第3节 随机事件与概率-2025年高考数学复习讲义及练习解析

第三节随机事件与概率

课标解读考向预测

1了.解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解近儿年的高考以考杳随机事件的频

概率的意义以及频率与概率的区别.率与概率、古典概型为主，其中古

2.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与典概型常与排列组合知识交汇考

样本点的关系.查.预计2025年高考以上题型均可

3.了解随机事件的并、交与互斥的含义，会求随机事件能出现，其中随机事件的频率与概

的并、交运算.率的题目以解答题的形式出现，互

4.掌握随机事件概率的运算法则，了解两个互斥事件的斥事件、对立事件的概念及古典概

概率加法公式.型以选择题、填空题的形式出现，

5.理解古典概型及其概率讦算公式.难度中档.

必备知识——强基础

知识梳理

I.样本空间和随机事件

(I)样本点和有限样本空间

①样本点：随机试验E的每个可能的而1基本结果称为杉本点,常用①表示.

全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Q表示.

②有限样本空间：如果一个随机试验有〃个可能结果(01，①2，…，(0”，则称样本空间。={①1,

3,…，必}为有限样本空间.

(2)随机事件

①定义：将样本空间。的画工4称为随机事件，简称事件.

②表示：大写字母A,B,C,....

③随机事件的极端情形：必然事件、不可.能事件.

2.事件的运算

定义表示法图示

事件4与事件B至少有一个发生，

并事件画AU8

称这个事件为事件人与事件△的

并事件(或和事件)（或A+B）

事件A与事件A同时发生，称这

画一03

交事件样一个事件为事件A与事件B的

（或A8）

交事件(或积事件)

3.事件的关系

定义表示法图示

若事件4发生,事件B厨一定发

画83A

包含关系生，称事件B包含事件A(或事件

（或AGB）◎

A包含于事件B)

如果事件4与事件8面］不能同

若AC8=。,则A与8

互斥事件时发生,称事件A与事件8互斥

互斥

(或互不相容)

如果事件4和事件B在任何一次

试验中画有且仅有一个发生,

若人CIB=0,且人U8

对立事件

称事件4与事件B互为对立，事=。，则4与B对立

件4的对立事件记为Z

4.概率与频率

⑴频率的稳定性

一般地，随着试验次数〃的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率工。)

会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.

(2)频率稳定性的作用

可以用画频率工⑷来估计概率回皿.

5.概率的性质

性质1：对任意的事件4,都有P(A)20：

性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Q)=I,P(0)=O；

性质3：如果事件A与事件B互斥，那么尸(AU4)=rTTlP(A)+P(B)；

性质4：如果事件A与事件8互为对立事件，那么P(B)=|—P(A),P(A)=问1—P(8)；

性质5：如果4GB,那么P(A)WP(B),由该性质可得，对于任意事件A,因为所以

OWP(A)W1；

性质6：设A,8是一个随机试验中的两个事件，有尸供J8)=ni1P(A)+P(B)—P(An8).

6.古典概型

具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.

⑴有限性：样本空间的样本点只有旧］有限个.

⑵等可能性：每个样本点发生的可能性向相等.

7.古典概型的概率公式

一般地，设试验£是古典概型，样本空间。包含〃个样本点，事件A包含其中的&个样本点,

则定义事件4的概率P(A)=叵］：=会合-

其中，“(A)和〃(。)分别表小事件A和样本空间0包含的样本点个数.

1.概率加法公式的推广

当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(AU4

U…UA〃)=P(A1)+P(A2)+...+P(4“).

2.当随机事件A,B互斥付，不一定对立；当随机事件A,8对立时，一定互斥.也即两事

件互斥是对立的必要不充分条件.

