第01讲 空间向量与立体几何-【寒假衔接讲义】高二数学寒假讲义练习（新人教A专用）（教师卷）

第01讲空间向量与立体几何

&【考点目录】

【知识梳理】

知识点1空间向量的有关概念

1.在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模」

注：数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在

空间内任意平移，故我们称之为自由向量。

2.表示法：

(1)几何表示法：空间向量用有向线段表示，有向线段的性度表示空间向量的模

(2)字母表示法：用字母表示，若向量。的起点是4,终点是8,则。也可记作协，其模记为⑷或|霜

3.几类特殊的空间向量

名称定义表示法

零向

规定长度为0的向量叫做零向量记为0

量

单位模为1的向量叫做单位向量闭=1或

向量

MB1=1

相反

与向量〃长度相等而方向相反的向量,叫做。的相反向量记为二2

向量

共线如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共a〃b或元？

向量线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量壬任，即对于任意向量都有

〃CD

相等方向粗圆且模相笠的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向a=b或

向量量或相等向量AB=CD

知识点2空间向量的线性运算

（一）空间向量的加减运算

语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和

二角形£

法则图形叙述

人^aB

加法运算

语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和

平行四边形法则BJC

图形叙述

v0AaA

语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量

三角形

减法运算B

法则图形叙述

Oa

交换律a~\~b—b~\~a

加法运算

结合律(a+8)+c=〃+S+c)

（二）空间向量的数乘运算

定义与平面向量一样，实数2与空间向量。的乘积曲仍然是一个向量，称为空间向量的数乘

2>0加与向量。的方向相同

2Vo助与向量。的方向相反

几何意义

°P4

2=0加=0,其方向是任意的

的长度是a的长度的回倍

结合律刈4=62a

运算律

分配律（幺+〃）。=2。+4〃，7（。+力）=幺。+乃

知识点3共线向量与共面向量

1.共线向■与共面向■的区别

共线（平行）向量共面向量

表示若干空间向量的有向线段所在的直线

互相平行或重合,这些向量叫做共线向量

定或平行向量

平行于同一个平面的向量叫做共面向量

义注：规定：零向量与任意向量平行，即对

任意向量。，都有0〃4.

共线向量定理：对于空间任意两个向量。，

帅和）,a//h的充要条件是存在实数入使。

=/J）.共面向量定理：若两个向量a,b不共线，则向量p与向

量小〃共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（X,J）,

注：（1）4/1（6工0）=存在唯一实数几,

使p=xa+j协.

使得〃="；（2）存在唯一实数义，使得

充

a=A,h（.b0）,则,//〃.注意：1x0不

要

可丢掉，否则实数4就不唯一.

条

1、空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序

件

实数对“，刃,使力=x/G+y/或对空间任意一点0,有

对空间任一点O,~OP=x~OA+y~OB{xOP-OA-\-xAB+yXc.

+y=i).2、空间中P,A,4,C四点共面的充要条件是存在有序实

数对（x,y,z）,使得对空间中任意一点。，都有

历=雨+），砺+2元（其中工+），+2=1）

共线向量定理的用途：

①判定两条直线平行；（进而证线面平行）

②证明三点共线。

共面向量定理的用途：

用注意：证明平行时，先从两直线上取有向

①证明四点共面

途

线段表示两个向量，然后利用向量的线性②线面平行（进而证面面平行）。

运算证明向量共线，进而可以得到线线平

行，这是证明平行问题的一种重要方法。

证明三点共线问题，通常不用图形，直接

利用向量的线性运算即可，但一定要注意

所表示的向量必须有一个公共点。

三直线/的面向向・

如图0W/,在直线/上取非零向量a,设尸为，上的任意一点，贝归2WR使得羽=加.

定义：把与a平行的非零向量称为直线/的方向向量.

