第20练平面向量中的线性问题

第20练平面向量中的线性问题

［题型分析•高考展望］平面向量是初等数学的重要内容，兼具代数和几何的“双重特性”，

是解决代数问题和几何问题的有力工具，与很多知识联系较为密切，是必考命题的热点.多

与其他知识联合命题，题型有选择题、填空题、解答题，掌握好向量的基本概念、基本运算

性质是解题的关键.

体验高考

1.(2015•课标全国I)设。为△A8C所在平面内一点，BC=3CDf则()

A.AQ=-3而+,/B.AD=^AB—^AC

41->-*41

C.AQ=J,44+QJACD.AD=T:JAB—^JAC

答案A

解析•・,正=3诙，：,AC-AB=3(AD-AC),

即4/-而=3曲，：.AD=-jAB-\-^AC.

2.(2016•课标全国甲)已知向量。=(1,6),。=(3,-2),且(a+b)_Lb,则〃7等于()

A.-8B.-6C.6D.8

答案D

解析由题知。+力=(4,，〃-2),因为(“+〃)_!_瓦所以(。+。)•力=0,

即4X3+(—2)X(〃?-2)=0,解之得机=8,故选D.

3.(2016•山东)已知非零向量/»,般满足4网=3同,cos(mtn)=：.若〃_!_(〃〃+〃)，则实数

J

/的值为()

99

A.4B.-4C，4D.-j

答案B

解析J_(〃7Z十，l),

.*.n-(rm+n)=0,即""•〃+|〃F=0,

r|m||n|cos(m,n)+|n|2=0,

又4|m|=3|n|,

•••1乂半3川2乂？1+同2=0,解得/=-4,故选B.

4.(2015•北京)在△A4C中，点M,N满足危=2而匕而=流.若加=工施+)而，则x=

--------；尸---------

答案5-

解析疏^=疝?+诙=；/+二戢?+点而-最7)=枭位?，

.11

••”一2,y——日

高考必会题型

题型一平面向量的线性运算及应用

例1(1)在△ABC中，点。在线段BC的延长线上，且正=3而，点0在线段CD上(与点

c,。不重合)，若Ab=/h+(i—%)/，则式的取值范围是()

A.(o,£)B.(o,£)C.(Wo)D.(-1,o)

(2)已知在△ABC中，。是A3边上的一点，若a=2酩,C£)=|CA4-2C&,则2=.

答案(1)D(2)|

解析(\)^CO=yBC,

:历=n+G)=元+＞病=公+兴/一通)=_)赢+(1+)，)/.

••・庆：=3a＞,点O在线段CZ＞上(与点C,。不重合)，

，)，£(0,；),*：AO=xAi+(\-x)AC,

(I、

・'x=-y,0/.

(2)因为病=2加，CD=\CA+ACB,所以屈=0+病=以+各5=以+|(无一丽=Q

+|ch,所以/=全

点评平面向量的线性运算应注意三点

(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件.

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，

当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.

(3)a=2而+〃次(九"为实数)，若A,B,C三点共线，则%+〃=1.

变式训练1⑴如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若箭)=2布+

kAC,则/l+k等于()

A.I+A/2B.2-V2C.2DS+2

(2)在△ABC中，GA+GB-l-GC=O,CA=a,昂=b.若亦=机a,CQ=nb,CGC\PQ=H,CG

=2CH,则'+'=

mn--------

答案(l)A(2)6

解析(I)根据向量的基本定理可得，

Ab=AC+CD=AC-i(Eb-EC)

=AC+(yf2AC-^-BC)

=AC+y/2AC-^(AC-AB)

=(1+冽元+日油，

所以7=乎,k=l+坐,

所以2+4=1+也.故选A.

(2)由点+茄+公=0,知点G为△ABC的重心，取AB的中点。(图略)，则由

=|(点+函=言(科表&,由P,从。三点共线,得出+表=1,则"打6

题型二平面向量的坐标运算

例2⑴已知点A(—3,0),8(0,小)，点。为坐标原点，点C在第二象限，且NAOC=30。,

OC=)idA^OB,则实数2的值为.

