第04讲 拓展一：非线性经验回归方程 精讲（含答案解析）

第04讲拓展一：非线性经验回归方程（精讲）

第04讲拓展一：非线性经验回归方程（精讲）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：典型例题剖析

题型一：指数型

题型二：对数型

题型三：制函数型

第一部分：知识点精准记忆

知识点一：非线性经验回归

当经验回归方程并非形如），=/»+〃（&6tA）时，称之为非线性经验回归方程，当

两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来模拟，常见的

非线性经验回归方程的转换方式总结如下：

曲线方程变换公式变换后的线性关系式

y=axhc=Inv=Inx,w=Iny〃=c+加

y=aehxc=\na,u=Inyu=c+bx

b

xc=\na,v=—.u=Inyu=c+bv

y=aeX

y=a+b\nxv=lnxy=a+bv

y=a+b&V=>/X,M=yu=a+bv

建立非线性经验回归模型的基本步骤

1.确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量；

2.由经验确定非线性经验回归方程的模型；

3.通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回

归模型转化为线性经验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换

后的变量）；

4.按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程：

5.消去新元，得到非线性经验回归方程；

6.得出结果后分析残差图是否有异常.

知识点二：非线性经验回归类型

非线性回归方程主要分为三大类，指数型，对数型，弃函数型，做题关键在于变量之间

的转换

1、指数型：

①类型一，y=cehx,处理方式是对方程两边取对数（具体取什么对数观察参考数据，

自然对数和常用对数用的较多），比如e为底数，取lr.,则现在方程变为

l"=ln（d）=lnc+阮，，将hiy,lnc进行换元,\ny=z,\nc=at则非线性回归方程变成线性

回归直线方程z=4+Z?x；

②类型二，）、=%'+♦,此为类型一的变式，多了常数项部分，常见的变化形式为

y-d=kcK=>）n（y-J）=InA:+xInc（具体取什么对数观察参考数据，自然对数和常用对数川

的较多），令ln（y->）=z,lnk=a,lnc="则非线性回归方程变成线性回归直线方程

z-a+bx

2、对数型：

①类型一，形如），=a+与lnx,则令lnx=/,则非线性回归方程变成线性回归直线方程

z=a+bt

②类型二，y=msx+a）,两边同时消掉对数，（取什么底数判断方法同上）取，=辰+〃，

令"=卬，则非线性回归方程变成线性回归直线方程卬+队

3、寄函数型：

①类型一，y=a+b«,y=a+乂,产〃+儿等等，处理方式是将方程中幕函数部分换

成一个新变量，比如"=/,4=1,x2=t,然后将非线性回归方程变成线性回归直线

X

方程），=〃+初

②类型二，y=做法同指数型，变化方式为两边取对数（底数判断方式同上）

lny=lna+Rnx,令lny=z,lnd=〃lnx=f,则非线性回归方程变成线性回归直线方程

z=a+bt

第二部分:典型例题剖析

题型一：指数型

典型例题

例题1.（2022•辽宁・鞍山一中模拟预测）

1.用模型尸拟合一组数a，），J（i=l,2,…,10）,若玉+々+-+/=。

试卷第2页，共16页

X乃…%=e70,设Z=l”,得变换后的线性回归方程为z=笈+4,则成=（）

A.12B.3e4C.4e3D.7

例题2.（2022•广西桂林•模拟预测（文））

2.一只红铃虫产卵数y和温度工有关，现测得一组数据（0），）（，•=1,2,…,10）,可用模型

），=，卢/拟合，设z=lny,其变换后的线性回归方程为z=4，若

X,+X2+---+X1O=3OO,xx…Xo=e'°,e为自然常数，则。心=.

例题3.（2022・河南商丘•高二期末（文））

3.5G网络是指第五代移动网络通讯技术，它的主要特点是传输速度快，峰值传输速度

可达每秒钟数十G4.作为新一代移动通讯技术，它将要支持的设备远不止智能手机，而

是会扩展到未来的智能家居，智能穿戴等设备.某科技创新公司基于领先技术的支持：

经济收入在短期内逐月攀升，该公司1月份至6月份的经济收入y（单位：万元）关于

月份k的数据如卜表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.

