第3节 成对数据的统计分析

第3节成对数据的统计分析

考试要求1.了解样本相关系数的统计含义.2.了解一元线性回归模型和2X2列

联表，会运用这些方法解决简单的实际问题.

知识诊断•基础夯实

【知识梳理】

1.变量的相关关系

(1)相关关系的分类：正相关和负相关.

(2)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在

一条直线附近,我们就称这两个变量线性相关.

一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量

非线性相关或曲线相关.

2.样本相关系数

(1)相关系数r的计算

变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：

n--

£Cxi-x)(yy—y)

_______[___________

rl~n-l~n-'

A/LCxi-x)ECyi—y)2

(2)相关系数厂的性质

①当厂＞()时，称成对样本数据正相关；当/(()时，成对样本数据负相关；当r=0

时.，成对样本数据间没有线性相关关系.

②样本相关系数r的取值范围为「一1,11.

当H越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；

当H越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.

3.一元线性回归模型

⑴我们将、晨+)称为丫关于工的经验回归方程，其中

n-n

£(X/—x)(»—y)X.Xiyj—nxy

=1z=l-

I£(刘一K)2£Xr-nx-

i=1i=l

A-A一

^a=y-bx.

(2)决定系数

nA.

LCyi—yi)2

岸=1一口----------,我越大，即拟合效果越好，改越小，模型拟合效果越差.

£n(y/—y)-——

/=1

4.列联表与独立性检验

(1)关于分类变量X和y的抽样数据的2X2列联表

Y

X合计

r=or=i

x=oaba~\~b

x=\cdc+d

合计a+cb+d〃=〃+/?+c+d

记〃=a+b+c+d,则随机变量/=(〃+6)-；+"+冷.

⑵独立性检验

基于小概率值a的检验规则是：

当Z22心时，我们就推断“0不成立，即认为x和y不独立，该推断犯错误的概

率不超过a；

当/Vx〃时，我们没有充分证据推断“0不成立，可以认为X和丫独立.

卜表给出了Z2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

［常用结论］

1.求解经验回归方程的关键是确定回归系数;k应充分利用经验回归直线过样

本点的中心a，y).

2.根据z2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若/越大，则两个分类变

量有关的把握越大.

【诊断自测】

1.思考辨析（在括号内打“J”或“X”）

⑴散点图是判断两个变量是否相关的一种重要方法和手段.（）

（2）通过经验回归方程；=晨卜:可以估计预报变量的取值和变化趋势.（）

⑶只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值.（）

（4）事件X,y关系越密切，则由观测数据计算得到的/的值越大.（）

答案⑴J（2）V（3）V（4）V

2.（选修三P103T1改编）两个变量的相关关系有：①正相关；②负相关；③不相关,

则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是（）

）yy

oxoxox

A.①②③B.②③①

C.②①③D.①③②

答案D

解析第一个图大体趋势从左向右上升，故正相关，第二个图不相关，第三个图

大体趋势从左向右下降，故负相关，故选D.

3.（多选）在统计中，由一组样本数据（xi,yi）＞。2,y2）,…,（x〃，知）利用最小二乘

法得到两个变量的经验回归方程为;，=£+；那么下列说法正确的是（）

AAA——

A.直线必经过点（x,y）

B.直线;，=£+；表示最接近），与犬之间真实关系的一条直线

C.相关系数为心且仍越接近于1,相关程度越大；团越接近于0,相关程度越小

D.用决定系数收来刻画回归效果，R?越小说明拟合效果越好

答案ABC

解析直线丁=法+〃必过样本点中心即点（工，y）f故A正确；直线），=法+。是采

用最小二乘法求解出的直线方程，接近真实关系，故B正确；相关系数〃的绝对

值越接近于1,表示相关程度越强，越接近于0,相关程度越弱，故C正确；用

决定系数N来刻画回归效果，N越大，说明模型的拟合效果越好，故D错;吴.

