第26讲 平面向量范围与最值问题（解析版）

第26讲平面向量范围与最值问题

【典型例题】

例1.已知正方形ABC。的边长为1,当每个4(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时，

14/止+48C+4c。+461+4八。443。|的最小值和最大值分别是()

A.。，币B.0,2x/5C.1,x/5D.I,26

【解析】解：正方形AZJCZ)的边长为1,可得A3+A£)_AC,I)D-AD-AB,AD-AD

^^AB+^AD-^AB-^AD+^AB+^AD+^AD-^AB]

■(Z—4+4—4)AB+(4—4+4+Ai)AD|

=J(4—一+4——厂+(4-4+4+4)~,

由于4(/=l,2,3,4,5,6)I仅遍土1，

可得4-4+&-4=。，4-4+&+4,=0,可取4=4,=1,4=4=1，4=—1,4=1,

可得所求最小值为0；

由4—4+4—4，4—4+4+4的最大值为4,可取4=1,x4=—1»4=4=1,=1>4=—1,

可得所求最大值为2石.

故选：B.

例2.已知在A4BC中，\AB+AC\=\BC\=2,且|AC|=1,则函数/(f)=|/AB+(l—)AC|的最小值为()

A.gB.*C.苧D.6

【解析】解：•,A48c中，|48+4。|=|3。|=2,且|AC|=1,

；.NBAC，,|人臼=向

2

f2(t)=rAB2+(\-t)2^AC2

=3/+(一)2

=4/;-2/+1

=4(/--)2+-,

44

时’—"=卜当・

即函数f(i)=|/A3+(1-/)AC|的最小值为4.

故选：B.

例3,如图，在平面四边形AAC/>t>,ABA.BC>ADICDf/84。=：20°,AB=AD=\.若点、E为边CD

上的动点，则AE8E的最大值为（）

21325

A.—B.-C.—D.3

16216

【解析】解：由题可知，4c和朋）互相垂直平分，如图所示，分别以87）、4c所在的直线为x和），轴建立

如图所示的平面直角坐标系，

1no续字。），

则40,--）,B（—,0）,C（0,-）»

222

_3

・•・直线CD的方程为），一3=—即），=Gx+?,

'22

-2

设点f的坐标为（利,Gm+—）,

2

：.AEBE=(〃7,品n4-2)-(m--,&n+—)

22

CaC

=m(m-----)+(x/3/w+2)(J5，〃+—)=4〃/+3&n+3»mE[—-,0],

222

开口向上，对称轴为〃?=-±8,

8

当m=0时，BE取得最大值，为3.

故选：D.

例4.如图，在A4AC中，。是AC的中点，E、产是4）上的两个三等分点，8八・C4=4,BF・CF=-\,

则8E・C£的值是（）

73

A.4B.8C.-D.-

84

【解析】解：•.D是BC的中点，E,尸是人。上的两个三等分点，

/.BF=BD+DF,CF=-BD+DF,BA=BD+3DF,CA=-BD+3DF,

BF>CF=DF2-BD2=-\,

BA»CA=9DF2-BD2=4,

/.DF2=",BD'=—,

88

又BE=BD+2DF,CE=-BD+2DF,

227

BE»CE=4DF-BD=-,

8

故选：C.

E

B

例5.已知C,。是半径为1的圆O上的动点，线段人8是圆O的直径，则ACB。的取值范围是（）

[吗

A.[-2,^]B.[-2,0]C.D.[-4,01

【解析】解：如图建立平面直角坐标系:

贝ijtana=—,«=2cos2a,力=2cosasina,

a

AC-BD=(a,〃)・(cos6-l,sine)

=aeosO+bsinO-a

Ja2+b2sin(6+(p)~a,

a1冗冗

具中iane=-=------,:.a+(p=，——<(p<—,

btana22

从而一网<〃+0〈网，

22

，AC8。=+的最大值是：\Ja2+h2-a,最小值是：+b?-a,

最大值为：y/a2+b2-a=yl(2cos2a)24-(2cosasin<z)2-2cos:a

=28sa-2cos2a

=-2(cosc?--)2+—,

22

当。=三时，取最大值2：

32

最小值是：-《。2+/$〃=-2cosa-2cos2a=-2(cosa+—)2+—»

22

当a=0时，取最小值T；

故所求范围为：［~4,；］.

