第十二章 推理与证明、算法初步与复数

第十二章推理与证明.算法初步与复敬

第1节合情推理与演绎推理

对应学生用书P318

考试要求

1.了解合情推理的分类，了解演绎推理的模式.

2.能根据类比推理得到某些对象的类似特征与性质.

3.掌握“三段论”的原理及推理过程.

■1清」知识结构基础全通关

类型定义特点

根据一类事物的部分对象具有

归纳某种特征.推出这类事锄的金

----日部分到，由个别到

推理一对象都具有这种特征的推

理

由两类对象具有某些类似特征

类比和其中一类对象的某些已知特

推理征,推出另一类对象也具有这些臼

特征的推理

二、演绛推理

1.定义:从一般性的原理出发，推出在某个特残情况下的结论，我们杷这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到的

推理.

2.“三段论”是演绎推理的一般模式,包括：

(1)大前提——已知的一般原理；

(2)小前提——所研究的胃殊情况;

(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.

应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正谓的，那么结论必定是正晌的.若大前提或小前

提错误，则尽管推理形式是正确的，但所得的结论是错误的.

自我诊断

1.判断下面结论是否正确.(对的打寸，借的打”)

(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理.(

(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.(

(3)“所有3的倍数都是9的倍数，若数6是3的倍数则m一定是9的倍数”.这是三段论推理，但其结论是错误的.(

(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.(

答案⑴x(2)*(3)V(4)x

2.对于任意正整数几2。与承的大小关系为().

A.当虐2时,2色加

B.当庆3时22广

C.当应4时,2">N

D.当出5时,2">在

D

当〃=2时,2"=/沟当n=3时,2=戌当〃=4时,2"=/两当n=5时当〃=6时,2">”.归纳判断，当应5时,2">犀.故选D.

3.在平面内,若两个正三角形的边长比为1:2则它们的面枳比为1.4.类似地，在空间中,若两个正四面体的校长比为12则它们的体

积比为.

答案1.8

因为两个正三角形是相似的三角形,所以它们的面积之比是相似比的平方.同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之

比为相似比的立方,所以它们的体积比为1.8.

4.在平面几何中有如下结论:正三角形a8c的内切圆的面积为$,外接圆的面积为&,则推广到空间可以得到类似结论:已知正

四面体尸48c的内切球的体积为达，外接球的体积为方则,=.

(类比推理、类比规律错误致误)从平面图形类比到空间图形，从二维类比到三维,可得如下结论:正四面体的外接球和内切

球的半径之比为31故正四面体8c的内切球体积以与外接球体积外之比等于价包券

5.(2023•陕西西安高三月考)在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:2后房3R=属，4聆=癌.按照以上规律，若

m^=辰，则m,"满足的关系式为().

A.n=2/n-1B.n=2(m-1)

C.n=(m-1)2D.n=rri2A

D

由即可知，21=居=信,3信品信，出京=信，则可归纳得哦眄1P鬲所以〃丑「

考点题型命题全研透

考点一归纳推理

命题角度1数或式的归纳

(2023四川成都七中高三考试)已知数列｛&｝满足&=3或内,底N：现将该数列按下图规律排成蛇形数阵(第/行有/个

数*N),从左至右第/行第/个数记为a加//N.且方/),则A21.2O闫).

ai

a、

A,3*2Z9B.33。C.3*2211D,3*2212

C

由题可知，第/行有/个数，当/为奇数时,该行由右至左/逐渐增大，

戈200）表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数，则前20行共有空警2十10个数，即第21行倒数第1个数为负“,

所以*1,20）表示通项为an右修"”的数列的第212项，所以a2l.2O产劭2勾或211,故选C.

（g^）»

数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问甄时，需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知

识,如等差数列、等比数列等.

