第五章向量代数与空间解析几何

第五章向量代数与空间解析几何

§5.1向量代数

(甲)内容要点

一、空间直角坐标系

二、向量概念

a=xi+yj+zk

坐标(x,y,z)

卜卜J/+)/+z2

模

方向角a，B,/

方向余弦cosa,cos/7,cos/

cosa=；cos£=/”---；cosy=/=

yjx2+y2+z2y]x2+y2+z2y]x2+y2+z2

三、向量运算

设。b(x2,y2,z2)；c(.%j3，Z3)

1.加(减)法a±h=(x]±x2y]±y2^]±z2)

2.数乘Xa=.Ayx,)

—>—>

3.数量积(点乘)(i)定义a・b=ahcosza,b

(ii)坐标公式。・b=xix2+y[y2+ziz2

—>—>—>

(iii)重要应用1­b=。=a1.b

4.向量积(叉乘)

(i)定义|axb

。x〃与。和〃皆垂直，且。，b,。x/?构成右手系

->TT

ijk

—>—>

(ii)坐标公式。x/?=七MZ|

>2Z2

—>—>->—>—>

(iii)重要应用axb=0Oa,b共线

5、混合积(i)定义(a,b,c)=(ax〃)・c

TTTX，MZ>

(ii)坐标公式(Q,Z?,C)=々)’2Z2

当%23

(iii)(m］表示以7b,1为棱的平行六面体的体枳

\/

(乙)典型例题

例1、点P到过A,B的直线之间的距离

—>—>

PAxPB

d=------------

AB

例2、点P到A,B,C所在平面的距离

If港FB,PCI

因为四面体PABC的体积V=gd•S^BC

|—T1|(T

而SMBC-ABxAC则V=-PAPB,PC

26I

例3、过点A,B与过点C,D的异面直线之间的距离

AC,AB,CD

ABxCDi

因为db=ci>',

平行六面体体积

则d=

平行四边形面积

§5.2平面与直线

（甲）内容要点

一、空间解析几何

1空间解析几何研究的基本问题.

（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程，

（2）已知坐标x,y和z间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）.

2距离公式空间两点与凤々,为，22）间的距离d为

222

d=7(X2-x,)+(y2-y,)+(z2-z,)

AM

3定比分点公式M（x,y,z）是AB的分点:=%,点A,B的坐标为,

~MB

8（巧，乃/2）,则

x.+At,y.+2yz.+

x=-------，y=------0-，z=------

1+2'1+/11+2

当M为中点时，

「一+々,2i±AZ+Z

入—9ry—9/7—-I2

222

二、平面及其方程。

1法（线）向量，法（线）方向数。

与平面乃垂直的非零向量，称为平面不的法向量，通常记成〃。法向量{〃?,〃,〃}的坐标

称为法（线）方向数。对于给定的平面乃，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两

个。

2点法式方程已知平面乃过M（Xo，），o，Zo）点，其法向量〃={A,B,C）,则平面加的方程为

A（尤-/）+My-%）+c（z-zo）=o

或〃,任-办）=。

其中，。=匕，为"。},，；={x,y*}

3一般式方程

Ar+8y+Cz+O=0

其中A,B,C不全为零.x,y,z前的系数表示乃的法线方向数，〃={A,B,C}是；r的法向量

特别情形：

Ax+By+Cz=0,表示通过原点的平面。

Ax+8y+O=0,平行于z轴的平面。

Ax+D=（）,平行）0z平面的平面。

x=0表示yOz平面。

4三点式方程设A（X1,y,zJ,8（々，必，22），。（犬3，必，23）三点不在一条直线上。则通过

A.BC的平面方程为

工71〉'一必Zf

%2一凡％-必2.-Z,=0

工3-内为一MZ3-Z]

A.x+B,y+C,z+D,=0

5平面束设直线L的一般式方程为《'1711，则通过L的所有平面

A2X+B2y+C2z+D2=0

=

方程为3（A/+B]y+£z+R）+4-B2y+C2z4-Z）2）0,其中

依,&）工（0,0）

6有关平面的问题

两平面为匹：Ax+4）：+Gz+A=0

7r2：^x+B2y+C2z+D2=0

coseA4+.8+CC

町与乃2间夹角（。）=

A+BJ+GJAJ+BJ+C??

垂直条件AA,+B[B]+CjC2=0

平行条件A为_A_£LLM

B2C2[D2)

重合条件A=A=£L=A

4^2。2。2

设平面万的方程为人H£>=0,而点”（项，y”zj为平面左外的一点，则M到

平面打的距离d：

d_Ar,+BVj+CZ]+Q

^A2+B2+C2

三直线及其方程

1方向向量、方向数

与直线平•行的非零向量S,称为直线L的方向向量。方向向量的坐标称为方向数。

2直线的标准方程（对称式方程）。

Xiy-.y02-z(1

其中（.7,%,Zo）为直线上的点，/,团，〃为直线的方向数。

3参数式方程:

尤=X。+〃

j=先+mt

z=z0+nt

4两点式

设4（王，凹，zJ,B（X2,），2*2）为不同的两点，则通过A和B的直线方程为

xf二yf二Z-Z]

