概率论第章习题参考解答

概率论第章习题参考解

答

概率论第4章习题参考解答

1.若每次射击中靶的概率为，求射击10炮，命中3炮的概率，至

少命中3炮的概率，最可能命中儿炮.

解：设&为射击10炮命中的炮数，则B(10,,命中3炮的概率

为

P也=3}=C3>0.73xO.3?=

10

至少命中3炮的概率，为1减去命中不到3炮的概率，为

P{£>3}=1-P{^<3}=1-Z2Cix0.7ix0.3l0-i=

10

i=0

因np+p=10X+=不是整数，因此最可能命中□二7炮.

2.在一定条件下生产某种产品的废品率为，求生产10件产品中废

品数不超过2个的概率.

解：设，为10件产品中的废品数，则CB(10,,则废品数不超过

2个的概率为

P^<2}=Z2CIX0.01I>0.99IOH=

•o

i-0

3.某车间有20部同型号机床，每部机床开动的概率为，若假定各

机床是否开动彼此独立，每部机床开动时所消耗的电能为15个单位，求

这个车间消耗电能不少于270个单位的概率.

解：设每时刻机床开动的数目为L则B(20,,假设这个车间消

耗的电能为n个单位，则n=i5€,因此

270

P{v>270}=P{15之>270}=P{E>_}=P{^>18}=

15

=5-2°Cix08xO.22o~i=0.2061

»=18

4.从一批废品率为的产品中，重复抽取20个进行检查，求这20

个产品中废品率不大于的概率.

解：设这20个产品中的废品数为€,则g“B(20,,假设这20个产

品中的废品率为n,则n=g/20.因此

P{q^o.15}=P(J,<0.15}=P{£<3}=Z3CIX0.1ixO.9ao-i=

5.生产某种产品的废品率为，抽取20件产品，初步检查已发现有

2件废品，问这20件中，废品不少于3件的概率.

解：设《为这20件产品中的废品数，则W~B(20,,又通过检查已

经知道€定不少于2件的条件，则要求的是条件概率

P{匕23|匕22}二P代.3422}

P化N2}

因事件{匕22}n化23},因此比23r^22}=^22

LoP(;=i)

P口31：22)赤潮

2-20P{5=i}-P{5=2}

Aoptf}P{£=i}

i・2i・2

.P{；：2}<OI加「曲

1-------：1--'l--------

6.抛掷4颗骰子，I为出现1点的骰子数目，求&的概率分布,

分布函数，以及出现1点的骰子数日的最可能值.

解：因掷一次骰子出现一点的概率为1/6,则g、B(4,l/6),因此

有

P{5=k}=CkL/514-

X(k=0,1,2,3,4),

46k16J

fox<0

F(X)=E

0<x<4

k)

11x>4

或者算出具体的值如下所示:

€01234

P

[0x<0

0.48230<x<1

「，、0.86811<x<2

F(x)=<

0.98382<x<3

0.99923<X<4

[1x>4

从分布表可以看出最可能值为0,或者np+p=(4/6)+l/6=5/6小于1

且不为整数，因此最可能值为[5/6]=0.

7.事件A在每次试验中出现的概率为，进行19次独立试验，求(1)

出现次数的平均值和标准差；(2)最可能出现的次数.

解：设19次试验中事件A出现次数为€,则m(19,,因此

(1)&的数学期望为E&二np=19又工

方差为D=np(l-p)=19XX=

标准差为c=电99=1.997

(2)因np+p=+=6为整数，因此最可能值为5和6.

8.已知随机变量&服从二项分布，E€=12,D&二8,求p和n.

解：由E&二np=12(1)

和DC=np(l-p)=8(2)

由(1)得n=12/p,代入到(2)得

12(l-p)=8,解出p=(12-8)/12=1/3=

代回到(1)式得n=12/p=12X3=36

9.某柜台上有4个售货员，并预备了两个台秤，若每个售货员在

一小时内平均有15分钟时间使用台秤，求一天10小时内，平均有多少

时间台秤不够用.

解：每个时刻构成一n=4的贝努里试验，且p=15/60=因此，设

&为每个时刻要用秤的售货员数，则CB(4,,当1>2时，台秤不够用.

因此每时刻台秤不够用的概率为

P(<>2)=C3x0.253x0.75+0.254=

因此10个小时内平均有X10二个小时台秤不能用.