诊断自测

1.概念辨析(正确的打“W，错误的打“X”)

(1)事件发生的频率与概率是相同的.()

(2)若事件A和8是互斥事件，则ACI8是不可能事件.()

(3)从装有3个大球、1个小球的袋中取出球的试验是古典概型.()

(4)若AU8是必然事件，则事件A与8是对立事件.()

⑸掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反"两个反面”这三个结果是等可能事件.()

答案(l)x(2)4(3)x(4)x(5)x

2.小题热身

(1)(人教A必修第二册习题10.1T14改编)从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小

于16。cm的概率为02,该同学的身高在［16。，175J(单位:cm)内的概率为0.5,那么该同学

的身高超过175cm的概率为（）

A.0.2B.0.3

C.0.7D.0.8

答案B

解析由题意知该同学的身高小于160cm的概率、该同学的身高在［160,175］（单位：cm）内

的概率和该同学的身高超过175cm的概率和为I,故所求概率为1-0.2—0.5=0.3.

（2）一个射手进行射击，记事件4=“脱靶"，上=“中靶”，A.3="中靶环数大于4”.则在上述

事件中，互斥而不对立的事件是（）

A.Ai与4B.Ai与A3

C.A?与小D.以上都不对

答案B

解析射手进行射击时，事件4=“脱野”，4="中期"，4=”中靶环数大于4”，事件4与

4不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件4与4互斥且对立，A不正确；事件4与

小不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件4与4互斥不对立，B正确；事件小与小

可以同时发生，即事件A?与A3不互斥不对立，C不正确，显然D不正确.

（3）把语文、数学、英语、物理4本书从左到右排成一行，则语文书和英语书不相邻的概率为

（）

A-6B-1

C.9D.G

答案C

解析根据题意，语文、数学、英语、物理4本书从左到右排成一行，有A；=24种不同的

排法，若语文书和英语书不相邻，其排法有A孤彳=12种，则语文书和英语书不相邻的概率P

_}2_1

~24~2'

考点探究一提素养

考点一随机事件（多考向探究）

考向1随机事件的关系及运算

例I（1）（2024.广东梅州中学月考）“黑匣子”是飞机专用的电子记录设备之一，黑匣子有两个，

分别为驾驶舱语音记录器和飞行数据记录器.某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研

究，记事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件8为“至少研究一个黑匣子”，事件C为“至

多研究一个黑匣子”，事件。为“两个黑匣子都研究则（）

A.A与。是互斥事件

B.3与。是对立事件

C.4与C是对立事件

D.C与。是互斥事件

答案D

解析事件4为“只研究驾驶舱语音记录器”；事件B为“至少研究一个黑匣子”，包含“研究驾

驶舱语音记录器''或"研究飞行数据记录器”，或“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录

器”；事件。为“至多研究一个黑匣子”，包含“研究驾驶舱语音记录器''或"研究飞行数据记录

器”，或“两个黑匣子都不研究“；事件。为“两个黑匣子都研究”，即“研究驾驶舱语音记录器

和研究飞行数据记录器”.对于A,事件4与事件C不是互斥事件，故A不正确：对于B,

事件8与事件。不是对立事件，故B不正确；对于C,事件8与事件。不是对立事件，故C

不正确；对于D,事件C和事件。不能同时发生，故C与D是互斥事件，故D正确.故选

D.

（2）（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：G="点数为尸，其中i=l,2,3,4,

5,6；Di="点数不大于2”,6="点数不小于2”，。3="点数大于5”；£="点数为奇数”；F

="点数为偶数”.下列结论正确的是（）

A.G与C2对立B.Oi与功不互斥

C.D.E3（DinD2）

答案BC

解析对于A,G="点数为1”，C2="点数为2”，G与C?互斥但不对立，故A不正确；对

于B,G="点数不大于2"，6=”点数不小于2”，当出现的点数是2时，。与。2同时发生，

所以£>1与S不互斥，故B正确；对丁C,£>3="点数大于5”表示出现6点，/="点数为偶

数”，所以。3发生时厂一定发生，所以。31人故C正确；对于D,表示两个事件同

时发生，即出现2点，E="点数为奇数”，所以。田02发生，事件七不发生，所以由（。。。2）

不正确，故D不正确.