故选：C.

例6.已知向量“，)满足：|。|=2,向量力与〃-力夹角为生，则a中的取值范围是

3

【解析】解：不妨设6=(x,0)(x..0)><a.b>=0,

OA=a，OR=b.a—b=BA.

•.•向量〃与a-〃夹角为生，

3

.\ZAOB=^e(0,—).

3

(20+—)€»sin(26^+—)G[-1•1].

在AQAB中，由正弦定理可得：二一=回心1=_g-------

nsin。•,2乃„

sinysm(--c/)

...|止竽sin咛-6),|a—6|=¥sine=j22—2a・b+|b|2,

a»b=2+—sin2(--0)--sin20

333

万

=14[cos20-cos4(y-26>)]+2

=4了(^-cos20+；sin2〃)+2

4行•CA,巴cro4G-4、Q]

=------sm(2夕+—)+2e[2---------,2+-------].

3633

，a・b的取值范围是[2-华,2+华].

故答案为：［2-殍,2+羊］.

例7,已知AA5C是边长为2的等边三角形，M为AA8C内部或边界上任意一点，则MA・(M3+MC)的最大

值为.

【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示,

AA5C中，4(0.73),B(-l,0).C(l,0),

T融1

0绷N/3

y1.

设M(x,y),则，X+耳〃

上1

,MA=(-x,6-y),=)WC=(1-x,-y)：

MB+MC=(-2x-2y)t

3

：.+MC)=2x2+2y2-28=2[x2+(>--

2

由图形知，当x=0,y=且时，MMMB+MC)取得最小值一会：

22

当工=±1,)，=0时，M4・(M8+MC)取得最大值2；

最大值为2,最小值为-3.

2

故答案为：2,--

2

【同步练习】

一.选择题

I.在平面直角坐标系中，已知点4-1,0)、8(2,0),E、F是)，轴上的两个动点，且|石用=2,则

的最小值为()

A.-2B.0-3D.-4

【解析】解：设点£(0,y),点尸(0,y+2),yeR,则荏=(l,y),BF=(-2.y+2),

/.AE»BF=[・(-2)+y«(y+2)=y?+2y-2=(y+1)2-3；

当)，=一1时，AE・B/的最小值为一3,

故选：C.

2.设6,b,4为平面向量，|a|=b=4/=2,若(2c—a)«-b)=O,则c•〃的最大值是()

A.近+6B.~+x/3C.-D.-

244

【解析】解：「=|“=a•/)=2,「.cosva,b>=a\,即得<d,b>=—>

1111小忖23

设c=(x,y),a=(2,0),则b=(l,后)，

因为(2c—a)•(c—b)=0,

整理得(x-l)2+(y-等)2=]，

••・向量。的终点的轨迹是以(1,*)为圆心，弓为半径的圆.

设z=<;./?=(x,y)(l»\/3)=x+>/3y,

当直线上+Gy-z=0与圆相切时，z取得最大值或最小值，

l+*xQ-z

此时有一------=坐，解得z=?+6或3-6

2222

，c/的最大值为？+

2

故选：B.

3.设a,〃,c为平面向量，|〃|=|人|=2,若(2c-q)・(c-/?)=0,则c•〃的最大值为()

917

A.2B.-C.—D.5

44

【解析】解：根据题意不妨设〃=(2,0),a=(2cosa,2sina),ae[0,2;r],c=(x,y),

则c力=2x,.•.求c包的最大值，即求x的最大值,

2c-a=(2x-2cosa,2y-2sina),c-b=(x-2,y)»

v(2c-d)(c-/?)=0.

(2x-2cosa)(y-2)+(2y-2sina)y=0,

二y2一ysina+x2-A(cosa+2)-2cosa=0

,关于y的方程有解，.，.△=(sina)2-4x2+4x(cosa+2)-8cosa..0,

4^=cosa(-lW1).则4/-4武1+2)+/+8/—1,,0,

t+2-y/5-4tz+2+,5-4/

••一2—砒一-一，

令石二¥=M啜柄3),则一2+7^¥=T〃L2)、17,

28

.，当机=2时，上空叵三,一，

28

17.£「17

x,,—，cb-2月,—，

84

.•.，6的最大值为：

4

故选：C.

