第11章 简单几何体（典型题专练）-2021-2022学年高二数学上学期期中考试满分全攻略（沪教版2020）教师版

第11章简单几何体典型题专练

能力提升

一、单选题

1.（2017•上海市建平中学高二期中）下列几何体中，多面体是（）

【分析】判断各选项中几何体的形状，从而可得出多面体的选项.

【详解】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体;

C选项中的几何体是圆柱，旋转体；D选项中的几何体是圆锥，是旋转体.

故选B.

【点睛】木题考查多面体的判断，要熟悉多面体与旋转体的基本概念，考查对简单几何体概

念的理解，属于基础题.

2.（2021•上海高二专题练习）“夫叠棋成立积，缘塞势既同，则积不容异”是以我国哪位

数学家命名的数学原理（）

A.杨辉B.刘微C.祖晒D.李淳风

【答案】C

【分析】由题意可得求不规则几何体的体积的求法，即运用祖瞄原理.

【详解】“夫叠棋成立积，缘得势既同，则积不容异”的意思是“夹在两平行平面之间的两

个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果两个截面面积仍然相等，那么这两

个几何体的体积相等”，这就是以我国数学家祖眶命名的数学原理，故选C.

【点睛】本题考查祖迪原理的理解，考查空间几何体体积的求法，考查对概念的理解，属于

基础题.

3.（2021•上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方

体容器，容器高89，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水

深为6.，如果不计容器的厚度，则球的体积为

5007r86613137212048万

A.cm3B.cmC.D.cm3

3333

【答案】A

【分析】根据题意可求出正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm,再根据截面圆半

径，球的半径以及球心距的关系，即可求出球的半径，从而得到球的体积.

【详解】设球的半径为RM,根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径

为4cm,球心到截面圆的距离为（R-2）cm,所以由4?+（R-2）?=R?,得R=5,所以球的体积

^V=^/?5=^x53=^y^(cm3).

故选：A.

【点睛】本题主要考查球的体积公式的应用，以及球的结构特征的应用，属于基础题.

4.（2019•上海市向明中学高二期中）定义八个顶点都在某圆柱的底面圆周上的长方体叫做

圆柱的内接长方体，圆柱也叫长方体的外接圆柱，设长方体ABCO-ABG。的长、宽、高分别

为久氏c（其中〃>b>c）,那么该长方体的外接圆柱侧面积的最大值是（）

A.^a\Jb2+c2Trhyja2+c2C.^c\]a2+b2D.兀abc

【答案】A

【分析】分别求出当A8,C,O和A”综C“R在这个圆柱的上下底面时、当A,8,%A,和

D,C,C、,D\在这个圆柱的上下底面时、当B,C，G，B1和ADD“A在这个圆柱的上下底面时,求

出外接圆柱侧面积,然后比较即可.

【详解】当A,B,C,D和A，稣G，。在这个圆柱的上下底面时、底面直径为后了■，圆柱的高

为J因此此时该长方体的外接圆柱侧面积为：兀c曲品;同理可求出另个二种情况时，该

长方体的外接圆柱侧面积为：7rb\la2+c2»Tuayjb2+c2-

m2I_2i>>2，il~~2~~2i2i22

7ra\Jh-+c~=7ryja~b~c-，7rb\la-+c~=7r\Ja-b-+b~c-,

7TCyja2+b2=7r\la2c2+b2c2

因为a>6>c,所以兀ajb1+c?>兀b,a。+c2,兀adb?+C2>wc4a2+b°，因此长方体的外接圆柱侧

面积的最大值是7ta^b~+c2-

故选：A

【点睛】本题考查了求圆柱侧面积，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力，考查了数学阅

读能力.

5.（2021•上海）如图，N,S是球诡径的两个端点，圆G是经过A用1S点的大圆，圆C2和圆

G分别是所在平面与NS垂直的大圆和小圆，圆G，G交于点儿B,圆G，G交于点乙〃.设

a,b,。分别表示圆G上劣弧CM9的弧长，圆C?上半圆弧48的弧长，圆G上半圆弧8的弧

长，则a,b,c的大小为

A.b>a=cB.b=c>aC.h>a>cD.h>c>a

【答案】D

【分析】设球的半径为/?,47。力=2火0<6?<|9,求出。。=2氏$山。］=万凡。=万氏5皿。，可得

b>c，再根据球面距离的定义可得c>“，得出结论.