月份X123456

收入），611233772124

，收入

140

120

100

80

60

40

20

（I）根据散点图判断，），=依+。与）=。《小（小b,c,d均为常数）哪一个更适合作为经

济收入），关于月份x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？

⑵根据（1）的结果及表中数据，求出），关于X的回归方程（结果保留两位小数）；

⑶根据（2）所求得的回归方程，预测该公司7月份的经济收入（结果保留两位小数）.

参考公式及参考数据：回归方程$，=八+力中斜率和截距的最小二乘估计公式为：

iu-x)2

5.4H

XUu

r-l/=1

3.545.533417.5393.510.63239.85

其中〃=lny,ui-Iny,.（z=1,2,3,4,5,6）.

例题4.（2022・福建三明•高二期末）

4.在国家大力发展新能源汽车产业的政策下，我国新能源汽车的产俏量面速增长.已

知某地区2014年底到2021年底新能源汽车保有量的数据统计表如下：

年份（年）20142015201620172018201920202021

年份代码x12345678

保有量y/千辆1.952.924.386.589.8715.0022.5033.70

（I）根据统计表中的数据判断，$，=去+&与$，=/"＞哪一个更适合作为丁关于％的经验回

归方程（给出判断即司二不必说明理由），并根据你的判断结果建立）'关于x的经验回

归方程；

（2）假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量

每年下降的百分比相同.若2021年底该地区传统能源汽车保有量为500千辆，预计到

2026年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超

过传统能源汽车保有量.

参考数据：

y=12.1,7=2.18,=2084,=613.7,自8必=92.4,其中％=lny,lg2«0.30,

r=lr=l

lg3®0.48,lge«0.43.

参考公式：

对于一组数据（%,9）,（町，匕）....（%，匕），其经验回归直线。=加+&的斜

率和截距的

Z（w,-w）（-v）Zuyi-tui'V

最小二乘估计公式分别为力=上匕-----：—一-,a=v-pu,

M

同类题型归类综

（2022・全国•高二期末）

试卷第4页，共16页

5.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费工（单位：千元）对年

销售量），（单位：I）的影响，对近8年的年宣传费.口•和年销售量％（，=1，2,,8）数据作了

初步处理，得到下面的敌点图:

年销售量/t

620

600♦♦*

580♦♦

560♦

540.

520

500♦

480

O343638404244464850525456

年宣传费/千元

由此散点图可得，下面四个回归方程类型中最适宜作为年销售量），与年宣传费x的回归

方程类型是（）

A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+h\[xD.y=«+bcx

（2022♦全国•高二课时练习）

6.一组数据如下表所示：

X1234

yee4e6

已知变量y关于X的回归方程为若x=5,则预测y的值可能为A.e5

B./C./D./

（2022.黑龙江•尚志市尚志中学高二阶段练习）

7.近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间

的推广期，由于推广期优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公

交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用工表示活动推出的天数,

丁表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：

表1：

Xi234567

y611213466101196

根据以上数据•，绘制了如图I所示的散点图.

图1

参考数据:

yV工他IO054

f=lr=1

62.141.54253550.123.47

其中匕=lgy,=式％

;=|

参考公式：

对于一组数据（必,匕）,（4,%），••・，（%»），其回归直线y=a+仪，的斜率和截距的最小二乘

估计分别为6=a=v-flu-

（I）根据散点图判断，在推广期内，¥=〃+/*与y=c-d；（c/均为大于零的常数）哪一

个适宜作为扫码支付的人次＞关于活动推出天数X的回归方程类型？（给出判断即可,

不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，求N关于x的回归方程，并预测活动推出第

8天使用扫码支付的人次；

（2022.江西•南城县第二中学高二阶段练习（理））

8.为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收集数据如下：

天数x/天123456

繁殖个数w个612254995190

试卷第6页，共16页

⑴用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，尸，+尻与产C/'哪一个作为繁殖的个

数），关于时间x变化的回归方程类型为最佳？（给出判断即可，不必说明理由）

之（七-于6__

XZ2（七一外（州一田2（菁-工）（2产）

1=1r-1

3.562.833.5317.5596.50512.04

一14、

具中4=ln丫；z=±Zz,

。/=1

（2）根据（1）的判断最佳结果及表中的数据，建立），关于x的回归方程.