答案1

解析由题意知后=(-3,0),加=(0,小),

则历=(一3九小)，

由NAOC=30°,知NxOC=150°,

••tan150—”，即一々——□»••A—1.

—3zJ〃

(2)平面内给定三个向量。=(3,2),)=(-1,2),c=(4,1),请解答下列问题:

①求满足。=〃力+nc的实数m,n；

②若(a+h)〃(2〃一〃)，求实数代

③若d满足(d—c)〃(a+加，且|d-c|=小，求d.

解①由题意得(3,2)=皿-I,2)4-n(4,I),

—/〃+4〃=3,

2〃?+〃=2,

②。+品=(3+4〃，2+Z),2b—「=(-5,2),

•••(。+h)〃(28一。)，

・•・2X(3+42)—(一5)(2+公=0,・•・2=—1I

③设d=(x,)，)，则d—c=(x—4,1),a+b=(2,4),

4(x-4)-2^-l)=0,

由题意得，

(X-4)2+(.V-1)2=5,

x=3,x=5,

解得

y=-i)=3.

，d=(3,—I)或d=(5,3).

点评(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a=(xi,yi),b=(x2r")，则a//b

的充要条件是为力―12巾=0：②若。〃伙aWO),则力=〃.

(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非

零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.

(3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐

标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.

变式训练2(1)如图所示，在△A8C中，。为人8的中点，r在线段CO上，设Q=〃，/=

人行=恒+处则短的最小值为()

A.8+2吸B.8C.6D.6+2也

(2)已知向量次=(3,-4),06=(6,一3),OC=(5-rn,一3一，〃)，若点A、6、C能构成三

角形，则实数加满足的条件是.

答案(1)B(2)机

解析(1)因为点。为48的中点，所以后=2屐)，因为酢'=m+)力，所以酢1=2口b+y/.

因为点尸在线段CO上，所以2x+y=l,又x,y>0,所以：+,=(2丫+卜)(:+§=4+：+?

2+2求去8,

|12

当且仅当)，=2K=3时取等号，所以的最小值为8.

(2)因为次=(3,-4),加=(6,-3),历=(5—6，一3一〃?)，所以励=(3,1),比=(一〃?

—1,-m).

由于点A、8、C能构成三角形，所以初与前■不共线，而当靠与反'共线时，有一7=—,

—m—I—m

解得切=3，故当点儿&c能构成三角形时，实数加满足的条件是，“4

高考题型精练

1.设。是非零向量，入是非零实数，下列结论中正确的是()

A.a与)xi的方向相反B.a与不。的方向相同

C.|—121alD.|一

答案B

解析对于A,当2>0时，。与说的方向相同，当；.V0时，。与痴的方向相反，B正确；

对于C,L于|=|一啊由于|一川的大小不确定，故|一词与⑷的大小关系不确定;对于D,

|力。是向量，而I—表示长度，两者不能比较大小.

2.设点M是△ABC所在平面上的一点，且麻石+去证=0,点。是AC的中点，则

丽

的值为()

A.|B.|C.lD.2

答案A

解析是4c的中点，延长M。至E,使得DE=MD,

・•・四边形MAEC为平行四边形，

：.MD=^ME=7：(MA+MC).

—>3-3~*

•.•M4+5M4+宁3。=0,

a

：,MB=~^MA+MC)=-3疝),

•西丽|1M&A

—二-=?故噬A.

\BM]|-3MD|、

3.已知点4—3,0),8(0,2),点。为坐标原点，点C在NAO3内，|OC|=26，且NAOC

=会设历=AOA4-WGR),则i的值为()

A.lB.TC.TD.T

D乙D

答案D

解析过点C作CEJLr轴于点E(图略).