【详解】设球的半径为凡NCOD=2c（0<a<|）,CD=2/?sin<z,

则/>=?rR,c=%/?sina,则8>c,。是圆G上劣弧CN£）的弧长，

而圆G是大圆，。是8在球面上距离，。是圆G上半圆弧CD的弧长，

由球面距离的定义可知c>a,所以b>c>“.

故选:D

【点睛】本题以球为背景，考查比较弧长大小，以及球面距离的定义，属于中档题.

6.(2016•上海市七宝中学高二期末)设A、B、C、。是半径为1的球面上的四个不同点，且

满足而•抚=0，ACAD=0,ADAB=0>用岳、S2,S3分别表示△ABC、△AC。、/XABD

的面积，则I+S2+S3的最大值是.

A.yB.2C.4D.8

【答案】B

【详解】设=AC=b,AD=c.

VABAC=0.ACAD=0.ADAB=01--AB,AC,AO两两互相垂直，扩展为长方体,

它的对角线为球的直径，即a2+b2+c2=4R2=4.

,：S,,S2、S3分别表示AABC、MC£)>A48。的面积，

22

AS,+S2+S3=^ab+ac+bc)<^(a+b+^)=2,当且仅当a=b=c时取等号

H+$2+国的最大值是2,故选B.

点睛：本题考查球的内接多面体及基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推

知多面体的外接球是同一个球，是解答本题的关键.

二、填空题

7.(2020•上海市金山中学高二期末)已知一个圆锥的底面积为〃，侧面积为2〃，则该圆

锥的体积为.

【答案】叵

3

【分析】利用圆的面积公式和圆锥侧面积公式可得到方程组，解方程组求出圆锥的底面半径

和圆锥的母线长，再利用勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式求出体积即可.

【详解】设圆锥的底面半径、高、母线长分别为八h,1,则比二解得广J所以4G.

[7Crl-L7lU=2

圆锥的体积勺1.第=翅.

33

故答案为：叵

3

【点睛】考查了圆锥的侧面积公式和圆锥体积公式，考查了数学运算能力.

8.（2018•上海市进才中学高二期末）某棱锥的三视图如图所示（单位：cm）,体积为—

cm3.

正视图制视图

俯视图

【答案】I

【分析】通过三视图可知：该几何体是底面为边长为2正方形，高为2的四棱锥,利用棱锥的体

积公式可以求出该棱锥的体积.

【详解】通过三视图可知：该几何体是底面为边长为2正方形，高为2的四棱锥,所以该棱锥的

体积为：

1Q

V=-x2x2x2=~.

33

故答案为：I

【点睛】本题考查了通过三视图还原空间几何体，考查了棱锥的体积公式，考查了数学运算能

力.

9.（2018•上海市进才中学高二期末）边长为2的等边三角形ABC绕着8c旋转一周，所得

到的几何体体积为.

【答案】2万

【分析】根据题意可知：该几何体是有公共底面的两个一样的圆锥，利用圆锥的体积公式求解

即可.

【详解】根据题意可知：该几何体是有公共底面的两个一样的圆锥，等边三角形ABC的高为

J*-（2x^）2=公，底面半径为2x：=1,所以所得到的几何体体积为

V22

V=2X1.^.（V3）*2X1=2^.

3

故答案为2万

【点睛】本题考查了按平面图形-边旋转所形成的空间图形的体积问题，考查了空间想象能力,

考查了数学运算能力.

10.（2019•上海市向明中学高二期中）若圆锥的底面积是9万，体积是12万，则该圆锥的侧

面积是.

【答案】15万

【分析】由圆锥的底面枳可以求出圆锥底面半径，由圆锥的体积可以求出圆锥的高，利用勾股

定理可以求出圆锥的母线长，最后利用圆锥的侧面积公式求出该圆锥的侧面积.

【详解】设该圆锦的底面半径、圆锥的高、圆锥的母线长分别为八6、/.因为圆锥的底面积

是9万，所以万产=9%=厂=3.因为圆锥的体积是12口，所以卜也=]2%=>〃=4,由勾股定理可

知：/=,1+右=5,因此该圆锥的侧面积是万”=15%.

故答案为：15万

【点睛】本题考查了圆锥的体积公式、侧面积公式，考查了圆锥的底面半径、圆锥高、圆锥母

线长之间的关系，考查了数学运算能力.