感悟实践

观察下列等式：

（s呜）•2«（sin-2^*1*2；

（sinpJsin0）八（sinWJsinpU或x3;

3AO>J

（sin］）a+（sin孕）a.lsin言）々（sin竽），,必必;

（sin）2+（sin等）2♦（sin与）々*...■*（sin号）y力*4*5;

照此规律,

Qin就LXsin品）々,（sin篇），#...，（sin^L=

5c案4n（n+l）

观察前4个等式，由归纳推理可笈（sin焉）"Qin嘉）2「」（sin磊结用，

命题角度2图形的归纳

分形几何学是数学家伯努瓦•曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科,它的创立为解决传统科学众多领域

的难题提供了全新的思路.按照如图①所示的分形规律可得如图②所示的一个的形图.若记图②中第〃行黑明的个数为久则

32021=

第1行

饵2行

第3行

①

32020.1

答卷

根据近图4所示的分形观律，可知1个白圈分形为2个白瓯1个黑圈,1个黑圄分形为1个白圈2个黑图，把题图②中的

树形图的第1行记为(1,0),第2行记为(2.1),第3行记为(5,4),第4行的白圈数为2*5*4=14,黑圈数为5+2MK3,所以第4行的“坐

标.'为(14.13),同理可得第5行的“坐标力(4140),第6行的“坐标”为(122,可1)，….各行黑圉数乘2,分别是0,2,8,26,80，…,即1-1,3-

1,9-1,27-1,81-1…“所以可以归纳出第0行的黑期数/与々neN),所以

^8S)»

形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检脸法脸证其真伪性.

感悟实践

(2023」超级全能生•高三联考)如图,直角三角形的三边勾股弦的长分别为a力c以边长为a"c的三边分别向外作相似的图形，具面

积分别为试猜想这些图形的面积S,%,与满足的关系式为.

因为a,A.c为直角三角形三边勾股弦，所以&带$,

囚为*(J唾=(4)J所以tjy=［所以S?+SJ=SL

S1csicS\d

考点二类比推理

(2023•河南南阳高三开学考试)我国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股.斜边为弦.若

a“C为直角三角形的三边，其中C为斜边，则戌称这个定理为勾股定理.现将这一定理推广到立体几何中:在四面体CM8c

中,“。8=/86心=〃0。=90°6为顶点。所对面的面积,$6淳分别为侧面〃048/0。/。8。的面积,则下列选项中对

SS'SZ,SJ满足的关系描述正鹤的为().

A.S=S+S2+S3

言C

作四面体O-48CN4O8=/80C=N4OCKO°,作0E8C于点D连接力。如图.

S2=(^BCAD)2OCOA)2BCOD)2=Sf*Sf*Sf.

即9本嗯7,散选0

在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比，且要注意以下两点:(1)找两类对象的对应元素，如三角形对应三

棱锥.圆对应球,面积对应体积等等;(2)找对应元素的对应关系，如两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直.边相等对应面积相等.

感悟实践

已知命题:在平面直角坐标系中，椭圆的方程为今专=1(a>Z»0),必8C的顶点8在椭B1上，顶点4c分别为椭圆的左、右焦点，

桶圆的离心率为a则变需勺.现将该命题类比到双曲蝮中，设双曲线的方程为舞=1(40,附,”18c的顶点8在双曲姣上，顶点

AC分别为双曲线的左、右焦点，双曲姣的覆心率为e则.

饺宝|sinArinC|J

sinH-e

在双曲线中，设上48c的外接圆的半径为《则片2氏inC，IAC/=2R&\x\BJBCI=2Rs\r\A则由双曲妓的定义得〃84/-

/8C//Na/4cr2c,则双曲姣的,心率《扁褊下品，即嗯浮£

考点三演绎推理

I1数列｛a#的前"项和记为S%已知证明：

⑴致列愕是等比数列；

(2)S0*iH%.

(1)：吊.1=S/?*1SntAmi」JSc.

.:(〃+2)S°二as“r-S〃)，

即"S〃.i=2("#1)S.