知识点5空间向量的数量积运算

1.(1)空间向量的数量积

已知两个非零向量a,b,则⑷步|cos(a,b)叫做°,力的数量积，记作。协，即。协=|。|步卜cos(a,b).零

向量与任意向量的数量积为0,即0・〃=&

注：必/；等于力的长度同与/；在a的方向上的投影而的乘积，

⑵运算律

数乘向量与数量积的结合律（2。）力=2（。小）,x^R

交换律a，b=b*a

分配律a'（b+c）=crb+a'C

2.投影向量及直线与平面所成的角

⑴如图①，在空间，向量。向向量方投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面a

内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量力共线的向量c,c=|a|cos储，b＞自，向量c称为向量。在

向量力上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线，投影(如图②).

⑵如图③，向量a向平面//投影，就是分别由向量a的起点A和终点〃作平面少的垂线，垂足分别为片,

明得到向量向量称为向量。在平面”上的投影向量.这时，向量”，下我的夹角就是向

量。所在直线与平面。所成的角.

知识点6空间向量数量积运算律及性质

1、数量乘积的运算律：

(\)ab=bat(2)(而)•〃=丸(无/，)=无(4方)：(3)(«+Z?jc=dc+/?c.

2、若4,6为非零向量，9为单位向量，则有

(1)d=d=\d\cos(d,e)；(2)dA.b<=>ab=()；

同与/洞向)

dd=|d|",|d|=4d-d；⑸\c^b\<\d\\b

_同忖(少与6反向)

知识点7空间向量基本定理

1.定理

如果三个向量a,b,C不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯二的有序实数组(X,y,z),使得

p=xa+W+zc.其中｛。，力，c｝叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量.如果〃=xa+)协+zc,则称xa+)协+zc

为p在基底｛a,b,c｝下的分解式.

2.空间向■的正交分解

(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂邕，且长度都为1,常用"，/,&｝表示.

(2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yjf水,

使。=式+力+水.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解.

知识点8空间向量基本定理应用

1、证明平行、共面问题

(1)对于空间任意两个向量。，伏屏0),。〃力的充要条件是存在实数心使。=劝.

(2)如果两个向量。，力不共线，那么向量〃与向量。，力共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,J),

使p=xa+yb.

⑶直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题.

2、求夹角、证明垂直问题

(1)〃为a,b的夹角，则cos。=］^而・⑵若m)是非零向量，则。_1_加敞山=0.

3、求距离(长度)问题

M=\la-a(］碎］=N4,通).

知识点9空间直角坐标系

1.空间直角坐标系

(1)空间直角坐标系：在空间选定一点。和一个单位正交基底｛i,j,k｝f以。为原点，分别以i,j,k

的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：X轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴，这时我们

就建立了一个空间一角坐标系

(2)相关概念：2叫做原点，i,J,左都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称

为但平面、Q区平面、全工平面，它们把空间分成八个部分.

注意点：

(1)基向量：|i|=|/|=|Jk|=l,i・j=i・k=j・k=O.

(2)画空间直角坐标系Ox”时，一般使NxO)，=135。(或45。)，NyOz=90。.

(3)建立的坐标系均为右手直角坐标系.在空间直角坐标系中，让右手拇指指向建的正方向，食指指

向通的正方向，如果中指指向通的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.

2.空间一点的坐标、向量的坐标

(O空间点的坐标

在空间直角坐标系。孙z中，3j,左为坐标向量，对空间任意一点A,对应一个向量苏，且点A的位

置由向量感唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,Z),使以=xi+jj+zh在单位

正交基底｛i,/,幻下与向量流对应的有序实数组(x,山z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作

y,z),其中x叫做点A的横坐标，y叫做点4的纵坐标,z叫做点4的竖坐标.

X

注：空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标特点

点的位置X轴上.轴上Z轴上

坐标的形式(x,0,0)(0,必0)(0,0,z)

点的位置。孙平面内Oyz平面内平面内

坐标的形式（X，必。）(。，y»z)(x,0,z)

（2）空间点的对称问题

①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求

解.

②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.