2（为一工）（£一丁）

参考公式：6=口------——，a=^-bx

£（%-工

1=1

题型二：对数型

典型例题

例题I.（2022•河南郑州•高二期末（文））

9.目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐，在党中央的正确领导下，全国人民团结

一心，使我国疫情得到了有效的控制.为了应对最新型的奥密克戎病毒，各大药物企业

积极投身到新疫苗的研发中.某药企为评估一款新药的药效和安全性，组织一批忐愿者

进行临床用药实验，结果显示临床疗效评价指标4的数量y与连续用药天数x具有相关

关系.刚开始用药时，指标A的数量1y变化明显，随看天数增加，），的变化趋缓.根据

志愿者的临床试验情况，得到了一组数据（4£）,i=123,4,5,•,10,£表示连续用药

i天，片表示相应的临床疗效评价指标A的数值.该药企为了进•步研究药物的临床效

果，建立了y关于x的两个回归模型：

模型①：由最小二乘公式可求得），与x的线性回归方程：y=2.50x-2.50：

模型②：由样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：y=〃lnx+a的附近，令，=lnx,

10101010

则有Z”22.00,ZN=230,X6X=569.00,2片=50.92.

f=l1=1r=1

⑴根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程；

（2）根据下列表格中的数据，说明哪个模型的预测值精度更高、更可靠；

⑶根据（2）中精确度更高的模型，预测用药一个月后，临床疗效评价指标A相对于用

药半个月的变化情况（一个月以30天“，结果保留两位小数）.

回归模型模型①模型②

残差平方和热NY102.2836.19

参考数据：In2h0.6931.

例题2.（2022•内蒙古♦赤峰二中模拟预测（理））

10.受北京冬奥会的影响，更多人开始关注滑雪运动，但由于室外滑雪场需要特殊的气

候环境，为了满足日益漕长的消费需求，国内出现了越来越多的室内滑雪场.某投资商

抓住商机，在某大学城附近开了一家室内滑雪场.经过6个季度的经营，统计该室内滑

雪场的季利润数据如下：

第x个季度123456

季利涧》（万元）2.23.64.34.95.35.5

根据上面的数据得到的一此统计量如下:

6

yU之"上

r=lr-lr=l

4.30.5101.414.11.8

-I—

表中％=ig七，

⑴若用方程拟合该室内滑雪场的季利润y与季度x的关系，试根据所给数

据求出该方程；

⑵利用（1）中得到的方程预测该室内滑雪场从第几个季度开始季利润超过6.5万元；

附：线性回归方程与=加+》中，人母-------»〃=广族•参考数据：IO。0561？

fX：—

1=1

同类题型归类练

（2022.福建省尤溪第一中学高二期末）

11.目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐，在党中央的正确领导下，全国人民团结

一心，使我国疫情得到了有效的控制.其中，各大药物企业积极投身到新药的研发中.汕

头某药企为评估一款新药的药效和安全性，组织一批志愿者进行临床用药实验，结果显

试卷第8页，共16页

示临床疗效评价指标A的数量），与连续用药天数工具有相关关系.刚开始用药时，指标

A的数量），变化明显，随着天数增加，），的变化趋缓.根据志愿者的临床试验情况，得

到了一组数据（％,）；）,i=l,2,3,4,5,…，10,耳表示连续用药，天，％表示相应

的临床疗效评价指标人的数值.该药企为了进一步研究药物的临床效果，建立了y关于

x的两个回归模型：

模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：y=2.50x-2.50;

模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：y=〃lnx+a的附近，令

10101010

2

r=lnx,则有=22.00,Zf=230,569.00,^/z=50.92.

r=lJ=I/=!/=l

（l）根据所给的统计量，求模型②中y关于大的I可归方程；

（2）根据下列表格中的数据，说明哪个模型的预测值精度更高、更可靠.

