比为（)

A-iB-ic-iD-i

9.（2018咱贡）如图，在AABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若4ADE的面积

为4,则aABC的面积为（）

14D.16

10.（2018•崇明县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1,

连接AE交BD于点F,则4DEF的面积与ABAF的面积之比为（）

11.（2018•随州）如图，平行于BC的直线DE把4ABC分成面积相等的两部分，则

12.（2018•哈尔滨）如图，在aABC中，点D在BC边上，连接AD,点G在线段AD上，

GE〃BD,且交AB于点E,GF〃AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是（）

AB_AGDDF_DG^FG_EGnAE_CF

AEAD,CFADACBDBEDF

13.（2018•遵义）如图，四边形ABCD中,AD/7BC,ZABC=90°,AB=5,BC=10,连接

AC、BD,以BD为直径的圆交AC于点E.若DE=3,则AD的长为（）

A.5B.4C.3加D.2加

14.（2018•扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰RtAABC和等腰RtAADE,

CD与BE、AE分别交于点P,M.对于下列结论：

©△BAE^ACAD；②MP・MD=MA・ME；@2CB2=CP<M.其中正确的是（）

15.（2018•贵港）如图，在AABC中，EF〃BC,AB=3AE,若S四边形BCFE=16,则S“BC=

16.（2018•孝感）如图，△ABC是等边三角形，4ABD是等腰直角三角形，ZBAD=90°,

AE_LBD于点E,连CD分别交AE,AB于点EG,过点A作AH_LCD交BD于点H.则

下列结论：®ZADC=15C；②AF=AG；@AH=DF；©AAFG^ACBG；⑤AF=（&-1）

EF.其中正确结论的个数为（）

D.

C

A.5B.4C.3D.2

17.（2018•泸州）如图，正方形ABCD中，E,F分别在边AD,CD上，AF,BE相交于

点G,若AE=3ED,DF=CF,则黑的值是（）

GF

D.7

6

18.（201g•临安区）加图，在△ABC中，DE〃BC,DE分别与AB,AC相交于点D,E,

若AD=4,DB=2,则DE：BC的值为（）

33

C.D.

45

19.（2018•恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交

BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为（）

20.（2018•杭州）如图，在AABC中，点D在AB边上，DE〃BC,与边AC交于点E,

连结BE.记AADE,4BCE的面积分别为Si,S2（）

A.若2AD>AB,贝lj3sl>2SzB.若2AD>AB,则3SIV2s2

C.若2ADVAB,贝113sl>2SzD.若2ADVAB,则3sl<2SZ

21.（2018♦永州）如图，在AABC中，点D是边AB上的一点，ZADC=ZACB,AD=2,

BD=6,则边AC的长为（）

A.2B.4C.6D.8

22.（2018•香坊区）如图，点D、E、F分别是AABC的边AB、AC、BC上的点，若DE〃BC,

EF〃AB,则下列比例式一定成立的是（）

AAD=DEB四=^-c延二更D典-DE

•DB-BC'而一AD.EC-FC,AB"BC

23.（2018•荆门）如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连

接AF、BE交于点G,则SAEFG：SAABG=（）

A.1：3B.3：1C.1：9D.9：1

24.（2018•达州）如图，E,F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=±AC.连

4

接DE,DF并延长，分别交AB,BC于点G,H,连接GH,则;A绅£的值为（）

SABGH

25.（2018•南充）如图，正方形ABCD的边长为2,P为CD的中点，连结AP,过点B作

BEJ_AP于点E,延长CE交AD于点F,过点C作CHJLBE于点G,交AB于点H,连接

HF.下列结论正确的是（）

A.CE=A/5B.C.COSZCEP=^

D.HF?=EF・CF

26.（2018•临沂）如图.利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2m,测得

AB=1.6m.BC=12.4m.则建筑物CD的高是（）

A.9.3mB.10.5mC.12.4mD.14m

27.（2018•长春）《孙子算经》是中国占代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其

中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问

竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一

根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）

竹\

竿、标\

\用\

A.五丈B.四丈五尺C.一丈D.五尺

28.（2018•绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，

已知AB_LBD,CD1BD.垂足分别为B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=lm,则栏杆C端

应下降的垂直距离CD为（）

A.0.2mB.0.3mC.0.4mD.0.5m

二.填空题（共7小题）

29.（2018•邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE,

交CD于点F,连接BF.写出图中任意一对相似三角形：.