（3）空间向量的坐标

向量的坐标：在空间直角坐标系Ox”中，给定向量。，作流=%由空间向量基本定理，存在唯一的

有序实数组（X，J，Z），使。=xi+W+水.有序实数组（x,山N）叫做”在空间直角坐标系。孙2中的坐标，可

简记作a=（x,wz）.

知识点10空间向量的坐标运算

1.空间向■的坐标运算法则

设向量〃=（“[,42,。3）,b=（bl,bl,力3）,xGR,那么

向量运算向量表示坐标表示

加法a+b伍1+加，。2+历，。3+力3）

减法a-b（aL加，”2-力2,。3一万3）

数乘Mi（痴，痴，痴）

数量积a-b4血+。2力2+。343

注意点：

⑴空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致.

（2）设A（xi,yi,zi）,Bg,加22），则H&=（X2—xi,yi—yifZ2-zi）.即一个空间向量的坐标等于表示此向

量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.

（3）运用公式可以简化运算：（。±〃）2=”2±24++"；（〃+力）•（〃-A）=q2一护.

⑷向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量.

2.空间向量相关结论的坐标表示

设02,。3）,—设岳），则有

⑴平行关系：当厚0时，a//b0i=2bBi=Xb』,42=动2,（3=）力3（幺GR）;

（2）垂直关系：〃_Lhdri-h=（）=71/>i+力2+。343=0.

(3)|a|=，^=7山+质+底・

a・b。1-1+。2力2+。3/3

(4)cos〈a,b>=丽=而用|福赤^

3.空间两点间的距离公式

在空间直角坐标系中，设尸1(X1,Vl,Zl)>尸2(X2,J2,Z2).

---->

(1)PlPz=(X2—Xl,J2-Ji,Z2—ZI).

(2)PiP2=IPiPT|=\)(X2—xi)2+(ji—y1)2+(zz—zi)2.

⑶若0(0,0,0),P(x,y,z),则I

知识点11空间中点、直线和平面的向量表示

1.空间直线的向量表示式

设4是直线上一点，。是直线/的方向向量，在直线/上取，曲=小设尸是直线/上任意一点,

(1)点尸在直线/上的充要条件是存在实数1,使力=口，即成=病友

(2)取定空间中的任意一点O,点尸在直线/上的充要条件是存在实数f.使砂=总+S.

(3)取定空间中的任意一点O,点尸在直线/上的充要条件是存在实数f,使分=次+讪.

2.空间平面的向量表示式

①如图，设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为〃和儿尸为平面夕内任意一点，由平面向量基本

定理可知，存在唯一的有序实数对(X,刃，使得种=xa+yb.

②如图，取定空间任意一点O,空间一点尸位于平面A8C内的充要条件是存在实数x,%使加=耐+工通

+晟.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.

③由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

如图，直线LLa,取直线/的方向向量。，我们称向量。为平面a的法向量.给定一个点A和一个向量

那么过点A,且以向量〃为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a•m=0}.

知识点12空间平行、垂直关系的向量表示

设“1，〃2分别是直线，2的方向向量，ni,112分别是平面“，夕的法向量.

线71//////2<=8xR,使得〃1=幺〃2证明线线平行的两种思路：①用基向量表示出要证明的

线注：此处不考虑线线重合的情况.但用向两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量

平量方法证明线线平行时，必须说明两直线共线的充要条件证明.②建立空间直角坐标系，通过坐

行不重合标运算，利用向量平行的坐标表示.

线〃ami_Lni=iin=0(1)证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向

面注：证明线面平行时，必须说明直线不在量垂直.

平平面内；(2)特别强调直线在平面外.

行

面“uni〃ii2<=8幺£R,使得111=^112(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法

面注:证明面面平行时，必须说明两个平面向量平行.

平不重合.(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证

行明.

线l\1120111⑴两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两

线直线的方向向量相互垂直.

垂(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂

直直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量

积为0.

线/i_Lauui〃ni<=S2ER,使得ui=2ni(1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的

面向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均

垂为零，从而证得结论.

直(2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量

的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量

积均为零，从而证得结论.