10.已知试验的成功率为P,进行4重贝努里试验，计算在没有全

部失败的情况下，试验成功不止一次的概率.

解：设自为4次试验中的成功数，则CB(4,p),事件〃没有全部失

败〃即事件｛00｝,而事件〃试验成功不止一次〃即事件｛O1｝,因此要求

的是条件概率P｛€>1|00｝,又因事件｛&>1｝被事件｛&>0｝包含，因此

这两个事件的交仍然是｛2>1｝,因此

P｛S1比>0｝二必1=上空3£11=

P化>0｝1-P(^=O|

1-q4-4pq3

1邛

其中q=l-p

11.€服从参数为2,p的二项分布，已知P(121)=5/9,那么成

功率为P的4重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少

解：因C'B(2,p),则必有P(飞>1)=1-P(飞=0)=1-(1-p)2=5/9,

解得

(1-p)2=1-5/9=4/9

1-p=2/3

p=1-2/3=1/3

则假设n为成功率为1/3的4重贝努旦试验的成功次数，n

~B(4,1/3),则

P(n>1)=1-P(n=0)=1-(1-p)4=1-=1=0.802

(3)81

12.一批产品20个中有5个废品，任意抽取4个，求废品数不多

于2个的概率

解：设&为抽取4个中的废品数，则;服从超儿何分布，且有

。4

i=020

13.如果产品是大批的，从中抽取的数目不大时，则废品数的分布

可以近似用二项分布公式计算.试将下例用两个公式计算，并比较其结

果.产品的废品率为，从1000个产品中任意抽取3个，求废品数为1的

概率.

解：设任抽3个中的废品数为J则&服从超几何分布，废品数为

X1000=100

pr-U[IClC2

r{t=1)=IOOOT-=

1000

而如果用二项分布近似计算，n=3,p=，W~B(3,

P{匕=1}aCixO.1x0.92=

3

近似误差为，是非常准确的.

14.从一副朴克牌(52张)中发出5张，求其中黑桃张数的概率分

解：设g为发出的5张中黑桃的张数，则&服从超几何分布，则

U5H

P{(=\]=1352-13-(i=0,123.4,5)

52C5

则按上式计算出概率分布如下表所示：

012345

P

15.从大批发芽率为的种子中，任取10粒，求发芽粒数不小于8

粒的概率.

解：设&为10粒种子中发芽的粒数，则&服从超几何分布，但可

以用二项分布近似，其中p=,n=10,则

P{^>8}=^1℃ix0.8ix0.2l0-i-

10

i=8

16.一批产品的废品率为，用普哇松分布公式求800件产品中废品

为2件的概率，以及不超过2件的概率.

解：设1为800件产品中的废品数，则《服从超几何分布，可以用

二项分布近似，

则e0(800,,而因为试验次数很大废品率则很小，可以用普阿松分布

近似，参数为

入=np=800X=

P{i=2}P&—e-os=0.1438

P{£42}=Z?48=0.9526

i!

i-0

17.某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布，平均一件上有人疵

点，若规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元，疵点数大于1不多

于4为二等品，价值8元，4个以上为废品，求产品为废品的概率以及产

品的平均价值.

解：设&为产品表面上的疵点数，则1服从普哇松分布，入二，设

n为产品的价值，是&的函数.则产品为废品的概率为

Pt>4}=1-P也44}=1^）.8=0.0014

i!

i=o

1

P{v=10}=P^<1}=S2l5Le-0.8=

i!

i=0

P{v=8}=P{1<匕4}=Z?e/8二

.=2H

则产品的平均，介值为

En=ioxp{n=io}+8xp{n=8}=iox+8x=（元）

18.一个合订本共ioo页，平均每页上有两个印刷错误，假定每页

上印刷错误的数目服从普哇松分布，计算该合订本中各页的印刷错误都

不超过4个的概率.

解：设W为每页上的印刷错误数目，则&服从普哇松分布，入二2,

则1页印刷错误都不超过4个的概率为

P{i<4}=Z421-e^=

I•

占0

而100页上的印刷错误都不超过4个的概率为

【P｛飞共4｝］叨=

19.某型号电子管的“寿命”&服从指数分布，如果它的平均寿命

Eg=1000小时,写出g的概率密度,并计算P(1000<1W1200).