11.（2019•上海松江区稿二期末）若正方体的表面积为6,则它的外接球的表面积为.

【答案】37

【分析】由正方体的外接球的直径与正方体的棱长之间的关系求解.

【详解】由已知得正方体的棱长为1,

又因为正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长，

所以正方体的外接球的半径/?=1V12+12+12=-）

22

所以夕卜接球的表面积5=4万斤=4乃=3]，

故得解.

【点睛】本题考查正方体的外接球，属于基础题.

12.（2021•上海高二专题练习）有一多边形ABC£>水平放置的斜二测直观图A'8'C'D是直角

梯形（如图所示），其中A5C'=45。，B'CIC'D',A7/=OC'=1,则原四边形ABC。的面

积为.

【答案】3正

【分析】由四边形ABC。水平放置的宜观图得出四边形ABC。的各边关系，再求四边形ABC。

的面积.

【详解】四边形ABC。水平放置的直观图是直角梯形，且A'8'C'=45。，B'CIC'D',

A'D'=DC=1,B'C'=2A'D'=2,A'B'=y/2

二四边形ABC。中，AB=2A'B'=2>/2,AD=A'D'=\,BC=B'C=2,且AB_LBC,AO//BC,

所以四边形ABC。的面积为S=；x（l+2）x2夜=3近，

故答案为：3五

【点睛】本题考查了水平放置的直观图性质等应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题.

13.（2020•上海师范大学第二附属中学高二期中）如图，已知三棱柱ABC-ABC的体积为

4,则四面体C-ARG的体积为.

【答案】I4

【分析】利用等底同高的棱锥体积相等，可以证明三棱柱被分割成的三个部分体积相等，进

而求得答案.

【详解】Vc-A\BC\=〃-Z?CC1=匕,一阴。1,VC-A\BC\=%-ACCI

Vjh\BG=〃-88|G=k.，

4

又•.•棱柱A8C-44G的体积为4,.♦.四面体C-4M的体积为:，

4

故答案为：—.

【点睛】本题考查棱锥的体积，关键在于等体积转化，属基础题.

14.（2018•上海市第二中学高二期中）已知圆锥的母线长为5c,〃，侧面积为15行加，则此

圆锥的体积为.cmi.

【答案】12万

【分析】先求圆锥的底面半径，再求圆锥的高，然后求其体积.

【详解】设圆锥的底面半径为『。机，高为hcm，

已知圆锥的母线长为5cm,侧面积为15次加,

则万x5xr=15万，得r=3,所以，圆锥的高为/；=疗=3=4，

因此，该圆锥的体积为1=；Tr%=；Tx32x4=12万卜

故答案为：12万.

【点睛】本题考查圆锥的侧面积、体积，解题时要明确圆锥底面半径、母线长以及高之间的

关系，考查计算能力，是基础题.

15.（2017•上海宝山•）若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面

积为.

【答案】27t

【分析】由圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，可得圆锥的底面圆的直径、母线长均为2,

求得底面圆半径，进而根据圆锥侧面积公式S=仃I求得结果。

【详解】因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，所以圆锥底面圆的半径r=l，母线长

1=2,所以圆锥的侧面积为万〃=2%。

【点睛】本题考查圆锥的轴截面、侧面积，属于基础题。考查空间想象能力、运算能力。圆

锥的轴截面是以圆锥母线为腰、圆锥底面圆直径为底的等腰三角形。

16.（2021・上海高二专题练习）某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视

图是中心角为60。的扇形，则该几何体的侧面积为.

【分析】由三视图可知，几何体是5个圆柱，且母线长为3,底面半径为2,再求出底面弧长

O

为号，即可由侧面积公式求出.

【详解】由三视图可知，几何体是2个圆柱，且母线长为3,底面半径为2,底面弧长为营，

OJ

所以该几何体的侧面积为5=3x［等+2+2）=12+2万.

故答案为：12+2%.

【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，并计算其侧面积，意在考查学生的直观想象能

力和数学运算能力，属于基础题.

17.（2018•上海市同洲模范学校高二月考）若正三棱柱的所有棱长均为。，且其体积为166,

则侧面积为______.

【答案】48

【分析】根据正三棱柱的体积计算出。的值，由此可计算出该正二棱柱的侧面积.