(3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向

量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向

量与平面法向量共线，从而证得结论.

面“_L//un1-L112田1，112=0(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、

面线线垂直去证明.

垂(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直

直

知识点13空间距离及向量求法

分类点到直线的距离

图形

语言

设已知平面a的法向量为向量迈

设u为直线I的单位方向向量，尸三/,~AP

是向量衣在平面上的投影向量，

文字=a,向量方在直线/上的投影向量为近

语言

(40=(a-n)w.),

注：实质上，〃是直线/的方向向量，点尸到平面〃

的距离就是犷在直线/上的投影向量砂的长度.

知识点14空间角及向量求法

角的分

向量求法范围

类

(1)两异面直线所成角的范

围是(o,f]

异面直设两异面直线所成的角为仇两直线的方向向量分别为“了，则

线所成(2)两异面直线所成的角与

cos^—|cos<u,V>1—向

的角其方向向量的夹角是相等或

互补的关系.

设直线/与平面”所成的角为〃，/的方向向量为平面”的法⑴线面角的范围为[o,f].

直线与U,

向量为则

平面所n,

⑵直线与平面所成的角等于

成的角

sinlcos(u,n)向其方向向量与平面法向量所

成锐角的余角.

(1)两个平面的夹角的范围是

平面”与平面/相交，形成四个二面角，把不大于F的二面角称为

一。,

两平面i]

这两个平面的夹角.设平面a与平面”的夹角为/两平面a,ft

的夹角

(2)两平面的夹角是两法向量

的法向量分别为ni，n2,则cos。一|cos(nun2)|一｝[篇

的夹角或其补角.

34【考点剖析】

考点一空间向■及其线性运算

I.(2023・重庆•高二期末)在长方体ABC。-A4cA中，BA+BC+CQ=()

A.D瓜B.D[8C.函D.BD；

【答案】D

【分析】根据向量的运算法则得到丽+前=丽，带入化简得到答案.

【详解】在长方体A8CQ—ARGA中，易知国=西，

所以西+配+国=胡+沅+函=而+皿=西.

故选:D.

2.(2023•湖南益阳•高二期末)在四面体。43c中，。4=&〈加=5,oC=dM为04的中点，N为棱灰7上

的点，且BN=2NC,贝1丽=()

।]_2

A.——a+—b+—c

233

c1_21-

C.——a+-rb+-c

233

【答案】A

【分析】利用空间向量加法运算，减法运算，数乘运算即可得到答案.

【详解】如图雨=丽一两=无+微_(0印

=OC+-CB--OA=OC+-O^--OC--OA=-OC+-OB--OA

32332332

故选：A

一1___

3.(2023・陕西商洛•高二期末(理))在平行六面体ABC。-A4GA中，点P在AC上，且4尸=^4。，若

AP=xA^+yAB+zADt则x+y+z=()

357

A.—B.IC.-D.一

444

【答案】C

【分析】根据空间向量的加法、减法、数乘运算即可求解.

如图，AP=AAi+AiP=AAl+^AiC=AAi+^(<AC-A<)

1AA+-(A4+AO)="A+-A4+-A。.

4、4、J4444

,311

所rr以iK=：,y=：,z=：,

444

所以x+y+z=?,

4

故选:c.

4.12023・福建师大附中高二期末）如图所示，在平行六面体人“。一4向。。/中，M为4。与EQ/的交点.

若而=£，而=6,丽=入则下列向量中与而相等的向量是（）.

1-17-

A.——a+—b+cB.—ciH—b+c

2222

-1-1r->1-1r-

C.——a——b+cD.—a——b+c

2222

【答案】A

【分析】根据空间向量线性运算的定义进行求解即可.

故选:A

考点二共线问题

5.（2023•全国•高二期末）已知空间向量3，B，且而="+办，"=-5〃+6/；，丽=7£-2月，则一定共

线的三点是（）

A.AB、CB.B、GDC.A、B、DD.4C、D

【答案】C

【分析】根据向量共线判断三点共线即可.

