第1讲 直线与圆

专题五解析几何

ZHUANTIWU

第1讲直线与圆

高考定位考查重点是直境间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与

圆的位置关系（特别是弦长问题），此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填

空题的形式出现.

真题感悟考点整合明考向扣要点

.....................................-.................................Y

---■■■真题感悟----

1.（2020•全国H1卷）点（（），-1）到直线）=攵。+1）距离的最大值为（）

A.lBS

C币D.2

答案B

解析设点A（0,-1）,直线/：），=攵（x+1）,由/恒过定点仅一1,0）,当

时，点A（0,—1）到直线），=网工+1）的距离最大，最大值为啦.

2.（2020•全国I卷）已知圆f+）,2_6x=。，过点（1,2）的直线被该圆所截得的弦的

长度的最小值为（）

A.lB.2

C.3D.4

答案B

解析圆的方程可化为（工-3）2+）2=9,故圆心的坐标为C（3,0）,半径r=3.

如图，记点M（l,2）,则当与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，

此时|MQ=2/，弦的长度/=2产不后=2陀R=2.

3.（多选）（2021・新高考I卷）已知点P在圆。-5）2+（），-5产=16上，点4（4,0）,

8(0,2),贝l」()

A.点P到直线AB的距离小于10

B.点2到直线人8的距离大于2

C.当NP曲最小时，|PB|=3也

D.当NP曲最大时，|P8|=3也

答案ACD

解析设圆(工一5)2+()，—5)2=16的圆心为M(5,5),半径为4.

由题意知直线4B的方程为]+1=1,即x+2y—4=0,

|5+2X5-4|

则圆心M到直线A8的距离d=-

所以直线AB与圆M相离,

所以点P到直线A8的距离的最大值为4+d=4+],

又4+/5+

=10,故A正确;

易知点P到直线AB的距离的最小值为d—4=卷一4,

脸-4<\陪—4=1,故B不正确;

过点8作圆M的两条切线，切点分别为MQ,如图所示，连接MB,MN,MQ,

则当乙PBA最小时，点尸与N重合,

\PB\=如脚二而W=752+(5—2)2—42=3啦；

当NP84最大时，点P与。重合，|P8|=3&,故C,D都正确.综上，选ACD.

4.(2021•全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线/：x=l

交C于P,。两点，且OP_LOQ.已知点M(2,0),且GM与/相切.

(1)求抛物线。，。用的方程；

（2）设4,A2,4是。上的三个点，直线44,4A3均与。M机切.判断直线AM3

与。M的位置关系，并说明理由.

解（1）由题意，直线x=l与C交于P,Q两点,且OPJ_OQ,设C的焦点为F,

P在第一象限，

则根据抛物线的对称性，得/POP=NQOF=45。，

所以尸（1,1）,2（1,-1）.

设抛物线C的方程为r=2px（p>0）,

一

得

则

加P--

1=下

所以抛物线C的方程为V=X.

由题意，圆心M（2,0）到/的距离即。M的半径，且距离为1,

所以。M的方程为。-2）2+.俨=1.

（2）直线4乂3与。M相切，理由如下：

设4（X1,户），41（X2,户），43（.丫3,户），

当4,A2,43中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3时，4A2,4143

均与。M相切，此时直线AM3与。M相切.

当XIWX2W.K3时，直线A\A2的方程为X—（），1+），2）），+'1户=0,

则,格+尸问

弋（V+"）2+1

即。彳一1）族+2yly2+3—）彳=0,

同理可得（W—1））*+2），炉+3—）*=0,

所以）?，户是方程。彳-1））2+2yiy+3—）彳=0的两个根，

nil.~2y\3->'?

贝|J）'2+”=Q,户户=齐二

直线A加的方程为x—（了2+/）丁+）型=0.

设点M到直线A/3的距离为d（d>0）,

则公告号『=匚钙=],从而d=f

1+（户+），3）]2）叩

所以直线AM3与。M相切.

综上可得，直线A/3与。M相切.

考点整合

1.两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线八，/2的斜率依存在，贝ij4〃加=>h=依，I-k=kik2=

—1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.

2.两个距离公式

(1)两平行直线/i：Ax十6y+G—0与11：Ar十协十C2—0间的距离d—

(2)点(次，州)到直线/：Ar+Q，+C=O的距离”=以#器;。

3.圆的方程

(1)圆的标准方程：(x—。)2+()，一2)2=/(厂>0),圆心为(a,b),半径为r.