：■之.纹又学WHO,(小前提)

n+1n1

故｛9｝是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论)

(大前提是等比数列的定义，这里省略了)

(2)由(1)可知辿H-吗(佗2),

n+1n,1

.STNS+1卜罂

=4或虑2),(小前提)

又①=3SN,S=ai,包=1+3HHa,(小前提)

.:对于任意正整数，，都有SeFaM结论)

(第(2)问的大前提是第(1)间的结论以及理中的已知条件)

演绎推理的一般模式为三段论，三段论推理的依据:如果集合〃的所有元素都具有性质8s是M的子集，那么S中的所有元素

都具有性质。应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提,小前提，然后再找结论.

感悟实践

1.下列三句话按“三段论”模式排列顺序，正确的是().

©y=cosMXER）是三角函数:②三角函数是周期函数;③y=cosM^R）是周期函数•

A.①②的②①@

C@@。D.◎②。

答案B

•②三角函数是周期函数*是大前提「①片cosMxeR）是三角函ST是小前提,“⑨尸cosM>eR）是周期函数”是结论.故选B.

2.某国家流传这样一个政治笑话:•愿吃白菜.参议员先生也吃白菜,所以参议员先生是熠：结论显然是错误的，是因为（）.

A.大前提错误B.小前提错误

C.推理形式借误D.非以上错误

竿C

大前提物吃白菜”本身正晌，小前健'参议员先生也吃白菜'本身也正晌，但不是大前提下的特殊情况留与人不能类比，所以

不符合三段论推理形式,所以推理形式惜误.

II练,

对应考高效训练3P129

基叱过关

1.

1

22

343

4774

51114II5

如图,这是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，若a力是某行的前两个数，当实数3=7时，归）.

A.20B.21

C.22D.23

答案C

观察三角形数垒可知，从第三行开始,每一行除开始和末尾的数外，中间的数分别是其,两肩”上相邻两个数的和，当a=7

时力的“荫肩•上的第一个数为6,第二个数为16,所以0=6*16=22.

2.

（D

图0是美丽的“勾股树”，它由一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图②是第1代“勾股树”，电复图流作图方法，得

到图③为第2代“勾股捌“，以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第〃代“勾股树”所有正方形的面积的和为（）.

A.nB./i2C.n-1D.n+1

D

因为最大的正方形面枳为1,所以当n=1时.由勾股定理知所有正方形面枳的和为2,依次类推.可得第0代•勾股树•所有正

方形面积的和为"X.故选D.

3.我国的刺携有着悠久的历史，图（1）（2）（3）（4）是剌绣中较简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形个数越多，剌绣

越漂亮.现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第0个图形包含个小正方形，则4力的表达式为（）.

(1)⑵⑶(4)

A.&ri)=2n-1

C.^^2rP-2nD.«〃)N/A2"X

D

我们考虑<2)/1)=4<3)42)名抬)式3月2,…，结合图形不难得到屏加得4"个)工“〃-1)=2机2〃,故

</?)=2^2-2/7+1.

4.若一个带分数的算术平方根等于带分数的整数部分乘以分数部分的算术平方根，则称该带分数为■•穿墙数”，例如后=2若一个

一穿墙ST的整数部分等于1唱2&则分数部分等于().

A5B5以吒

答&C

因为Iogz8=3,所以可设这个“穿地数”为3弋，则^3+^=3旧等式两边同时平方得3咛多即黑.

5.(2023陕西法门月考)勾股定理:在直角边长为ah斜边长为c的直角三角形中，有浜♦〃加.类比勾股定理可得，在长、宽、高分别

为04/体对角姣长为d的长方体中，有.

类比勾股定理可得,在长、宽、高分别为0。/体对角姣长为d的长方体中，有G+(??+?=d.

k能力提升

6.某煤气站对外输送煤气时，用1W号5个阀门控制,且必须遵守以下操作规则：

(1)若开启2号，则必须同时开启3号并且关闭1号；

(2)若开启1号或3号，则关闭5号；

(3)禁止同时关闭4号和5号.