（3）根据（2）中精确度更高的模型，预测用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个

月的变化情况（•个月以30天计，结果保留两位小数）.

回归模型模型①模型②

残差平方和郭fj

102.2836.19

附：样本包,）；）（i=1,2,…，〃）的最小二乘估计公式为力=

力（y-y）

相关指数肥=1-甘4-------；，参考数据：In2Po.6931.

1=1

（2022・全国•高二课时练习）

12.发展扶贫产业，找准路子是关键，重庆市石柱土家族自治县中益乡华溪村不仅找准

了路，还将当地打造成了种植中药材黄精的产业示范基地.通过种植黄精，华溪村村民

的收入逐年递增.以下是2014年至202（）年华溪村村民每户平均可支配收入的统计数据:

年份2014201520162017201820192020

年份代码x1234567

每户平均可支配收入）'（千元）4152226293132

根据以上数据，绘制如图所示的散点图:

⑴根据散点图判断，y="+尿与y=o+“inx哪一个更适宜作为每户平均可支配收入y

（千元）关于年份代码x的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并建立）'关

于x的回归方程（结果保留I位小数）；

⑵根据（1）建立的回归方程，试预测要到哪一年华溪村的每户平均可支配收入才能超

过35（千元）；

参考数据：

So

2J

yite

i=!1=1/=i

22.71.2759235.113.28.2

_17

其中对=如玉，.

1M

Z（—）

参考公式：线性回归方程§=队+》中，b='——7^,令=亍-猿.

如-“

1=1

题型三：’曷函数型

典型例题

例题1.（2022•全国•高二期末）

13.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费双单位：千元）对

年销售量M单位：t）的影响，对近8年的年宣传费*和年销售量工0=12,8）数捱作

了初步处理，得到下面的散点图:

试卷第10页，共16页

年销售量/t

620

600♦♦*

580♦♦

560♦

540.

520

500♦

48*........................................................................

O343638404244464850525456

年宣传费/千元

由此散点图可得，下面四个回归方程类型中最适宜作为年销售量），与年宣传费x的回归

方程类型是（）

A.y=n+bxB.y=a+bx1C.y=a+b\[xD.y=a+IKX

例题2.（2022・河南信阳•高二期末（文））

14.设关于某产品的明星代言费x（百万元）和其销售额y（千万元），有如下表的统计

表格:

i12345合计

工（百万元）1.261.441.591.711.827.82

明（百万元）2.002.994.025.0()6.0320.04

K（百万元）3.204.806.507.5080030.00

555_,

--一/YXA,.=48.6(5£”,=132.62£(为一%)=0.20

x=1.56,w=4.01,y=6,普'

,1=1，M，

5

|2=10.14

-卬

1=1

表中“=x；"=1,2,3,4,£).

97

8

7

6

5

4

3

2

1

12345x

（I）在坐标系中，作出俏售额），关于广告费x的回归方程的散点图:

⑵根据散点图指出：），=〃+6nx,y=c+加哪一个适合作销售额），关于明星代言费x

的回归方程（不需要说明理由），并求出此回归方程.

附：对于一组数据（外匕），®，岭），……，（〃”》），其回归线n="的的斜率和截距

的最小二乘估冲分别为:a=v-Pu.

例题3.例022•四川雅安•高二期末（理））

15.某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为），cm,

测得一些数据如下表所示：

第4/p>

高度y/cm0479111213

作出这组数的散点图如下

⑴请根据散点图判断，¥=公+力与），=c&+d中哪一个更适宜作为幼苗高度），关于时

间x的I可归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

试卷第12页，共16页

->11

14

1

12

*10

8

6

4

2

o1

203(50

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的I可归方程，并预测第196天这株

幼苗的高度（结果保留整数）.