30.（2018•北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于

点F,若AR=4.AD=3,则CF的长为.

31.（2018•包头）如图，在口ABCD中，AC是一条对角线，EF/7BC,且EF与AB相交于

点E,与AC相交于点F,3AE=2EB,连接DF.若S,，、AEF=1,则SAADF的值为

32.（2018•资阳）已知：如图，ZXABC的面积为12,点D、E分别是边AB、AC的中点,

则四边形BCED的面枳为.

33.（2018•泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个

问题；”今有邑方二百步，各中开门，由东门十五步有木，问；出南门几步面见木？”

用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正

方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，

求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）?请你计算KC的长为

____________步.

FG

HA

MyTM北

34.（2018•岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股

十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长

直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是

35.（2018•吉林）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D,ZB=ZC=90°,测得

BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河宽AB=m.

分类选题参考答案——相似三角形

一.选择题（共28小题）

1.（2018•重庆）制作一块3mx2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相

同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是

（）

A.360元B.720元C.1080元D.2160元

【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长

方形广告牌的面积，计算即可.

【解答】解：3mx2m=6m:

・••长方形广告牌的成本是120^6=20元/m2,

将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，

则面积扩大为原来的9倍，

工扩大后长方形广告牌的面积=9x6=54m?,

•••扩大后长方形广告牌的成本是54x20=1080m2,

故选：C.

2.（2018•玉林）两三角形的相似比是2：3,则其面积之比是（）

A.V2：V3B-2：3C.4：9D.8：27

【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.

【解答】解：•・•两三角形的相似比是2：3,

・•・其面积之比是4：9,

故选：C.

3.（2018•重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm,

6cm和9cm,另一个三角形的最短边长为2.5cm,则它的最长边为（）

A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm

【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得.

【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm,

根据题意，得：白二二，

2.5x

解得：x=4.5,

即另一个三角形的最长边长为4.5cm,

故选：C.

4.（2018•内江）已知AABC与△AIBCI相似，且相似比为I：3,则△ABC与△AIBIG

的面积比为（）

A.1：1B.1：3C.1：6D.1：9

【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可.

【解答】解：已知AABC与△AIBIG相似，且相似比为1：3,

则AABC与4A小iG的面积比为1：9,

故选：D.

5.（2018•铜仁市）己知Z\ABCsZ\DEF,相似比为2,且4ABC的面积为16,则ZXDEF

的面积为（）

A.32B.8C.4D.16

【分析】ilAABC-ADEF,相似比为2,根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，

即可得aABC与ADEF的面积比为4,又由△ABC的面积为16,即可求得4DEF的面积.

【解答】解：•••△ABCS^DEF,相似比为2,

.,.△ABC与4DEF的面积比为4,

VAABC的面积为16,

・）△DEF的面积为：16x,=4.

故选：C.

6.（2017•重庆）已知△ABCS4DEF,且相似比为1：2,则AABC与4DEF的面积比为

（）

A.1：4B.4：1C,1：2D.2：1

【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可.

【解答】解：•••△ABCS/XDEF,且相似比为1：2,

•••△ABC与4DEF的面积比为1：4,

故选：A.

7.（2018•临安区）如图，八正方形的边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与4ABC

相似的是（）

【分析】根据正方形的性质求出NACB,根据相似三角形的判定定理判断即可.

【解答】解：由正方形的性质可知，ZACB=I800-450=I35°,

A、C、D图形中的钝角都不等于135。，

由勾股定理得，BC=V2»AC=2,

对应的图形B中的边长分别为I和血，

••・图B中的三角形（阴影部分）与AABC相似，

故选：B.

8.（2018•广东）在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则4ADE与△ABC的

面枳之比为（）

A.--B.--C.-D.-

2346

【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为aABC的中位线，进而可得

出DE/7BC及△ADEs^ABC,再利用相似三角形的性质即可求出4ADE与4ABC的面积

之比.