现要开启2号，则同时开启的另外2个阀门是.

答案3号和4号

E一由题意，若开启2号，则关闭1号开启3号，开启4号，关闭5号.

思维拓展

7.观察下列各式：13=2,13.23=32,13・23.3342,13.23+33X3=02,归纳得到第"个等式为管以3目3.…+小=加(血,住N)若不等式4不

2/n-16<0恒成立，则实数X的取值范图是.

答案(』9)

由题意可得.mG+2w”..生罗，

：yV?2m-16<0恒成立，

,乂〃<“〃+1)+16,且n>0,J<n*14恒成立.

.J<(n+1+—).

\n/min

:〃422\怎=8,当且仅当即n=4时取等号，

nn

•〃/的易小值为8.1㈤,

故实数才的取值范困为("§).

第2节直接证明、间接证明与数学归纳法

对应学生用书P321

考试要求

1.了解直接证明与间接证明的分类.

2.能根据不同的题型特征采用合适的方去进行求解或证明.

知织结构基础全通关

-、直接证明

内容综合法分析法

利用已知条件和某些

数学定义、公理、定

理等.经过一系列的从要出发，逐步寻求使它成立的^，直至最后.把要证明的结论归结为

，最后推导判定一个明显成立的条件

出所要证明的结论

思雄

由因导果执果索因

过程

框图

表示

书写

因为……所以,要证……只需证……即证

格式

二、间接证明

间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法.

(1)反证法的定义:假设原命题(即在原命题的条件下,结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾,因此说明假设错误,

从而证明的证明方法.

(2)用反证法证明的一般步骤:。反设——假设命题的结论不成立;。归谬——根据假设迸行推理,直到推出矛盾为止;③结论——

断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.

三种证明方法的策略

(1)分析法与综合法的应用特点:对较复杂的问题，常常先从结论迸行分析，寻求结论与条件的关系,找到解题思路，再运用踪合法证

明或两种方法交叉使用.

(2)分析法证明的注意点:要注意书写格式的现范性，常常用一要证(欲证)……〜即证……-"只需证……

(3)利用反证法证明的特点:要假设结论话误，并用假设的命J0进行推理.如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果.那么其推理过

程是错误的.

三、数学归纳法的两个步骤

一般地，证明一个与正整数”有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)归纳奠基

证明当，取第一个值加(CeN)时命题成立(初始但加不一定为1)；

(2)归纳递推

假设〃=*依⑶，辰N)时命题成立,证明当”=4+1时命题也成立.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题无从6开始的所有正整数〃都成立.上述证明万法叫作数学归纳法.

注意:证明当n=k+1时命题成立一定会月到归纳假设.即假设〃次在mAvN)时命题成立，解咫时要搞清从"=大到n=k+,增加了

哪些项或减少了哪些项.

自我诊断

1.判断下面结论是否正确.(对的打“J”,错的打*)

(1)域合法是直接证明,分析法是间接证明.

(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步导找使得结论成立的充要条件.

(3)反证法是将结论和条件同时否定，然后推出矛盾.

(4)在解决问题时，常用分析法导找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程.

答案(1)*(2)*(3)*(4)7

2.若尸=而恶75丁7。归市心在(*0),则RO的大小关系是().

K.P>QB.P=O

C.P<QD.由a的取值谪定

省MA

产=2a+13*2v'a2+13a+42,(?=2a*13*2Va2+13a+40.

所以尸》(Z又因为Q0,QX),所以P>Q.

3.利用反证法证明"若x+HO,则或修1”时,正地的反设是.

若xtyso』i]x>1且y>l

(对含有遗殖联结询“且“.或”的结论否定出错)若X+J4),则x>1且y>1.

4.已知A8为"8C的内角，则4>8是sin走sin8的().