(2)圆的一般方程：f+)，2+Dr+Ey+〃=0(》+£：2_4Q>0),圆心为(一冬一冬

：》+一一4尸

半径为r-----5-----•

4.直线与圆的位置关系的判定

⑴几何法：把圆心到直线的距离d和半径，•的大小加以比较：火厂=相交；d=9

相切；冷,•=相离.

(2)代数法：将圆的方程和宜线的方程联立起来组成方程组，利用判别式/来讨

论位置关系：/>0=相交；/=00相切；/<0<=>相离.

热点聚焦分类突破明势应…近言目…

热点一直线的方程

【例1】⑴若直线人：—+欧+6=0与以(。一2卜+3了+2a=0平行,则八与12

间的距离为()

A币B.华

C.小D呼

(2)直线依+)，+3〃-1=0恒过定点N,则直线2x+3y—6=0关于点N对称的直

线方程为()

A.2x+3y-12=0B.2v+3y+12=0

C.2x-3)，+12=0D.2x-3y-12=0

答案(1)B(2)B

解析(1)由/i〃/2得(。-2M=1X3,且〃X2aW3X6,

9

解得。=-1,l\：x—y+6=0,/2：x—y+z=0,

J

/i与h间的距离d=/

(2)由办+)，+3。-1=()可写〃。+3)+)，-1=0,

x+3=0,

令S,八可得工二-3,y=l,・・・N(—3,1).

［厂1=(),

设直线2x+3y—6=0关于点N对称的直线方程为

2x+3y+c=0(cW—6),

|一6+3-6|_|-6+3+。|

人^/4+9—。4+9’

解得(?=12或c=-6(舍去).

，所求直线方程为2x+3y+12=0.

探究提高1.求解两条直线平行的问题时，在利用4脱一4朋=0建立方程求出

参数的值后，要注意代入检脸，排除两条直线重合的可能性.

2.(1)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能

与x轴垂直，而极距式方程既不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴

的直线.

(2)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.

【训练1】(1)已知直线/经过直线hx+y=2与〃：匕一》=1的交点，且直线

/的斜率为一3则直线/的方程是()

A.3X—2)，-1=0B.3x-2y+1=0

C2t+3y—5=0D2L3)，+1=0

(2)已知直线k船一)，+4=0与直线8工+6-3=0伏W0)分别过定点A,B,乂

八，/2相交于点M,则IMAHM用的最大值为.

答案(i)C(2)y

x+y=2,x=1

解析(1)解方程组LI得I9

所以两直线的交点为(1,1).

2

因为直线/的斜率为一宗

所以直线/的方程为)，1=|(x1),即Zr13)，5=0.

(2)由题意可知，直线八：k—y+4=0经过定点4(0,4),

直线勿x+6一3二0经过定点8(3,0),

注意到直线人：无一y+4=0和直线〃：x+6一3=()始终垂直，点M又是两条

直线的交点，

则有MA.LMB.所以|MAF+|M8|2=|A8F=25.

故会当且仅当附川=眼用=平时取“=

热点二圆的方程

【例2】(1)已知圆。与x轴的正半轴相切于点A,圆心在直线)=2丫上，若点A

在直线x—,，-4=0的左上方且到该直线的距离等于啦，则圆C的标准方程为

()

A.(X-2)2+G，+4)2=4B.(X+2)2+°，+4)2=16

C.(X-2)2+G,-4)2=4D.(JV-2)2+()，-4产=16

(2)古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给

出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，则

该点轨迹是一个圆”.现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号

塔来构建一个特定的三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相

距4km,丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的小倍，则这个三角形信号覆盖区

域的最大面积(单位：1<0)2)是()

A.2小B.4小

C.3加D.4^6

答案(1)D(2)B

解析(1)、•圆C的圆心在直线)，=Zt上，

・••可设圆心C的坐标为3,2a).

•・•圆C与x轴正半轴相切于点A,

・・・。＞0,且圆C的半径r=2mA(at0).

•・•点4到直线工一)'-4=0的距离d=也

•'•t/—'~/^=A/2,解得。=6或〃=2,

・・・A(2,0)或2(6,0).

•・•点A在直线x—y—4=0的左上方，

・"(2,0),・・・C(2,4),r=4,

・••圆C的标准方程为(X—2)2+G，-4)2=16.

(2)以甲、乙两地所在直线为x轴，甲、乙两地所连线段的垂直平分线为y轴建立

平面直角坐标系.