【通性通法】

事件关系判断的策略

一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，

若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互

判断事件的互斥、对

斥事件.反之互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发

立关系

生；对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不

发生，即有且仅有一个发生

一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现

判断事件的交、并关

的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析，也可类比集合

系

的关系和运用Venn图分析事件

【巩固迁移】

1.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A,B,C,D发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,

则下列说法正确的是()

A.AU8与。是互斥事件，也是对立事件

B.8UC与。是互斥事件，也是对立事件

C.AUC与8U。是互斥事件，但不是对立事件

D.A与BUCU。是互斥事件，也是对立事件

答案D

解析对于A,与C是互斥事件，但不对立，因为P(AU8)+P(C)=O.7H1,故A错误；

对于B,"UC与Z)是互斥事件，但不对立，因为，("UC)I”(0=0.8声1,故B错误；对于

C,AUC与8U。是互斥事件，也是对立事件，因为尸(AUC)+P(BU0)=1,故C错误；对

于D,A与8UCUZ)是互斥事件，也是对立事件，因为P(A)+P(8UCUQ)=1,故D正确.

考向2随机事件的频率与概率

例2某险种的基本保费为单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年

度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度

0123425

出险次数

保费0.85。a\25a1.5a1.75〃2a

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表:

出险次数0123425

频数60503()302010

(I)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保药"，求P(A)的估计值；

(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)

的估计值；

(3)求续保人本年度平均保贽的估计值.

解(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所洽数据知，一年内出险次数小于2的

频率为更益2=0.55,故P(A)的估计值为0.55.

(2)事件8发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.力所给数据知，一年内出险次数大于

30+30

1且小于4的频率为F?t-=Q3,故P(A)的估计值为03

ZUU

(3)由所给数据得

保费0.85。a1.25〃\.5a1.75。2a

频率0.300.250.150.150.100.05

调查的200名续保人的平均保费为0.85〃x0.30+4x0.25+1.25ax0.15+1.5G<0.15+1.75Qx0.10

+260.05=1.1925a因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a

【通性通法】

频率与概率的关系

频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，

区别通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概

率的估计值

利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐

联系

步趋近于某一个常数，这个常数就是概率

【巩固迁移】

2.某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于

或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了

10()件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A配方的频数分布表

指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]

频数82042228

3配方的频数分布表

指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,1101

频数412423210

(1)分别估计用A配方、B配方生产的产品的优质品率；

⑵已知用B配方生产的一件产品的利润单位：元)与其质量指标值/的关系为y=

'-2,r<94,

<2,94W/<102,估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的

.4,302,

上述100件产品中每件产品的平均利润.

22+8

解(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为一而=0.3,所以用A配方生

产的产品中优质品率的估计值为0.3.

32+10

由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为二而一=0.42,所以用8配方生产的

产品中优质品率的估计值为0.42.

⑵由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0,当且仅当其质量指标值1294,由试

100-4

验结果知，质量指标值，294的频率为一^=0.96,

所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率约为0.96.

用B配方生产的100件产品中每件产品的平均利润为之x[4x(-2)+54x2+42x4]=2.68元.

考点二互斥事件与对立事件的概率

例3(1)人类通常有O,A,B,AB四种血型，某一血型的人可以给哪些血型的人输血，是

有严格规定的.设X代表O,A,B,AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血

者，则输血规则如下：①X—X；②O—X；③X—AB.已知我国O,A,B,AB四种血型的人

数所占比例分别为41%,28%,24%,7%,在临床上,按照上述规则,若受血者为A型血,

则一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为()

A.0.31B.0.48

C.0.65D.0.69

答案D

解析若受血者为A型血，则0型血和A型血可以为这位受血者输血，所以一位供血者能

为这位受血者正确输血的概率为0.41+0.28=0.69.

(2)某学校成立了数学、英看、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33名成员，

一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一名成员，则他至少参加2

个小组的概率为,他至多参加2个小组的概率为.