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

C

:为三角形的内角.即sin/IXJ.sinFX）,.^in4>sin8s2+in4>2ainBc>a>baA>B.

SiiuflsniD

考点题型命题全研透

考点一综合法

在中，设a,ac分别是内角A8C所对的边,且直姣bx+ycozA^cos8=0与ax+)cos8/sA=Q平行.求证:“8C是

直角三角形.

（法一）由两直线平行可知dcosS-acos4R,由正弦定理可知sin0cosBsinAzos4=0,即;sin26』sin2/1=0,故24=28

或2/U28=n,即4=8或力+8*若A=8则a=b,8s4yos6,两直姣更合，不符合题意，故八，8号即58c是直角三角形.

(法二)由两直线平行可知bcosB-acos>4=0.

+4P,=1alnct>2+c2.a2一4储+/上？

由柒弦定理，得育一k=°F^,

所以^

所以d(原招)<浜+")(序行),

所以(#4)(浜+外房)=0,所以a=b或*+a=@.

若a=。则两直线至合，不符合题意，

故H♦〃一，即“H8C是直角三角形.

利用综合法证明的策略:用综合法证明是从已知条件出发.逐步推向结论.综合法的适用范网:(1)定义明确的问题：(2)已知条件明

确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近经论的题型.

感悟实践

如图，在直三棱柱ABC-AyBya中分别为8cde的中点Y8=8C求证:

⑴481|平面DECi.

⑵8&CE

(1)因为分别为8cde的中点，所以E典AB.

在直三棱柱ABC-AyByO中/印48.所以4811>.

又因为平面G,48仰平面。门a,所以平面DEG.

(2)因为AB=BC,E-hAC的中点,所以BEtAC.

因为三棱柱ABC-AyByCy是直棱柱.所以CCU平面ABC.

又因为8氏平面48c所以CCyrBE.

因为GCC平面4ACGMCt平面AyACC\,CyCT\AC=C.

所以弥平面44CG.

因为G氏平面4/4CG,所以BECE.

考点二分析法

(2023・陕西咸阳检测)已知a>0,用分析法证明:心+a缶a号2

要证明Ju?+,根之=,2只需证Ja3+^*2^^*V2,

IJ422+a2）22（&**75）2,

只需证

+斗MNa2+24+2&*'J+2,

只需证

a，7Ma£a

即2^a2+(a*),

只需证4(印/城，即#耳22,显然成立,

故原不等式成立.

分析法的证题思路：

先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,直至充分条件是己证的命地(定义、公理、定理、法则、公式

等)或要证命题的已知条件时.命题得证.用分析法证明时,要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”"即证……•”只需证……"

等，逐步分析，直到得出一个明显成立的结论.

感悟实践

已知二48c的三个内角48C成等差数列,48,C的对边分别为a也C.求证:3

a+bo+ca+o+c

要证_LJ_=_2_,

a+biH-ca+b+c

即证喏怨千=3,也就是证明京偌K.

只鬻证o(b+c)+a[a+bj=｛a+tf)｛b^,

需证c?+a2=ac+bl,

又“18C三个内角AHC成等差数列志840°,

由余弦定理,得8=a+*?aczo$600,

即&=d+4-ac,根d+"=ac+&成立.

于是原等式成立.

考点三反证法

[•设｛的｝是公比为q的等比数列,Sc是它的前。项和.

(1)求证:数列｛S｝不是等比数列.

(2)数列｛$;｝是等差数列吗？为什么？

⑴假设｛SJ是等比数列,则於=$$,即响1+02=金&(1+才=1，如G解得＞0,这与＜5*0相矛盾.故假

设不成立，数列｛S〃｝不是等比数列.

(2)当7=1时,｛S｝是等差数列.当严1时,｛S#不是等差数列.理由:当＜7=1时,S＞=/a，故逐。｝是等差数列.