4.（多选）为了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系，一个调查机构根据所得到的

数据，绘制了如下所示的2X2列联表（个别数据暂用字母表示）：

幸福感强幸福感弱合计

阅读量多m1872

阅读量少36n78

9060150

计算得：12.981,参照下表:

a0.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.7063.8415.0246.6357.87910.828

对于下面的选项，正确的是（）

A.根据小概率值。=0.01（）的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱无

关”

B."z=54

C.根据小概率值a=0.005的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前

提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”

D.〃=52

答案BC

解析•・•/-12.981>7.879>6.635,

・•・根据小概率值a=0.010的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过1%的前提

下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”，

根据小概率值。=0.005的独立性检脸，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提

下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”，

・・・A错，C正确，

,.・根+36=90,18+〃=6（）,

=54,〃=42,

AB正确,D错.

考点突破•题型剖析

考点一成对数据的相关性

例1(1)(多选)下列各图中，两个变量X,y具有相关关系的是()

y

o

A

o

c

答案CD

解析相关关系有两种情况：所有点看上去都在一条直线附近波动，是线性相关；

若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，是非线性相关，故选CD.

(2)(多选)下列有关经验回归分析的说法中正确的有()

A.经验回归直线必过点(x,y)

B.经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线

C.当样本相关系数—＞0时，两个变量正相关

D.如果两个变量的相关性越弱，则仍就越接近于0

答案ACD

解析对于A,经验回归直线必过点(x,)，)，故A正确；

对于B,经验回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，故B不正确；

对于C,当样本相关系数一＞0时，则两个变量正相关，故C正确；

对丁D,如果两个变量的相关性越弱，则m就越接近丁()，故D正确.

感悟提升判定两个变量相关性的方法

(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角

到右下角，两个变量负相关.

⑵样本相关系数：当，＞0时，正相关；当一＜0时，负相关；M越接近于1,相关

性越强.

(3)决定系数法：利用决定系数判定，R2越接近1,模型的拟合效果越好，相关性

越强.

训练1(1)在一组样本数据(XI,yi),(X2,”)，…，(X,”y“)(〃22,XI,X2,…，Xn

不全相等)的散点图中，若所有样本点(刘，，)(，=1,2,…，〃)都在直线y=—%

+1上，则这组样本数据的样本相关系数为()

A.—1B.0

C.-：D.1

答案A

解析因为样本点在直线丁=一%+1上，呈现完全负相关，样本相关系数为-1.

(2)变量X与y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,

5)：变量U与，相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),

(13,1)0表示变量y与x之间的线性相关系数，n表示变量u与V之间的线性

相关系数，则()

A.r2<n<0B.0</,2<n

C.r2<0<nD.r2=n

答案C

解析由已知中的数据可知，第一组数据中变量y与x之间成正相关，相关系数

n>0,第二组数据中变量U与V之间成负相关，相关系数n<0,

即nVOVn

考点二回归分析

角度1线性回归分析

例2(2023•德州模拟)2021年12月17日，工信部发布的《“十四五”促进中小企

业发展规划》明确提出建立“百I•万T”的中小企业梯度培育体系，引导中小企

业走向“专精特新”“小巨人”“隐形冠军”的发展方向.“专精特新”是指具

备专业化、精细化、特色化、新颖化优势的中小企业.如表是某地各年新增企业数

量的有关数据：

年份(年)20172018201920202021

年份代码。)12345

新增企业数量（），）817292442

请根据上表所给的数据，求出），关于x的线性回归方程，并预测2024年此地新增

企业的数量.

参考公式：回归方程;=：+晟中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

AN(Xi~x)(jL))A-A-

b-,a=y—bx.

昌(X/-x)2

1+2+3+4+5

解x=c=3,

8+17+29+24+42

尸--------7--------=24

M(H—x)G，i—y)=(—2)X(—16)+(—l)X(—7)+0X5+lX0+2X18=75,

51

玄(x,—X)2=4+1+0+1+4=10,

5~~

AZ(x/—x)(yi—y)

所以/?=-5-=7.5,

高(xi-x)2

a=y—bx=\.5,所以y=1.5+7.5x.

当x=8时，由线性回归方程可得;，=61.5,

所以估计2024年此时新增企业的数量约为62家.

角度2非线性回归分析

例3（2023・淄博诊断）小叶紫檀是珍稀树种，因其木质好备受玩家喜爱.其幼苗从观

察之日起，第x天的高度为），cm,测得数据如下：

/p>

y0479111213

数据的散点图如图所示:

1()2()3()4050«

为近似描述)，与x的关系，除了一次函数；=£+；,还有(=，也+:和;=Q+：

两个函数可选.