4.记b]='a'a'^,已知向量a,h,d满足|a|=l，|b|=2,a»b=0,c=Aa+^ib(A,〃..()，

b,a<b

巨2+〃=l,则当〃3，｛c・a,(”｝取最小值时，|c|=()

A.—B.-C.1D.—

532

【解析】解：如图，

设OA=a,OB=b,则a=(1,0),〃=(0,2),

,.•Zs.0,A+//=1,/.滕1.

又c=Mi+"b,

c»d-(A.aibA,b,)<i-A；

c*b=(Aa+b-Al))»b=4-4A.

由冗=4—4A.»MA=—.

5

I

二〃5

4

4—/i<-

4

/1,-^UI

令/㈤=•5

4

4-4A,0„/I<―

4

则/㈤wq,i].

44i

二f俱)加=-»此时4=1,〃=.，

JJJ

5.已知平面向量〃，h,c满足“•〃=〃・£•=c・a=-l,|a|=l,|〃|..2,若c=.ra+.vb，x,yeRt则x+y

的取值范围是（）

777

A.r--,-i）B.（---1）o.r--.o)

43c4。）

【解析】解：设a=（l,0）,

由ac=ah=-l,可设。=(-1,/〃)，c'=(-!./?),

t.I/?I..2,

1+..4,即机。.3,

,/c=xa+yh=(x-y,my)=(-l»/fi，

x-y=-\

my=n

/.bc=\+inn=-\.解得"〃?=一2，

,_n,4

x+y=-1+2x—=-1-----，

mnf

nr..3,

J

故选：B.

6.已知平面向量a.h.。满足g|=l,g|=2.|c|=3.且〃_1_人.则|〃+A—c|的取值范围是()

A.[3-石，3+45]B.(3,6)C.(3,3+⑹D.[3-6，6)

【解析】解：不妨以向量a,〃的方向分别作为“，)，轴建立平面直角坐标系，则〃=。,0),方=(o,2),

因为|c|=3,所以设d=(3cos6,3sin4,6>G[0,26，

所以a+c=(l+3cos®,2+3sin8),

所以|a+〃—c|=^/(1+3cos0)'+(2+3sinG)'=J2(6sin0+3cos8+7),

设/矽)=6sin，+3cosJ+7,6>G[0.2加，

则/的)=3氐in(6»+0)+7,其中tan0=gc(O,亭，所以0e(O中，

所以sin(e+e)w|-l,1]*

故人*WV1-307+30],

所以|“+力一。*[，2(7—3行)，板匚三百],即|a+/，-c月3—6,3+6.

故选：A.

7.已知O为A48c的外心，A为锐角且sinA=¥，若AO=aA8+〃AC,则a+夕的最大值为()

1193

A.-B.-C.-D.-

3234

【解析】解：如图所示，以8c边所在直线为x轴，

BC边的垂直平分线为)，轴建立直角坐标系(。为3c边的中点).

由外接圆的性质可得ZBOD=ZCOD=ZBAC.

由A为锐角且sin4=逑，

3

不妨设外接圆的半径R=3.则。4=O3=OC=3.

,/cosZ.COD=-----=cosA=一，

OC3

:.OD=l,DC=dOC2-OD?=2&.

二B(-2&,0),C(2&,0),0(0,1),A(孙〃)，

则AABC外接圆的方程为：£+。,_])2=9.(*)

A0=aAB+^AC,

(-,•«，1-??)=a(-2>/2-m,-w)+4(2及-m,-n),

-m=a(-2>/2-m)+0(2&—tn)

9

\-n=-an-fin

•;a+#wl时，否则CO=aC8，由图可知是不可能的.

2&(夕-a)

m=----------------

a»。一\

可化为

-1

n=-------------

a+P-\

代入⑴可得翟篝।(一"/尸

(。+£-1尸

化为18(。+4)=9+32姐.

化为89+尸产一18(a+4)+9..0,

解得a+以二或0+/?".

42

又a+/7vl,故a+力..g应舍去.