【详解】解：Bb=BC+CD=-5a+C）tj+7a-2ij=2a+4lj

2\a+2h)=2AI3,

又痛与8万过同一点B，

，A、B、。三点共线.

故选：C.

6.（2023・山西吕梁,高二期末）在平行六面体48。。—44。］。］中，点尸在4。上,若从户=［4<+,48+!从。:

444

,AP

则立{=（）

A.-B.-C.-D.1

3443

【答案】C

【分析】利用空间向量基本定理，结合空间向量加法的法则进行求解即可.

【详解】因为入户=A，+AP=+方+力=力.

京=9+而+配=干+通+赤，

所以有4户=JAC，因此粤=!，

4|4。|4

故选：C

7.（2023・上海松江・高二期末）设0-4比'是正三棱锥，5是“8。的重心，6是。5上的一点，且。6=36&,

^OG=xOA+yOB+zOC,则（x,y,z）为（）

（111、（333、

月“司B.匕7司

cG*)d-停抬)

【答案】A

【分析】如图所示，连接AG/交8c于点M,则M为BC中点，利用空间向量的运算法则求得

的=；西总)+；笳+：配，即得(k)，,z).

【详解】如图所示，连接A3交8C于点M则M为BC中点，

AM=1(^B+AC)=1(OB-2OA+OC),

AG.=^AM=^OB-2OA+OC\

因为OG=3GG

所以诙=3西'=3(西一。S),

・•・前=2砥.

则OC=3oG；=3(a4+AG；)=2(O/i+‘O^-2oA+Loc]=LoA+LoA+,。。，

44'，41333J444

.111

..A=—,V=—,Z=—,

4•44

故选:A.

考点三共面问题

8.【多选】(2023・广东江门•高二期末)若｛。,瓦即构成空间的一个基底，则下列向量共面的是()

A.a-b,a,a+bB.b-c,b,b+c

C.a-b,c,a+bD.a+b,a+b+c,c

【答案】ABD

【分析】根据空间向量的共面定理判断即可.

【详解】A：a=g[(d-囚)+("+5)],A是；

B:〃=([伍—，+,+，，B是；

C：｛瓦瓦司构成空间的一个基底,故工无法用4,一表示,C不是;

D：5=（1+5+乙）一（万+5）,D是；

故选：ABD

9.（2023•山东•巨野县第一中学高二期末）对于空间一点O和不共线三点48,C,且有6赤=方+2丽+3配，

则（）

A.O,A,B,。四点共面B.P,A,B,。四点共面

C.。，P,从C四点共面D.（J,P,A,从。五点共面

【答案】B

【分析】利用向量加减法，根据空间向量的加减法，可得而，而，定三个向量共面，可得答案.

【详解】由6加=3+2而+3反，得。户-3=2®后-而）+3（灰"-丽），

即A户=2方+3正，故"，而，前共面.

又因为三个向量有同一公共点P,所以P,A8.C共面.

故选：B.

1（）.（2023•上海市建平中学高二期末）已知A、3、C、Q、E是空间中的五个点，其中点A、氏。不共线，贝

〃平面4次了是“存在实数x、y,使得力巨=入乂&+）认。•的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合向量共面的判定定理即可得出答案.

【详解】若QE〃平面4BC,则瓦，福正共面，故存在实数x、y,使得DE=x/^+yAC

若存在实数工、6使得说=xA8+）认己贝I」力E，加，熊共面

则DE〃平面/WC或O£u平面ABC.

所以“OE〃平面/WC'是“存在实数大、），，使得力后=x/^+），AT的充分而不必要条件.

故选：A.

11.（2023•福建厦门•高二期末）已知,瓦可是空间的一个基底，AB=a+h，AC=a+c^AD=b+Ac»若

AB,C,。四点共面.则实数4的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【分析】由共面定理列式得通='配+)，而，再根据对应系数相等计算.