(1)从三个函数中选出“最好”的曲线拟合)，与犬的关系，并求出其回归方程(,保

留到小数点后1位)；

(2)判断说法“高度从1000cm长到1001cm所需时间超过一年”是否成立，并

给出理由.

n-一〃

A(XLx)(y,-y)^.Xiyi-nxy人-人一

参考公式：b='■=~,a=y-bx.

£(X/—x)2YyXT-nx1

参考数据(其中iii=yjxhti=x1)：x=20,

w=4,1=668,y=8,ax?=4676,N〃?=140,

7777

£3=7907396,二孙=1567,283,£伊=56575.

解(1)从散点图可以看出，曲线的形状与函数)，二5相似，

故选择函数y=Z?也+a拟合y与x的关系.

；283-7X4X859.

b=140-7X42=28^2,1,

A

4=8—2.1X4=—0.4,

其经验回归方程为:，=2.1五一0.4.

⑵将y=1()0(),1()()1分别代入经验回归方程，得

2.16一0.4=1000和2.1而一0.4=1001,

(\001.4V000.4V/一

故厂J-{TT)~454,

显然454>365,

说法“高度从1000cm长到1001cm所需时间超过一年”成立.

感悟提升回归分析问题的类型及解题方法

(1)求经验回归方程

①当两个系数均未知时，可利用公式法求解；

②当两个系数已知一个求另一个时，可利用经验回归直线过样本点的中心求解.

(2)利用经验回归方程进行预测，把经验回归方程看作一次函数，求函数值.

(3)经验回归方程的拟合效果可以利用相关系数判断，当|八越趋近于1时，两变量

的线性相关性越强.

训练2为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家

进行技术指导，根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量)，(千克)与某种液

体肥料每亩使用量以千克)之间的对应数据如下：

x(千克)24568

y(千克)300400400400500

(1)由上表数据可知，可用经验回归模型拟合)，与x的关系，请计算样本相关系数

r并加以说明(若仍＞0.75,则线性相关程度很高，可用经验回归模型拟合)；

(2)求)，关于x的经验回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为15千克时，西

红柿亩产量的增加量约为多少千克？

n~~

E,(xi-x)()Ly)

附：相关系数4=;，

2

(rr)上(yi-y)

回归方程;，=:+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，=

n

N(XLX)(yi-y)

n-f

宫(Xi-X)2

a=y-bx,

解(1)由已知数据可得X=2+4+；+6+8=5,

J

300+400+400+400+500

y=---------------------------------=400,

5-

所以玄(H-x)(y—y)=(—3)X(—100)+(—l)X0+0X0+lX0+3X100=600,

(X/-X)2=yl(-3)2+(-1)2+02+l2+32=2^5,

22222

A/;£,Cyi-y)(-100)+0+0+0+100=10072,

g(刘―Qy)600__3_

所以样本相关系数，•=

也Ge「嗝|…一2回卡次

^0.95>0.75.

所以可用经验回归模型拟合），与x的关系.

5

AZCxi-x)(yi-y)

600=30

(2)b=~5一20—30,

春（X/—X）2

々=400—5X30=250,

所以经验回归方程为;=30x+250.

当x=15时，y=30X15+250=700（千克），

即当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的增加量约为700千克.

考点三独立性检验

例4（2021•全国甲卷改编）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品

和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品,

产品的质量情况统计如下表：

一级品二级品合计

甲机床15050200

乙机床12080200

合计270130400

⑴甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

（2）依据小概率值a=0.01的独立性检验分析甲机床的产品质量与乙机床的产品质

量有差异.

nlad-be)2

=

附：）C(〃+b)(c+d)(〃+c)(〃+d)'

a0.10.050.010.005

Xa2.7063.8416.6357.879

解（1）根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是黑=0.75,乙机

4UU

床生产的产品中一级品的频率是丽=0.6.

(2)零假设为H。：甲机床的产品质量与乙机床的产品质量无差异.

ggg七上迎以9./口0400X(150X80-120X50)2400

根据通表中的数据可向z2=nnnvonnvo-7nYi10.256>6.635

ZUU入ZUU入Z/U入1JUoJ

=X0.0l.

