第5节 古典概型、概率的基本性质

第5节古典概型、概率的基本性质

考试要求1.理解古典蹴型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的样

本点及事件发生的概率.3.当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化为求几个

互斥事件的概率之和或其对立事件的概率.

知识诊断•基础夯实

【知识梳理】

1.古典概型

具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古

典概型.

(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个:

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相笑.

2.古典概型的概率公式

设试验E是古典概型，样本空间。包含〃个样本点，事件A包含其中的攵个样本

kJi(A)

点，则定义事件A的概率W)=;=—77F-

其中，力(A)和〃(。)分别表示事件4和样本空间。包含的样本点个数.

3.概率的性质

性质1：对任意的事件A,都有OWP(A)W1；

性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(O)=1,尸(。)=0；

性质3：如果事件A与事件B互斥，那么PC4U8)=P(A)+P(B)；

性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A),P(4)=l—P(8)；

性质5:如果那么尸(A)WP(B),由该性质可得，对于任意事件A,囚为。CAE

。，所以0WP(4)Wl.

性质6：设48是一个随机试验中的两个事件,有P(4口8)=尸(4)+尸(3)一尸508).

［常用结论］

概率的一般加法公式尸5。8)=。5)+。(8)一尸(408)中，当AA3=。，即A,B

互斥时，P(AU3)=P(4)+P(Z?),此时P(An3)=0.

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其样本点是

“发芽与不发芽”.()

(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果

是等可能事件.()

⑶随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()

(4)概率为0的事件一定是不可能事件.()

答案(1)X(2)X(3)J(4)X

解析对于(1),发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2),三个事

件不是等可能，其中“一正一反”应包括“正反”与“反正”两个样本点，所以

(2)不JF确：对于(4),概率为0的事件有可能发生，所以(4)不F确.

2.(必修二P237例7改编)单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A,

B,C,D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选

择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率

是________.

答案!

解析选择一个答案有选A,选B,选C,选D共4种等可能的结果，故答对的

概率P=\.

3.袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白

球的概率为.

3

答案5

解析完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，一共有Clo=lO种取法，

取到白球有Cg=6种取法，

则取到白球的概率0=5=|.

4.抛掷一枚骰子，记A为事件”出现点数是奇数”，B为事件”出现点数是3的

倍数”，则P(AUB)=,P(AnB)=.

处口案呆-3-6

解析抛掷一枚骰子，样本空间出现的点数是

{1,2,3,4,5,6},

2

事件4U8包括出现的点数是{1,3,5,6}这4个样本点，故尸（AUB）=§；

事件AG8包括出现的点数是{3}这1个样本点，故P（AG8）=：.

考点突破•题型剖析

考点一古典概型

例1（1）（2022.新高考I卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个

数互质的概率为（）

11

A6B3

C，2D/j

答案D

解析从7个整数中随机取2个不同的数，共有C彳=21（种）取法，取得的2个数

互质的情况有{2,3},{2,5},{2,7},{3,4）,{3,5},{3,7）,{3,8},（4,

5},{4,7},{5,6},{5,7},{5,8},{6,7},{7,8},共14种，

根据古典概型的概率公式，得这2个数互质的概率为注14，2

（2）（2023・大连测试）五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成

部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五种属性的物质组成，如图，

分别是金、木、水、火、土这五行彼此之间存在的相生相克的关系.若从这五行中

任选不同的两行，则这两行相克的概率为.

答案；

解析依题意，从这五行中任选不同的两行，共有Cg=10（种），其中两行相克的

有土木、金木、水火、火金、水土，共5种，

则这两行相克的概率为福君

感悟提升求样本空间中样本点个数的方法

(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x,y)可看成是有序

的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.

(3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识.

训练1(1)(2023・济南质检)在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，

2个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出2个球，那么至少有1个

红球的概率为()

A.|B.|

屋

v口15515

答案B

解析一次随机取出2个球，样本点总数为以=15,至少有1个红球包含的样本

点个数为&&+◎=%

93

所以至少有1个红球的概率?

(2)(2023・长沙联考)一个盒子里装有除颜色外完全相同的6个小球，其中有编号分

别为1,2,3,4的红球4个，编号分别为4,5的白球2个，从盒子中任取3个

小球(假设取到任何一个小球的可能性相同).则在取出的3个小球中，小球编号最

大值为4的概率是.

9

答案20

解析基本事件总数〃=&=20,若编号为4的球有一个被取到，有Cj・G=6种

取法；

若编号为4的两个球都被取到，有C!=3种取法.

故小球编号最大值为4的基本事件数为9,

所以小球编号最大值为4的概率为4.

