第3讲　概率与统计中的数学建模与数据分析-高考语文总复习资料归纳-高考数学

第3讲概率与统计中的数学建模与数据分析

概率统计中的创新性问题是高考的命题重点，不仅注重模块知识内的综合，也注重模块

知识间的综合，更多地体现对数学建模与数据分析核心素养的考查.命题的重点有：

(1)考查数学建模核心素养，以实际生活中的环保、民生、科技等为背景，考查函数、数

列等模型的建立，其中求解这些实际问题的最优化是近年高考命题的热点.

(2)考查数据分析核心素养，常考查对数据的搜集与归类，并利用不同的特征值对研究对

象做出理性的判断.

考点一图表与概率交汇(应用型)

甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪80

元，每销售一件产品提成1元；乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超

过45件的部分每件提成8元.

⑴请将两家公司各一名推销员的日工资负单位：元)分别表示为日销售件数〃的函数关

(2)从两家公司各随机选取•名推俏员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如

图所示的条形图.若记甲公司的推销员的日工资为X,乙公司的推销员的日工资为X,将频

率视为概率.若某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，仅从日均收入的角度

考虑，请你利用所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由.

【解】(1)由题意得,甲公司一名推销员的日工资)，(单元：元)与日销售件数〃的函数

关系式为y=8O+〃，“GN.

乙公司一名推销员的工资M单元：元)与销售件数〃的函数关系式为

1205W45,〃£N),

8〃-240(〃>45,"£N).

(2)由条形图可得X的分布列如下

由条形图可得y的分布为

易得E(X)=122X0.2+124X0.44-126X0.24-128X0.1+130X0.1=125,

E(F)=120X0.2+128X0.3+144X0.4+160X0.1=136.

因为E(X)VE(D，

所以仅从日均收入的初度考虑，选择去乙公司更好.

统计与概率“搭台”，方案选择“唱戏”

破解此类频率分布直方图、分层抽样与概率相交汇的开放性问题的关键：一是会观图读

数据，能从频率分布直方图中读出频率，进而求出频数；二是能根据分层抽样的抽样比或各

层之间的比例，求出分层抽样中各层需取的个数；三是会转化，会对开放性问题进行转化.

(2020•郑州市常一次质价预测)2012年12月18R,作为全国首批开展空气质量新标准

监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数据.资料表明，近几年来，郑州市雾霾治

理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有9个监测站点监测

空气质量指数(AQI),其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测

站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量.

(1)若某日播报的AQI为118,已知轻度污染区AQI的平均值为74,中度污染区AQI的

平均值为114,求重度污染区AQI的平均值；

(2)下表为2018年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在［170,180)内.

组数分组天数

第•组[50,80)3

第二组[80,110)4

第三组[110,140)4

笫四组[140,170)6

第五组[170,200)5

笫六组[200,230)4

第七组[230,260)3

第八组[260,290)1

①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI为标准，如果AQI

小于180,则去进行社会实践活动，以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行在会实

践活动的概率；

②在“创建文明城市"活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当

月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X,

求X的分布列及数学期望.

解：(1)设重度污染区AQI的平均值为x,则74X2+114X5+2x=118O9,解得％=172.

即重度污染区AQI的平均值为172.

(2)①由题意知，AQI在［170,180)内的天数为1,

由题表可知，AQI在［50,170)内的大数为17,故11月份AQI小于180的天数为1+17

=18,

则该校周日去进行社会实践活动的概率为1.

②由题意知，X的所有可能取值为0,I,2,3,且

P(X-0)-c%-1()[5'

产(X—l)—c*-1015'

-2)一口0一1015'

G)©211

P(X=3)=C*-2O3*

则X的分布列为

X0123

2(2459297II

P101510151015203

数学期望&X）=°Xj^+lX程+2X藤+3＞：芸=9.

考点二图表与独立性检验相交汇（应用型）

某种常见疾病可分为I,n两种类型.为「了解所患该疾病类型与地域、初次患该疾病

的年龄（单位：岁）（以卜简称初次患病年龄）的关系，在甲、乙两个地区随机抽取100名患者调

查其所患疾病类型及初次患病年龄，得到如下数据.

