第一次月考重难点特训（二）之勾股定理与全等三角形结合的压轴题（附答案解析）

第一次月考重难点特训（二）之勾股定理与全等三角形结合的压轴题

言【重难点题型】

1.（2023・全国•九年级专题练习）综合与实践.

勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家,

也有业余数学爱好者.

（1）我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽

弦图”.在RlZkABC中，ZACB=90°,若AC=〃，BC=a,AB=c,请你利用这个图形说明Y+从.

⑵业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的RtZiABC和Rt按如图2

所示的方式放置，ND48=/8=90。，AI3=AD=c,BC=AE=a,AC=OE=/）.请你利用这个图形说

明,2+/=〃.（提示：连接EC,CD）

2.（2023春•八年级课时练习）如图（1）A&C和为两个全等的等边三角形，边8C和斯的中点重

合与点。，直线交直线A。于点G.

（1）求证：AG1CG；

（2）若AG=CG,是判断。4、OG、OC的数量关系；

（3）若A8=2,请直接写出BG的最小值

3.（2023秋・河南南阳•八年级统考期末）我们把“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从

而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”.

AA

图①图②图③

⑴通过如图①中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式:

(2)“面积法”还可以作为几何证明的工具，当两个全等的直角三角形摆放成如图②所示时，其中ND48=90。,

借助图中辅助线用两种不同方法表示四边形的面积，易得：

AX85A4CD+SA48C；S&ADB+0cB

，构建等式整理可得:a2+b2=c2;

⑶如图③，在中，AI3=AC=\3,«C=10,。为边3c上的任一点，过点。作尸PNA.AC,

垂足分别为例、N,连接AP,利用“面积法”求PM+8V的值.

4.(2023秋・河北石家庄•八年级石家庄市第二十二中学校考期末)【阅读材料】小高同学发现这样一个规律:

两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶点的顶点,并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等

的三角形，小高把具有这个规律的图形称为“手拉手•”图形.

E

B

B

图1图2

【材料理解】

(1)皿图1,在“手拉手”图形中，小高发现若N84C=ND4£,AB=AC,AD=AE,则,请

证明小高的发现.

【深入探究】

(2)如图2,Z^C=ZD4E=90°,AB=AC,AI^=AE,试探索线段C。，40,八。之间满足的等量关系,

并证明结论;

【延伸应用】

⑶①如图3,在四边形A8C。中，BD=CD,AB=BE,ZABE=NBDC=60。，NA与28EO的数量关系

为:(直接写出答案，不需要说明理由);

②如图4,在四边形A8CO中，ZABC=ZACB=ZADC=45°,若BD=3,CD=1,则AO的长为

（直接写出答案，不需要说明理由）.

5.（2022秋・江苏无锡•八年级校联考期中）【问题探究】

（1）如图1,锐角48c中，分别以48、AC为边向外作等腰直角“BE和等腰直角..AC。，使AE=AB,

AD=AC,N84£=NC4£>=90°,连接8。，CE,请判断8。与C£的数量关系，并说明理由.

图1

【深入探究】

（2）如图2,四边形48co中，A8=5,BC=2,ZABC=ZACD=ZADC=45°,求BD?的值；甲同学受

到第一问的启发构造了如图所示的一个和△A3。全等的三角形，将进行转化再计算，请你准确的叙述辅

助线的作法，再计算；

图2

【变式思考】

(3)如图3,四边形A8C。中，AB=BC,ZABC=60。，ZAZX?=3(P,AO=4,80=7,则8、

图3

6.（2022秋.浙江金华•八年级浙江省兰溪市第二中学校考阶段练习）如图①，在中，2B90?,

BC=16cm,AB=12cm,现有一动点P,从点A出发，沿着三角形的边A6->8CTC4运动，回到点A停止,

速度为2cm/s,设运动时间为f秒

⑴如图①，当P4=PC时,求/的值；

(2)如图①，当,2是等腰三角形时，求/的值：

(3)如图②，点。在BC边上CO=：8C,点E在AC边上=ED1BC,在认5c的边上，若另外

44

有一个动点。与点P同时从点A出发，沿着边ACfC8fB4运动，回到点A停止.在两点运动过程中的

某一时刻，恰好AAP。与△£1",全等，求点。的运动速度.