【详解】正三棱柱的底面积为无/，

4

所以，该正三棱柱的体积为丫=亚/乂^二且/二坨白，解得。=4,

44

因此，该正三棱柱的侧面积为3a2=3x4?=48.

故答案为48.

【点睛】本题考查正三棱柱的侧面积的计算，解题的关键就是利用正三棱柱的体积计算出棱

长，考查计算能力，属于基础题.

18.（2017•上海宝山•）A、B、C三点在体积为367t的球面上，BA=BC=—AC,若A、

2

C两点间的球面距离是费，则球心。的到平面A8C的距离是.

【答案】述

2

【分析】由球的体积为36兀可求得球半径R=3。由BA=BC=立AC得ZABC=90°,且AC为

2

截面圆的直径。由A、C两点间的球面距离是百，求出NAOC=］。在等腰RtAOAC中，斜

边上的中线即为球心。的到平面ABC的距离。

【详解】

因为球的体积为36兀，所以:万夫3=36万，解得球的半径R=3。因为BA=BC=EAC,所以

32

I3A2+BC-=AC2,所以ZABC=90",所以AC为截面圆的直径，设截面圆圆心为〃，因为A

23434

、c两点间的球面距离是W，所以TTo在R3OMC中，

2Zyic/C=—=—=——

R32

OM=-0C=—x3=—,因为OM_L平面ABC,所以球心。的到平面ABC的距离是逑。

2222

【点睛】本题考查求球内一点到截面圆的距离，注意点到截面的距离成截面圆半径「、球的

半径夜间的关系d=VF二7的运用。

19.(2021•上海市松江二中高二月考)如图所示，半径R=2的球舛有一内接圆柱，当圆

柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于.

【答案】81

【分析】设出圆柱的上底面半径为八球的半径与上底面夹角为。，求出圆柱的侧面积表达式,

由正弦型函数的单调性求出圆柱侧面积的最大值，求出球的表面积，即可求得两者的差值.

【详解】设圆柱的上底面半径为八球的半径与上底面夹角为a(ae(0,^))，则r=2cosa,

圆柱的高为a=4sina,圆柱的侧面积为：5=2jrrh=1sinezcosa=8,rsin2a,

JrTT

当2a=g,即a=7时，sin2a取最大值1,圆柱的侧面积取最大值为8万，

24

所以当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为4%x22-8%=8万.

故答案为：8万

【点睛】本题考查柱体、球体的表面积，球的内接几何体，将面积用三角函数表示使计算过

程更加简洁，属于中档题.

20.（2019•上海市罗店中学高二期中）三棱锥P-A8C的侧棱小、PB、PC两两垂直，侧

面面积分别是6、4、3,则三棱锥的体积是.

【答案】4

【分析】证明出口，平面P8C,由三个侧面积列出关于E4、PB、PC的方程组，求出以、

PB、PC的值，由此可得出该三棱锥的体积.

【详解】•••三棱锥P-ABC的侧棱丛、PB、PC两两垂直，.•.R4LP8,PA1PC,

^­.■PBHPC=P,:.PAL^-^PBC,

-PAPB=6

2PAPB=12PA=3

；即.

由题意得<PBPC=4,PBPC=S,解得，PB二4

PCPA=6PC=2

-PCPA=3

[2

因此，该三棱锥的体积为匕一碗=g"•SA咏=g*3x4=4.

故答案为4.

【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，推导出线面垂直，并以此找出合适的底面与高来计算

三棱锥的体积是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

21.（2021•上海市实验学校）已知三棱锥尸-ABC的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,

△A8C是边长为2正三角形，E,尸分别是PA,A3的中点，/CEF=90°,则球。的体积为

【答案】娓兀

【分析】由已知设出NR4c=0,PA=PB=PC=2x,EC=y,分别在△%（?中和在AE4c中

运用余弦定理表示cos。，得到关于x与刑关系式，再在RrACE尸中运用勾股定理得到关于x

与渊又一关系式，联立可解得x,y,从而分析出正三棱锥是Bi,PB,PC两两垂直的正三

棱锥，所以三棱锥尸-ABC的外接球就是以必为棱的正方体的外接球，再通过正方体的外接

球的直径等于正方体的体对角线的长求出球的半径，再求出球的体积.