参考数据:

例题4.（2022・辽宁,高二阶段练习）

16.某企业积极响应“碳达峰”号召，研发出一款性能优越的新能源汽车，备受消费者青

睐.该企业为了研究新能源汽车在某地区每月销售量了（单位：千辆）与月份x的关系,

统计了今年前5个月该地区的销售量，得到下面的散点图及一些统计量的值.

，销售量M单位：千辆)

18-7-|-TTr1

IIIIfI

16-T-|-Trn

iiiiii

14-7-rT-lTI

0123456月份K

y

i-lr-l

9.529.5185.6

表中Z=x；(i=l,2,3,4,5).

⑴根据散点图判断两变量X，）'的关系用y=〃+尿与y=c+c及哪一个比较合适？（给出

判断即可，不必说明理由）

（2）根据（I）的判断结果及表中数据，建立）'关于x的回归方程（RZ的值精确到0』）,

并预测从今年儿月份起该地区的月销售量不低于3.6万辆？

附：对于一组数据目/），（-%%），…，（王，”），其回归直线方程加+4的斜率和截距

-£（“初丫-田”

的最小二乘法估计分别为b--------、—^=y-bx.

r-l

同类题型归类练

（2022・山东聊城•高二期末）

17.网民的智慧与活力催生新业态，网络购物，直播带货，"户买菜等进入我们的生活，

改变了我们的生活方式,随之电信网络诈骗犯罪形势也非常严峻.自“国家反诈中心APP”

推出后，某地区采取多措并举的推广方式，努力为人民群众构筑一道防诈反诈的”防火

墙”.经统计，该地区网络诈骗月报案数与推广时间有关，并记录了经推广x个月后月报

案件数的数据.

X（个）12C4567

y（件）891888351220200138112

⑴根据以上数据，判断），=依+〃与y=2+哪一个适宜作为回归方程模型？

根据判断结果，求出），关于工的回归方程；

⑵分析该地区一直推广下去，两年后能否将网络诈骗月报案数降至75件以下.

1777

参考数据（其中一，$＞戊=7212,力龙=1586,\o.37，7产=0.55.

Xii=ii=l«=l

参考公式：对于一组数据（N，X）,（%,%），（&,%），…，5，”），其回归直线，=去+4的斜

”_

,Xx.y.-nxy

率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；=丹-----—»a=y-bx.

Sv-〃/

i=l

（2022・湖北•高二期末）

18.快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈.某快递网点需了解一天中收发一件快

递的平均成本）’（单位：元）与当天揽收的快递件数即揽件星》（单位：千件）之间的

关系，对该网点近7天的每口揽件量占（单位：千件）与当口收发一件快递的平均成本

试卷第14页，共16页

M（单位：元）（i=l,2,3,4,5,6,7）的数据进行了初步处理，得到散点图及一些统计量

的值.

单件平均成本加元

8

6

4•・・

••

2-

02468I。每日揽件量x/千件

£（叫一记）（y一方£（吗-记）2

XyW2（七-叶

/=|r-11=11-1

44.60.37-182.7525.50.55

表中”=:，w=-^i.

x

i1f=1

⑴根据散点图判断），=以+匕与），=c+4哪一个更适宜作为）'关于x的经验回归方程类

X

型？并根据判断结果及表中数据求出）'关于X的经验向归方程；

（2）已知该网点每天的揽件量x（单位：千件）与单件快递的平均价格，（单位：元）之

间的关系是*=屈二了（5.75WZW14.5）,收发一件快递的利润等于单件的平均价格减去

平均成本，根据（1）中建立的经验回归方程解决以下问题：

①预测该网点某天揽件量为2千件时可获得的总利润：

②单件快递的平均价格「为何值时，该网点••天内收发快递所获利润的预报值最大？

附：对于一组具有线性相关关系的数据（4,匕）。=1,2,,〃），其经验回归直线£=加+々

（…）

的斜率和截距的最小二乘估计分别为/=J-------------------,a=v-flp.

