概率-古典概型与几何概型板块二几何概型学生版

板块二.几何概型

耳］皿£知识内容

版块一：古典概型

1.古典概型：

如果一个试验有以下两个特征：

⑴有限性：一次试验出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件;

⑵等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的.

称这样的试验为古典概型.

2.概率的古典定义：

事件4包含的基本事件数

随机事件A的概率定义为P（A）=

试验的基本事件总数

版块二：几何概型

儿何概型

事件4理解为区域C的某一子区域A,A的概率只与子区域4的几何度量（长度、面积或

体积）成正比，而与A的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型.

几何概型中，事件A的概率定义为P（A）="，其中为表示区域Q的几何度量，出表示

区域A的几何度量.

刖典例分析

题型一：一维情形

【例I】在区间［0,10］中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是

【例2】在长为18cm的线段M上任取一点并以线段AM为边作正方形，则这个正方

形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为（）

【例3】两根相距3m的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距

离都大于1m的概率为（）

A，\।

瓦I

题型二：二维情形

【例4】（2018年，东城一模）

某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他4次射击必定公中靶,且射中靶内各

点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为（

【例5】（2018年，西城一模）

ylEMCD内任1仅一点P,则点尸到点A白1

为.

【例6】（丰台二模）

•个正三角形的外接圆的半径为1,向该圆内随机投一点P，点尸恰好落在正三角

形外的概率是_________.

【例7】（2018年，东城二模）

^xOyI',设集合。={（4,），）|0・＜忘1,（）W），忘1},在区域。内f]

一点产（％,田，则满足x+yW1的概率等于.

【例8】（2018年，丰台二模）

已知

C={（x,y）|x+yW6,x20,y20},A={（i,y）|xW4,y20,x-2y20}.

向区域C上随机投一点尸，则点尸落入区域A的概率是

【例9】（2018年，崇文二模）

在平面直加坐标系xOy中，平面区域W中的点的坐标（x,y）满足V+）,2W5,从区

域卬।随机】bOiM（x,y）.

（D若xwZ,yeZ,求点M位于第四象限的概率：

・线/：产T+b（b>0）与圆O：f+y2=5相交所截得的弦长为后,

y^-x+bKJ极.".

【例10】（2018年，丰台二模）

设集合F={1,2,3}和Q={-1,1,2,3,4},分别从第合P和Q♦随机取一个数作

为af/"I：.戈数力（a,A）,；卜构戊函数/（入卜〃*1一4加+1.

。所仃川.能的数对用计算a22,II2W3的概率：

（2）求函数”工）在区间［1.+8）

【例11］（宣武二模）

口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1,2,3,4,5.甲先摸出一

个球,记下编号为。，放回袋中后,乙再摸一个球,记下编号为b.

（1）求“a+b=6"的事件发生的概率;

（4,。）落住园丁+丁=21内，则甲赢，否则算乙赢，这个游戏规则公平吗？

试说明理由.

任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（）

D.JI

4

【例15］如图，在边长为25的正方形中挖去边长为23的两个等腰直角三角形，现有均匀的

粒子散落在正方形，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？

【例16】在圆心角为150’的扇形中，过圆心。作射线交弧AB于尸，则同时满足:

NAOP245。且/3OP275。的概率为.

（15017］（2018年，全国卷）

点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点8,则劣弧/W

的长度小于I的概率为.

【例18】设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点P与4连结，求弦长超过半径

的百倍的概率.

【例19］（江苏）

在平面直角坐标系xOy中，设。是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成

的区域，石是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向。中随机投一点，则所投

的点落入E中的概率是.

【例2（）】取一个正方形及其它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概

率（）

A2Dn-2「夜、兀

A.-B.-----C.—D.一

717C714

【例2”向面积为S的内任投一点〜则随机事件,"8C的面积小于寸的概率

为多少？

【例22］如图，Z4OB=60°,OA=2,OB=5,在线段上任取一点C,试求:

⑴A4OC为钝角三角形的概率；（2）AAOC为锐角三角形的概率.

【例23】把一根长度为6的铁丝截成3段.

⑴若三段的长度均为整数，求能构成三角形的概率;

⑵若截成任意长度的三段，求能构成三角形的概率.

【例24】小明的爸爸下班驾车经过小明学校门口，时间是下午6:00到6:30,小明放学后到

学校门口的候车点候车，能乘上公交车的时间为5:50到6:10,如果小明的爸爸到

学校门口时，小明还没乘上车，就正好坐他爸爸的车回家，问小明能乘到他爸的车

的概率.

【例25】甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻

钟，过时即离去，求两人能会面的概率.

【例26］在区间［-1,1］上任取两实数求二次方程丁+2小+/=0的两根都为实数的

概率.

【例27］（海淀一模）

某商场为吸引顾客消费推出•项优惠活动.活动规则如下：消费额旬100几可转

动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位

I'L区域返券60元；fB30匕号”C区域不返券.例

如：消"218.「工.,工盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.

，:顾客消费128兀，求返券:额不低于30元的;

⑵若某位顾客恰好消费280元，并按规则咨与了活动，他获得返券的金额：X

■求随机变量I的分倔列和数学期望.

【例28】（石景山一模）

乳，两个圆形转盘A,B,每个转盘阴影部分各转盘面积的4和2..某“寸

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J”规定.「指针指到4B转盘阴影部分时,底：”.481000分和

2000分.先转哪个转盘由参与者选择，若第一次赢得枳分，可继续转另一个转盘,

此时活动结束；若第一次未赢得积分，则终止活动.

⑴记先转A转盘最终所得积分为随机变埼X,则X的取值分别是多少？

⑵如果你参加此活动，为了赢得更多的积分，你将选择先转哪个转盘？请说明理由.