假设尹1时,S,&,&成等差数列，即2&=S"0,2ai(1坳和15(1”，甲).

:*0,.:2(1+＜^^=2*＜7*^,BPq=(”中1,。叫这与#0相矛盾.故当尹1时,｛S“｝不是尊差数列.

综上可知，当＜7=1时,｛$：｝是等差数列;当时,｛S'｝不是等差数列.

®S«S)»

用反证法证明数学命JS需把握三点：(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2)必须从否定结论方向进行推理，即应把结论的反面

作为条件，且必须依据这一条件迸行推证;(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛清有的与假设矛盾，有的与已知事实分盾等，

但是推导出的矛盾必须是明显的.

感悟实践

直线/过拗物姣yNQMPX))的焦点，且与推物线相交于48两点，求证:对于抛物线任意给定的一条弦C2直统/不可能是CO的垂

追平分姣.

设QMM，久及M，则为士用且K?pM,*=2p及.

假设直级/是的近直平分线，则由焦微《5,0卜4得“切可厂〃

即（勺）以十局2生，

.■.（x^n-fi]（xyx2]=yl^l.

又反状=2。&方）*0,

；.X[+X2=-p,

•:川小2X尬.必）=-2行<0,这与实数的平方是非负数矛盾・

故直线/不可能是8的垂直平分线.

考点四数学归纳法

[1设数列｛品｝满足m=2,%^3-0住心值2）月数学归纳法证明ac>“mN）

显然ai=2X）,a>=3>2,ai=7>3,<S4=46>4.

设当〃=*依3）时，有at>k.

则户3々<彳，1）=2A-1>4+1.

这就是说，当n=k+\时，不等式也成立.

于是，对任意正整数〃,

«««*）»

用数学归纳法证明不等式的关健是由当“不时不等式成立,推证当〃》+1时不等式也成立,在归纳假设后，可采用分析法、综合

法、求差（求商）比较法、放缩法等证明.

感悟实践

用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数八不等式（1+i）（i+4…（1+六）玲里均成立.

解析①当卷时，左边=i用考右边除

:左边〉右边，.:不等式成立.

②假设当n=^2且触N）时,不等式成立，

即（/（1+4..（1+勤军

则当n=k+t时，

（1+9。脸）

,、i7Fn2k+2.2k+214/+8k+4

2*2k+12V2）r+I2V75+I

+佻+3/级+1甲

2V2JF+T~~2^2Jf+T2*

.:当n=k+\时，不等式也成立.

由①◎知对于一切大于1的自然数〃，不等式都成立.

训练,逐点排查素养快提升

对应《高效训练》P130

V基此过关

1.（2023・陕西帏城期中）用分析法证明“日<5”时，正确的步骤是（）.

A.-V2l<5,21<25"

B.*A/2T<5^21<25"

C."欲证旧<5,只需证21<25

D.“因为21<25.所以旧<5”

rC

用分析法证明“闭<5”时,正晌的步臻是"欲证V2T<5,只需证21<25:

2.用反证法证明。已知Q5卬=2,求证:0大再2•时,可假设“p+q>2"：②"若足工则x=-2或x=2"时,可假设“心-2或"2".以下结论正弼的

是（）.

A.①与②的假设都错误

B.①与②的假设都正确

C.0的假设正谈.②的假设错误

D.0的假设错误.洲假设正确

答案C

p+62的否定为。"牛2故⑦的假设正确.

ux=-2或六2"的否定应是“户-2且/2”,故②的假设借误.

故选C.

3.若要证/+目"《0,只要证明（）.

A.2e»1小520

岑Is。

C把学.172〃NO

D.（承-1）（5-1户0

D

因为〃物22劭所以2级）-172松#坊-132340,故选项从错误；

因为嘤2、石皆=H〃.所以用+按-1且/故选项B错误：

因为例¥4#.〃）=0所以殁2工#.勿驾匚1/"S空."小小〃40故选项C错误；

因为/加=<H-1）（氏1）,所以要证/+%1/"40,只要证明4/1）（氏1）£0,只要证明（孙1）（〃-1户0,故选项D正确.