1・CC+-，

4

则a+6的最大值为：，

故选：D.

mCA+nCB,NMC4=45。，则”的值为（）

n

V3+1D.妇

A.6-1B.V3+1r

22

CM»CA=mCA+nCACB

【解析】解：如图，设正三角形的边长为a,由CM=〃QA+〃CK得：

CM.CB=mCA»CB+

8s5360。-45。）=岩+片亭罕

en

tn+—

22

V2+>/6m

—+n

42

9.已知共面向量a,/）,c；满足|。|=3,。+。=〃，且|。|=|〃-。|.若对每一个确定的向量/，，记|5-回”£氏）

的最小值d.“，则当〃变化时，4面的最大值为（）

4

A.-B.2C.4D.6

3

【解析】解：如图，设AM=",AD=b,AB=c,

b-\-c-2（.i,

.•.M为比）的中点，

,.|a|=3，b+c=2a,且若对每一个确定的向量力，记|力-心|（，eR）的最小值,4,卅“，

3dmM・2=3dmm.

AD=BD,

设AB-c，AD=b，

:.^cABCD中,2KA8尸+(4。力=4c2+必,

.•方+2/=36,①，

将①{弋入可得，S,MBD=；・C・{36-今-=(c\]\6-c2,

:.3d=-c>]\6-c2,

4

..4=卜46—c"栏7=2,当且仅当/=8时，取等号,

故选：B.

10.已知向量a,。满足：|a|=2,<a,/>>=60。，且d=—Li+如fwR),则|c|+|c—a|的最小值为(

2

)

A.Vl3B.4C.2G口•竽

【解析】解：由题意可知，把〃石作(2.0),

<a,b>=60°,

则/〃可表示为BO，点ZT在直线y=>j3xk,

设QTO),53,0)，

c=——a+lb.iGR、

2

3

c|=BC,c-a=—a+仍,

2

:\c-a\=\BD\,

则|。|+|。-。|的最小值可转化为在直线y=\[3x

取一点8,使得最小,

作点c关于），=氐的对称点e,

则皮）+4。最小值即可求出DC.

设C(x,y),

上T

x+1G,解得X」_73

由

上地上2~~2,

22

则CD=旧+3尸+（一亭一0尸=9.

故|r|+|c-a|的最小值为g.

11.已知A、8、C、。是单位圆O:V+〉J=i上的相异的四个点，且A、4关于原点对称，则4c8。的

取值范围是（)

A.（-4,1]B.[-4,1）C.（-4,72]D.[-4,应）

22

【解析】解：如图所示，因为A、B、C、。是单位圆O:V+y2=l上的相异的四个点，且A、3关于原

点对称，

当点4与点。型合，点B与点。重合时，ACBD=\AC\\BD\cos\^=-4,

由于A、6、C、。是相异的四个点，

所以AC・8O>T；

当点E,D,尸三点分别为C,A,O的投影点，

则8F=DF,EF„R.

所以AC-8O=3OOE=2Q尸•£>磷必"（l-OF）

2

当且仅当3O//OCli£>F=OE时取等号.

综上所述，AC8。的取值范围是（-4,；].

故选：A.

E

12.边长为2的正三角形ABC内（包括三边）有点夕，PB・PC=1,则的范围是（）

A.[2,4]B.[丘叵，4]C.[3-6，2]D.[土至，3-⑹

22

【解析】解：以5C中点O为原点，所在的宜线为x轴，建立如图所示的坐标系,

二8(-1,0),40,扬，C(l,0),

设尸的坐标为(x,y),

/.PB-(-\-x,-y),PC-(\-x,-y),

：.PB^PC=x2-\+y2=\,

设N4OP=*,则一夕领步。、。（&sin。，夜cos。），

AP=(应sin。，x/2cos^>-\/3),

所以4PMB=-V^sinw—#COSQ+3,-[^ipQ,

当°=时，A/V4A最大，AP.AB十丘)x(—3红-M)_瓜x病+遥+3=3_4:

88

当w=〃时，AP.AB最小，人2人3=(一扬><3而痴一底同+#+3=^^；

882

所以的范围是[卷5，3-6L

故选：Q.