根据小概率值。=0.01为/独立性检验，没有充分证据推断“0成立，

因此可以认为从不成立，即认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.

此推断犯错误的概率不大于0.01.

感悟提升独立性检验的一般步骤

(1)根据样本数据制成2X2列联表.

Q)根据公式炉=("(­八I卜算.

入ka-rb)(c+d)(a+c)(Z?+d)

⑶比较Z2与临界值的大小关系，作统计推断.

训练3某学生兴趣小组随机调查了某市10()天中每天的空气质量等级和当天到某

公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：

人次

空气质量羲、[0,2001(200,400](400,600]

1(优)21625

2(良)51012

3(轻度污染)678

4(中度污染)720

⑴分别估计该市一天的空气质量等级为1，2,3,4的概率；

⑵求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中

点值为代表)；

(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”；若某天的空气质

量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2X2

列联表，并根据列联表，能否在犯错误的概率不超过().05的前提下，认为一天中

到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

人次W400人次>400

空气质量好

空气质量不好

n{ad—be)2

附：/=

(〃+力)(c+d)(a+c)(/?+")'

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510,828

解（1）由所给数据，得该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值

如下表:

空气质量等级1234

概率的估计值0.430.270.210.09

⑵一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为福（100X20+300X35+500X45）

=350.

（3）根据所给数据，可得2X2列联表:

人次W400人次＞400

空气质量好3337

空气质量不好228

零假设为Ho：一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关.

IOOX(33X8—22X37)2

根据列联表得好=一~5.820>3.841=xo.o5.

55X45X70X30

根据小概率值。=0.050的/独立性检验，可推断”。不成立，所以在犯错误的概

率不超过0.05的前提下，可认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质

量有关.

分层精练•巩固提升

【A级基础巩固】

1.（2023・湘豫名校模拟）根据如表样本数据:

X23456

y42.5—0.5-2-3

得到的经验回归方程为丁=陵+。，则（）

A.40,/?>()B.a>0,b<0

C.〃V(),/?>()D.aVO,b<0

答案B

八-2+3+4+5+6

解析由表中的数据可得，变量）随着x的增大而减小，则bV（）,x=—二—

=4,

4+2.5-0.5-2-3

尸5=°2

又经验回归方程；=£+：经过点（4,0.2）,可得:>0.

2.甲、乙、丙、丁四位同学各自对4,8两个变量的线性相关性做试验，并用回归

分析方法分别求得样本相关系数r与残差平方和〃?，如下表：

甲乙丙T

r0.820.780.69().85

tn106115124103

则哪位同学的试验结果体现4,3两个变量有更强的线性相关性？（）

A.甲BZ

C.丙D.T

答案D

解析〃的绝对值越大，山越小，线性相关性越强.

3.某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间的关系如下表:

X24568

y3040605070

y与x的经验回归方程为;，=6.5x+17.5,当广告支出6万元时，随机误差的残差

为（）

A.-5B.-5.5

C.-6D.—6.5

答案D

解析由题意结合经验回归方程的预测作用可得，当x=6时，>-6.5X6+17.5

=56.5,则随机误差的残差为50—56.5=-6.5.

4.（2023・南昌模拟）某公司在2019〜2023年的收入与支出情况如下表所示:

收入M亿元）2.22.64.05.35.9

支出M亿元）0.21.52.02.53.8

根据表中数据可得经验回归方程为;，=0.8x+；依此估计该公司收入为8亿元时

的支出为（）

A.4.2亿元B.4.4亿元

C.5.2亿元D.5.4亿元

答案C

解析根据题表中的数据，

得x=]x（2.2+2.6+4.0+5.3+5.9）=4,

y=!x（0.2+1.5+2.0+2.5+3.8）=2,

J

A

・・・。=2—0.8乂4=-1.2,

A

・•・经验回归方程为y=0.网一1.2,

A

当x=8时，），=（）.8乂8—1.2=5.2（亿元），

即该公司收入为8亿元时的支出为5.2亿元.