解析记“恰好参加2个小组”为事件A,“恰好参加3个小组”为事件4,随机选取一名成员，

11710729

恰好参加2个小组的概率P(A)=云+而+吉=占恰好参加3个小组的概率尸出)=言=弥

VzVzVzkz1teZVzKZLU

723

则至少参加2个小组的概率为P(A)+P(B)="jy+k=§,至多参加2个小组的概率为l-P(B)

2_13

一1一百一访

【通性通法】

求互斥事件概率的一般方法

将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的

直接法

求和公式计算

先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)=1-P(X)求出所求概率，特

间接法

别是，，至多，，，，至少，，型题目，用间接法比较简便

【巩固迁移】

3.已知袋子中有10个小球，其中红球2个，黑球和白球共8个，从中随机取出一个，设取

出红球为事件A,取出黑球为事件B,随机事件C与B对立.若P(AU4)=。5,则P(C)=()

A.0.3B.0.6

C.0.7D.0.8

答案C

2

解析由题意可知，P(A)=诃=0.2.因为4与8互斥且PMU8)=0.5,所以P(B)=0.3.又因为

随机事件C与B对立，所以P(C)=1—0.3=0.7.

4.若随机事件A,B互斥，A,8发生的概率均不等于0,且P(A)=2—a,P(B)=4a—5,则

实数。的取值范围为.

34

答案-

4—3

0<P(A)<1,

解析由题意可知，0<P<1，

P(A)+P(B)Wl,

()<2—a<1,53

-<-5454

即《0V4a—5Vl,即<44---

2*43的取值范围为73

4

3a—3W1,aW?

考点三古典概型

例4(1)(2024・南通质检)我国数学家张益唐在“挛生素数”研究方面取得突破，挛生素数也称

为挛生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7.在大于3且不超过20的素数中，随机选

取2个不同的数，恰好是一组李生素数的概率为()

A3c3

A-56B-28

答案D

解析大于3且不超过20的素数为5,7,11,13,17,19,共6个，随机选取2个不同的

数,分别为(5,7),(5,II),(5,13),(5,17),(5,19),(7,11),(7,13),(7,17),(7,

19),(11,13),(11,17),(11,19),(13,17),(13,19),(17,19),共15种选法，其中恰

好是一组李生素数的有(5,7),(11,13),(17,19),共3种，故随机选取2个不同的数，恰

3I

好是一组李生素数的概率为

(2)已知a,b€{—2,—1,1,2},若向量机=(〃，b),n=(l>I),则向量机与〃所成的角

为锐角的概率是()

3I

-

A.B.4

16

37

c-

8D.

16

答案B

解析向量，〃与〃所成的角为锐角等价于mn>0,且小与〃的方向不同，即mn=(a,^)(1,

l)=a+bX),且〃处，则满足条件的向量雁有(一1,2),(1,2),(2,-1),(2,1),共4种，

4I

又m的取法共有4x4=16种，则向量m与n所成的角为锐角的概率是正=彳

27

⑶已知〃?，〃W{1，2,3,4},且"#〃，则方程5+}=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是

答案J

22

解析方程5+)=1表示焦点在工轴上的椭圆，则心〃>0，有(2,1),(3,1),(3,2),(4,

1),(4,2),(4,3),共6种，在题设条件下，方程有用=12种，所以所求概率为尸■斗

【通性通法】

公式法求解古典概型问题的步骤

【巩固迁移】

5.将3名男生、1名女生共4名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至

少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是()

A±R1

123

C,2D,6

答案D

解析分配方案的总数为C3A§,恰好一名女生和一名男生分到甲社区的分法有CJ4和，则

恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是0=黔=/

6.(2022•全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为

答案

解析从正方体的8个顶点中任取4个，有九=或=70种取法，这4个点在同一个平面的有

加=6+6=12种取法，故所求概率尸呼=若=£

7.已知函数丁=/，集合4=(-3,—2,-L0,1,2,3),现从A中任意取出若干个元素

组成函数＞=『的定义域Z),则函数)，=/的值域为｛1,4｝的概率为.