7.(2023・全国•八年级专题练习)综合与实践

【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三

角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于°2,另一种是等于四

])I7

个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即5曲X4+S-4),从而得到等式。2=弓岫x4+e-a),化简

22

使得结论〃+b-c.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法

图3

【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹫，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.向

常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形.ABC和△。口如图2放置，其三边长

分别为。，b,c,/班C=NO£4=90°,显然3C_LAO.

(1)请用。，b,。分别表示出四边形A8OC,梯形4EOC,△EBZ)的面积，再探究这三个图形面积之间的

关系,证明勾股定理股+从=」.

⑵【方法迁移】请利用“双求法’懈决下面的问题：如图3,小正方形边长为1,连接小正方形的三个顶点,

可得44C,则AB边上的高为.

(3)如图4,在ABC中，A。是边上的高，AB=4,AC=5,BC=6,设求才的值.

8.(2022秋・江苏•八年级专题练习)定义：一组对角互补，且对角线平分其中一个内角，称四边形为余缺四

边形.

如图1,四边形A8CZ),ZD+ZB=180°,AC平分2D48,则四边形A8CQ为余缺四边形.

【概念理解】

⑴用(填序号)一定可以拼成余缺四边形.

①两个全等的直角三角形，②两个全等的等边三角形；

(2)如图1,余缺四边形人38,，。平分上£＞人4,若/V)=6,A9=2,贝U：Sja=

【初步应用】

如图2,已知AABC,N84。的平分线AP与BC的垂直平分线交于P点，连接P8、PC.

(3)求证：四边形ABPC为余缺四边形；

(4)若48=9,AC=5,则处2-PB?的值为.

【迁移应用】

(5)如图3,ZM4/V=90°,等腰尺的8、。两点分别在射线A用、AN.上,且斜边BC=10cm(P、人

在BC两侧)，若B、C两点在射线AM、AN上滑动时，四边形AP8C的面积是否发生变化？若不变化，请

说明理由；若变化，直接写出面积的最大的值.

图3

9.(2022春・广东深圳•七年级校联考期末)材料阅读：如图1所示，已知直角梯形成7)£中，A是C。上一

点、,CB=a,AC=b,AB=c,且/WJLAE,AB=AE,现需探究直角三角形ABC的三边。、b、c之间

的数量关系：

(1)【初步探究】猜想三角形ABC是否与三角形4OE全等，若是，请说明理由;

(2)【问题解决】请用两种含有。，b,c的代数式的方法表示直角梯形BCDE的面积：S梯形BCDE=

S梯形BCOE=-------由此，你能得到的。、b、C的数量关系是：

(3)【拓展应用】如图2,等腰三角形48c中，。是底边8c上的中点，8c=12,AB=1(),E、/分别是

线段AD和AC上的两个动点，求：CE+斯的最小值.

10.(2022春・广东广州•八年级校联考期中)在平面直角坐标系M7.y中，点B、C的坐标分别为(0,0)、(12,

0),点A在第一象限，且△ABC是等边三角形.点D的坐标为〔4,0),E是边AB上一动点，连接DE,以

DE为边在DE右侧作等边△DEF.

备用图

(1)求出A点坐标；

(2)当点r落在边AC上时，ACDF与ABED全等吗?若全等，请给予证明；若不全等，请说明理由;

(3)连接CR当△CZ)尸是等腰三角形时，BE=.

11.(2022秋・江苏•八年级期中)【问题情境】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图①，△ABC中，若48=8,AC=6,求8c边上的中线AO的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长A。至点E,使OE=A。，连接8E.请根据小明

的方法思考：

(1)由已知和作图能得到△AOC/zXEOB,依据是.

A.SAS；B.SSS；C.AAS；D.HL

(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是.

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求

证的结论集中到同一个三角形之中.

(3)【初步运用】如图②，AO是8c的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AC=5足求证A£=F£

(4)【灵活运用】如图③，在△A8C中，NA=90。，。为4C中点，DEDF,DE交AB于点E,DF交AC

于点F,连接E立试猜想线段CF、E/三者之间的数量关系，并证明你的结论.