设甲、乙两地的坐标分别为(-2,0),(2,0),丙地坐标为(x,y)�),则

7(x+2)2+尸97(工-2)2+),2,整理得(工一4)2+产=120，20),可知丙地

所在的圆的半径为所以三角形信号覆盖区域的最大面积为义乂4乂2小=

4小.

探究提高1.求圆的方程主要方法有两种：(1)几何法求圆的方程，根据圆的几何

性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法求圆的方程时，

若已知条件与圆心(〃，份和半径厂有关，则设圆的标准方程，否则选择圆的一般

方程.

2.第(2)题是一道以阿波罗尼斯圆为背景的数学应用问题，解题关键是先利用题设

条件给出的关系式，求出阿波罗尼斯圆的方程，然后应用圆中的几何量求解三角

形信号覆盖区域的最大面织.

温馨提醒解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.

【训练2】(1)(2020・北京卷)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的

距离的最小值为()

A.4B.5

C.6D.7

/9］的左、

(2)已知A,8分别是双曲线C：右顶点，P(3,4)为C上一点,

则△附8的外接圆的标准方程为.

答案(l)A(2)/+()，-3产=10

解析(1)由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3,4)共线时，圆心到原

点的距离最小且最小值为"min=7(3—0)?+(4—0)2—1=4.

916

⑵，・・P(3,4)为。上一点，~-y=l,

解得〃z=l,则3(1,0),A(-l,0),

4—0

，痴=宣=2,8尸的中点为(2,2),

P8的垂直平分线方程为小)，=一/%一2)+2,

A8的垂直平分线方程为/2：x=0,

则圆心是人与/2的交点M,联立八与，2方程，

x=0,

解得，

口一3,

则M(0,3),r=\MB\=yj\+32=^10,

外接圆的标准方程为『+()，-3)2=10.

热点三直线(圆)与圆的位置关系

考向1圆的切线问题

【例3】(1)已知直线y=h+伏攵＞0)与圆/+)，=1和圆(x—4)2+,，=1均相切,

则k=,b=.

(2)(2021.天津卷)若斜率为小的直线与)，轴交于点A,与圆f+()，-1产=1相切于

息B,则|A8|=.

(3)(2021・阜阳质检)直线/是圆O：『+丁=4的切线，且直线/过点A(S，—1)，

点Q是直线/上的动点，过点Q作圆M：f+4■x+〕，2=0的切线QT,T为切

点，则线段QT的长度的最小值为.

答案⑴平一芈⑵⑺(3小

解析(1)由题意知，直线依一y+h=0伙＞0)分别与圆心坐标为(0,0),半径为1,

及圆心坐标为(4,0),半花为1的两圆相切，

1,①

y/R+i

可得1

|44+加

1,②

A/R+I

由①②，解得〈

(2)设直线A8的方程为>=叱玄+从则点A(0,b).

由于直线A8与圆f+()-1)2=l相切，且圆心为C(0,1),半径为1,

HI

7(小)？+(―1)

解得b=—\或b=3,

所以|AQ=2.

因为由C]=l.故|A8|二d的。2一|8。2=市

(3)因为4小，-1)的坐标满足圆。的方程，所以点A在圆。上.

所以过点A的切线/的方程为，5X一)，-4=0.

由f+4小工+)2=0,得Q+2s)2+产=12,

易知圆M的圆心为(一2#,0),半径为2s.

连接MT,M。，在RtZ\MQ7中，

\Q7]=N|MQ|2一|M7]2=N|MQ|2一12.

因为|MQ的最小值是点M到直线/的距离d,

|A/3X(-2^3)-0-4|

yj(^3)2+(-1)2，

所以线段QT的长度的最外值为|Q7]min=N52-12=Sl

探究提高1.过一点求圆的切线，要考虑此点是在圆上还是在圆外.若点(M),沏

在圆上，则切线只有一条，此时过圆/+)，2=户(厂〉0)上一点(xo,州)的切线方程为

仙+.yoy=*,过圆(x—ay+()，一b)z=/(r>0)上一点(xo,yo)的切线方程为(xo—a)(x

(j^o—b)(y—/?)=r2;若点(xo,和)在圆外，则切线有两条.

2.直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半

径”建立关于切线斜率的等式，但一定要注意斜率不存在的情形.

【训练3】(1)(2021•西安模拟)过点。(1,一2)作圆C(1一1)2+产=1的两条切

线，切点分别为A,B,则弦A8所在直线的方程为()

A.2y-l=0B.2y+l=0

C.x+2y~1=0D.x-2y+1=0

(2)(2021.晋中二模)过点4(1,3),作圆f+V=2的两条切线，切点为8,C,O

为坐标原点，则四边形OBAC的面积为.