考点二概率基本性质的应用

例2从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如表所示:

红灯个数0123456个及6个以上

概率0.020.1a().350.2().1().03

(1)求表中字母。的值；

(2)求至少遇到4个红灯的概率；

(3)求至多遇到5个红灯的概率.

解⑴由题意可得0.02+0.1+a+0.35+0.2+0.1+0.03=1,解得a=0.2.

⑵设事件A为遇到红灯的个数为4,事件8为遇到红灯的个数为5,

事件C为遇到红灯的个数为6个及6个以上，

则事件“至少遇到4个红灯”为4U3UC,

因为事件A,B,C互斥,

所以尸(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.1+0.03=0.33,

即至少遇到4个红灯的概率为0.33.

⑶设事件。为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件D.

则P(D)=1-P(D)=1-0.03=0.97.

感悟提升复杂事件概率的求解方法

(1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互

斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.

⑵当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立

事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题.

训练2(多选)(2023•广东名校联考)中国篮球职业联赛中，某男篮球运动员在最近

几次参加的比赛中的得分情况如下表：

投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数

1005518

记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A,投中三分球为事件8,没投中

为事件C,则()

A.P(A)=0.55B.P(3)=0.18

C.P(C)=0.27D.P(^UQ=0.55

答案ABC

5518

解析由题意可知P(4)=J^=().55,P(B)=yQ0=().18,

・・,事件AUB为事件。的对立事件，且事件A,B,C两两互斥，

：.P(Q=\-P(AUB)=\-P(A)-P(B)=0.27,

・・・P(BUC)=P(B)+P(O=0.45.

考点三古典概型的综合应用

例3(2023・济南调研)某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束

后随机抽取120名学生对讲座情况进行调杳，其中男生与女生的人数之比为1：1,

抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活动不满意.

⑴完成下面2义2列联表，并依据小概率值。=0.10的独立性检验，能否以此推断

对讲座活动是否满意与性别有关；

满意情况

性别合计

满意不满意

男生

女生

合计120

(2)从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层随机抽样的方法抽取7名学生,

再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2

名男生与1名女生的概率.

公士皿a•口7〃(ad-be)2_,,,,

参考数据：/=(“+〃)(<+")(〃+「)(〃+〃)’其中〃=〃+b+c+"

a0.100.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

Xa

解(1)2X2列联表如表所示.

满意情况

性别合计

满意不满意

男生402060

女生303060

合计7050120

零假设为儿：对讲座活动是否满意与性别无关.

根据列联表中数据,

120X(40X30-20X30)224

经计算得尤=

60X60X70X50-=y^3,429>2.7O6=xo.io,

根据小概率值。=0.10的独立性检验，我们推断Ho不成立，即认为对讲座活动是

否满意与性别有关.

(2)由(1)知，在样本中对讲座活动满意的学生有70人，从中抽取7人，

7

“男生满意”的人中占40X而=4(人)，

7

“女生满意”的人中占30X5=3(人)，

记“恰好抽中2名男生与1名女生”为事件A,

所以恰好抽中2名男生与1名女生的概率为老.

感悟提升有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概

率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给

出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.复杂事件的概率可将其转化为互斥

事件或对立事件的概率问题.

训练3某城市100户居民的月平均用电量(单位:千瓦时)以口60,180),[180,200),

[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直

方图如图.

频4

组W

气喘就二

Oifi)UD2(ll)22l)2U>2ri)2：D：»)

月平均用电量/千瓦时

(1)求直方图中x的值；

(2)求月平均用电量的众数和中位数；

(3)在月平均用电量为[240,260),[260,280),[280,300]的三组用户中,用分层

随机抽样的方法抽取6户居民，并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，

求参加节目的2户来自不同组的概率.

解(1)由(0.0020+0.0095+0.0110+0,0125+x+0.0050+0.0025)X20=1得x

=0.0075,

所以直方图中x的值是00075.

A业日220+240

(2)月M平均用电量的众数是-------=230.

因为(0.0020+0.0095+0.0110)X20=0.45<0.5,

且(0.0020+0.0095+0.0110+0.0125)X20=0.7>0.5,

所以月平均用电量的中位数在［220,240)内，设中位数为〃，由(0.0020+0.0095

+0.0110)X20+0.0125X(4—220)=0.5,解得。=224,

所以月平均用电量的中位数是224.

(3)月平均用电量为1240,260)的用户有0.0075X20X100=15(^),

月平均用电量为1260,280)的用户有0.005X20X100=10(户),

月平均用电量在［280,300］的用户有0.0025X20X100=5(户).

所以在［240,260),［260,280),［280,300］中分别抽取3户、2户和1户.