【详解】因为A8,C,O四点共面，设存在有序数对(x,y)使得而=式标+_>，高，则a+〃=x(a+c)+y(〃+/lc),

即〃+〃=xa+yZ?+(x+y4)c,所以得无=丁=1,4=-1.

故选：A

12.(2023•江西临川一中高二期末(理))已知空间向量1=(—2,1,帆)，/；=(1,-1,2),1=(—1,2,2/),若£,

b>2共面，则加+2/=()

A.-1B.0C.1D.-6

【答案】D

【分析】根据向量共面列方程，化简求得〃?+2/.

【详解】?W二，所以2万不共线，

由于3,I),"共面，

所以存在x,y,使d=x£+yb,

即(T,22)=x(-2,l,⑼+)，(1,T,2),

(-1,2,2/)=(-2x,x,处)+(y,-y,2)，)，

(-l,2,2r)=(-2x+y,x-y,nix+2y\,

-2x+y=-1x=-\

<x-y=2-y=-3n+2.(-3)=2/,

nix+2y=2tmx+2y=2t

即m+2l=-6.

故选：D

13.(2023•全国•高二期末)已知⑸=(2,1,-3),丽=(T,2,3),而=(7,6,2),若P,A,B,C四点共面,则

A=.

【答案】-9

【分析】由已知可得而，而，定天面，根据共面向量的基本定理，即可求解.

【详解】由P,A,B,C四点共面，可得再，两，斤共面，

/.PC=xPA+yPB=(2x—y.x+2y.-3x+3y)=(7.6.2)，

2x-y=7x=4

x+2y=6,解得•y=i

-3x+3y=2

故答案为：一9

考点四空间向■基本定理

14.（2023•重庆长寿・高二期末）如图，在斜棱柱ABC。-A8c。中,AC与8D的交点为点M,而=£,而=凡

A^=c,贝i」MC；=()

【答案】A

【分析】根据空间向量的线性运算用"A2表示出国即可得.

［详解］。也二丽-此号即+人明而+比+⑹=-^a-^b-c,

MC.=-QM=-a+-b+c.

,122

故选：A.

15.（2023•天津市第九十五中学益中学校高二期末）在四棱锥P-A8CO中，底面488是正方形，E为PD

中点，若。4=£，P*=b，PC=c>则瓶=（）

【答案】c

【分析】根据向量线性运算法则计算即可.

【详解】BE=^（BP+BD）=PZ?+BC}

1—.1一1一|一|一一1一一.

=——PB+-BA+-BC=——PB+-（PA—PB）+—（PC-PB）

222222

3—•I―.I—.13-1

=--PB+-PA+-PC=-d--b+-c.

222222

故透:C.

16.（2023•河南郑州•高二期末（理））已知三棱锥0—44。，点M,N分别为线段A从OC的中点，且丽=£,

OB=I^oc=c^用/；,%表示MN，则MN等于（）

C.^a-c-b）D.#+£+〃）

【答案】A

【分析】利用空间向量基本定理进行计算.

［详解［MN=ON-OM

故选：A

17.（2023・江苏无锡•高二期末）定义：设可是空间的一个基底，若向量方=痴+），％+23，则称有

序实数组（x,），,z）为向量力在基底，„}下的坐标.已知{7瓦可是空间的单位正交基底，

{Z+B匕-制+2可是空间的另一个基底，若向量,在基底加+£2-尻2+叫下的坐标为（1,2,3）.

⑴求向量万在基底｛£,瓦。下的坐标;

（2）求向量,在基底［a,b,c］下的模.

【答案】⑴（6,-1,6）

⑵历

【分析】⑴根据向量方在基底｛D-反£+24下的坐标为（1,2,3）,得出向量方在基底｛£,反耳下的坐标;

（2）根据向量了在基底忖,瓦斗下的坐标直接计算模即可.

(1)

因为向量方在基底｛-+反3-6,3+24下的坐标为（1,2,3）,

则〃=(G+B)+2(4)+3(4+2c)=6o-万+6c,

所以向后万在基底｛7员同下的坐标为（6,-1,6）.