12.(2021秋•河北保定•八年级保定市第十七中学校考期末)(1)如图1,在锐角必中，分别以A3、AC

为边向外作等腰一和等腰.'AC，使=AD=AC,ZBAE=ZCAD,连接30,CE,试猜想80与

CE的数量关系，并说明理由；

(2)在(1)的条件下，若ZBAC=60",AB1AD,则4。与CE相交所得的锐角=;

(3)如图2,四边形A8C。中，AB=1,BC=3,ZABC=ZACD=ZADC=45°,求8。的长.甲同学受到

第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABO全等的三角形，将8。进行转化,据此可计算得8D=.

A

E

13.（2022秋.江苏.八年级期末）如图，在平面直角坐标系X。），中，点8、C的坐标分别为（0,。）、（6,0）,

A是第一象限内的一点，且△ABC是等边三角形.点。的坐标为（2,0）,E是边A/3上一动点，连接

（2）当点尸落在边4C上时.，ACDF与ABED全等吗?若全等，请给予证明；若不全等，请说明理由；

（3）连接CR当△CD尸是等腰三角形时，直接写出8E的长度.

14.（2021秋•江苏扬州•八年级校考阶段练习）图形的翻折就是将一个图形沿着--条轴折叠的运动。

翻折有如下性质：

（1）、把图形变为与之全等的图形；

（2）、美于所沿轴对称的两点连线被该轴垂直平分

【课堂提问】何老师在课堂中提出这样的问题：如图I,在RAABC中，ZACB=90°,N84C=30。，那么

8C和A8有怎样的数量关系？

【互动生成】经小组合作交流后，各小组派代表发言.

（1）小华代表第3小组发言：AB=2BC.请你补全小华的证明过程.

证明：把△A8C沿着AC翻折，得到△AQC.

/./ACD=NACB=90°,

/.ZBCD=ZACZHZACfi=90°+90°=180°,即：点8、C、。共线.

（请在下面补全小华的证明过程）

（2）受到第3小组“翻折”的启发，小明代表第2小组发言：如图2,在△A/3C中，如果把条件“NAC8=90。”

改为“NAC8=135。"，保持“NBAC=30。”不变，若8C=2,求48的长.

【能力迁移】我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题.如图3,点。是AABC内一

点.AD=AC=y/lS,BD=n,ZBAD=ZCAD=30°./八。6=135，求的值

图1图2

15.（2022秋・江苏扬州,八年级校考阶段练习）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.千百

年来，人们对它的证明趋之若智，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.向常春在1994年构造发现

图1图2

【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△A/3C和△/%£如图1放置，其三边长分别为小儿c.显然，NDA/3

=ZZ?=90°,AC±DE.请用a,b,c分别表示出梯形四边形4EC7Z的面积；

S就影ABCD=,

SAEBC=,

S四边膨AECD=,

再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为，化简后，可得到勾股定理.

【知识运用】

如图2,河道上A,B两点（看作直线上的两点）相距200米，C,。为两个菜园（看作两个点；，AD±AB,

BCA.AB,垂足分别为A,B,4D=80米，BC=70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P,使得抽水点

户到两个菜园C,。的距离和最短，则该最短距离为米.

【知识迁移】

借助上面的思考过程，请直接写出当0<xV15时，代数式户3+J（15T）2+25的最小值=.

16.（2020・浙江绍兴•模拟预测）问题理解:

如图1,在锐角A3C中，分别以A6,AC为边向外作等边ABE和等边AC£>,连结6D,CE,通过证

明"。后和_4）8全等，可得R）=CE.（不必证明）

问题探究：

（1）如图2,在锐角A8C中，分别以A民AC为边向外作等腰..ABE和等腰.AC。，使AE=AB,AZ）=AC,

NBAE=NCAD,连结阴）,。石，试猜想8。与CE的大小关系，并说明理由.

问题拓展：

（2）如图3,在ABC中，AB=7,BC=2,ZABC=zLACD=ZADC=45°,求8。的长；

（3）如图4,在（2）的条件下，当.46在线段AC的左侧时，请直接写出的长.

17.（2020秋•河北衡水•八年级校考期中）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段。要满足两个

条件：①线段〃一个端点是图中一条线段〃的中点；②线段。与这条线段〃不共线），然后进行连接，构造

三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题.

【应用举例】如图（1）,已知：4力为AA8c的中线，求证：AI3+AO2AD.

简证：如图（2）,延长AD到E,使得QE=AO,连接C£,易证A/W。=△EC。，得48二

在MCE中，AC+CE>，AB+AC>2AD.