二.填空题

13.如图，在直角梯形AAC/)中，AL)±AB,ABI/DC,40=7X7=1,AB=2,动点。在以点C为圆心,

且与直线用)相切的圆上或圆内移动，设从尸=九八。+〃48(人〃€/?),则/1+〃取值范围是

【解析】解：以人为坐标原点，AB、AD所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系如图所示.

则40,0),0(0,1),C(1J),以2,0)

直线加的方程为化简得入+2了-2-0,

|1+2-2|75

.•.点C到用)的距离d=

可得以点。为圆心，且与直线双)相切的圆方程为

(A-l)2+(y-l)2=i.

设P</,y),则4P=*,y),4。=(0,1),4/?=(2,0),

AP=/UO+〃/1B(4〃GR),

/.(x,y)=2(0,1)+〃(2,0)=(2〃，A),

可得x=2〃且y=4,尸的坐标为(2〃,㈤.

•二尸垄圆内或圆上，

(2〃-1)2+(A-1)2„g,

设7+〃=，，得〃=1-2,

代入上式化简整理得5把-⑻-2)2+4/一4,+-„0.

5

若要上述不等式有实数解，

a

则△=(8/—2)2—4X5x(4/一4/+1)..0.

化简得/-3,+2,0，

解得啜)2,

即1到1+〃2,

.••/1+4取值范围是[1,2].

故答案为：[1,2]

-4—A5-I-----1-----1-48tA

14.在直角梯形ABCQ中，AB±AD,AB//DC,AD=/X：=\,AB=2,动点产在以点C为圆心，田与

直线友)相切的I别上或圆内移动，设人户=24£)+〃人以尢〃丘区)，则笳*?2〃最大值是.

二

AB

【解析】解：以4为坐标原点，AB,4)所在直线为工轴、y轴，建立平面直角坐标系如图所示.

则4(0,0),3(2,0),C(l,l),£>(0,1),

则直线8。的方程为x+2y-2=0.

则点C(1J)到直线BD的距离为1+1

3

可得以点。为圆心，且与直线相切的圆方程为

(A-l)2+(y-l)2=-.

设p(x,y)，则AP=",3，)，40=(0,!),45=(2,0),

又AP=/MO+〃4,

/.(x»y)=2(0»1)+〃(2，0)=(2〃，A.),

可得人=2〃n)，=/i,"的坐标为(2〃,2).

P在圆内或圆匕

二(2〃-1):+(1)2、，.'.1-正翻1+好，

555

设4+〃=f,得〃=/一/，

代入上式化简整理得522-的-2)/1+4/-4/+2”0,

5

若要上述不等式在2€[1-咯，1+咚]上有实数解,

9

对于函数g(x)=522-(8f-2)2+4r-4/+-„0,

5

A

zno

g\(-59

T旦

Tg/n+O

k59

a

.=(8,一2-一4x5x(4--4/+3・.0

解得1驯2,

A,~+—A/.1=义2+一a0—A)=A2—A2--At=—H—At=—(A2—tA.)

22222225

=r)2+—z2.

21040

..777、

乂—t€r[―，-]9

10105

故当2='/时，公+1力/取得最大值墨「，又掇I)2,

r.A=-,r=2时，万+^4/取得最大值丝.

5210

故答案为：竺.

10

15.已知AA3C中，AB=2,AC=\.当2x+y=W>0)时，|+)AC|，恒成立，则AA5C的面枳

最大值为」.

【解析】解：不等式+苧,

两边平方可得，x2AB2+y2AC2+2xy/\B>AC..^r,

由汹=2,AC=\,2x+y=t,可得

4x24-y2+4.yy(2cos4-1)..0»

由判别式16y2(2cosA_1y_16y2,,0,

即为cosA(co&A-1)„0»

可得cosA.O,即A的最大值为王,

2

当cosA=0时，|xA3+yAC|=》4x2+/..r^-(2x+y),

则AABC的面积为S=-A8・AC»sinA=-x2xl=l；

22

在直角三角形ABC中，取3c的中点D,连接H),

则/*+/(=2/M

则PA“PB+PC)=2PA-PD,

当A,P,。三点共线时，PA.PD<(),

又此时AZ)='〃C=立，

22

即有2PA・PO=-21PA|.|PD|

尸A|十|PO|、255

•'i--------2--------—=-----

168

-3,则实数义的值为

16.在四边形A3CQ中，4=60。，AB=3,BC=6,AD=ABC,ADAB=

2

6

【解析】解：•••八。=/13。，:.AD,IBC,

4=60。，/.ZZMB=120°.