答案157

解析易知集合A的非空子集有2?—1=127个，即样本点的总数为127,记“函数)，=/的值

域为｛1，4｝“为事件M,中含有2个元素且函数y=/的值域为｛1,4｝“为事件Mi，“。中

含有3个元素且函数的值域为｛1,4｝”为事件M2，“。中含有4个元素且函数)，=/的

值域为｛1，4｝”为事件%，易知根+险+%=%则M中含有的样本点为(一1,-2),(-1,

2),(1,一2),(1,2),共4个：中含有的样本点为(-1,-2,1),(-1,-2,2),(-2,

I,2),(—1,I,2),共4个；M3中含有的样本点为(一2,-1,I,2),只有1个.所以P(M)

4419

=P(M+M2+Ma)=P(M)+P(M2)+P(M3)=百+历+百=国.

考点四古典概型与统计的交汇问题

例5为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效，某机构日前联合医院，进行了小规模

的调查，结果显示，相当多的受访者担心使用新药后会有副作用.为了了解使用该种新型药

品后是否会引起疲乏症状，该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查，得到统

计数据如表：

疲乏症状

新药合计

无疲乏症状有疲乏症状

未使用新药15025t

使用新药Xy100

合计225m275

⑴求2x2列联表中的数据x,y,，〃，f的值，根据小概率直。=0.05的独立性检验，能否判断

有无疲乏症状与是否使用该新药有关？

(2)从使用该新药的100人中按是否有疲乏症状，采用比例分配的分层随机抽样的方法拉出4

人，再从这4人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有I人有疲乏症状的概率.

.__________〃(ad-be)2__________

附：/2=(〃+))(C•十(〃+c)(〃十4)'+方+c+d.

a0.100.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

解（1）由数表知，1=225—150=75,y=100—75=25,小=275—225=50,1=150+25=175,

所以x=75,），=25,〃?=50,r=175,

零假设为儿：有无疲乏症状与是否使用该新药无关.

根据列联表中的数据，经计算得到W=275x蔗除短第）-=娶4.9II>3.841=xo.o5.

根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断为不成文，即认为有无疲乏症状与是否使用

该新药有关.

（2）从使用新药的100人中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取4人的抽样比为4击=表1，

则抽取有疲乏症状的人数为表x25=l,无疲乏症状的人数为3,

记”这2人中恰有1人有疲乏症状”为事件M,于是P（M）=^=*所以这2人中恰奉1人

有疲乏症状的概率是:.

【通性通法】

有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个官要题型.概率与统计的结合题，无

论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是

解题的关键.复杂事件的概率问题可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题.

【巩固迁移】

8.为了调查国企员工对现行个税法的满意程度，研究人员在某地各个国企中随机抽取了1000

名员工进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中。=44

（1）求。，）的值并估计被调查的员工的满意程度的中位数；（计算结果保留两位小数）

⑵若采用比例分配的分层随机抽样方法从［50,60）,［60,70）中随机抽取8人，再从这8人中

随机抽取2人，求至少有1人的分数在［50,60）的概率.

解(1)依题意，得(。+6+0.008+0.027+0.035)x10=1,所以a+力=0.03,

又a=4〃，所以。=0.024,0=0.006,

0.5-0.08-0.24

所以中位数为70T=75.14.

0.035

（2）依题意，知分数在［50,60）的员工抽取了2人，记为ab,分数在［60,70）的员工抽取了6

人，记为1,2,3,4,5,6,

所以从这8人中随机抽取2人的所有的情况有(a,0),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,

5),(a,6),(b,1),(〃，2),S，3),3，4),3，5),(Z»,6),(1,2),(1,3),(1,4).(1,

5),(I,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,

6),共28种，

其中满足条件的有(a,〃)，(a,1),(a,2),(a,3),(m4),3,5),(a,6),(b,1),(b,2),

(b,3),(b,4),(b,5),(b,6),共13种，

i3

设“至少有1人的分数在［50,60)”为事件A,则P(A)=q.