V能力提升

4.甲、乙、丙三人从标号1至12的12个小球中各取4个小球，

甲说:我取的小球中有1号和3号；

乙说:我取的小球中有6号和11号；

丙说:我们三人各自取得的小球的标号之和相等.

据此可判断丙所取的小球中一定含有()小球.

A.10号和12号B.8号和9号

C.2号和7号D.4号和5号

答案B

由期意知,1至12的和为78,因为三人各自取得的小球的标号之和相等.

所以三人各自取得的小球的标号之和为26,根据甲说:我取的小球中有1号和3号;乙说:我取的小球中有6号和11号，设甲取得

的另外2个小球的标号分别为a力,乙取得的另外2个小球的标号分别力ad,

8l|(a+b=26-1-3=22,

RJ(c+d=26-6-11=9,

所以甲取得的另外2个小球的标号分别为10,12,则余下的小硅的标号为245,7,89

根据c+d=9,由2+7F*5=9,得丙所取小球中一定含有的小球的标号为8.9.

5.已知…乜-(住N)

n+1n+2n+n''

⑴求S,题s的值.

⑵用数学归纳法证明S号.

解析⑴$二1+17'&4+1'2+2，12'*3+「3+2,3+3%・

⑵由⑴知，当0^1,2,3时,不等式S号戌立.

假设当〃=《能3M灰叱)时,个等式成立，即S户*二+,1々ri+Z尸…*K+K号,

当n=k+1时…=&+i+।-----.........................-=S^-------5------>S*a—.

n""'11*k+2k+32k+22k+l2k+2k+12/t+l2k+2(2k+l)(2k+2)24

综上所述,对任意ncN：S蜀J成立.

区思维拓展

6.(1)已知等差数列｛&｝中，首项aX),公差力0.求证:对任意正整数〃工,」一,一!一都不成等差数列.

anan+l0n+2

(2)已知rzX),—mn>1,<RuE:lnv'l+n*lnVl-m>C.

解秒⑴假设存在neN.，使L,二一一一成等差数列，即二一」J-,

aka»2a»i。内+2

.后哼产,又数列1%｝为等差数列，

.：do=23/t*i.

.：」=2%”，M2=an3n2即⑸切2=/a”,2G,

0冷♦】flnati4-2

展开化简得d=0,即d=0,与已知力0矛盾,因此假设不成立，故原命题得证.

(2)由40及翳X,可知

要迎InVl+u-HnVl-mX),

只需证ln(Vl+nVl-m)>ln1,

只需证,

即证1+n-m-mn>\,

只需证n-m-mn^Q,

只需证5>1,而这是已知条件…原不等式得证.

ntft

第3节算法初步

对应学生用书P325

考试要求

1.了解算法语句和基本逻辑结构.

2.能读懂程序框图并进行相关计算.

清,知识结构基础全通关

一、算法与框图

1.算法:通常是指按照一定的规则解决臬一类问题的明确和有限的步赛.

五种目本算法语句：令入语句、输出本句、屈值本句、条件法和循环证

2.程序框图

(1)程序框图又称流程图，是一种用.及文字说明来表示算法的图形.

(2)区本的程序框有终端框(起止框)、输入铤、电周框、处理框(执行隹)和判断框.

二、算法的基本逻辑结构

顺序结构条件结构簪环结构

由若干个依次

算法的流程根据

执行的步骤组

受成，这是任何一条件是否成立而从某处开始,按照一定的条件反复执行某些步软的情况,反复执行的步骤称为"

选择执行不同的ft_

个算法都甫不

流向的结构形式

开的超本结构

程

序

槌

图

⑵当型循环结构

Z\［循号体

/艇7

7

自我诊断

1.判断下面结论是否正物.（对的打错的打"）

（1）一个程序框图一定包含顺序结构，也包含条件结构（选择结构）和循环结构.