【解答】解：•・•点D、E分别为边AB、AC的中点，

・・・DE为4ABC的中位线，

•••DE〃BC,

AAADE^AABC,

SA

ADE=（典）2=1

,△ABCBC4

故选：C.

9.（2018•自贡）如图，在aABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若4ADE的面积

为4,则aABC的面积为（）

【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE〃BC,DE=|BC,再利用相似三角形的判定

与性质得出答案.

【解答】解：•・・在aABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，

・・・DE〃BC,DE="BC,

2

AAADE^AABC,

..DE_1

'BC"2'

.SAADE1

丁

•••△ADE的面积为4,

「•△ABC的面积为：16,

故选：D.

10.（2018•崇明县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1,

连接AE交BD于点F,则4DEF的面积与ABAF的面积之比为（）

A.3；4B.9；16C.9；1D.3：1

【分析】可证明△DFESZ\BFA,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答

案.

【解答】解：•・•四边形ABCD为平行四边形，

，DC〃AB,

AADFE^ABFA,

VDE：EC=3：1,

ADE：DC=3：4,

DE：AB=3：4,

ASADFE：SABFA=9：16.

H.（2018•随州）如图，平行于BC的直线DE把aABC分成面积相等的两部分，则芈的

AD

值为（

B

A.1B.*C.V2-1D.V2+1

2

（分析］由DE〃BC可得H；aADEsZ\ABC,利用相似三角形的性质结合S’SDE二S四边形BCED,

可得出空二返，结合BD=AB-AD即可求出卷的值，此题得解.

AB2AD

【解答】解：VDE/7BC,

.\ZADE=ZB,ZAED=ZC,

.,.△ADE^AABC,

S

.rAD.AADE

皿^AABC

•S^ADE二S四边形BCED，

.AD_V2

12.（2018•哈尔滨）如图：在AABC中，点D在BC边上，连接AD,点G在线段AD上，

GE〃BD,且交AB于点E,GF〃AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是（）

FG=EGAE=CF

爵AC-BD•BE-DF

【分析】由GE〃BD、GF〃AC可得出△AEGs/\ABD、ADFG^ADCA,根据相似三角

形的性质即可找出当告累,此题得解.

DDDGDr

【解答】解：VGE/7BD,GF〃AC,

AAAEG^AABD,ADFG^ADCA,

.AE=AGDG=DF

**AB-AD*DA一记

.AE_AG_CF

••丽―记而.

故选：D.

13.（2018•遵义）如图，四边形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°,AB=5,BC=10,连接

AC、BD,以BD为直径的圆交AC于点E.若DE=3,则AD的长为（）

4J-----------c

A.5B.4C.3&D.275

【分析】先求出AC,进而判断出△ADFs^CAB,即可设DF=x,AD二加x,利用勾股定

理求出BD,再判断出△DEFS/XDBA,得出比例式建立方程即可得出结论.

【解答】解：如图,在R£ABC中,AB=5,BC=10,

AAC=5A/5

过点D作DF_LAC于F,

Z.ZAFD=ZCBA,

•；AD〃BC,

AZDAF=ZACB,

AAADF^ACAB,

.DF_AD

-AB-AC'

.DFAD

设DF二x,则AD二&x,

在RtaABD中，BD=VAB2+AD2=V5X2+25»

VZDEF=ZDBA,ZDFE=ZDAB=90°,

AADEF^ADBA,

•.•DEDF,

BDAD

.3_x

**V5X2+25正葭

:.x=2,

**•AD=5^X=2

故选：D.

14.（2018•扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰RtAABC和等腰RtAADE,

CD与BE、AE分别交于点P,M.对于下列结论：

©△BAE^ACAD；②MP・MD=MA・ME；③2cB2=CP・CM.其中正确的是（）

【分析】(1)由等腰RlZ\ABC和等腰RlZXADE三边份数关系可证;

(2)通过等积式倒推可知，证明△PAMs/XEMD即可；

(3)2CB2转化为AC2,证明△ACPs4MCA,问题可证.