~7C

EF

图(2)

【问题解决】

(1)如图(3),在AA8c中，AO是3c边上的中线，E是AO上一点，且BE=4C,延长座交AC于尸,

求证：AF=EF.

BDC

图(3)

(2)如图(4),在AA8C中，4=90。,。是边的中点，E、尸分别在边4?、AC上，DE1DF,若

BE=3,CF=4,求E厂的长.

A

图(4)

(3)如图(5),AO是AABC的中线，AI3=AE,AC=AF,且N84E=NE4C=90。，请直接写出A。与EF

的数量关系及位置关系.

B

图（5）

18.（2023春・全国•八年级专题练习）阅读：等边三角形具有丰富的性质，我们常常可以借助等边三角形和

全等解决问题.

如图1,B、C、。三点在同一条直线.匕等边三角形A8C和等边三角形ECO具有共同的顶点C,我们容易

证明从而得至；

理解：如图2,已知点。在等边三角形/WC内，AD=b,4/J=4,CD=3,以CO为边在它的下方作等边三角

"DE,求/8。。的度数；

应用：如图3,在AABC中，AC=10,8C=12,点。在AABC外，位于8c下方，△"£）为等边三角形，当

N4CQ=30°时，CD2=.

图1图2图3

19.（2023秋•吉林长春•九年级校考期末）【感知】如图①，在正方形A8CD的内部，作

NDAE=ZABF=/BCG=NCDH,且点E、F、G、〃分别在。"、AE.BF、CG上，根据三角形全等

的判定方法，易证：AAMgABCGgACDHgADAE.（不需证明）

【类比】如图②，在等边三角形的内部，作乙的'=NBCE=NCAD,AD.CE、4尸两两相交于。、

E、尸三点.

（2）判断：AD律的形状为.

【拓展】在图②中，若4?=3,CE=2,则。/的长为.

20.（2022秋・全国•八年级期中）如图（1）,是两个全等的直角三角形（直角边分别为a,b,斜边为c）

（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2=c2；

（2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出

证明过程：

（3）当a=3,b=4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角

边a,b分别与x轴、y轴重合（如图4中RsAOB的位置）.点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线

BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处.

①请写出C、D两点的坐标；

②若ACMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标.

21.（2021秋・浙江•八年级期末）如图，点八是射线OE：y=x（定0）上的一个动点，过点人作x轴的垂线,

垂足为B,过点B作OA的平行线交NAOB的平分线于点C.

（1）若OA=5夜，求点3的坐标；

（2）如图2,过点。作CG_LA8于点G,CHJ_OE于点”，求证：CG=CH.

⑶①若点A的坐标为（2,2）,射线OC与AB交于点D,在射线BC上是否存在一点?使得^若“与^BDC

全等，若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P/（0,及），P2（2,2拉），尸3（2+收，2・百），请你判

断也满足△人。~与4友）。全等的点是.（写出你认为正确的点）

22.（2022秋・江苏•八年级期中）如图I,长方形人8C7）中，八8=5,>4D=12,E为人。边上一点，DE=4,

动点P从点B出发，沿BTC-。以2个单位/s作匀速运动，设运动时间为九

（1）当/为s时，尸与△（?£）£：全等；

（2）如图2,E广为AAEP的高，当点尸在BC边上运动时，E尸的最小值是；

⑶当点。在EC的垂直平分线上时，求出，的值.

23.（2021秋・河南郑州•八年级校考期中）（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成

四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成丁一个大的正方形（如图1）,这个矩形称为赵爽弦

图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边。、人与斜边c满足关系式/+及=/,称为勾

股定理.

证明：•・•大正方形面积表示为5=/,,又可表示为S=4xg而+（b—〃产，

，4x；+（b—a）2—c2.

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

(2)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成J'另一个大的正方形(如图2),也能验证这个结论，请你

帮助小明完成验证的过程.

(3)如图3所示，N/WC=NAC£=90。，请你添加适当的辅助线，证明结论屋+杉=/.

24.(2021春・广东深圳•八年级深圳第二实验学校校考期中)己知一A8C是等边三角形，点。是8C边上一

动点，连结A。

(1)如图1,若&)=2,DC=4,求4力的长；

(2)如图2,以八。为边作NSAZ)E=NAZ)E=60,分别交八氏AC于点、E,F.