（2）当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行,直到条件成立为止.

（3）在算法语句中,X=X+1是错误的.

（4）输入语句可以同时给多个变■后值.

(1)*(2)*(3)*(4)4

2.执行如图所示的算法框图，若输出的S为4,则输入的x应为（）.

A.-2B.16

C-2或8D.-2或16

D

该算法框图的功能是求函数:L的函数值，当5=4时,*=-2或x=16.故选D.

3.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的5为（）.

A.5B.8C.24D.29

B

（忽视算法框图的意义与功能导致错误）/m,S=O,/.不是偶数;第一次循环,SK,/=2<4;第二次循环，/是偶数，六1,S=5/=3<4；

第三次循环"不是偶数,S4JH,满足乏4,瑜出S,结果为8.

4.（2023•安徽安庆模拟）我国古代数学专著以九章算术》用•更相减损术”求两个正整数的属大公约数,这是一个伟大的创举，这个伟大

的创举与古老的算法“辐转相除法”的实质一样，如图所示的程序框图即源于“辑转相除法••当输入aW081力W05时,输出的）.

/・人

|求a赊以1的余蕨71

W

A.7B.11

C.23D.47

答案C

模拟程序框图的运行过程如下：

081力405,

执行用环体/=276,a405,H276,

不满足退出循环的条件，执行循环体，产253,a=276,又253,

不满足退出循环的条件，执行循环体，广23,a=253/=23,

不满足退出循环的条件，执行循环体，KQa=23力=0.

此时,满足退出循环的条件广。退出俺环，输出a此时a的值为23.

5.（2022年全国乙卷）执行如图所示的程序框图,输出的n={）.

A.3B.4C.5D.6

B

执行第一次循环力-1+2=3,

孕.01;

执行第二次循环。=3M=7,

a=7-2=^,n^3.

l^-2I=l^-2I^>0.01:

执行第三次循环@=7+10K7,

5=17-5=12,/?=4,

LI』及2l*R.O1,此时输出cH.故选B.

考点题型命题全研透

考点一程序框图

零

|*=l.S=0|

|S=S+A+2*~U

I

\k=k^\|

/输野/

豳

执行如图所示的算法隹图,则该算法的功能是().

A.计算(1・2。)<2)式3・2?)士..气〃+1・2的值

B.计茶(19)*2+22)*3+23)+…*。s5)的值

C.计算(1+2+3«20+2i+2?♦…+2日)的值

D.计算［1+2+3+...H”-1))*20+2’$+...+2°)的佰

答C

初始值4=1,SW),第1次进入循环体时,S=1铲,依2;第2次进入循环体时,S=1+2。以以1公3;第3次进入循环体

时,5=1+2*2,21+3+2，〃H：...;给定正整数几当公〃时,最后一次进入福环体，则有S=1+2)+2+2i+...，r3L="1,终止循环体，输

出S=(1+2+3，…+力*2。+21+22*...+2n，).

根据算法功能求输出结果或根据输出结果求相图中的某一步狼，应注意以下几点：(1)要明确各框图符号的含义及作用;(2)要明确

据图的流程方向;(3)要正确认图,即根貂据图说明该算法所要解决的问题.

感悟实践

执行如图所示的程序框图，其中输入的a力均为正数，则这个程序的作用是().

A.求两个正数a力的最小公倍数

B.求两个正数a力的最大公约数

C.判断其中一个正数是否能被另一个正数整除

D.判断两个正数a为是否相等

答案B

这是“更相减损术“，用来求两个正数的最大公约数，故选B.

考点二基本算法语句

命题角度1求框图的执行结果

【例2】

（2023,四川泸州高三模拟）某同学设计了如图所示的程序卷图.执行此程序框图，则输出的2的值为（