由NAOC=：,知|O£]=|C£1=2,

所以次=历+/=/1晶+协，

即加=疝，

2

所以(一2,0)=2(—3,0),故2=1.

4.在四边形A6CO中，屈=〃+2b,BC=-Aa-h,CD=-5a-3h,则四边形A8co的形状

是()

A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对

答案C

解析由已知，得病=鼐+反'+丽=一8〃一25

=2(-4a~b)=2BC,故病〃记.

又因为施与诙不平行，所以四边形A3CO是梯形.

5.设向量”，。满足同=2\瓦力=(2,1),则“。=(4,2)”是％〃b”成立的()

A.充要条件

B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析若。=(4,2),则同=2小，且〃〃力都成立；

\*a//h,设。=26=(22,z),由|。|=2小，知

4万+下=20,・・・乃=4,.•/=±2,

・・・。=(4,2)或。=(-4,-2).

因此“。=（4,2）”是“a〃b”成立的充分不必要条件.

6.在四边形A8C。中，AB//CD,48=3。。，点E为8c的中点，则AE等于（)

2—1—1-A2-A

A.yB+'A。B.]AB+铲。

5-1—；赢+看病

C.zAB+wAZ)D.

o5

答案A

解析证=函+病+庆'=一汕+疝,

港=而+诙=矗+筑=油+装元一号砌=轴+；巅

7.给出下列命题：

①若则。=力；

②若人，B,C,Q是不共线的四点，则诵=成'是四边形"CO为平行四边形的充要条件;

③若a=b,b=c,则。=c；

®a=b的充要条件是|。|=|加且a//bx

⑤若。〃力，b//c>则。〃c.

其中正确命题的序号是（）

A.②③B.①②C.③④D.④⑤

答案A

解析①方向不一定相同；④方向可能相反；⑤若〃=0,则不对.

8.在矩形ABC。中，。是对角线的交点，若m=5ei，庆=3e?，则历=.（用&，e2

表

1

答案

手(5

解析在矩形A/3C。中，因为点。是对角线的交点，

—><1—>>1­►—*I-A—>1

所以OC=/AC=z（AB+4D）=g（OC+B0=g（5ei+3e2）.

9.在梯形/WCO中，AB//CD,AB=2CD,M,N分别为C。，8c的中点，若彳^=疝+/",

则2+4=.

4

答案-

5

解析依题意得,

俞=加+应?+改=而+说'一乖=淬+病，

—►—>—►—>1—>

AN=A4+8N=44+严.

又花?=4I/+由，

于是有寿=/（汕+说'）+从而+婀）

=阜++c+§肥

住+〃=],

又n与虎不共线，因此有j

U4-2=0,

4

-

5

4

所以2+〃=一2=亍

10.已知点G是△A8C的外心，GA,GB,公是三个单位向量，且2a+翁+废'=0,如图

所示，△A8C的顶点从C分别在x轴的非负半轴和），轴的非负半轴上移动，点。是坐标原

点，则|万i|的最大值为.

OB

答案2

解析因为点G是△A8C的外心，且2后+公+公=0,所以点G是3c的中点，A48C

是直角三角形，且N84C是直角.又茄，GB,公是三个单位向量，所以3。=2,又ZXABC

的顶点&C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，所以点G的轨迹是以原点为

圆心、1为半径的圆弧.又|G4=1,所以当。4经过BC的中点G时，|后|取得最大值，且最

大值为21dAi=2.

11.设6],2是两个不共线的向量,已知AB=2ei—8e?，CB=,+3e2，CD=2e\—e2.

（1）求证：A,B,。三点共线：

（2）若加=3g—%e2，且8,D,尸三点共线，求女的值.

（I）证明由已知得肪=①一五=（2的一也）一（右+362）=3—4的，

,••晶=26一8也，：,AB=2BD.

又♦・,嬴与丽有公共点B,

・・・A,B,。三点共线.

(2)解由(1)可知访=白一4。2,

t

：BF=3ei-ke2,且8