【详解】在△出C中，设NE4C=6,PA=PB=PC=2x,EC=y,x>0,y>0,

因为点E,点尸分别是P4,A8的中点，所以E尸=g?B=x,AE=x,

在△抬C中，8sg="+4少-,在△£4c中，cosg=r+4~>，2,

2x2xx22xxx2

整理得炉-丁=一2,

因为AABC是边长为2的正二角形，所以CF=^,

又因为NCE尸=90°,所以x?+y2=3,由卜；一＞：=了，解得*=立，

X+y=32

所以P4=P8=PC=2x=&.

又因为“BC是边长为2的正三角形，所以RV+PB2=4=AB2,所以

所以科，PB,PC两两垂直,

则球。为以PA为棱的正方体的外接球，

则外接球直径为d=府的7=娓，

所以球。的体积为丫=［乃/=，x（g）=g"x（乎）=瓜兀,

故答案为遍乃.

【点睛】本题主要考查空间几何体的外接球的体积，破解关键在于熟悉正三棱锥的结构特征,

运用解三角形的正弦定理和余弦定理得出三棱锥的棱的关系，继而分析出正三棱锥的外接球

是以正三楂锥中互相垂直的三条棱为棱的正方体的外接球，利用正方体的外接球的直径等于

正方体的体对角线的长求解更方便快捷，属于中档题.

22.（2021•上海高二专题练习）将一块边长为6cm的正方形纸片，先按如图1所示的阴影部

分截去4个相等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠成一个正四棱锥模型（底面是正

方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥），将该四棱锥如图2放置，若其正

视图为正三角形，则其体积为cm3.

【答案】巫

3

【分析】根据正四棱锥的正视图是正三角形，设其边长为。，可得出正四棱锥的高为3a，

2

斜高为。，利用图1得出立x6=a+0,可计算出。的值，然后代入正四棱锥的体积公式即可.

22

【详解】•••正四棱锥的正视图是正三角形，设该正三角形的边长为“，则该正三角形的高为

6

——a,

2

「•正四棱锥的斜高为

由图1得出，将一张边长为6c机的纸片按照图1所示的阴影部分截去4个全等的等腰三角形，

:.红x6=a+巴,即"=3&,解得”=2夜.

222

因此，正四棱锥的体积为L?X且4=走/=走、（2近），走乂16夜=辿。加.

32661’63

故答案为九5.

3

△

03

【点睛】本题考查了空间几何体的性质，考查了展开图与立体图的综合，解题的关键就是根

据图中的几何关系列方程求出正四棱锥的底面边长，考查空间想象能力，属于中等题.

三、解答题

23.（2019•上海松江区•高二期末）如图，P是圆锥的顶点，A8是底面圆。的一条直径，

OC是一条半径.且NAOC=60。，已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为8万的半圆面.

（2）求异面直线P8与4c所成角的大小.

【答案】（1）（2）"arccos!

34

【分析】（1）运用圆锥的体积公式求解；

（2）建立空间直角坐标系，运用空间向量的夹角公式求解.

【详解】解：（1）设该圆锥的母线长为/,底面圆半径为，高为/?,

由题意g万尸=8%,/./=4,

底面圆周长。=2夕=加=4万，/.r=2,

h=I2—r2=25/3，

因此，该圆锥的体积/=1左角7=迪万；

33

（2）如图所示，取弧AB的中点。，则OZJLOB,

因为OP垂直于底面，所以8、08、0P两两垂直

以8为x轴，08为y轴，0P为z轴建立空间直角坐标系,

计算得A（0,-2,0）,B（0,2,0）,C（6,-l,0）,P（0,0,26）,

所以蔗=（石,1,0）,丽=（0,2,-2百），

设PB与AC所成角的大小为e,

\ACPB\1

则cos

0=麻|“而「疝

所以6=arccosL

4

即异面直线出与AC所成角的大小为小arccos：

【点睛】本题考查圆锥的体积和异面直线所成的角，属于基础题.

24.（2021•上海市行知中学）如图，在正三棱柱ABC-48G中，已知朋二6,正三棱柱

ABC-A^G的体积为18G.

(1)求正三棱柱ABC-a4G的表面积；

(2)求异面直线8G与A4所成角的大小.

【答案】(1)42石；(2)

【分析】(1)设该正三棱柱的底面边长为〃，由三棱柱的体积求出“，然后计算该正三棱柱

的表面积即可；

(2)说明NBCC为异面直线8G与A4所成的角，通过解二角形求解即可.