①小明通过观察、实验，提出猜想：在点。运动的过程中，始终有=小明把这个猜想与同学们进

行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法

想法1：利用AO是NED〃的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关

知识获证.

想法2：利用是/反万的角平分线，构造尸的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证.

请你参考上面的想法，帮助小明证明A£=AE(一种方法即可)

②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形尸的面积与AO长存在很好的关系•若用S表示四

边形尸的面积，x表示A。的长，请你直接写出S与％之间的关系式.

25.(2022秋,河北石家庄•八年级石家庄市第四十中学校考期末)阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全

等的等腰直角三角形图形变化问题

如图1,其中/8=/0=9(尸，AB=BC=AD=DE=2,此时，点C与点石重合.

cF

图1

（1）操作探究1：小凡将图1中的两个全等的从8。和VAOE按图2方式摆放，点5落在AE上，。。所在直线

交DE所在直线于点连结AM,求证：BM=DM.

（2）操作探究2：小彬将图1中的A8C绕点A按逆时针方向旋转角度。（0。＜。＜90°）,然后，分别延长"、

DE,它们相交于点尸.如图3,在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：

①。=30。时，求证：△CM为等大三角形；

②当a=时，AC//FE.（直接回答即可）

⑶操作探究3：小颖将图1中的.45。绕点A按顺时针方向旋转角度夕（0。＜/＜90。），线段3c和OE相交

于点F，当旋转到点尸是边。石的中点时（可利用图4画图），直接写出线段CE的长为.

26.（2022秋•浙江•八年级期中）如图，AB1BC,CDLBC,且BC=3c，〃，AB=\cm,CD=5cm,1P

以每秒的速度从点B开始沿射线8c运动，同时点Q在线段CO上由点C向终点。运动.设运动时间

为i秒.点。的速度为北

（1）P在线段上时，BP=cm,CP=c”（用含，的代数式表示）

（2）如图①，当点P与点。经过几秒时，使得AA8尸与APCQ全等？此时，点。的速度x是多少？（写出求

解过程）

（3）如图②，是否存在点P,使得△A。。是等腰三角形？若存在，请直接写出，的值，若不存在，请说明理由.

27.12020秋•江苏南通•八年级校考阶段练习）初识模型：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相

重合，则称此图形为“手拉手全等模型因为顶点相连的四边形，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手

拉手全等模型如图1,已知AA比•与都是等腰三角形，AB=AC,AD=AEt且N84C=ND4E,

显然AA8Z）邕AACE.

理解模型：如图2,在她C£）中，ZCBD=ZCDB=45°,连接4。，若/C48=45。，AC=6,A8=8,求A。.

运用模型：如图3,已知AABC,A3=A。，点G为8C上一点，点。为中点，GE_LA5于点£GF±AC

于点尸，判断血＞，。的数量关系，并说明理由.

迁移模型：如图3,等边A48C的边长为6,。是的中点，石是人C边上的一点，AA8C内部作等边三角

形DEF,若AF=正，直接写出线段CE的长.

28.（2021秋•八年级单元测试）我们知道，图形的运动只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，运

动前后的两个图形全等，翻折就是这样.如图1，将^ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C处，则

△ADC^AADC'.

尝试解决：（1）如图2,z\ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,将^ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上

的点C处，求CD的长.

（2）如图3,在长方形ABCD中，AB=8,AD=6,点P在边AD上，连接BP,将ZkABP沿BP翻折，使点

A落在点E处，PE、BE分别与CD交于点G、F,且DG=EG.

①求证：PE=DF；

②求AP的长.

29.（2020秋•四川・八年级校考阶段练习）⑴观察猜想：如图①，点3、A、C在同一条直线上，O8_L8C,

ECA.BC且NDA石=90',AD=AE,则AA06和Afi4c是否全等？（填是或否），线段

AB,AC,BD,CE之间的数量关系为

（2）问题解决：如图②，在mAA8C中，ZABC=90°,AC=6后,AB=6,以4c为直角边向外作

等腰油ADAC,连接B。，求的长。

（3）拓展延伸：如图③，在四边形ABCZ）中，ZABC=ZADC=900,48=5"。=上包,DC=DA,

2

CGLBD于点G.求CG的长.