【解答】解：由已知：AC=&AB,AD=V2AE

.AC_AD

**AB^AE

VZBAC=ZEAD

AZBAE=ZCAD

/.△BAE^ACAD

所以①正确

VABAE^ACAD

AZBEA=ZCDA

VZPME=ZAMD

AAPME^AAMD

.MPJE

,•加十

.\MP«MD=MA-ME

所以②正确

VZBEA=ZCDA

NPME=/AMD

••・P、E、D、A四点共圆

AZAPD=ZEAD=90°

ZCAE=180°-ZBAC-ZEAD=90°

.,.△CAP<^ACMA

.*.AC2=CP-CM

VAC=V2AB

A2CB2=CP-CM

所以③正确

故选：A.

15.(2018•贵港)如图，在aABC中，EF〃BC,AB=3AE,若S四边彩BCFE=16,则S/,ABC二

B

A.16B.18C.20D.24

【分析】由EF〃BC,可证明△AEFsaABC,利用相似三角形的性质即可求出则SMBC的

值.

【解答】解：・・・EF〃BC,

AAAEF^AABC,

VAB=3AE,

AAE：AB=1：3,

SAAEF：SAABC=1：9,

设SAAEF=X,

***S内边彬BCFE=16,

・X_1

**16+x--9,

解得:x=2,

•*S&ABC=18,

故选：B.

16.（2018•孝感）如图，ZXABC是等边三角形，Z\ABD是等腰直角三角形，ZBAD=90°,

AE_LBD于点E,连CD分别交AE,AB于点F,G,过点A作AH_LCD交BD于点H.则

下列结论：©ZADC=15°；®AF=AG；®AH=DF；©AAFG^ACBG；⑤AF=（乃-1）

EF.其中正确结论的个数为（）

【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知4CAD是等腰三角形且顶角NCAD=150）,据

此可判断：②求出NAFP和NFAG度数，从而得出NAGF度数，据此可判断；③证

△ADF^ABAH即可判断;④由NAFG=NCBG=60。、NAGF二NCGB即可得证;⑤设PF=x,

则AF=2x、AP=〃产_噂2=6,设EF二a,ftlAADF^ABAH知BH=AF=2x,根据AABE

PFAP

是等腰更角三角形之BE=AE=a+2x,据此得出EH=a,证△PAFs^EAH得^=前＞从而

得出a与x的关系即可判断.

【解答】解：•••△ABC为等边三角形，4ABD为等腰直角三角形，

・・・NBAC=60。、NBAD=90。、AC=AB=AD,ZADB=ZABD=45°,

•・.△CAD是等腰三角形，且顶角NCAD=15()。，

/.ZADC=15°,故①正确；

VAEXBD,即NAED=90°,

・•・ZDAE=45°,

，ZAFG=ZADC+ZDAE=60°,ZFAG=45°,

.\ZAGF=75°,

由ZAFG/ZAGF知AF^AG,故②错误；

记AH与CD的交点为P,

由AH±CD且NAFG=60°知NFAP=30。，

则NBAH=NADC=I5°,

在4ADF和△BAH中，

'NADF二NBAH

vDAA二B，

ZDAF=ZABH=45°

AAADF^ABAH(ASA),

・・・DF;AH,故③正确；

VZAFG=ZCBG=60°,ZAGF=ZCGB,

AAAFG^ACBG,故④正确；

在RlZ\APF中，设PF=x,则AF=2x、AP=_pF2=

设EF=a,

VAADF^ABAH,

.\BH=AF=2x,

△ABE中，VZAEB=90\ZABE=45°,

BE=AE=AF+EF=a+2x,

二EH=BE-BH=a+2x-2x=a,

VZAPF=ZAEH=90°,ZFAP=ZHAE,

/.△PAF^AEAH,

.APp[J_x_>/3x

…EHAE''aa+2x'

整理，得：2x2;(立・i)ax,

由x和得2x=(&-1)a,即AF=(«-1)EF,故⑤正确;

故选：B.

17.（2018•泸州）如图，正方形ABCD中，E,F分别在边AD,CD±,AF,BE相交于

点G,若AE=3ED,DF=CF,则黑的值是（）

GF

6口7

5D-7

【分析】如图作，FN〃AD,交AB于N,交BE于M.设DE=a,则AE=3a,利用平行线

分线段成比例定理解决问题即可；

FN〃AD,交AB于N,交BE于M.