答案(DB(2)4

解析(1)由圆C：(无-1)2+)2=1的方程可知其圆心为C(l,0),半径为1.

连接CD,以线段CO为直径的圆的方程为(x—l)(x—l)+(y+2)(y—0)=0,整理

得(x—l)2+(y+l)2=l.

将两圆的方程相减，可得公共弦48所在直线的方程为

2y+l=0.

(2)由切线的性质，aAOB为直角三角形，

且S四边杉OBAC=2SAOAB.

••,|04|=、12+32=①,|。8|=地,

.・.,阴=3。川2—|。阴2=2啦,

则S四也杉。AAC=2SZ^AB=2X；X2啦Xg=4.

考向2直线与圆的弦长问题

【例4】在直角坐标系xOy中，曲线)，=/+〃比一2与x轴交于A,8两点，点

C的坐标为(0,1).当〃?变化时，解答下列问题：

(1)能否出现4c_L8C的情况？说明理由；

(2)证明过4,B,。三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

(1)解不能出现AC_L8C的情况，理由如下：

设4箱，0)，8(x2,0),则xi,X2满足方程r+m—2=0,

所以x\xi=-2.

又。的坐标为(()，1),

故AC的斜率与BC的斜率之积为二一•—二T

所以不能出现AC_L8C的情况.

(2)证明8c的中点坐标为你3可得BC的中垂线方程为)，一尹《工一舒

由(1)可得XI+12=一，〃，

所以A8的中垂线方程为尸-y.

②

又jd+mx2—2=0,(3)

由①②③解得尸一掌y=—J.

所以过A,B,。三点的圆的圆心坐标为(一勺，一匀，半径一号王2

故圆在)，轴上截得的弦长为2、y户一(软=3,

即过4,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

探究提高1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题

几何化，利用数形结合思想解题.

2.与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径厂，圆心到直线的距离4,

及半弦长(构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.

【训练4】(1)(2021.成都诊断)已知圆C。-2)2+()，-3>=9,过点M(l,1)的

直线/与圆C交于A,B两点，弦长依用最短时直线/的方程为()

A.2A—y-1=0B/+2y—8=0

C.2x-)，+1=0D.x+2y-3=0

(2)已知圆C的圆心在直线x+y=0上，网C与直线x-y=0相切，且在直线x

-y-3=0上截得的弦长为加，则圆C的方程为.

答案(1)D(2)。-1)2+。+1>=2

解析(1)根据题意，圆C：。-2)2+。-3)2=9的圆心C为(2,3),半径r=3,

当CM与A3垂直时，即M为A3的中点时，弦长|AB|最短，

3—11

此时kcM=^~~~=2,则依/?=-5，

2—1Z

此时直线A8的方程为)，-1二-1(x-l),变形可得x+2y—3=0.

(2)设圆C的圆心C(a,一〃)，其半径为匚

•・•点C到直线x—y—3=0的距离

点C到x-y=0的距离r=J----g----[=\[2\a\,

••4+(乎)2=已即0”2+%2〃,

解得CI—1,

则圆C的圆心为C(l,-1),半径r=/，

・•.圆C的方程为(x—1)2+()，+1)2=2.

专题训练对接高考求落实迎高考

B巩固提升

一、选择题

1.设;l£R,则以=一3”是“直线2&+«-1»=1与直线6Y+(1T))，=4平行”

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若直线2/uX-I(2l)y=1与直线6A-I(12)y=4产行，

f21(1-2)=6a-i),

则，,、,、解得％=—3或2=1.

[2AX(-4)W6义(-1),

又。=—3"是。=-3或7=1”的充分不必要条件，

则。=一3”是“直线2A•+(2—1))=1与直线6x4-(1-；)y=4平行”的充分不

必要条件.

2.过点A(l,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()

A..y-x=1B.y+x=3

C.2x—y=0或x+y=3D.2.\—y=0或y—x=1

答案D

解析当直线过原点时，可得斜率为』=2

故直线方程为y=2x,即2x-)，=0,

当直线不过原点时，设方程为？+—匕=1,

a—a

1?

代入点(I,2)可得力一端=1,解得。二一1,

方程为x—y+1=0,

故所求直线方程为2%一y=0或)-4=1.