初次患甲地I型疾甲地11型疾乙地I型疾乙地II型疾

病年龄病患者/人病患者/人病患者/人病患者/人

[10,20)8151

[20,30)4331

[30,40)3524

[40,50)3844

[50,60)3926

[60,70121117

（1）从I型疾病患者中随机抽取1人，估计其初次患病年龄小于40岁的概率；

（2）记“初次患病年龄在［10,40）内的患者”为“低龄患者”，“初次患病年龄在［40,70］

内的患者”为“高龄患者”.根据表中数据，解决以下问题.

①将以下两个列联表补充完整，并判断“地域”“初次患病年龄”这两个变量中哪个变

量与所患疾病的类型有关联的可能性更大.（直接写出结论，不必说明理由）

乙地

总计100

表二

疾病类型

初次患病铲I型II型总计

低龄

高龄

总计100

②记①中与所患疾病的类型有关联的可能性更大的变量为X.问：是否有99.9%的把握认

为所患疾病的类型与X有关？

附：心=b?其中〃=a+Z?+c+d.

（a十b）［c+a）［a+c）（b十cl）

0.100.050.0100.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

【解】（1）依题意，甲、乙两地区I型疾病患者共40人，甲、乙两地区I型疾病患者

初次患病年龄小于40岁的人数分别为15,10,则从I型疾病患者中随机抽取1人，其初次

患病年龄小于40岁的概率的估计值为

（2）①填空结果如下.

表一

疾病类型

患者所晨晓、I型n型总计

甲地233760

乙地172340

总计4060100

表二

疾病类型

I型II型总计

初次患病年龄

低龄251540

高龄154560

总计406010()

“初次患病年龄”与所患疾病的类型有关联的可能性更大.

②由①可知X为初次患病年龄，根据表二中的数据可得〃=25,力=15,c=l5,4=45,

〃=100,

100X(25X45—15X15)2

则K2的观测值k=W4.063,

40X60X40X60

14.063>10.828,

故有99.9%的把握认为所患疾病类型与初次患病年龄有关.

本题的易错点有三处：一是审题不认真，误认为甲、乙两地区I型疾病患者的总数为100,

错误列式与螳=0.25；二是不能从频数分布表中获取相关数据，无法正确填写列联表，不

能根据列联表中数据的含义做出正确判断；三是代错公式或计算错误，从而导致统计判断出

错.

(2020•洛阳市统考)某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，

该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及

开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段，A,3两个调查小组分赴乙市不同区域发放问卷并及时

收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按

比例随机抽取了300份，进行数据统计，具体情况如下表：

组别A组统计结果B组统计结果

年经常使用单车偶尔使用单车经常使用单车偶尔使用单车

[15,25)27人13人40人20人

[25,35)23人17人35人25人

[35,45]20人20人35人25人

(1)先用分层抽样的方法从上述30()人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人

的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体分配到“经常使用单车”和

“偶尔使用单车”中去，

①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；

②为听取对发展共享单车的建议，调查小组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使

用单车”的人员召开座谈会.会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份(其余人员仅赠送

骑行优惠券).已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自4组，求A组这4人中得到礼品

的人数X的分布列和数学期望：

(2)从统计数据可直观得出“经常使用共享单车与年龄达到，〃岁有关”的结论.在用独立

性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄机应取25还是35?请

通过比较片的观测值的大小加以说明.

参考公式：♦=其中〃=〃+〃+c+d.

/十〃)(c空十d)(a啜+c)(〃空+d)

解：(1)①从300人中油取60人，其中“年龄达至“3£岁”的人数为100义旃=20,再将

这20人用分层抽样法按”是否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄达到35岁E偶尔

使用单车”的人数为20X而=9.