•••四边形ABCD是正方形，

，AB〃CD,VFN/7AD,

・•・四边形ANFD是平行四边形，

•••ZD=90°,

・•・四边形ANFD是解析式，

VAE=3DE,设DE=a,则AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a,

TAN=BN,MN〃AE,

，BM=ME,

3

・・・MN==a,

2

.\FM=ya,

VAE/7FM,

.AG_AE_^-_6

**GF-FM~-1-a-p

乙

故选：c.

18.（2018•临安区）如图，在aABC中，DE〃BC,DE分别与AB,AC相交于点D,E,

若AD=4,DB=2,则DE：BC的值为（）

【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似,

再根据相似三角形的对应边成比例解则可.

【解答】解：・・・DE〃BC,

AAADE^AABC,

・DE二如_AD=4_2

**BC^-AD+DB--6-T

故选：A.

19.（2018•恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交

BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为（）

A.6B.8C.10D.12

【分析】根据正方形的性质可得出AB〃CD,进而可得出△ABFS/XGDF,根据相似三角形

ARAR

的性质可得出々三要=2,结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG〃AB、AB=2CG可

得出CG为4EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解.

【解答】解：•・•四边形ABCD为正方形，

AAB=CD,AB〃CD,

/.ZABF=ZGDF,ZBAF=ZDGF,

•••△ABFS/XGDF,

.AF_AB,

••,—*-2,

GFGD

AAF=2GF=4,

AAG=6.

VCG/7AB,AB=2CG,

/.CG为aEAB的中位线，

AAE=2AG=12.

故选：D.

20.(2018•杭州)如图，在aABC中，点D在AB边上，DE〃BC,与边AC交于点E,

连结BE.记AADE,ZXBCE的面积分别为Si,S2()

A.若2ADAAB,贝ij3sl>2S2B.若2AD>AB,则3SI<2s2

C.若2ADVAB,贝ij3sl>2S?D.若2ADVAB,则3sl<2S?

【分析】根据题意判定△ADEs^ABC,由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答.

【解答】解：•・•如图，在AABC中，DE〃RC,

AAADE^AABC,

Si

S1+S2+S^BDE

Si

・••若2AD>AB,即工时,-——-——----->—,

AB2S1+S2+SABDE4

此时3sAs2+S.BDE,而S2+S"DEV2s2.但是不能确定3sl与2s2的大小,

故选项A不符合题意，选项B不符合题意.

AD1S11

若2ADVAB,即而〈/，可可跖『彳

此时3SIVS2+SABDE<2s2,

故选项C不符合题意，选项D符合题意.

故选：D.

21.（2018•永州）如图，在AABC中，点D是边AB上的一点，NADONACB,AD=2,

BD=6,贝IJ边AC的长为（）

ACAD

【分析】只要证明△ADCS/\ACB,可得小受，即AC2=AD・AB,由此即可解决问题;

ADAC

【解答】解：VZA=ZA,ZADC=ZACB,

AAADC^AACB,

.ACAD

AB-AC*

.\AC2=AD*AB=2X8=16,

VAC>0,

AAC=4,

故选:B.

22.（2018•香坊区）如图，点D、E、F分别是Z\ABC的边AB、AC、BC上的点，若DE〃BC,

EF〃AB,则下列比例式一定成立的是（）

AD_DERBF_里，AE_BFnEF_DE

DDBCBCADECFCADDC

【分析】用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论.

【解答】解：・・・DE〃BC,

.ADJE

.而而

・・DE〃BC,

△ADE^AABC,

AD_J£_DE

WAC二BC'

EF〃AB,

AE二BF

CE^CF7,

EF〃AB,

△CEF^ACAB,

CEJFJF

而W而

DE〃BC,EF〃AB,

四边形BDEF是平行四边形,

DE=BF,EF=BD,

.AD^AEAEJDECE^CF=BD

7,

••西而CE^CF"AC=BC'IFF而

•.,A而E而BF正,确.‘

故选：C.

23.（2018•荆门）如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连

接AF、BE交于点G,则S"FG：SAABG=（）

A.1：3B.3：iC.1：9D.9：1

【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题;

【解答】解：•・•四边形ABCD是平行四边形