3

...ADA5=62-3cosl20°=--,

2

过A作AO_L8C，垂足为O，则=OC=-.AO=—

2222

以O为原点，以BC,04所在此线为坐标轴建立平面坐标系如图所示:

则刑侦),设例《0),N(x+2,0),--M

222

.1.DM=(x-l,-,DN-(x+1,-

2723

/.DMDN=JC-\+—=JC+—

44

.•.当x=0时,DMSN取得最小值上.

4

17.设正AA3C的边长为1,/为任意的实数，则IA8+/4CI的最小值为.

【解析】解：•.,正AABC的边长为1,1为任意的实数,

：\A5+MC|2=AB2+/2AC2+2/ABMC=H-/2+2/xlxlxcos60°=/2+/+H

当r=-_L时，/+/+1取到最小值3,

24

.•.IAB+/ACI的最小值为无，

2

故答案为：皇.

2

18.已知向量”,b满足|a|=3,|/?|=4,则|a+〃|+|a-〃|的取值范围为

【解析】解：设向量a,b的夹角为9,\a+b\+\a-b\=yl(a+b)2+y/(a-b)2,

=&+1/+2abhb二2ab=<25+24cos6+125—24cos，,

令)，=J25+24cos。+J25-24cos，,y2=5()+27252-242car^,

•.0e[0,^]/.cos2^e[0,lb

即y%[64,100],>'€[8,10],

故答案为：[8,10].

19.已知向量a=(3,4),向量〃满足|。-〃|=3,则|。|的取值范围是.

【解析】解:设/>=(“),

/.a-b=(3-x,4-y),

。一〃|=3,

二7(3-x)2+(4-y)2=3,

化为(x-3)2+(y-4)2=9.圆心。(3,4),半径r=3.

/.|OCI-13?十42-5.

的取值范围是[5-3,5+3],即[2,8].

故答案为：[2,8].

20.已知向量a.〃满足a2-—«-/)+1=0.则。(2a+b)的取值范围是.

3

【解析】解：由/-3。/+1=0,

3

贝J一争a。Icos<a.b>+1=0，

乂I〃|=1,cos<a,b>el-l,lj,

贝J3d2-10|0|+3„0,

即1划a|3,

3

Qa

^\b(2(i+b)=2ab+b2=^+^a2,

又则a|3，

3

贝J。,(2a+A)eg,7],

故答案为：B，刃

21.已知向量〃，/)满足|a-力|=2且(必办》1,则|。+们的取值范围是—[2,2g].

【解析】解：,.,|a-b|=2,

/.\af-2ab+\bf=4,

16/1:+|〃『=4+2a6,

又•.|a+1|=J|a『+2a力+MF=,4+4”2,

•・•喷b/1,

4翻+4ab8,

2制|a+〃|20,即|a+〃|的取值范围是[2.2&]：

令OA=a,OB=b,"中点为M,AM中点为N,则

\3a+b|=|3OA+03H2OA+OA+OB\=21。4+OM|=41OV|,

又|a+力|耳04+08|=2|0加伯[2,2夜],

.••|。必归1,&],

又ON=OM+MN,

=>/2+—x2=>/2+—，

当OM与MN共线时，|ON\inax

42

/.|3.7+Z?|wu=4x(\/2+-i)=4>/24-2.

第2小问另解:

\3a+b\=\2(a+b)+(d-b)\^\a+b\+\a-b\=2\a+b\+24人+2.

故答案为：［2,2&卜4V2+2.

22.已知向量外〃满足|“-2切-|4+36|-2,则的取值范困是.

32

a=-m+—n

【解析】解:令m=a-2b,n=a+3b、反解可得，55

,11

b=—，〃+-〃

55

由己知〃|=2,令已=(2cosa,2sina),0=(2cos02sin0.

所以a-Z?=*〃?+(/?=(gcosa+gcos6,gsina+]sin£).

