第18章-勾股定理及逆定理期中复习

第18章勾股定理及其逆定理期中复习

一、知识要点:

1、勾股定理：

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.

2、勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

3、勾股定理的适用范围：直角三角形

4、勾股定理的应用：

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在AA8C中，ZC=90°,则c=b=Jc2-a2,a=ylc2-b2

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系

③可运用勾股定理解决一些实际问寇

5、勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形

①若"+从=。2,以。，b,。为三边的三角形是直角三角形；

②若时.以〃，卜,。为三边的三角形是钝角三角形：

③若时，以“，*c为三边的三角形是锐角三角形；

（2）定理中a,b,c及/+〃=，只是一种表现形式，不可认为是唯一的。

（3）错误的描述方法：”当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形”

6、勾股数

（1）能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即/+/=/中，°,力，。为正整数时，称〃，b,

c为一组勾股数

（2）记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6.8,10；5,12,13；7,24,25等

（3）用含字母的代数式表示〃组勾股数：

①〃2-1,2%/+1为正整数）;

(2)2n+1,2/+2%2/+2〃+1(〃为正整数)

@m2-n2,2mn,m2+n2（m>n,m,〃为止整数）

7、勾股定理的应用

解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明。

（1）使用注意事项：前提必须是直•角三角形，同时要明确三角形的斜边、直.角边分别是什么。

（2）一般解决方法：添加辅助线，构造直角三角形。

8、勾股定理逆定理的应用

特别要注意：应该用两条较短的边的平方与最长的边的平方进行匕较，除此之外的比较方式均错误。

9、勾股定理及其逆定理的应用

勾股定理及其逆定理的应用通常在一道题目里同时出现，应用时须注意区分。

一小」I

ABADB/iD

10、互逆命题

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

二、例题精讲：

例1、（直接考查勾股定理）在AA8C中，ZC=90°.

（1）已知人C=6,8c=8.求八6的长

（2）已知A3=17,AC=\5,求的长。

例2、（利用勾股定理测量长度）如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多

少米?

15

CB

例3、（利用勾股定理测量长度）如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，山水部分BC的长

是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.

例4、（勾股定理和逆定理应用）如图，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且

4

那么aDEF是直角三角形吗？为什么？

例5、（利用勾股定理求线段长度）已知长方形ABCD+AB=8cm.BC=10cm,在边CD上取一点E,将4ADE折叠

使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.

例6、（利用勾股定理逆定理判断垂直）王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得

AD=80cm,AB=60cm,BD=l（）0cm,AD边与AB边垂直吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？

AD

BC

例7、（利用勾股定理逆定理判断垂直）有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地

高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学

生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？

三、随堂练习

1、如图，ZiABC为等腰直角三角形，NBAO90。，E、F是BC上的点，且NEAF=45°,试探究BE2,。尸2,后产2

间的关系，并说明理由.

2、女「图，AD是AABC的中线，ZADC=45°,把AADC沿直线AD翻折，点C落在点C的位置，BC=4,求BC'

的长.

3、如图为一棱长为女m的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,

则它从下地面A点沿表面爬行至右则面的B点，最少要花几秒钟?

4、在，△A8C中，ZACB=90°,CD_LAB于D,求证：+=

BC2AC2CD2

5、葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常饶着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就

是它绕树盘升的路线，总是沿着短路线一盘旋前进的。难道植物也懂得数学吗？

如果阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？

如果树的周长为3cm,绕一圈升高4cm,则它爬行路程是多少厘米？

如果树的周长为8cm,绕一圈爬行10cm,则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘

米？

四、课后作业：

I、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需米.

2、种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5cm,高为12cm,

吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6cm,问吸管要做cm。

3、已知：如图，ZXABC中，/C=90。，点O为AABC的三条角平分线的交点，

OD1BC,OE±AC,OF_LAB,点D、E、F分别是垂足，且BC=8cm,CA=6cm,

则点O到三边AB,AC和BC的距离分别等于cm

4、已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（）

A、25B、14C、7D、7或25

5、Rt△一直角边的长为II,另两边为自然数，则Rl△的周长为（）

A、121B、120C、132D、不能确定

6、如图，正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则AABC是（）

A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、以上答案都不对

I、如图，A、B是笔直公路I同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是300m和500m,两村庄之间的距

离为d（己知d2=400000m2）,现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。问最小是多少？

2、如图1-3-11,有一块塑料矩形模板ABCD,长为10cm,宽为4cm,将你手

中足修大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：

①能否使你的三角板两直角边分别通过