②A组这4人中得到礼品的人数X的可能取值为0,1,2,3,

E5C1C10

尸途=。)=曰=应，g)=廿亓

故其分布列为

X0123

51051

P

422?142\

所以E(X)=0X竟+1乂当+2><得+3乂!=*

⑵按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理，得到如下列联表

经常使用单车偶尔使用单车合计

未达到35岁12575200

达到35岁5545100

合计180120300

〃?=35时，可求得片的观测值

_300X(125X45—75X55)2_300X150()2_25

卜=200X100X180X120=200X100X180X120=!^

按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理，得到如下列联表

经常使用单车偶尔使用单车合计

未达到25岁6733100

达到25岁11387200

合计180120300

m=25时，可求得K?的观测值

_300X(67><87—33义113)2_303X2100，_49

“2=-100X200X1S0X120=100X200X1S0X120=76,

所以

欲使犯错误的修率尽可能小，需取〃?=25.

考点三图表与线性回归分析相交汇(应用型)

某商店为迎接端午节，推出花生粽与肉粽两款粽子.为调查这两款粽子的受欢迎程度,

店员连续10天记录了这两款粽子的销售量，用1,2,…，10分别表示第1,2,…，10天,

记录结果得到频数分布表如图所示(其中销售量单位：个).

序号

销售量12345678910

类型

花生粽1039398931068687849199

肉粽8897989510198103106102112

(1)根据表中数据完成所示的茎叶图:

(2)根据统计学知识，青判断哪款粽子更受欢迎；

(3)求肉粽销售量y关于序号/的线性回归方程，并预估第15天肉粽的销售量.(回归方

程的系数精确到0.01).

10__

参数数据：备(tf-t)(y/-y)=156.

参考公式：回归方程£=1+6/中斜率和截距的最小二乘估计分别为］=

r,(6-t)(J7-7)A_A-

-z，a=y-bt.

gd尸

【解】(I)根据所给数据完成茎叶图如图所示.

(2)法一：由(1)中茎叶图可知，肉粽的销售量均值比花生粽高，两款粽子的销售量波动情

况相当，所以可以认为肉粽更受欢迎.

—I

法二：由题意得花生糅的销售量的均值门=95+而X(X—2+3—2+11-9-8-II-4+

4)=94,

—1

肉粽的销售量的均值y2=100+同乂(—12—3—2—5+1—2+3+6+2+12)=100.

因为94V100,所以)，i<j，2，即肉粽的销售量的均值较花生粽高，所以可以认为肉粽更

受欢迎.

_1110_1|65

(3)由题中数据可得t=—,(6—t)2=4X(924-72+52+32+l2)X2=^-,

A156A11

所以b=赤和1.89,a=100-1.89X^89.61.

1UJ/r

T

故肉粽销售量)，关于序号，的线性回归方程为£=1.89/+89.61.

当/=15时，y=1.89X15+89.61^118,

所以预估第15天肉粽的销售量为118个.

破解此类频数分布表、茎叶图、线性回归相交汇的开放性问题的关键：一是会制图，即

会根据频数分布表，把两组数据填入茎叶图中；二是会对开放性问题进行转化，如本题，把

判断哪款粽子更受欢迎，转化为判断哪款粽子的销售量均值更高；三是熟练掌握求线性回归

方程的步骤，求出'b,即可写出线性回归方程.

（2020•广东省七校联考）下图是我国2010年至2016年生活垃圾无害化处理量（单位：亿

吨）的折线图.

（1）由折线图看出，可,书线性回归模型拟合y与/的关系，请求出相关系数八并用相关

系数的大小说明y与，相美性的强弱；

（2）建立），关于/的回归方程（系数精确到0.01）,预测2018年我国生活垃圾无害化处理量.

77n~_

附注：参考数据：篙%=10.97,,纣通=47.36,弋盲（y—y）2=0.664,币=2.646.

£（Lt）（y,-y）"YLtfy；

参考公式：相关系数r=_，回归方

y篙a-7y备8—y）2y占（。-7）*]但一y¥

〃——

AAA-ASfKv/--y）A-A-

程尸o+力t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为0=J----二——,。=y-bt

X（6-/）2

r=l

解：（I）由折线图中数据和附注中参考数据得7=4,]9-7）2=28,（,y/-y）2=

0.664,

7773.48

K（4一t）（yi—y）=ttiyi-t£%=47.36—4X10.97=3.48,故r,ikx）加

l】r-lLlU.OO4AZAZ.O4O

^0.99.

因为y与，的相关系敬近似为0.99,所以说明y与/的线性相关程度相当高.