1=1

（2022•河北承德高二阶段练习）

19.某制造企业从生产的产品中随机抽查了1000件，经检验，其中一等品有800件，

二等品有150件，次品有50件.若销售I件该产品，一等品的利润为200元，二等品的

利润为100元，次品直接销毁，亏损200元.

（1）用样本估计总体，估计该制造企业随机销售1件产品的利润的期望值.

（2）根据统计，该制造企业在2021年12月至2022年5月的产量V（万件）与月份编号

（记2021年12月，2022年1月，L编号分别为1,2,）近似满足关系式

y=hxa（«>0,/2>0）,相关统计量的值如下:

EInx.=6.60,EIn=-2.7O,Z（inx）~=9.46,Z（lnRlny）=-l.87,e冗2.7.根据所给的统

666r6

计量，求）'关于X的回归方程，并估计该制造企业2022年8月份的利润为多少万元.（结

果精确到0.01）

附：对于一组数据（％M（i=l,2,3,、〃），其回归直线0="，+。的斜率和截距的最小二

Em-〃而

乘估计分别为力=V--------,a=v-pu

疝2

/=|

（2022•海南中学高三阶段练习）

20.设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为Am,测得的一些数据如下表所示：

第X/p>

高度广m0479111213

作出这组数据的散点图发现：Mem）与x（天）之间近似满足关系式），=〃«+“，其中

。，〃均为大于0的常数.

⑴在这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度

大于》的点的个数为3其中亍为表格中所给的幼苗高度的平均数，求4的分布列和数

学期望;

（2）试借助一元线性回归模型，根据所给数据，求出y关于▲•的经验回归方程.

.Z（x,一h）（）',一了）Xx^.-nxy

b=；=~ki-7

附：线性回归方程»=八+G中,£（占-可~位2其中为样本

A

a=y-bx

平均量.

试卷第16页，共16页

参考答案:

1.B

【分析】由已知，可根据石+/++/=10,"2…曲=。7"先计算出伍4,然后把样本

中心点带入线性回归方程为；=晟+4中计算出力，从而得到线性回归方程，然后将方程化为

指数形式，通过待定系数法分别对应出〃、k的值，即可完成求解.

【详解】由己知，为+“2-+/=10,所以7=9斗尸也=1,

NM…加=e"，z=lny,所以

二_马+2++-HI_InV.-Fhiy++ln>_ln（y,y-j）_Ine70

乙——21（1一1210一1一/,

10101010

由题意，（H）满足线性回归方程为z=/ir+4,所以7=b・l+4,所以8=3，

此时线性回归方程为z=3x+4，即I"=34+4,

可将此式子化为指数形式y=e*4,即为y=e'e",

因为模型为模型、=。*,所以a=e"k=3,

所以加=3e4.

故选：B.

2.OM

【分析】经过z=lny变换后将非线性问题转化为线性问题，在求样本点的中心，回归直线

一定过该点，即可求出参数.

【详解】），=3外经过z=In），变换后，得到z=Iny=c2x+Inc.,根据题意Inj=-4,故q=e",

7e5（>,n7

又%+七+…+Xo=3OO,故,=30，3io==>）i+Iny2+•••+Iny10=50,故1=5，

于是回归方程为z=灰-4一定经过（30.5）,故30右-4=5，解得A=0.3，即G=。-3,于是0Q=

0.3e4.

故答案为：OJe-4.

3.⑴y=ce4更适合

(2)^=cL2,*O6l-r

(3)239.85万元

答案第1页，共16页

【分析】（1）由散点图可知;

（2）y=ce小的两边取自然对数，把非线性回归方程转化为线性回归方程，用最小二乘法计

算得解；

（3）根据（2）的方程进行预测.

（1）

由散点图可知，＞=ce心更适合作为经济收入白，关于月份x的回归方程类型.

（2）

y=ce,A的两边取自然对数，得Iny=lnc+dx.