3.在平面内，A,8是两个定点，。是动点.若废>反?=1,则点。的轨迹为()

A.圆B.椭圆

C.抛物线D.直线

答案A

解析以48所在直线为彳轴，线段48的垂直平分线为)，轴建立平面直角坐标

系，

设点A,8分别为(一00),3,0)(〃>0),点C为(x,剪，

=

则AC=(x+a,y)»BC(A—a,y)t

所以At病=。-4)。+〃)+t)，=/+)2—〃2=1，整理得/+)?=/+]

因此点C的轨迹为圆.故选A.

4.已知直线/过点A3,0)且斜率为1,若圆/+产=4上恰有3个点到/的距离

为1,则a的值为()

A.3$B.±36

C.±2D.±^2

答案D

解析直线/的方程为y=x-a,即工一厂〃二().

圆上恰有三个点到直线/的距离为1,可知圆心到直线的距离等于半径的一半，

则喘=1,a=±\[2.

5.若过点Q,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为

或

A.

.5比5

3小D巡

C.

,5u'5

答案B

解析因为圆与两坐标轴都相切，且点(2,1)在圆上,

所以可设圆的方程为(X—0)2+()，一〃)2=>0),

则(2—幻2+(1一。)2=拼，解之得。=1或a=5.

所以圆心的坐标为(I,1)或(5,5),

所以圆心到直线2r-y-3=0的距离

,|2X1-1-3|2小上,12X5-5-312小

"=港+（7）尸5或d=5,

6.设点P是圆(x+1)2+。-2)2=2上任意一点，则点P到直线x—y—1=0距离的

最大值为()

A.啦B.2啦

C.3^2D.2+26

答案C

解析因为1)2+()，—2)2=2的圆心坐标为(-1,2),半径为r=也因此圆

心到直线x—)，-1=0的距离为d=-f=====2yl2,因此点尸到直线x-y

yjl”+(—1)z

—1=0的距离的最大值为d+r=3小.

7.(多选)(2021•新高考II卷)已知直线/：av+/?.y—r2=0与圆C：点A(a,

6),则下列说法正确的是()

A.若点4在圆C上，则直线/与圆C相切

B.若点A在圆C内，则直线/与圆C相离

C.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离

D.若点A在直线/上，则直线,与圆C相切

答案ABD

解析圆心C(0,0)到直线/的距离

若点/?)在圆上，则。》，所以

A(a,C2+2=/d=业2+匕2|r|，则直线/与圆C

相切，故A正确;

若点A(a,〃)在圆C内，则/+力2V/，所以△=行方>|r|,则直线/与圆C相

离，故B正确;

若点在圆外,则/+〃>，所以</=

A(a,b)C/+按；<|4则直线/与圆C相

交，故C错误;

若点加在直线/上，则/+/一/即/+〃=/,所以〃=r

A(m=0声+乂凡

直线/与圆C相切，故D正确.故选ABD.

二、填空题

8.已知直线工一切)，+8=0和圆f+)2=/(r>0)相交于A,8两点.若[4阴=6,则

，•的值为.

答案5

解析依题意得，圆心(0,0)到直线工一审)，+8=()的距离

,________[8|________/

d——If--------4,

，一+(一小)2

因此户=/+。等)=25,又r>0,所以r=5.

9.已知小/2是分别经过4(1,1),6(0,一1)两点的两条平行直线，当人,/2间的

距离最大时，直线A的方程是.

答案x+2y-3=0

解析当直线A8与/1,/2垂直时，4与/2间的距离最大.

—]I

由41，D,仇。，T)得人=布丁=2・

...两平行直线的斜率女=一；.

二.直线/i的方程是y—1=一；(x—1),即x+2y—3=0.

10.(2021•河南名校大联考)已知曲线)，=N一炉+4工一3与直线如一)，+人一1=0有

两个小同的交点，则实数k的取值范围是.

答案K4)

解析曲线y=y[--?-i-4x—3整理得(x—2)2+)，=1,则该曲线表示圆心为

(2,0),半径为1的圆的上半部分，直线乙一)，+左一1=0过定点A(—l,-1).

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如图，当攵£的，&2)时，曲线与直线有两个不同的交点，易得h=],依=彳，

所以实数k的取值范围是

11.(2021•淮南模拟)已知圆O：『+产=1,设点P(/,4)为直线y=4上一点，过点

P作圆。的切线，切点分别为M,N,则直线MN所过定点的坐标为.

答案(()，；)

解析设M(xi,yi),Ng”).

因为M是切点，在圆上，所以以点M为切点的切线方程为xix+yiy=l,

因为PQ,4)在切线PM上，所以巾+4户=1,

所以切点M(xi,