【详解】(1)设正三棱柱ABC-4MG的底面边长为。，则底面AABC的面枳为九18c=3,

正三棱柱A8C-AgG的体积为V=SMBC•A4,=乎/*$=乎/=1,

解得a=26,因此，正三棱柱4BC-A4G的表面积为3X2VJX6+2X中X(2G)、426；

(2)VM//CC,,所以，异面直线BG与AA所成角为NBC。，

在正三棱柱ABC-ABg中，CGI底面48C,BCu底面A3C,，CG，BC,

在心MCG中，ZBCC,=-,tanZBC.C=—=—=ZBCC=~.

2CC163t6

因此，异面直线BG与AA所成角的大小为土

【点睛】本题考查棱柱的体积求法，表面积的求法，异面直线所成角的求法，考查计算能力,

属于基础题.

25.(2018•上海青浦区•高二期末)如图所示圆锥中，AB、C。为底面圆的两条直径，

ABC\CD=O,且ABLCO,SO=AB=2,尸为SB的中点.求：

（1）该圆锥的表面积;

（2）异面直线SA与PD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.

【答案】⑴（后+1）乃；⑵arctan.

【分析】（1）先计算出圆锥的母线长度，然后计算出圆锥的侧面积和底面积，即可计算出圆锥

的表面积;

（2）连接0P,根据位置关系可知异面直线SA与所成的角即为NO叫或其补角，根据线段

长度即可计算出tanNOPD的值，即可求解事异面直线所成角的大小.

【详解】（1）因为SO=AB=2,所以SB==&，

所以圆锥的侧面积为：S\=wl•后=亚兀,圆锥的底面积为：邑=〃•『="，

所以圆锥的表面积为：（6+1）7;

（2）连接OP,如下图所示:

因为「为SB的中点，。为A8的中点，所以。P//SA且。*白=争

所以异面直线以与所成的角即为NOPD或其补角,

因为AB_LCL>,SOLCD,48口50=0,所以C£>_L平面SA8,

.­°。一1一.

因为OPu平面SA8,所以。所以而一百一亏

2

所以异面直线必与即所成的角的大小为：arctan

【点睛】本题考杳圆锥的表面积计算以及异面直线所成角的求解，难度较易.（1）圆锥的表面

积包含两部分：侧面积、底面积；（2）求解异面直线所成角的几何方法：将直线平移至同一平

面内，即可得到异面直线所成角或其补角，然后根据线段长度即可求解出对应角的大小.

26.（2018•上海市淞浦中学高二期中）在直角三角形中，NOR=30。，斜边"=4,

。是A8的中点，现将直角三角形4OB以直角边4。为轴旋转一周得到一个圆锥体，点C为圆

锥体底面圆周上的一点，且ZBOC=90°.

（1）求该圆锥体的侧面积；

（2）求异面直线A。与CD所成角的大小.

【答案】（1）8/；（2）arctan业5

3

【分析】（1）根据条件求解出圆锥的底面圆的半径，然后根据圆锥的侧面积公式S=计算

出圆锥的侧面积；

（2）作出示意图，取80的中点E,连接。E,CE,根据AO,OE的位置关系可找出异面直线AO

与所成角或其补角，由此可计算出异面直线A0与所成角的大小.

【详解】（1）因为NOAB=30。，AB=4,所以08=0外访30。=2,

所以圆锥的侧面积为：S=/crl=^x2x4=8^:

（2）取BO的中点E,连接。E,CE,如图所示：

因为。为45中点，所以。£7/AO,

所以异面直线AO与CD所成角即为NCDE或其补角，

因为OE=gAO=gABcos30°=GOE=^OB=\,

所以CE=，22+『=#），

又因为。E//AO,AO_L底面8OC,所以DE_L底面BOC,所以ZDEC=90。,

所以tanNCDE=噌=,所以Z.CDE=arctan,

7533

所以异面直线A0与C。所成角为arctan半.

【点睛】本题考查圆锥的侧面积计算以及异面直线所成角的求解，难度较易.

(1)圆锥的侧面积计算公式5=万〃(『是圆锥的底面圆的半径，/是圆锥的母线长度)；

(2)求解异面直线所成角大小时，可通过将直线平移至同-平面内，先找到异面直线所成角

或其补角，然后利用特殊三角形或者余弦定理完成角度求解.