7——

_10,97A篙（力_I）（，_y）3.48

（2）由y=—-~1.567及（1）得力=j二=2840.124,

占（if

a=~y—b~t.567—0.124X4%1.07.

所以，y关于1的回归方程为£=1.07+0.12/.

将2018年对应的1=9代入回归方程得£=1.07+0.12X9=2.15.

所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量约为2.15亿吨.

考点四图表与正态分布相交汇（应用型）

（2020•武汉市调研测试）中共十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精淮扶贫

的要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过大懈的奋斗拼搏，新农村建设取得巨

大进步，农民年收入也逐渐增加.

为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入，力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫

办统计了2018年50位农民的年收入(单位：千无)并制成如下频率分布直方图：

(1)根据频率分布宜方图，估计50位农民的年平均收入1(单位：千元)(同一组数据用该

组数据区间的中点值表示)；

(2)由频率分布直方图.可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(〃，/)，其中

〃近似为年平均收入4近似为样本方差经计算得/=6.92.利用该正态分布，解决下

列问题：

(i)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入

高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？

(ii)为了调研“精准扶贫，不落一人”的落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若

每位农民的年收入相互独立，问：这100()位农民中年收入不少于12.14千元的人数最有可能

是多少？

附：参考数据与公式

<6^92^2.63,若X〜即I,『)，则

①P(〃—oVXW〃+o)%0.6827；

②尸("-2c<XW〃+2o)-0.9545；

③尸(〃一3oVXW"+3o)七0.9973.

【解】(1)1=12X0.04+14X0.12+16X0.28+18X0.36十20X0.10十22X0.06十

24X0.04=17.40(千元).

(2)由题意，X〜Ml7/0,6.92).

(i)P(X>“一。)得+°6；27—8414,

"一。七17.40—2.63=14.77,

即最低年收入大约为14.77千元.

09545

(ii)由尸(火3]2.14)=尸(土三4一2。)2出3十尊1七。.9773,得每位农民的年收入不少于

12.14千元的事件的概率为0.9773,

记这1000位农民中年收入不少于12.14千元的人数为2则

4〜伙1。3,夕),其中〃=0.9773,

于是恰好有k位农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率是P(4=Q=C%3”(1-

p)1()3—七

P（『）_（1001T）X〃

从而由「（『-1）=-p）>1,得kVIOOlp,

而1001/?=978.2773,所以，

当0WZW978时，P(4=k-l)VP(S=k),

当979WZ1000时,P&=k-l)＞P©=k),

由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978.

正态分布下的概率计算常见的两类问题

(1)利用正态分布密度前线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于

直线x="对称，及曲线与x轴之间的面积为1.

(2)利用3。原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的〃，〃进行对比

联系，确定它们属于(〃一①4+㈤，(〃-2o,〃+20),3—3(7,//+3。)中的哪一个.

(2020•河北衡水联考)按照国际乒联的规定，标准的乒乓球在直径符合的条件下，重量

为2.7克,其重量的误差在区间［-0.081,0.081］内就认为是合格产品,在正常情况下样本的

重量误差x服从正态分布.现从某厂生产的一批产品中随机抽取10件样本，其重量如下：

2.722.682.72.752.662.72.62.692.72.8

(1)计算上述10件产品的误差的平均数(及标准差s：

(2)①利用(1)中求的平均数(，标准差s,估计这批产品的合格率能否达到96%；

②如果产品的误差服从正态分布M0,0.04052),那么从这批产品中随机抽取10件产品，

则有不合格产品的概率为多少？(附：若随机变量x服从正态分布M4，『)，贝UP。/—

+。)20.683,。04—2(7＜工〈"+2㈤勺0.954,。(〃一3。〈工^〃+3。)20.997.0.9541°用0.6244,

0.9971。用0.9704分别代替计算)

解：(1)1==X(0.02-0.02+0+0.05—0.04+0—0.1—0.01+0+0.1)=0.

52=-j^X(0.022X2+0.052+0.042+0.012+0.12X2)=0.0025,

所以s=0.05.