30.（2022秋・江苏扬州•八年级统考期中）【问题背景】

小明遇到这样一个问题：如图I,在RlABC中，ZJ6^=90°,Z/l=60°,CO平分NAC8,试判断和

AC、AO之间的数量关系.

【初步探索】

小明发现，将.48沿C。翻折，使点A落在BC边上的£处，展开后连接OE,则得到一对全等的三角形，

从而将问题解决（如图2）

（1）写出图2中全等的三角形；

（2）直接写出8C和AC、AD之间的数量关系；

【类比运用】

（3）如图3,在A8C中，ZC=2Zfi,A。平分NC*/由=3,初=2,求SCZ）的周长.

小明的思路：借鉴上述方法，将.58沿A。翻折，使点。落在边上的E处，展开后连接DE,这样可

以将问题解决（如图4）；

请邓小明写出解答过程：

【实践拓展】

(4)如图5,在一块形状为四边形A8C。的空地上，养殖场丁师傅想把这块地用栅栏围成两个小型的养殖

场，即图5中的A8C和SCO,若AC平分N84DBC=CD=10m,AC=17m,AD=9m.请你帮丁师傅

算•下需要买多长的栅栏.

第一次月考重难点特训（二）之勾股定理与全等三角形结合的压轴题

囱【重难点题型】

1.（2023•全国•九年级专题练习）综合与实践.

勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著

名的数学家，也有业余数学爱好者.

图1图2

（I）我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，

后人称之为“赵爽弦图在RtAABC中，ZACT=90°,若AC="BC=a,AB=c.it

你利用这个图形说明cr+/=

⑵业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和

RtQA£按如图2所示的方式放置.，N7）AA=/8=90。，AB=AD=C,BC=AE=a,

AC=DE=b.请你利用这个图形说明02+/=52.（提示：连接五。，CD）

【答案】（1）说明见解析

（2）说明见解析

【分析】（1）根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面枳即可得出

结论；

（2）连接£C,CD,根据四边形A8CQ的面积=J（8C+AO）XA8="F，又四边形

4ECO的面积=SAK+SAC＞根据.8EC的面积=四边形A8c。的面积-四边形AECQ的面

积，得出等量关系，进而得证.

【详解】（1）;大正方形面积为°2,直角三角形面积为:"，小正方形面积为S-a）2,

/.c2=4x-ab+（a-b）2=2ab+a2-2ab+b2,

2

即c2=a2+b\

（2）连接£C,CD,

图2

□△ABC且Rt△及4E,

/.ZACB=NAED,ZABC=ZBAD=90°,

N8AC+NACB=90°=^BAC+NAED,

.\^AFE=90°,

ACIDE,

•・•四边形ABCD的面积=g(BC+AP)xAB=竺/，

2

四边形AEC。的面积=S&c+S4CD=yACxDE=；b.

8EC的面积=四边形MCD的面积-四边形AECO的面积=竺芋■-1b2=g〃c-,

:.c2+a2=b2.

【点睛】本题考查了勾股定理的证明，掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键.

2.(2023春•八年级课时练习)如图(1)A8C和广为两个全等的等边三角形，边BC和

E尸的中点重合与点。，直线。尸交直线4。于点G.

(1)求证：AG1.CG；

(2)若AG=CG,是判断。4、OG、OC的数量关系;

⑶若人B=2,请直接写由8G的最小值.

【答案】(1)见解析

(2)OC+Q4=0OG,见解析

⑶6-1

【分析】（1）连接40和DO,由AO=ODOC=OF,ZAOC=/DOF=90。,得到

ZOAD=ZODA=ZOCF,再由NOW+NOCG=180。得到NAOC+NAGC=180。，从而得

到NAGC=90°即可得到答案；

（2）连接GO,作GM_LGO交。4延长线于点由（1）可知NOAO+NOCG=18CQ,

再通过证明，H4G0,.OCG,得到OC=M4,GM=GO,从而得到，MOG为等腰直角三角形,

即可得到答案；

（3）当G点在A8c内部，且8G平分NA8C时，8G的值最小，延长8G交AC于此

时BG=8〃-GH,由等边三角形三线合一得出8”_LAC,AH=CH=^AB=\,由勾股定

理得出BH=y/AB?—AH?=6，通过证明AABG小8CG可得到N8b=N8AG,AG=CG，

连接AO和。。，通过证明，再通过角度的转化，从而得到AGJ.CG,进而得到

GH=AH=CH=\,最后得出了BG的最小值.