所以Ia—b|2—专cosa*]8s尸尸*([sina4[sinfyy>

=£+^cos(a—力)，•;cos(a-/0w[-l,1],

所以迎图〃-。|24,

25

所以如心-〃|2.

5

故答案为：£,2].

23.已知向量”，h,满足|〃|=1,。与〃的夹角为£,若对一切实数|xa+劝|…|〃+们恒成立，则以

3

的取值范围为.

【解析】解：ab=^\b\>a

Ixd+»|.Jd+b|恒成立，

.•.f+(21-1)|力|+3|〃|2-1..0恒成立，

即d+2|b|x+31bl2-|加一1..0恒成立，

.•.4|。|2-4(3|/?|2-|/?|-l)„0,

解得或|力I,,一1(舍)，

2

故答案为：口，+oo).

24.已知平面向量b、[满足|“|=4,|〃|=3,|c|=2,bc=3,则(〃-/斤①-。)？-[(a-/)(a-c)F最

大值为.

【解析】解：设。4=a,OB=〃,OC=c,a—》与“一。所成夹角为内

则(a—b)2(a-c)2-f(a-b)(a-c)f=|AB|2|AC|2-|/AB|2|AC|2cos20

2

=|ABf\AC『sin?。=|ABHACfsinZCAR=4SlKBC,

因为〃•c=6cos(/;,f>=3,cos(/?,c〉=g，所以。，。的夹角为60°,

设8(3,0),。(1,6)，则I—C|=『32+2?—2x3x2xg=6,

所以SAOKugxBxZxsinbOOu邛，设O到8c的距离为〃，

则，・4。/=5*=延，所以b=土包，

因为|。|=4,所以点八落在以点。为圆心，以4为半径的圆上，

所以A到BC的距离最大值为4+力=4+近，

7

所以又皿的最大值为:xbx(4+理)=25+半，

所以(a-b)2(a-c)2-[(a-b)[a-c)f的最大值为4(26+手尸=(4币+3百尸=139+24历.

故答案为：139+24收

25.已知平面向量”，b,e满足|M=2|a|=l,|c|=&,(c-4«)4c-4/?)=0,则|2a-切的取值范围

是.

［解析］解：\2a-b\*I2=4a2+b~-4a，b=2-4a*/),

(c-4a)・(c-4b)=0,

/.c?-4c(“+〃)+16a・〃=0，

1+8a*b=2c(a+8),,21c卜|a+/?|=2>/2»\la2+2a-b+h2=2>/2

当且仅当(a+b”/d时取等号.

33

88

I7

\2a-bp=2-4rz»/?e［—,—］

J\4

2a-h\—.

2

故答案为；［女，啊.

22

26.已知共面向量a'c满足|a|=3,b+c=2(i,且|〃|=|〃-c|,若对每一个确定的向量力，记/-必|(/wR)

的最小值为4而「则当b变化时，4,而的最大值为

【解析】解：设。4=a,OB=b,OC=e,以OB,OC为邻边作平行四边形QAQC,

由题意可知0。=2。4,04=3,

•.I力|=|〃-c|,:.OB=BC,AB^-OB,

2

过3作_LO£＞，则|-s|(reR)的最小值为=BE,

2nf3m2..

m+9-------——+9

设OB=m.ZAOB=a»则cosa________4_4____

2x，〃x36m

J36/n2-(—+9)2J-<-W2-15)2+144

/.BE=OBsina=-----------------------=--,-,-2-,------------------

6w6

故答案为：2.

27.在边长为1的等边三角形A8C中，。为线段3c上的动点，。石且交于点E,。产//AB且交AC

于点、F,贝1]|23£+。?|的值为」.

【解析】解：设3E=x/e（0」），

2

因为A4A。为边长为1的等边三角形，DE1AB，

所以/BDE=30°,BD=2x,DE=氐,OC=1-2x,

因为DFUAB，

所以ADR7为边长为l-2x的等边三角形，DE1.DF,

所以QBE+DF)2=4BE?+4BE-DF+DF?=4x2+4x(1-2A)XCOS00+(1-2A)2=1,

所以|23£+。厂|=1：

(DE+DF)(DA+DC)