(2)①由(I)中计算得〃=0,)=0.05,

所以尸(〃-2。＜工＜〃+2。)=2(0—2乂0.05＜工＜0+2：＜0.05)=尸(-0.1＜1＜0.1).

因为在一O.lVxVO.l内包括了所有的合格产品，也也括了不合格的产品，而P(—O.lVx

＜0.1)^0.954＜0.96,

所以这批抽查的产品的合格率不能达到96%.

②因为产品重量的误差服从正态分布N(0，0.04052),

所以〃=0,〃=0.04()5.

又“一2cVxV〃+2c印为-0.08IVxV0.081,

所以每件产品合格的概率P（/t-2cr<x<fi+2（7）^0.954,

所以随机抽取10件产品中有不合格产品的概,率为1一0.9541°弋1—0.6244=0.3756.

［基础题组练】

1.（2020・石定庄市模拟（一））东方商店欲购进某种食品（保质期一天），此商店每天购进该

食品一次（购进时，该食品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，

如果一天内无法售出，则食品过期作废，现统计该食品：00天的销售量如下表：

销售量/份151617181920

天数102030201010

（1）根据该食品100天的销售量统计表，求平均每天俏售多少份；

（2）视样本频率为概率，以一天内该食品所获得的利润的平均值为决策依据，东方商店一

次性购进17或18份，哪一种得到的利润更大？

解：（1）平均每天销售的份数为

15X104-16X20+17X30+18X20+19X10+20X10

100=173

（2）当购进17份时，利润为

709010

17乂4乂行+（16乂4-8）乂向+（15*4—16）乂诉=47.6+11.2+4.4=63.2（元）.

1UU1UUIUU

当购进18份时，利混为

18X4X-^+（17X4-8）X-^+（16X4-16）X-^-F（15X4-24）X-j^=28.8+18+9.6

+3.6=60（元）.

63.2>60,

可见，当购进17份时，利润更大.

2.（2020•江西八所运点中学联考）2019年2月25日，第11届罗马尼亚数学大师赛（简称

RMM）于罗马尼亚首都布加勒斯特闭幕，最终成绩揭晓，以色列选手排名第一，而中国队无

一人获得金牌，最好成绩是获得银牌的第15名，总成绩排名第6.在分最极重的国际数学奥林

匹克（IMO）比赛中，过去拿冠军拿到手软的中国队，已经连续4年没有拿到冠军了.人们不

禁要问“中国奥数究竟怎么了？“，一时间关于各级教育主管部门是否应该卜达"禁奥令”

成为社会讨论的热点，某重点高中培优班共50人，现就这50人对“禁奥令”的态度进行问

卷调查，得到如下的列联表：

不应下“禁奥令”应下“禁奥令”合计

男生5

女生10

合计50

若按对“禁奥令”的态度采用分层抽样的方法从50人中抽出10人进行重点调查，知道

其中认为不应下“禁奥令”的同学共有6人.

(1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与

性别有关？说明你的理由；

(2)现从这10人中抽由2名男生、2名女生，记此4人中认为不应下“禁奥令”的人数为

3求C的分布列和数学期望.

参考公式与数据：♦=言仁堂小

(a-rb)(c-rc)(b±d)

“心心)0.1000.0500.0100.001

2.7063.8416.63510.828

解：(1)由题意4专列联表补充如下

所以有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关.

(2)由题意，可知在这10人中，男、女生各5人，其中男生有4人、女生有2人认为不

应下“禁奥令”，4的所有可能取值有1,2,3,4.

.「cqt%3

FU=1）="C?Cr=100=25;

……cScHclcIclcl42_21

p（g=2）=一而一100-50:

尸《=3）=cIC?=K）0=5:

_6__3

100-501

所以〈的分布列是

01234

32123

P2550550

3?1?3

所以£（J=1X次+2）＜京+3义^+4乂6=2.4.

JUJJU

3.(2()20.山东枣庄二调)某项研究性课题由一个团队完成，团队由一个主持人和若干个助

手组成，助手分固定和临时两种，每个固定助手的工资为3000元/月，当固定助手人手不够

时，需要招聘临时助手，每个临时助手的工资为4000元/月，现在搜集并整理了以往的20

个团队需要的助手数，得到如图柱状图.