⑵

因为向量力在基底｛©瓦4下的坐标为（6,-1,6）,

所以向量,在基底｛"'4下的模为同=击2+（-1）2+62=折

考点五空间向■的数■积及其性质的应用

18.（2023•广西钦州•高二期末（理））如图，正四棱柱是由四个凌长为1的小正方体组成的，A8是它的一

条侧棱，匕，…6是它的上底面上其余的八个点，则集合｛小=丽・彩，，=12…,8｝的元素个数（）

【分析】用空间直角坐标系看正因棱柱，根据向量数量积进行计算即可.

【详解】建立空间直角坐标系，A为原点，正四棱柱A的三个边的方向分别为X轴、＞轴和z轴,

A(0,0,0),8(0,0,1),设以外力为)，

则48-APi=(0,0,1).(xp.,yp.tzpj=ZP.=1

所以集合{中=而•乃」=1，2,...,8}={1},兀索个数为1.

故选：A.

19.(2023•福建省华安县第一中学高二期末)三棱锥A-BCD中，A8=AC=A0=2,/区4。=[,=?,

贝I」瓦加:.

【答案】-2

【分析】根据向量的减法运算，结合数量积的运算，可求得答案.

TTUUUUIW

【详解】由题意得=故A8-AO=0，

ABCD=AB(AD-AC)=ABAD-ARAC

=-2x2xcos—=-2,

3

故答案为：-2

20.(2023•河南焦作・高二期末(理))已知在四面体ABCO中，AB=2AC=3AD=6,

NEAC=NCAD=NDAB=g,则而.而二.

【答案】24

【分析】由线段的空间关系有前•丽=（衣-而）（正-通），应用向量数量积的运算律及已知条件即可求

BCBD.

【详解】由题设，可得如下四面体示意图，

则元初=国-砌（而-而卜止而-蔗■•雨-殖而十而，

乂A8=2AC=3AO=6,ZBAC=ZCAD=ZDAB=-,

3

------111

所以3cBO=3x2x——3x6x一一6x2x-+36=24.

222

故答案为：24

21.（2023•河南新乡•高二期末（理））已知空间向量而二（04,-2）,冈=2,（A反砌=菖，则而反=

（）

A.—>/5—5B.\/5—5C.—>/5+5D.>/5+5

【答案】A

【分析】根据向量的数展积的运算公式，求得丽•衣=-石，结合福•阮=丽•（近-而），即可求解.

【详解】由题意，空间向量而=1：0,1,-2）.|而卜2,（A反40=与，

可得入反定=网国8$曰=-6，

则A月•配=人分（4。一4分）=人口工。一|画2=—逐一5.

故选:A.

22.（2023・北京昌平,高二期末）已知正三棱锥P-A8C的底面A8C的边长为2,M是空间中任意一点，则

标•（丽+碇）的最小值为（：

A.——■B.—1C.D.—

222

【答案】A

【分析】利用转化法求向量数量积的最值即可.

【详解】解：设8C中点为。,连接〃O,设欣9中点为“，则=二/=且

22

丽（而+限卜两（2闲）=2（丽+网（丽+网

2（M，+〃力（Mli-HA)

4

____3

ql"与"重合时,MH”取最小值。.此时AM-（MB+MC）有最小值-5,

故选:A

23.（2023•江苏省扬州市教育局高二期末）如图，平行六面体ABCO-AAGA的底面A8CQ是边长为1的

正方形，且/AAO=NAAB=6（）。，人入=2,则线段AC1的长为（）

A.瓜B.VioC.VilD.26

【答案】B

__――UUU

【分析】先以例为基底表示空间向量AG,再利用数量积运算律求解.

【详解】解：福。=（而+而+M）'=（而+而+瓯/，

=AB+AD+而：+2ABAD+2AB-而;+2AD-

=l+l+4+2x|x2xcos60+2x]x2xcos60,

=10,

所以AG=Jib,

故选