27.(2018•上海市淞涌中学高二期中)已知三棱锥P-ABC,丛_L底面ABC,PA=2,底

面ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,。是PC的中点，PC与底面ABC所成角的大小为

450,求

(1)三棱锥尸-ABC的体积；

(2)异面直线A。与心所成角的大小.

【答案】(1)(2)y

【分析】(1)根据条件计算出底面等腰直角三角形的面积，再根据三棱锥的体积公式即可求

解出三棱锥P-ABC的体积；

(2)作出示意图，取BC中点Q,连接4。,92,根据PBDQ的位置关系可找出异面直线AD

与总所成角或其补角，利用余弦定理即可求解出异面直线所成角的大小.

【详解】(1)因为PA_L底面A8C,所以PC与底面ABC所成角即为NPC4,

所以NPC4=45。，所以AP=AC=2,

又因为底面ABC是等腰直角三角形，所以5“晓=理卢=等=2,

14

所以%«c=§x2x2=“

(2)取8c中点Q,连接AQ,OQ,如图所示:

Q

因为。是PC的中点，所以DQ//PB,

所以异面直线AD与PB所成角即为492或其补角,

因为尸8=VF7F=2近，所以OQ=gPB=^,

y.^^jAQ=^BC=^22+22=42,AD=^22+22=>/2,

所以△A。。是等边三角形，所以异面直线A。与尸8所成角为2.

【点睛】本题考查空间几何体的体积计算以及异面直线所成角的求解，难度较易.求解异面直

线所成角大小时，可通过将直线平移至同一平面内，若能通过特殊的图形(等边三角形、正

方形等)判断出角的大小即可直接得到异面直线所成角，若不能直接得到角的大小，可利用

余弦定理去求解角的大小.

28.(2018•上海市同洲模范学校高二月考)如图，在长方体A8C/)-44G。中，AB=BC=3

4

,AB和平面ABC。所成的角为arctati].

(1)求该长方体的体积；

(2)求异面直线AB与8。所成角的大小(结果用反三角函数值表示).

【答案】⑴36；(2)arccos盘

【分析】(1)由明，平面488,可得出直线AB和平面48CO所成的角为乙4BA，可得出

=求出,然后利用长方体的体积公式可计算出该长方体的体积；

AB3

(2)由AB//CQ,可知是异面直线4/与8。所成的角(或其补角)，然后利用余弦

定理求出cosN8cA，由此可得出异面直线AB与8c所成的角的大小.

【详解】

(1)在长方体ABC。—4旦。|0|中，平面A8C£),

所以，直线AB和平面A88所成的角为NA3,由题意可得tanNABA=44=±

AB3

4

A4,=-AB=4,因此，长方体ABC。-44Goi的体积为AB-BO/U,=3?x4=36；

（2）连接c。、BQ,在长方体ABC。-A4G。中，AR幺BC,

••・四边形ABCD,是平行四边形，，AtB//CD.,

所以，异面直线\B与8c所成的角为NBg或其补角.

­/BR=JAB：+AD：=3V2,BC=CD]=yjCD2+DD；=5,

所以，Zfi.CD,=arccos—,因此，异面直线与BC所成角的大小为arccos^.

【点睛】本题考查长方体体积的计算，同时也考查了异面直线所成角的计算，涉及了直线与

平面所成角的计算，考查计算能力，属于基础题.

29.（2021•上海徐汇区•位育中学高二期中）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面,

内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作

时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24万皿，高为

30。〃，圆锥的母线长为20c,”.

（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1c/）;

（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元?

【答案】（1）11158.9；（2）

【分析】(1)根据“笼具”的构造，可知其体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，即可求出;

(2)求出“笼具”的表面积，即可求出50个“笼具”的总造价.

【详解】设圆柱的底面半径为，高为〃；圆锥的母线长为/,高为九，

根据题意可知：

(1)2犷=24%，r=12cm,4=J20：-122=16cm,

所以“笼具”的体积£=万，〃-g万//2,=3552万=11158.90"户.

(2)圆柱的侧面积51=2万泌=720万d,圆柱的底面积S2=万，=144万0加，

圆锥的侧面积$3="》=240万c勿2,所以"笼具”的表面枳为1104万cm1,

1104^x50x81104万一

故造50个“笼具”的总造价:-----兀.

10"25

答：这种“笼具”的体积约为11158.9cm3生产50个“笼具”的总造价为〃11黑044元.

【点睛】本题主要考查简单组合体的体积和表面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，

属于基础题.