Zo

课时作业

A级，

一、单项选择题

1.抛掷一枚骰子，记“向上的点数是1或2”为事件4”向上的点数是2或3”为事件8,则()

A.AQB

B.A=B

C.AU8表示向上的点数是1或2或3

D.表示向上的点数是1或2或3

答案C

解析由题意，可知A={1,2},B={2,3},则ADB={2},4UB=［1,2,3},所以AUB

表示向上的点数为1或2或3.故选C.

2.从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中随机不放回地摸球两次，每

次摸出一个球.若事件”两个球都是红球”的概率为京2，”两个球都是白球”的概率为1点则“两

个球颜色不同”的概率为（）

A±15aB,215

答案c

解析设“两个球都是红球”为事件4,“两个球都是白球”为事件B,“两个球颜色不同”为事件

21

C,贝4P(A)=B，P(B)=y且。=4口5.因为4,B,C两两互斥,所以P(O=1-P(C)=1

218

~P(AUB)=1—[P(A)+尸(B)]=1一记一故选C.

3.(2023•广东东莞模拟)在不超过18的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率

是()

A-21B-2\

C，D1

J427

答案B

解析不超过18的素数有2,3,5,7,II,13,17,随机选取两个不同的数有C彳=21种，

9

和等于16的有3+13=16,5+11=16,共2种，所以和等于16的概率是乔

4.《三十六计》是中华民族珍贵的文化遗产之一，是一部传习久远的兵法奇书，与《孙子兵

法》合称我国古代兵法谋略学的双璧，三十六计共分胜战计、敌战计、攻战计、混战计、并

战计、败战计六套，每一套都包含六计，合三十六个计策，如果从这36个计策中任取2个计

策，则这2个计策都来自同一套的概率为()

A-21B-14

i±

C7lDy.42

答案c

解析从这36个计策中任取2个计策，基本事件总数〃=66=630,这2个计策都来自同一

套包含的基本事件的个数团=6以=90,则这2个计策都来自同一套的概率为「=々=怒4

故选C.

5.设条件甲：事件人与事件B是对立事件，结论乙：概率满足P(A)+P(8)=1,则甲是乙的

()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.允要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若事件A与事件8是对立事件，则AUB为必然事件，再由概率的加法公式得尸(A)+

P(8)=l.但P(A)+P(3)=1，A,8不一定是对立事件，如投掷一枚硬币3次，事件A="至少

出现一次正面“，事件8=“出现3次正面”，则P(A)=(户⑹=/满足P(A)+P(B)=1,但A,

8不是对立事件.故甲是乙的充分不必要条件.

6.(2024•海南华侨中学模拟)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验

舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人,

问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲、乙两人安排在不同舱内的概率为()

A-6B.

C.|

答案B

解析从甲、乙、丙、丁4名航天员中任选两人去天和核心舱，剩下两人去剩下两个舱位，

则有GM=6x2=12种可能，要使得甲、乙在同一个舱内，由题意，甲、乙只能同时在天和

核心舱，在这种安排下，剩下两人去剩下两个舱位，则有A弓=2种可能.所以甲、乙两人安

排在同一个舱内的概率户=言=3则甲、乙两人安排在不同舱内的概率0=1一点=专

7.已知a€{0,1,2},反(-1,1,3,5},则函数/U)=ad—2Zu•在区间(1,+/)上为增

函数的概率是()