【详解】（I）证明：连接AO和OO,

AO=OD,OC=OF,/AOC=ADOF=90°,

Z.OAD=NODA=ZOCF,

NOCb+NOCG=180°,

/.NOAD+NOCG=180°,

.-.ZAOC+ZAGC=180°,

.-.ZAGC=90°,即4G_LCG.

(2)解：连接G。，作GM_LGO交Q4延长线于点例,

由(1)可知NQ4O+NOCG=I8()°,

NM4G+N04D=18O。，

...ZM4G=NOCG,

NMGO=ZAGC=90°,

即ZMGA+ZAGO=ZAGO+ZOCG,

:.ZMGA=ZOGC,

,•4G=CG,

MAG会OCG(ASA),

:.OC=MA,GM=GO,

.FMOG为等腰直角三角形，

/.OC+OA=MA=42OG.

(3)解：如图所示，当G点在ABC内部，且BG平分/A8c时，8G的值最小，延长8G

交AC于〃，此时BG=3H-GH,

BG平分/ABC,ABC为等边三角形,

BH工AC,AH=CH=-AB=\,

2

BH7AB2-AH?=N/3，

，边BC和E/的中点重合与点0,

:.OF=OC,

:.ZOFC=ZOCF,

在/A8G和BCG中，

AB=BC

NABG=ZCBG,

BG=BG

.“ABG经BCG(SAS),

:./BCF=/BAG,AG=CG.

.../OFC=BAG,

连接40和。O，

AO=OD,OC=OF,

：.ZOAD=ZODA,NOFC=NOCF,

*/ZAOC=ZZX)F=90°,

：.ZFOC=ZDOA,

：・/OAD=NOCF

,/ZOWC=ZAWG,ZOWC+ZAOC+ZOCF=ZAWG^-ZAGW+ZDAO=180°,

・•・ZAGW=ZAOC=90°,

「•AG1CG,

.•.△4GC为等腰直角三角形，

，；AH=CH,

;.GH=AH=CH=1,

/.BG=BHGH=g1.

二•BG最小值等于石-1.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质三角形全等的判定与性质，勾股定理，解题的关键是

作出适当的辅助线，熟练掌握等边三角形的性质以及三角形全等的判定与性质.

3.(2023秋・河南南阳•八年级统考期末)我们把“同一图形的面积，用两种不同的方法求出

的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”.

图③

⑴通过如图①中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：；

(2)“面积法”还可以作为几何证明的工具，当两个全等的直角三角形摆放成如图②所示时，

其中ND48=900,借助图中辅助线用两种不同方法表示四边形ADCB的面积，易得：

S^m+S:=：S.+S5cB=，构建等式整理可得：/+/=。2；

⑶如图③，在，A8C中，AB=AC=\3,BC=16,P为边BC上的任一点，过点P作/WL钻,

PNLAC,垂足分别为"、N,连接AP,利用“面积法”求PM+/W的值.

【答案】⑴〃一2而+从=(1同2

(-21)-,b22+-1ab,

22t

(3)PM+PN=^

【分析】（1）用两种不同的方法表示左上角正方形的面双，即可求解；

（2）根据三角形的面积公式表示即可；

（3）过A作A〃_L3C上点儿由等腰三角形三线合一可得〃4=HC'=j4C'=5,根据勾股

定理可得A”=12,再由"ABC=S'+Sw进行求解即可.

【详解】（1）解：左上角正方形的面积可以表示为/一必一时+从=/一2必+从,也可以表

示为：（。_8）2

即"2—2〃人+//=（〃一〃）、

故答案为：a2-2ab+h2=（a-b）\

2

（2）解：S^CD+S^Be=^ACDE+^ACBC=^b+^ab,

2

^AD^S^B^ADAB^BCDF=^c^a（b-a）

故答案为：/+；ab,-c2+^-a（b-a）.

（3）解：如图，过4作A"_LAC于点儿

VAB=AC=13,

HB=HC=-BC=5,

2

,由勾股定理得，AH=>IAB2-HB2=7132-52=12.

,**S&ABC=S&ABP+S4ACP，

：.-BCAH=-ABPM+-ACPN,

222

A-X10X12=-X13XPA/4--X13XP;V,

PM+PN.