设参加节目的2户来自不同组为事件A,则P(A)=0a+C对+℃|=||

分层精练•巩固提升

【A级基础巩固】

1.(多选)下列试验是古典概型的是()

A.在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率

B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为

白球的概率

C.向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率

D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率

答案BD

解析A中，在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率，不符合等可能性；

B中，从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球或黑球的概率是等可能的；

C中，向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率，不符合有限性；

D中，老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的

概率是等可能的.

2.一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是()

3

CjD.O

答案A

解析一枚硬币连掷2次，基本事件有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）

2I

共4个，而只有1次出现正面的包括（正，反），（反，正），故其概率为彳=看

3.（2023・湖南名校联考）甲、乙、丙三人被系统随机预约到A,B,。三家医院接种

疫苗，每家医院恰有1人预约.已知A医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体疫

苗，B医院接种的是需要打两针的灭活疫苗，C医院接种的是需要打三针的重组

蛋白疫苗，则甲不接种只打一针的腺病毒载体疫苗且丙不接种需要打三针的重组

蛋白疫苗的概率等于（）

12

A亏B-3

D.

答案C

解析甲、乙、丙三人被系统随机预约到A,3,C三家医院接种疫苗，每家医院

恰有1人预约的情况有A$种.则甲只能去医院8或C,丙只能去医院A或以当

甲去医院8时，丙只能去医院A；

当甲去医院。时，丙可以去医院A也可以去医院B

所以满足条件的情况有3种，所求的概率/

4.（2023・重庆诊断）已知王大爷养了5只鸡和3只兔子，晚上关在同一间房子里，

清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的

概率为（）

5八5

A.苏B.商

―15-15

C56D28

答案D

解析5只鸡和3只兔子走出房子，共有At种不同的走出方案，

其中恰有2只兔子相邻走出房子共有AgA执薪中走出方案，

A5A5A?15

所以恰有2只兔子相邻走出房子的概率黄=装.

5.（2023•南京模拟）有5个形状大小相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次

性随机取2个球，则下列说法正确的是（）

A.“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件

B.“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件

C.“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率

D.”至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率

答案C

解析对于A、B,两事件能同时发生，不是互斥事件，A、B错误；

对于C,“至少取到1个红球”的概率p=—Q':=0.9,“至少取到1个蓝球”

C彳+0C1

的概率P=J浮=。7故C正确；

C?+C!Cl

对于D,“至多取到1个红球”的概率P=eg~=个7,“至多取到1个蓝球”

的概率空詈0=0.9,故D错误.

6.北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面

投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别

为天枢、天璇、天矶、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名

天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概

率为（）

A1。

A.五B.五

C旦

=42D.五

答案B

解析因为玉衡和天权都没有被选中的概率为

尸=1H?，

所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为1一黑=点

7.（多选）若随机事件A,B互斥，A,8发生的概率均不等于0,且P（A）=2一小

P（B）=4a—5,则实数〃的值可以是（）

人13「5

A.万B1

一4-31

C3D24

答案CD

0<P(A)<1,

解析由题意可知0<P(B)<1,

P+P(B)Wl,

V〃V2,

0<2-^<1,

即0<4«-5<1,叫4<a<2f

3。一3W1,

3

54

解得故选CD.

8.（2022•全国乙卷）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、

乙都入选的概率为.

3

答案10

解析从甲、乙等5名同学中随机选3名,

有cS种情况，其中甲、乙都入选有G种情况，

所以甲、乙都入选的概率。*=需

9.（2023.八省八校联考）某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富

多彩的兴趣拓展活动.现有甲、乙、丙、丁四人，乒乓球、篮球、足球、羽毛球、

网球五项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的从中选择一项活

动，则四人中恰有两人参加同一活动的概率为.

“g72

口水T25

解析根据题意，每个人有5种选择，四人共54种选法，其中恰有两人参加同一

种活动,

有C3&A?种选法，故四人中恰有两人参加同一种活动的概率为笔显=朵.

10.(2023・沈阳检测)某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行

3

民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5：3,其中甲班中女生占乙班

中女生占;，则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是

答案

3

解析依题意，设甲、乙两班的人数分别为5〃，3刀，则甲班中女生人数为5〃X^=

3〃，

乙班中女生人数为

则该社区居民遇到一位民意调查的同学是女生的概率是咨

3〃十3〃，

11.2021年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、

大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、

中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层随机抽样的方法,从该单位上述

员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.

(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

⑵抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A,B,

C,D,E,F.享受情况如下表，其中“O”表示享受，“X”表示不享受.现从这

6人中随机抽取2人接受采访.