5.（多选）（2023•深圳模拟）某人工智能公司近5年的利涧情况如下表所示：

第X年12345

利润w亿元23457

已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的经验回归方程为；

=1.2%+；则下列说法正确的是（）

A.。=0.6

B.变量y与x之间的线性相关系数r＜（）

C.预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元

D.该人工智能公司这5年的利润的方差小于2

答案AC

14-2+3+4+5-2+34-4+5+721

解析由题表可知,x=5=3,y=5=5=4.2,

由经验回归直线恒过点（尤，y）,得4.2=1.2X3+m即々=0.6,故A正确；

由A可得经验回归方程为;=1.2r+（）.6,显然为正相关，其相关系数r>0,故B

错误；

A

令x=6,则），=1.2X6+0.6=78故C正确；

该人工智能公司这5年的利润的方差?=1x[（2-/1.2）2+（3-d.2）2+0-/|.2）2+（5

-4.2>+（7—4.2）2]=2.96>2,故D错误.

6.（多选）（2023・大连模拟）变量x与变量），的20对数据记为（r,M，其中拒N*,运20,

冲点即，尸点鲁产，根据最小二乘法求得经验回归方程是产区+〃，变量间的

相关系数为八则下列说法中正确的是（）

A.利用经验回归方程计算所得的;•与实际值y,•必有误差

B.经验回归直线），=Z?x+〃必过点（x,y）

C.若所有的点8,刈都在经验回归直线;，=£+联上，则仍=1

D.若变量x与），正相关，则Q>（）

答案BCD

解析对于A,若所有样本点都在经验回归直线二，则;，•与v相等，故A错误；

对于B,经验回归直线；=£+；必过样本数据的中心点（x,y）,故B正确；

对于C,若所有样本点都在经验回归直线上，则变量间的相关系数为±1,即仍=1,

故C正确；

对于D,变量x与y正相关，则->0,故D正确.

7.（多选）下列说法正确的是（）

A.设有一个经验回归方程;，=3—5达变量/增加一个单位时，），平均增加5个单位

B.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r的值越接近

于1

C.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高

D.在一元线性回归模型中，决定系数代越接近于1,说明回归的效果越好

答案CD

解析A中，因为y=3—5%，所以变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位,

故A错误；

B中，线性相关性具有正负，相关性越强，则样本相关系数，•的绝对值越接近于

1,故B错误；

C中，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的

拟合精度越高，故C正确；

D中，在一元线性回归模型中，决定系数产越接近于1,说明模型拟合的精度越

高，即回归的效果越好，故D正确.

8.已知x和y的散点图如图所示，在相关关系中，若用）=oeC2x拟合时的决定系

数为而用;=鼠+：拟合时的决定系数为冠则就此中较大的是________.

3M

2(M

2M5X

1X

1(M

X5M1

/

(78)(

M5

答案Ri

解析由散点图知，用），=oe它拟合的效果比

拟合的效果要好，

所以居〉虺，故较大者为心.

9.（2023•青岛模拟）某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密

度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：

接受大密度集中培训的55个学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培

训的学员一次考试通过的有30个.根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是

否集中培训有关”犯错误的概率不超过________.

附：州=（»）（；+：【：：，）（〃+</）'其中〃=〃+^+c+a

a0.050.0250.0100.001

Xa3.8415.0246.63510.828

答案0.025

解析由题意可得列联表如下,

培训方式

合计

集中分散

一次考过453075

一次未考过102030

合计5550105

105X(45X20—10X30)2

一七6.109>5.024fo.025.

55X50X75X30

10.某市物价部门对本市的5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5

家商场的售价x（元/件）和销售量），（件）的数据如下表所示：

售价X99.5m10.511

销售量），11n865

由散点图可知，销售量y与售价x之间有较强的线性相关关系，其经验回归方程

是y=-3.2x+40,且阳+n=20,则其中的〃=

答案10

9+9.5+〃z+10.5+11m

解析犬=---------5---------=8+百,

11+〃+8+6+5,n

尸5=叫,

回归直线一定经过点（x,旦

即6+5=—3.2（8+9+40,

即32〃+〃=42.

又〃z+〃=20,所以“7=10,71=10.

11.（2022.全国乙卷）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计

一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截

面积（单位：m?）和材积量（单位：m）得到如下数据：

样本

12345678910总和

号i

根部0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

横截

面积

Xi

材积

0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

量》

101010

并计算得百斤=0.038,岳»=1.6158,区汨v=0.2474.