记〃为提供给一个团队的固定助手数(提供的每个固定助手均按3000元/月的标准支付工

资).x为一个团队需要的助手数，为支付给一个团队的助手的月工资总额(单位：元).

(1)当〃=4时，求y关于x的函数关系式；

(2)假设这20个团队中的每一个团队都提供4个固定助手或都提供5个固定助手，分别

计算这20个团队每月支付给助手的工资总额，以此作为决策依据，判断每一个团队提供4

个固定助手划算还是提供5个固定助手划算.

解:(1)当〃=4时，-W4时,y=4X3000=12000,

4<xW6时，尸12000+4000U-4)=4OOO.v-4000,

所以当〃=4时，y关于X的函数关系式为

12000,0VxW4,x£N,

L4000A—4000,4VM6,x6N.

(2)由题意得每个团队需要的助手个数X分别为3,4,5,6,

P(X=3)=寻0.1,P[X=4)=4=0.2,P(X=5)=&=0.3,P(X=6)=^=0.4.

当每一个团队提供4个固定助手时，这20个团队每月支付给助手的工资总额

rI=20X[(0.1+0.2)X12000+0.3X(4000X5-4030)4-0.4X(4000X6-4000)]=328

000(元).

当每一个团队提供5个固定助手时，这20个团队每月支付给助手的工资总额

h=20X[(0.1+0.2+03)X15000+0.4X(15000+4000)]=332000(元).

所以匕〈匕，所以每一个团队提供4个固定助手划算.

4.(2020•济南市学习质量评估)某医药公司研发生产一种新的保健产品，从一批产品中随

机抽取200盒作为样本，测量产品的一项质量指标值，该指标值越高越好.由测量结果得到

如下频率分布直方图：

(1)求a,并试估计这200盒产品的该项指标值的平均值；

(2)①由样本估计总体.结合频率分布直方图认为该产品的该项质量指标值服从正态分

布M〃，IO?)，计算该批产品该项指标值落在(180,220]上的概率；

②国家有关部门规定每盒产品该项指标值不低于150均为合格，且按该项指标值从低到

高依次分为：合格、优良、优秀三个等级，其中(180,220]为优良，不高于18()为合格，高

于22()为优秀，在①的条件下，设该公司生产该产品1万盒的成本为15万元，市场上各等级

每盒该产品的售价(单元：元)如表，求该公司每万盒的平均利润.

等级合格优良优秀

售价102030

附：若。〜N(〃，户)，则尸(〃一3＜JWM+3)-0.6827,P(〃-23＜^W〃+28)-0.9545.

解：(1)由10X(2X0.002+0.008+0.009+0.022+0.024+。)=1,解得“=0.033,

则平均值7=10X0.002X170+10X0.009X180+10X0.022X190+1OXO.O33X2OO+

10X0.024X210+10XO.(X)8X220+10X().002X230=2(X),即这20()盒产品的该项指标值的

平均值约为200.

(2)①由题意可得"=；=200"=10,则尸你一23＜。＜4+2力=?(180＜岑W220)、0.9545,

则该批产品指标值落在(180,220］上的概率为0.9545.

②设每盒该产品的售价为X元，由①可得X的分布列为

X102030

P0.022750.95450.02275

则每盒该产品的平均售价为E(X)=10X0.02275+20X0.9545+30X0.02275=20,故每

万盒的平均利泄为20—15=5(万元).

5.(2020•河南新乡三楼)以下是新兵训练时，某炮兵连8周中炮弹对同一目标的命中情况

的柱状图：

(1)计算该炮兵连这8周中总的命中频率po,并确定第几周的命中频率最高；

(2)以(1)中的po作为该炮兵连甲炮兵对同一目标的命中率，若每次发射相互独立，且炮

兵甲发射5次，记命中的次数为X,求X的方差；

(3)以(1)中的po作为该炮兵连炮兵对同一目标的命中率，试问至少要用多少枚这样的炮

弹同时对该目标发射•次，才能使目标被击中的概率超过0.99.

(取1g0.4=-0.398)

解：(1)这8周总命中也数为40+45+46+49+47+49+53+52=381,总未命中炮数为

38]

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