工2-玉y2fZ2-Z1

5一般式方程（作为两平面的交线）；

-幻+耳)'+Gz+R=os={A4Cjx{4©c}

A2X+B2y+C2z+D2=0

6有关直线的问题

两直线为小=二21=工

.一一必=）'一%=5%

/2，叫〃2

“2+犯〃2)+〃］〃2

COS用〒厂」］

4与4间夹角®）2

4-m+〃J.+机22+〃J

垂直条件+nn

/)/2+加1〃?2\2=0

/］，〃］巧

平行条件--=.~----

/2m2n2

四、平面与直线相互关系

平面"的方程为：Xx+By+Cz+£>=0

if二二z-z。

直线L的方程为:

/mn

.Al+Bm+Cn

L与乃间夹角(。)sma=/f—=

7A2+B1+c2-yll2+m2+〃2

I_m_n

L与乃垂直条件~~--

ABC

L与乃平行条件Al+Bm+Cn=O

Al+Bm+Cn=0

L与乃重合条件

L上有一点在乃上

(乙)典型例题

例1.求通过用0(1,-1,2)和直线/J-z+l=°的平面方程。

八12x+y+z-5=0

解通过/的所有平面的方程为

K](x-y-z+1)+K?(2x+y+z-5)=0

其中K1,K?为任意实数，且不同时为0。

今把M0(l,-1,2)代上上面形式的方程得

«1+1-1+1)+&(2,-1+2-5)=0

K「2K2=0K、=2K?

由于方程允许乘或除一个不为0的常数，故取K?=1,得％=2,代入方程得

2(x-y-z+1)+(2x+>+z-5)=0

即4x-y-z-3=0

它就是既通过点M0又通过直线/的平面方程。

例2求过直线J'+'_2Z+3=°且切于球面/+2+z?=I的平面

2人一),十z=0”

解过所给直线除平面21-y+z=0外的其它所有平面方程为

(x+-2z4-3)+A(2x-y+z)=0

即(l+24)x+(l-；l))，+(4-2)z+3=0(*)

•.•球面与平面相切，因此球心到平面距离应等于半径

丁“|0+0+0+3|_[

J(1+24)~+(1一%)~+(4-2)"

得622-2/1+3=0,•.4J±加

6

代入(木)得两个所求的平面

§5.3曲而与空间曲线

（甲）内容要点

一、曲面方程

1、一般方程尸(工,y,z)=0

x=v)

2、参数方程)'二)GM（〃4）£。（平面区域）

=z(〃,v)

二、空间曲线方程

F(x,yz)=0

1、一般方程}y

F;(x,y,z)=0

工=咐

2、参数方程，尸M(«</</?)

z=z(t)

三、常见的曲面方程

1、球面方程

设匕）（x（），）'o，Zo）是球心，R是半径，P（x,y,z）是球面上任意一点,M|^P|=/?,BP

(x-X0)2+(y—右)2+(z—Z0)2=R2。

2.旋转曲面的方程

/(X,Z)=O,

（i）设L是xOz平面上一条曲线，其方程是

y=0.

绕z轴旋转得到旋转曲面，设P（x,y,z）是旋转面上任一点,

点儿（Xo,O,z（））旋转而来（点M（0,0,z）是圆心）.

由闯41TMp卜&2

+y,z0=z得旋转面方程是

f[+y]x2+y2

(ii)求空间曲线绕z轴一周得旋转曲面的方程

[泾(工,y,z)=O

第一步：从上面联立方程解出x=/(z),y=g(z)

第二步：旋转曲面方程为F+y2=/2(z)+g2(z)

绕y轴一周或绕X轴一周的旋转曲面方程类似地处理

3、二次曲面

曲面名称方程曲面名称方程

22222

椭球面广y-1旋转抛物面—十—=z(/7>0)

a~b~c~2P2P

X2y2x2y2

丁+X=z(p,4>0)+-=z(p,q>0)

椭圆抛物面2P2q双曲抛物面2P2q

)，)，•>2

工+J二=1ry-z-.

单叶双曲面双叶双曲面/+//“I

a2b2c2

))，

ry-..

二次锥面二+一一~7二°椭圆柱面

a~b~ca2b2

222

r一厂.x

双曲柱向—"7T=1抛物柱面—=j(p>0)

a~b~2P

四、空间曲线在坐标平面上的投影

F(x,y,z)=O

曲线C的方程

G(x,y,z)=O

曲线C在孙平面上的投影

先从曲线C的方程中消去Z得到〃(X,)，)=(),它表示曲线C为准线，母线平行于Z轴的

柱面方程，那么

[z=0

就是C在外平面上的投影曲线方程

曲线C在ZX平面上投影或在yz平面上投影类似地处理

(乙)典型例题

例1、求以点A(0,0,1)为顶点，以椭圆《天+亍为准线的锥面方程。

z=3,

解过椭圆上任一点p（/，yo，z。）的母线方程为

X=X。/22

•y=y（）t因为点（Xo，x），zo）在椭圆上，所以+J=而t=

z=l+（z0-l＞=l+2f25厂9r

—,将其代入椭圆方程，得锥面的方程为三+汇-包山-=（）。

22594

例2、求旋转抛物面z=W+），2与平面＞，+z=l的交线在外平面上投影方程

，=尤2+2

解从曲线方程《""v中消去z,得曲线向9平面得投影柱面方程

y+z=1

5

22-

X+y+y=