13

【点睛】本题考查了几何图形与整式乘法，三角形的面积的计算，等面积法的应用，等腰三

角形的性质以及勾股定理，解本题的关键在熟练掌握等面积法的应用.

4.（2023秋・河北石家庄•八年级石家庄市第二十二中学校考期末）【阅读材料】小高同学发

现这样个规律：两个顶用相等的等腰三角形，如果具有公共的顶点的顶点，并把它优的底

角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小高把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

BD

【材料理解】

（I）如图I,在“手拉手”图形中，小高发现若NK4C=/A4E,AB=AC,AD=AE,贝J

△4瓦江△ACE,请证明小高的发现.

【深入探究】

⑵如图2,/R4C=ND4E=90。，AB=AC,AD=AE,试探索线段CD,BD,人。之间

满足的等量关系，并证明结论；

【延伸应用】

⑶①如图3,在四边形/WCO中，BD=CD,AB=BE,ZABE=NBDC=60。,NA与/BED

的数量关系为：（直接写出答案，不需要说明理由）；

②如图4,在四边形A8CD中，ZABC=ZACB=ZADC=45°,若80=3,8=1,则AO

的长为（直接写出答案，不需要说明理由）.

【答案】（1）见详解

⑵口）2+。2=24）2,理由见详解

⑶①NA+NAK£>=180°；②2

【分析】（1）由题意易得然后可根据“SAS”判定三角形全等；

（2）连接CE,然后根据题意可判定△A3Z汪△ACE,则有N£）CE=90。，进而根据勾股定

理及等腰直角三角形的性质可进行求解；

（3）①由题意易得回C是等边三角形，则有BD=BC4>BC=60。，然后可得

AB*AEBC,进而根据全等三角形的性质可进行求解；②过点。作C〃_LAO于点H,过

点8作笈G_L/1E>,交的延长线于点G,然后可证「.月根据等腰直角三角形

的性质可得4G=C”=O，=①，设AH=8G=x,则有。G=x+x/5,进而根据勾股定理

2

建立方程进行求解即可.

【详解】（I）证明：・..NA4C=ND4E,

,ZBAC+ZCAD=NDAE+NCAD,即/BAD=ZCAE,

VAB=AC,AD=AE,

・•・AABD^AACE（SAS）；

（2）解：BD2+CD2=2AD2,理由如下：

连接CE,如图所示：

VZBAC=ZZM£=90°,AB=AC,AD=AE,

/.ZBAC-^CAD=ZDAE-ZCAD,ZB=Z4CB=45°,DE=6AD，

・•・ZBAD=ZCAE,

・•・AABD^AACE(SAS),

.•・NB=ZACE=45°.BD=CEt

JNDCE=90。,

在RtV力CE中，由勾股定理得；CD2+CE?=DE2,

BCf+CD2=2AD2；

(3)解：®VBD=CD,NBDC=60。，

，二60c是等边三角形，

・•・BD=BC/DBC=3°,

,?ZABE=60°,

・•・ZABD=/EBC,

,/AB=BE,

：.ABD^.EBC(SAS),

JZA=NBEC,

NBEC+/BED=18V,

JZA+ZBED=18()°；

故答案为NA+/BED=180°；

②过点C作C〃_LA。于点〃，过点8作AG_LA。，交QA的延长线于点G,如图所示:

/.ZBGA=ZAHC=90°,

,/ZABC=ZACB=45°,

.・.AB=ACyZBAC=9()°t

・•・NGAB+NGA”=ZHCA+ZCAH=90。，

/.NGAB=4HCA,

・•,-AC”-BAG(AAS),

：.CH=AG,BG=AH,

ZADC=45Q,NCHD=90。,CD=\,

***AG=CH=DH=,

2

设4”=BG=x,则有OG=x+&，

在RlZ\8GO中，BD=3,由勾股定理得：

X2+(X+V2)2=32,

解得：x=2-正，(负根舍去)

2

，AD=AH+DH=2；

故答案为2.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质与判定，

熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键.

5.(2022秋.江苏无锡.八年级校联考期中)【问题探究】

(1)如图1,锐角相C中，分别以A3、AC为边向外作等腰直角-ABE和等腰直角ACD,

使/皿=.,AD=ACt/刚石=NC4O=90。，连