30.(2018•上海市淞浦中学高二期中)在四棱锥F-ABCO中，底面4BCD是边长为3的正

方形，PD=4,且P£>J_底面ABCD.

求：(1)四棱锥P-A5C。的表面积;

(2)二面角A-PB-C的大小.

9

【答案】(1)36；(2)^--arccos—

【分析】(1)先确定各个面的形状，然后根据面的特征计算出面积，即可求解出四棱锥

尸-ABC。的衣面积；

(2)利用几何法，过A作连接MC,根据条件求出湎角A-P3-C的平面角,

并根据线段长度计算出二面角的余弦值，由此可计算出二面角A-PB-C的大小.

【详解】(1)因为尸底面ABC。，所以「

又因为底面A8CD是正方形，所以BAJ.OABCLOC,且4。02。=力,。口尸。=。，

所以8A_L平面PDA,8C_L平面PDC,

所以8A_LAP,BC1.CP,所以PA=4273r=5,PC=J4775r=5，

而zc_3x4_c_3X4_Ac_3x5_15c_3x5_15

川T以36PA力-_6A,3Ape力一一6,^^PAB—_——，3Ape8一,一不

乙乙乙乙乙乙

所以四棱f|EP—ABCD的表面积为：6+6+彳、2+3><3=36；

(2)

过A作AMLP3,连接MCAC,由几何体的对称性可知：CM，尸B且4〃=CM,

所以二面角A-尸8-C的平面角为NAMC,

因为E4=5,A8=3,所以尸3=后了于=后，所以AM=CM=丹/，

又因为47=存导=3夜，

225225

——+----118O§

所以cosZAMC=34=4_=-_

”「以.15南15南25，

3434

…9

所以AAMC=7t-arccos—,

9

所以二面角A-PB-C的大小为乃-arccos石.

【点睛】本题考查线面垂直关系的证明、棱锥表面积的计算、二面角的求解，难度一般.常用

求解二面角的方法：（1）几何法：直接找到二面角的平面角或者通过三垂线作法找到二面角

的平面角，然后根据线段长度即可求解出角的大小；（2）空间向量法：通过两个平面的法向

量的夹角公式计算出平面法向量的夹角，根据几何体的直观图判断二面角的范围，从而可求

解出二面角的大小.

31.（2018•上海市淞浦中学高二期中）直四棱柱AB8-A4CQ中，底面A8C。是矩形，

AB=2,AD=4,M=4,M是棱A瓦的中点，N是棱AQ的中点，求：

（1）三棱锥C-A4.N的体积；

（2）异面直线AN与BM所成角的大小.

【答案】（1）1;（2）arccos

385

【分析】（1）三棱锥C-AAN的底面积为高为C£>,利用已知长度即可计算出三棱锥

C-44.N的体积；

（2）作出示意图，取BG的中点P,连接BRA",根据4V,8P的位置关系可找出异面直线AN

与BM的所成角或其补角，即可计算出异面直线AN与BM所成角的大小.

【详解】（1）因为匕的'=彳5皿”8，

因为N是棱的中点，所以AN=gAA=2,

且A4,=4,CD=AB=2,

而卜”I2x48

所以％-做N=J-^--2=2；

（2）取用G的中点尸，连接

因为N是棱AA的中点，所以NP//AB且NP=AB,所以四边形N4BP是平行四边形,

所以AN〃8P,所以异面直线AN与BM所成角即为NMBP或其补角,

因为=+I=后阴=4下+方=2区MP=S+f=石，

17+20-58屈

所以cosNM3P=

2.V17-2x/5-85

所以异面直线AN与加所成角的大小为arccos^.

【点睛】本题考查三棱锥的体积计算以及异面直线所成角的计算，难度一般.求解异面直线

所成角大小时，可通过将直线平移至同一平面内，然后根据线段长度利用余弦定理求解出异

面直线所成角的余弦值，再根据余弦值的正负即可求解出异面直线所成角的大小.

32.（2018•上海市同洲模范学校高二月考）在四棱锥P-ABC。中，底面ABCD是边长为2的

正方形，PA_L底面ABCO,四棱锥尸-ABCD的体积K=4,M是的中点.

p

M

法一一、一”0

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（1）求异面直线PC与MD所成角的大小;

（2）求点B到平面PC。的距离.

【答案】（1）arcsin逑；（2）①叵.

513

【分析