解：因E=1000=1/入，具概率密度为

/\一一8OX>0

Pn(XY)-<1000

|10x共。

1DQQ1200

P(1000〈飞共1200)=e-iooo-e-looo=e-i-e-12=0.0667

20.CN(0,1),①(x)是它的分布因数，4)(x)是它的概率密度,

00

①(0),6(0),P(g=0)各是什么值

00

解：因有

P(x)=Lef,个(x)J_L/dt因此小(x)为偶函数，由

。V2"°72"'

-W

对称性可知

①(0)=,

0

并有p(0)=1

07F,

因€为连续型随机变量，取任何值的概率都为0,即P(€=0)=0.

21.求出19题中的电子管在使用500小时没坏的条件下，还可以继

续使用100小时而不坏的概率

解：要求的概率为P(C>6001€>500),因此

.6co

P{飞>600I^S>500}=颂1=61CCO—=e-oi=0.905

根>500)

ewoo

22.若自服从具有n个自由度的x「分布，证明、用的概率密度为

,皿Ex>0

QW=<2：-TW

(2)

0x<0

称此分为为具有n个自由度的X-分布

证：设n=戊，则因g的概率密度函数为

(12L

|xz"ezx>0

Q(x)=(21T网

飞⑶升

0x共0

n的分布函数为

F(x)=P(n共x)=P(了共x)=P(飞共X2)=F(x2)便>0)

n飞

对两边求导得

n2

Q(x)=2xQ(x2)=2x*'-=et(x>0)

n飞2：T(|n)|2：-1T(|n)|

(2)(2)

23.0(0,1),求P{g20},P{|g|<3：,P{0<&W5},P{€>3),

P{-1<€<3}

解：根据&的对称性质及查表得：

P{C20}二卜①*：0)=

0

P{|€|<3}=26(3)-l=2X=

0

P{0<&W5}二①(5)=

P{€>3)=1-(D⑶:

0

P{-1<&<3}二①⑶一①(T)=①⑶+①(1)-1=+=

0000

24.0(P,02),为什么说事件〃|C-U|<2。〃在一次试验中几

乎必然出现

解：因为农一%~N(0,1)

P{|农一r|<2Q}:<2}=2C(2)—1=2人0.97725—1=0.9545欢1

IQ0

因此在一次试验中几乎必然出现.

25.CN(10,22),求P(10<C<13),P(€>13),P(|€-10|<2).

解：因为农T0.2~N(0,1)

P{10〈农v13}二P{0<农一1°<1.5}=C(1.5)—C(0)=0.93319—0.5=0.43319

2oo

P{农>13}=P{农―10>1.5}=1-C(1.5)=1-0.93319=0.06681

2o

P{农一10K2}=P{^12^<1}：2C(1)—1二2人0.8413—1=0.6826

26.若上题中已知P{|€-10|<c}=,P{€<d}=,分别求c和d.

解：因为农T0.2~N(0,1),则有

P{|农一10|<c}=邛［}=2co与一1二0.95

解得=1+^95=0.975,查表得占1.96,得c=

再由

P{农<d}=P{农”<d”}=0(d-10|=0,0668<0.5

知-1°<o,0lltC(d—1O)=1—C(1O—d)=0.0668

2vo2ov2

即<D)=1-0.0668=0.9332,

0

查表得早3解得」。一3二7

27.若&飞(口，。2),对于P{u-k。<u+k。}二，或或分别查

表找出相应的k值.

解：先求P{u-ko<u+k。}二对应的k值

麻一4~N(0,1),因此

P{p一kcv&vN十ka}=P{mk}=24)(k)-1=0.90

即中(k)J+090=095,查表得k二

02

同理，由(D(k)=1+0,95=0.975,查表得k二

o2

由中(k)J+099=0.995,查表得k二

o2

28.某批产品长度按N(50,分布，求产品长度在49.5cm和50.5cm之

间的概率,长度小于49.2cm的概率.

解：设之为产品长度，则CN(50,,且有《二^~N(0,1),则

0.25

P{49.5<^<50.5}=P{-2<2}=P、a<2}

=2D(2)-1=2x0.97725-1=0.9545

0

F-50492-50

P化<49.2}=P{-°U<»”}=中(42)=1-6(3.2)

0.250.25oo

=1-0.9993129=0.0006871

29.g〜N(0,l)(i=l,2,3),并且g,g,&相互独立,

i123

,ri=Z?(EW)2,