⑴估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；

(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横

截面积总和为186nf.m知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上

数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.

E(X/—x)(y-y)____

附：相关系数4=J”〃，3.896y1.377.

寸£(xi-x)2方(y—y)2

解(1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x=^=0.06(m2),

样本中1()棵这种树木的材积量的平均值y=/3=90.39(m3),

据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06n?,平均一棵的材积

量为().39nR

10

»(不一T)(y—J)

(2)r=-1

10,10,

710

2cM-1()三歹

_;=1

/(XJ-.-1072—ioy2)

V1-11-1

___________0.2474—10X0.06X0.39__________

(0.038-10X0.062)(1.6158-10X0.392)

0.01340.0134…

=~,y-----------〜n07

1().()()()18960.01377,,

(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为

又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,

0.06_186

可得039~-解得y=l209.

则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3.

12.（2023•青岛模拟）为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对

市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中SCh

的浓度（单位：4g/m〉整理数据得到下表:

勺浓度

[0,50](5(),150](15(),475]

空气质量

1（优）2862

2（良）578

3（轻度污染）389

4（中度污染）11211

若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量

等级为3或4,则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题.

⑴估计事件”该市一天的空气质量好，且SO2的浓度不超过150”的概率；

⑵完成下面的2X2列联表.

SO2的浓度

合计

ro,1501(150,475]

空气质量好

空气质量不好

合计

（3）根据（2）中的列联表，依据小概率值。=0.01的独立性检验，能否据此推断该市

一天的空气质量与当天SO2的浓度有关？

解（1）由表格可知，该市一天的空气质量好，且SO2的浓度不超过150天的天数

为28+6+5+7=46,

则“该市一天的空气质量好，且SO?的浓度不超过150”的概率2=盖=0.46.

⑵由表格数据可得到列联表如下：

SO2的浓度合计

[0,150](150,475]

空气质量好461056

空气质量不好242044

合计7030100

⑶零假设为Ho：该市一天的空气质量与当天SO2的浓度无关.

100X(46X20-24X10)2

由(2)知/=一七8.936>6.635=xo.oi,

70X30X56X44

根据小概率值a=0.01妁z2独立性检验，没有充分证据推断”0成立，因此可以认

为H）不成立，即认为该市一天的空气质量与当天SCh的浓度有关.

【B级能力提升】

13.己知变量），与x的一组数据如表所示，根据数据得到），关于x的经验回归方程

X1234

ybc'e5c6

若;，=/,则x等于（）

A.6B.7

C.8D.9

答案B

解析由〉=9"一|,得Iny=bx~\,

令z=lny,贝1Jz=Z?x—1,

Lttc上〃一1+2+3+4

由冠思知，x==2.5,

2+34-5+6

z=4=%

因为(x,z)满足z=bx—1,

所以4=〃X2.5—1,解得力=2,

所以z=2x—1,所以y=e1r,

令eWe",解得工=7.

14.（多选）（2023・武汉调圻）某班级学生开展课外数学探究活动，将一杯冷水从冰箱

中取出后静置，在25C的室温下测量水温y（单位：℃）随时间N单位：min）的变

化关系，在测量了15个数据后，根据这些实验数据（myi）（i=1,2,…，15）得到

如下的散点图：

温度/七

15------------------------------

10-*--------------------------------

---------------------------------

°102（）3。时间/min

现需要选择合适的回归方程进行回归分析，则根据散点图，合适的回归方程类型

有（）

A.y=25—cie3B.y=25-\-yjc\x-\~C2

C.y=25--3—D.y=ci(JV—25)+C2

C1X十C2

答案AC

解析题中散点图的特点是单调递增，增长速度越来越慢，且y<25.

对于A,当a,C2>0时，），=一。上一呼为增函数，且其增长速度逐渐减小且小于

0,故可能符合，故A正确；

对于B,该函数值大于25,故B错误；

对于C,当°,c>0时，y=一为增函数，其增长速度逐渐减小且小于0,

'CIX+C'2

故可能符合，故C正确；

对于D,当ci>0时，y=cix为直线，与散点图不符合，故D错误.

15.（多选）已知由样本数据（即，》）,i=l,2,3,4,5,6,求得的经验回归方程为

；=2丫