A-UB-3

C.7D.I

4O

答案A

解析因为。€{0,1,2}.1,3,5},所以样本点总数〃=3x4=12.函数

-2/回在区间(1,+oo)上为增函数，①当〃=()时，40=—2"，符合条件的只有(0,-1),

即a=0,b=-\；②当好0时，需要满足占W1,符合条件的有（1,-1）,（1,I）,（2,-1）,

（2,1）,共4种.所以函数段）=加-2H在区间（1,+8）上为增函数的概率是看

8.（2024.“西南汇”联考）已知某校高三年级共1400人，按照顺序从I到1400编学号.为了如

实了解学生“是否有带智能手机进入校园的行为”，设计如下调查方案：先从装有2个黑球和

3个白球的不透明盒子中随机取出1个球，如果是白球，回答问题一；否则问答问题二.问

题如下：一、你的学号的末位数字是奇数吗？二、你是否有带智能手机进入校园的行为？现

在高三年级1400人全部参与调查，经统计，有972人回答“否”，其余人回答“是”.则该校高

三年级“带智能手机进入校园”的人数大概为（）

A.8B.20

C.148D.247

答案B

解析根据题意，回答问题一的学生约有1400x3^=840A，回答问题二的学生约有1400x2^=

560人，840人中约有420人回答“否”，则560人中约有972—420=552人回答“否”，8人回

答“是”，则问题二回答“是''的人数约占吉，该校高三年级“带智能手机进入校园''的人数约为

1400端=20.

二、多项选择题

9.包含甲、乙的若干人站成一排，其中不是互斥事件的是（）

A.“甲站排头”与“乙站排头”

B.“甲站排头”与“乙不站排尾”

C.“甲站排头”与“乙站排尾”

D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”

答案BCD

解析排头只能有一人，因此“甲站排头''与"乙站排头”互斥，而B,C,D中，甲、乙站位不

一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥.故选BCD.

10.小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概

率分布如下表所示：

所需时间（分钟）30405060

线路一0.50.20.2().1

线路二0.30.50.10.1

则下列说法正确的是()

A.任选一条线路，”所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件

B.从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间

C如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该选线路一

D.若小张上下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04

答案BD

解析“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，故A错误；线

路一所需的平均时间为30x0.5+40x0.2+50x0.2+60x0.1=39分钟，线路二所需的平均时间

为30x0.3+40x0.5+50x0.1+60x0.1=40分钟，故B正确；线路一所需时间小于45分钟的概

率为0.7,饯路一所需时叵小于45分钟的概率为0.8,小张应选线路一，故C错误：所需时

间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50,60),(60,50)和(60,60)三种情

况,概率为0.2x0.1+0.1x0.1+0.1x0.1=0.04,故D正确.故选BD.

三、填空题

11.在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件△表示

“小于5的点数出现“，则在一次试验中，事件4U后发生的概率为.

答案\

解析抛掷一枚骰子的试卷有6种等可能的结果，依题意知P(4)=2W=1%P⑹=玄4号2，所以

—21——

P(B)=\-P(B)=[-^=y因为5表示“出现5点或6点”的事件，所以事件4与B互尺，从

——112

而P(AUB)=P(A)+P(8)=§+3=).

12.北斗七星自古是我国人民辨别方向、判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、

天矶、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随

机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一•颗被选中的概率为.

工褊1天枢

八权

摇光

天矶

答案

解析因为玉衡和天权都没有被选中的概率为尸=残=卷,所以玉衡和天权至少一颗祓选中

的概率为1一第=养

13.(2024・湖南名校联考)某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣

拓展活动.现有甲、乙、丙、丁四人，乒乓球、篮球、足球、羽毛球、网球五项活动，由于

受个人精力和时间限制，每人只能等可能的从中选择一项活动，则四人中恰有两人参加同一

活动的概率为.

72

答案百

解析根据题意，每个人有5种选择，四人共54种选法，其中恰有两人参加同一种活动，有

GCJA3种选法，故四人中恰有两人参加同一种活动的概率为串虽=芸.

J1乙。

14.(2023•石家庄二中模拟)数学上有种水仙花数，它是指各位数字的立方和等于其本身的三

位数.水仙花数共有4个，其中仅有1个在区间(150,160)内，我们姑且称它为“水仙四妹”,

则从集合｛147,