Inc=M3.34-0.61x3.5=1.205«1.21，所以c,才8”，

所以经济收入y关于月份x的回归方程为ReL2,+0-6,\

（3）

当x=7时,j=eL2,+0-6,x7=e548«239.85.

预测该公司7月份的经济收入约为239.85万元.

d

4.（l）y=G^,），=e-3

（2）2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车

【分析】（1）根据题意，选择的函数模型是），=e„，令，小D，贝打=&+》，再结合已知

数据计算回归方程即可.

（2）设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为，，进而得500（1-r）5=500（1-10%）：解

1（1

得］_/.=0於，即可■得从2021年底起经过x年后的传统能源汽车保有量为），=5000.9s

答案第2页，共16页

再解e°W)+°3>5000.93即可得答案.

(1)

根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是y=e&+>

令，=\ny,则f=8+2,

88

因为工=4.5,方片=204.才切=92.4,,

r-li-l

g、i-’92.4-8x4.5x2,116.8

所以c=---------=------------；—=----=0.4

V2y-2204-8x4.5:42

9=1

2=7-3=2.1-0.4x45=0.3•

所以y=e04"°3.

(2)

设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为广，

依题意得，500(1-r)5=500(1-10%),解得「二。/，

设从2021年底起经过x年后的传统能源汽车保有量为)，千辆,

I、上

则有)，=500(1-/-)'=5(乂)0.小，

设从2021年底起经过x年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，则有

e0.4(x+8)+0.3>5(K)Q95.

所以(0.4工+3.5)lge>3-lg2+0.2x(21g3-1),

3-lg2-3,5lge

解得b6.64

0.2+0.41ge-0.41g3

故从2021年底起经过7年后，即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车.

5.C

【分析】根据散点图中样本点的分布情况，结合题意即可得出正确的结论.

【详解】从散点图看出，样本点分布在开口向右的抛物线(上支)附近，上升的趋势比较平

缓，

因此对于A,图象是直线，不适合：

答案第3页，共16页

对于B,b>0时对应曲线是开口向上的抛物线，右侧部分上升趋势较快，不适合；

对于C,时对应曲线是开口向右的抛物线，上支部分上升趋势较平缓，适合题意；

对于D,对应曲线是指数型曲线，〃>0时上升趋势是越来越快，不适合，

故选：C.

6.C

【分析】令z-ln\，求得xz之间的数据对照表，结合样木中心点的坐标满足回归直线方程,

即可求得/八再令x=5,即可求得预测值）

【详解】将式子两边取对数，得到lny=Zzr+0.5,令z=ln§，得到z=^+0.5,

根据已知表格数据，得到X，z的取值对照表如下：

X1234

Z1346

由上述表格可知:

_1+2+3+4=2.5,5==35,

x=---------1+3+4+6

44

利用回归直线过样本中心点，即可得3.5=2.5b+0.5,

求得）=1.2,则z=1.2r+0.5,

进而得到），将x=5代入，

解得y=1§=e~2.

故选：C.

【点睛】本题考杳利用样本中心点坐标满足回归直线方程求参数值，以及由回归方程进行预

测值得求解，属中档题.

7.⑴），=「，适宜;

（2）亍=3.47x1002$*,3470.

【分析】（I）根据散点图判断丫=。才适宜作为扫码支付的人数）'关于活动推出天数大的问

归方程型；（2）通过对数运算法则，利用回归直线方程相关系数，求出回归直线方程，然后

答案第4页，共16页

求解第八天使用扫码支付的人次.

【详解】（1）由于表中点的走势不在任何一条直线附近，因此应该是非线性的，故可判断

y=c•小适宜作为扫码支付的人数），关于活动推出天数x的回归方程类型；

(2)-.•y=cds,两边同时取常用对数得:lgy=lgc+AlgJ;

设lgy=y,/.u=lgc+xlgd

x=4'=1.54,=140,

7_

50.12-7x4x1.547

：.lgd=¥-----—0.25,

2

Zv-7?I40-7X428

f=l

把样本中心点(4,1.54)代入u=1gc+x\gdf得:v=Q,54+0.25x，

..lgy=0.54十0.25A，

关于x的回归方程式:y=10°-54+o-25t=10°54x(10025丫=3.47x1Oo25v.