ABCDEF

子女教育OOXOXO

继续教育XXOXOO

大病医疗XXXOXX

住房贷款利息OOXXOO

住房租金XXOXXX

赡养老人OOXXXO

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M

发生的概率.

解(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6：9：10,由于采用分层随机抽样的

方法从中抽取25位员工，

因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、1()人.

(2)①从已知的6人中随机抽取2人的样本空间为{(4,B),(A,O,(A,D),(A,

E),(A,F),(B,C),(B,。)，(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),⑴,

E),(。，F),(E,F)},共15个样本点.

②由表格知，符合题意的样本空间为{(A,B),(A,D),(A,E),(A,F),(B,。),

(8,E),(B,F),(C,E),(C,F),(。，F),(E,0},共11个样本点，

所以事件M发生的概率P(历)=4.

12.某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随

机抽取10()人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩

的频率分布直方图.

注：分组区间为[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]

⑴若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？

(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取5人,从这5人中任意选

取2人，求至少有一名男生的概率.

解(1)由题可得,男生优秀人数为100X(0.01+0.02)X10=30,女生优秀人数为

100X(0.015+0.03)X10=45.

（2）因为样本容量与总体中的个体数的比是而左=白，所以样本中包含的男生人

数为30X*=2,女生人数为45X*=3.

JLJJLJ

则从5人中任意选取2人共有C?=10种，抽取的2人中没有一名男生有C?=3

种，则至少有一名男生有eg—Cg=7种.故至少有一名男生的概率为P=-^.

【B级能力提升】

13.（多选）（2023・武汉质检）为弘扬文明、和谐的社区文化氛围，更好地服务社区群

众，武汉市某社区组织开展了“党员先锋”“邻里互助”两个公益服务项目，其

中某个星期内两个项目的参与人数（单位：人）记录如下：

星期星期星期星期星期

日期星期一星期二

四五六日

党员先锋24272625377672

邻里互助11131111127132143

对于该星期内的公益服务情况，下列说法正确的有（）

A.“党员先锋”项目参与人数的极差为52,中位数为25

B.“邻里互助”项目参与人数的众数为11,平均数为64

一4

C.用频率估计频率，“党员先锋”项目连续3天参与人数均不低于25的概率为方

D.用频率估计概率，“邻里互助”项目连续2天参与人数均不低于该项目参与人

数的平均数的概率为g

答案BD

解析对于A,将“党员先锋”项目该星期内的参与人数从小到大排列，即24,

25,26,27,37,72,76,则“党员先锋”项目参与人数的极差为76—24=52,

中位数为27,故A错误：

对于B,“邻里互助”项目参与人数的众数为11,平均数为3x（11+13+11+11

+127+132+143）=64,故B正确；

对于C,在该星期内任意抽取连续的3天，易知共有5种情况，其中“党员先锋”

项目连续3天参与人数均不低于25的情况有（星期二、星期三、星期四），（星期三、

星期四、星期五），（星期四、星期五、星期六），（星期五、星期六、星期日），共4

4

种情况，故所求概率为不故C错误；

对于D,由B可知，“邻里互助”项目参与人数的平均数为64,在该星期内任意

抽取连续的2天，易知共有6种情况，其中“邻里互助”项目连续2天参与人数

均不低于64的情况有(星期五、星期六)，(星期六、星期日)，共2种情况，

故所求概率为"=或故D正确.

14.(2023・佛山检测)为了解本地区义务教育阶段学生中抄袭过作业的学生比例，对

随机抽出的2000名学生进行了调查，因问题涉及隐私，调查中使用了两个问题.

问题1：你的阳历生日日期是不是偶数？

问题2：你是否抄袭过作业？

调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有除颜色外完全一样的50个白球和

50个红球的不透明袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个球，摸出的球看到颜色

后放1回袋中，只有摸球者自己才能看到摸出球的颜色.要求摸到白球的学生如实回

答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，答案为“是”的人从盒子

外的小石子堆中拿一个石子放在盒子中，回答“否”的人什么都不做.由于问题的

答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调

查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.

调查结果为2000人中共有612人回答“是”，则本地区义务教育阶段学生中抄

袭过作业的学生所占百分比最接近(提示：假设一年为365天，其中日期为偶数的

天数为179)()

A.10.2%B.12.2%

C.24.4%D.30.6%

答案B

解析由题意可知，每个学生摸出白球或红球的可能性都是3,即大约有1000人

回答了第一个问题，另100()人回答了第二个问题，在摸出白球的情况下，回答

179

“是”的概率为漏20.49(),所以在回答第一个问题的1000人中，大约有490

人回答了“是“，所以可以推测在回答第二个问题的1()0()人中，大约