把x=8代入上式:)，=3.47xl()2=347.

故活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470.

8.(1)选产。产

(2)y=e°i[22

【分析】（I）绘制出散点弱去判断选择即可；

（2）先求得球再求得求即可得到2=0.688x+1.122,进而求得y关于x的回归方程.

（1）

答案笫5页，共16页

繁殖个数/个

由散点图看出样本点分布在曲线周围，不是直线周围，于是选择尸Ge

(2)

由(1)可知产

令z=l”，则2=服+&

6__

.X(x..-x)(z,-z)

则力=七----------=-zv=0.688

1W.5

/=!

a=z-^=3.53-0.688x3.5=1.122，WJz=0.688.V+1.122

mil右t^0.688x41.122

9.(Dy=251nx-32

(2)答案见解析

(3)用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月提高17.33

【分析】(1)利用最小二乘法求解；

<2)由相关指数判断；

(3)分别求得孔^丸作差比较即可.

(1)

1010

解：由题意，知Z%=2200,ZK=230,

/-Ir-1

所以7=2.20，亍=23,

答案笫6页，共16页

£（乙-7）（y-7）/y-1。7•y

又由人----------二*----------，

zu-n2a］。尸

/=1<=>

=569^-10x220x23=25

~50.92-10x2.20x2.20--，

贝lja=亍一百=23—25x2.20=-32,

所以，模型②中），关于x的回归方程，=25111A-32；

（2）

由表格中的数据，可得102.28>36.19,

102.28、36.19

日H"，.>I。.

即刀力-歹）2（%-亚，

r=lr=1

所以模型①的R2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好;

（3）

根据模型②，当连续用药30天后，）2=25^30-32,

连续用药15天后，y15=251nl5-32,

*/），匏-）%=251n2=l7.3275»17.33,

••・用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月提高17.33.

10.（l）y=2.3+41gx;

⑵第12个.

【分析】（1）根据最小二乘法可得y=2.3+4〃，进而即得;

（2）由2.3+4lgx>6.5,解不等式进而即得.

【详解】（1）由〃=】gx,先求），关于〃的线性回归方程），=〃+加,

14.1-6x0.5x4.3

由已知数据得--------=4

工内一1.8-6x0.5x0.5

1-1

故。=》-加=4.3-4x0.5=2.3,

所以y关于〃的回归方程为y=2.3+4〃，

答案第7页，共16页

故y关于x的回归方程为》，=2.3+41gx：

(2)令2.3+41gx>6.5,得lgx>1.05,

所以QlOiMylOxl.12=11.2，

故预测从第12个季度开始季利润超过6.5万元;

11.(l)y=251nx-32

(2)回归模型②刻画的拟合效果更好

⑶17.33

【分析】(1)直接由参考公式及参考数据直接计算即可；

(2)直接由参考数据比较两个模型的相关指数即可；

(3)直接将15和30代入模型②，再作差计算即可.

(I)

1010

由题意，知»>=22.()0,、>=230,可得7=2.20,亍=23,又由

；=1r=1

$=与乂7。3569.00—10x2.20x23=25

-'力TO产50.92-10x2.20x2.20-'

/=1/=1

一百=23-25X2.20=-32，所以，模型②中y关于x的回归方程y=251nx—32：

(2)

102.2836.19

由表格中的数据，可得102.28>36.19,即所以模型①的浦小于

j=i'/=1

模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好；

(3)

根据模型②，当连续用药30天后，为°=25In30-32,连续用药15天后，y15=251n15-32,

*.，)，匏-yI5=251n2=l7.3275®17.33,

・••用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月提高17.33.

12.(l)y=c+dh】x更适宜作为每户平均可支配收入y(千元)关于年份代码工的回归方程

模型，y=5.7+14.2lnx；

(2)到2022年每户平均可支配收入才能超过35(千