第29讲三角函数的图像与性质

第29讲三角函数的图象与性质

1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)“五点法”作图原理：

在正弦函数歹=sinx,x£[0,2rr]的图象上，五个关键点是：(0,()),(2'D(兀，。)管T)♦(2兀，0).

在余弦函数歹=cosx,.丫曰0,23的图象上，五个关键点是：(兀，-I),(2'°),(2兀，1).

(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑).

2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质

函数y=sinxy=cosxy=tanx

yy

图象A2nt♦.f\:/一

-n\y|07r\,/*vy*opX

定

1IxtR»且xWE十三，_■

R

义Rlv12,k^Z)

域

值域[-1A]i-izi]R

奇偶

奇函数偶函数奇函数

性

在在[2Zn—TT,

-'+2仙，"+2E2加](k£Z)上是

单L22」(〃

一冗+而,冗+内r

递增函数，在在122

调£Z)上是递增函数，在上是

[2如,2依+n](A

性汽+2攵兀,3"+2攵兀递增函教

[22」(女££Z)上是递减函

Z)上是递减函数数

周周期是2E(A£Z

周期是2kmk£Z且周期是ARk£Z且kHO),最小正

期且ZW0),最小

女片0),最小正周期是27r周期是冗

性正周期是2兀

对称轴是x=

加(A£Z),对称

对对称轴是工=：+桁(〃£

2对称中心是

中心是

称

Z),对称中心是(E,0)(%e，ol

卜+2九eU4£Z)

性

WZ)

Z)

1、(2023年全国1卷)己知函数〃x)=coss-13>0)在区间[0,2可有且仅有3个零点，则”的取值范围

是.

【命题意图】本题考杳三角函数图象和零点问题，考查数学运算的核心素养.

难度：中等偏下.

【答案】[2,3)

【分析】令/G)=0,得COSGX=1有3个根，从而结合余弦函数的图象性质即可得解.

【详解】因为0<x<2兀，所以0Wox<2s,

4-f(x)=cos(ox-1=0,则COSGX=1有3个根，

令t=sx,则COSE=1有3个根,其中fe[0,2s],

结合余弦函数N=cosf的图象性质可得4冗工2。兀<6几，故24。<3,

故答案为：23).

2、【2022年北京】已知函数/(x)=cos?%—siMx,则()

A./(乃在(一会-匀上单调递减B./⑺在(一：吟)上单调递增

C./(%)在(0,§上单调递减D./(%)在上单调递增

【答案】C

【解析】

【分析】

化简得出/(x)=cos2x,利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.

【详解】

因为/(x)=cos2x—sin2%=cos2x.

对于A选项，当一：工<一涉，一兀〈2%〈冶，则人外在(一会一小上单调递增，A错;

对于B选项，当一:<%<揖时，-1<2x<l则作)在(一会自上不单调，B错;

对于C选项，当0cx<轲，0<2x<y,则/(%)在(0,9上单调递减，C对；

对于D选项，当泮XV工时，则f(*)在你身上不单调，D错.

故选：C.

1、y=|cosx|的一个单调递增区间是()

_7171

A._2dB.[0,71]

-3门3冗1―

泥，,2兀

c.L2J0.L2

【答案】D

【解析】将y=cosx的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方(或x轴上)的图象不变,

即得y=|cosx|的图象(如图).

故选D.

2,函数4t)=2sin；x—l的定义域为()

7t履]、5

'+4E,5+4BN+软

AU3J(左£Z)3-Z)

"+4E,5"+4%；5

।+4%,+4左

C.S6」(A£Z)D.66(4£Z)

【答案】B

【解析】由题意，得2s吟2。,

n5；+2E

n_+2E,

6(A£Z),

2

m口+4丸5+4^,

则工£匕3」(4£Z).

3、(2022•河北邯郸二模)函数/(x)=sin(2x++在信马上的值域为(

)

A.(0,1]

B•管)

C.-告/D.[-1,1]

V-

【答案】C

【解析】当xefq,1时，2X+9，；/，当2x+5q时，即、=卷时，/(x)=sin(2x+刍取最大值1,

当2'+^=-^，即x=-g时，/(x)=sin(2x+9取最小值大于一半，故值域为「乎』

JJJD//X」

故选：C

4、(2022・湖北・荆州中学模拟预测)己知函数/(x)=sin2x+cos2x在[乃一犯刈单调递减，则〃1的最大值为

()

3乃八5乃-7乃-9n

A.—B.—C.—D.—

8888

【答案】B

【解析】/(x)=sin2r+cos2t=6sin(2v+工],

令士中2k兀+七&三+2kn,解得2+左乃4XW-TT+Z乃，kwZ,

24288

因为乃一〃？<机，所以用>工，则；r一切<乙，

22

、兀

71-nx>—

故;8,解得g<〃d苧，所以〃?最大值为苧-

,5乃288

m<——

8

故选：B.

5、(多选)(2022•苏锡常镇一模)下列函数中，最大值是1的函数有()

A.y=|sinx\+|cosx\

B.y=sin2x-cos2x

C.^=4sin2xcos2x

、tanxtan2x

D.y=

tan2x-tanx

【答案】BC.

【解析】对于A,y=(|sin.v|+|cosx|)2=l+|sin2x|«2,当且仅当sin2x=±l,即》=版+”，左£Z时取

24

“="，即当x=，+：,左£Z时，Nmax=2,故A错误；对于B,y=—(cos2x-sin2x)=-cos2xWl,当且

仅当2x=2〃兀一兀，gpx=kit—1t,A£Z时取“="，即当工=而一'，时，/.=1,故B正确；对于C,

y=(2sinxcosx)2=siM2xWl,当且仅当sin2x=±l,即%=辰+九，ACZ时取“="，即当工=仄+兀，

2424

时，Pmax=1,故C正确；对于D,依题意，由tanx,tan2x都有意义，且tan2x-tanxX(),得且

sinxsin2x

，,,HpizZ：7T,7t15cosxcoslxsinXsin2xsinxsin2x.»日触°；.、o

X^KTI+,且x产+，女£Z,y====sin2x,显然sin2x

224sin2x_sinxsin2xcosx—cos2xsinxsinx

cos2xcosx

最大值为1,此时，X=ATT+：,k£Z,而依+：,AEZ使函数y=tartan"无意义，即疝女不能取到1,

44tanZv-tanx

故D不正确.故选BC.

考向一三角函数的定义域

例I(1)函数y=1的定义域为________.

tanx—1

_I|xW7t+桁，且kGZ

【答案】Ui42

【解析】要使函数有意义，

tanX—1^0,

则;#7c+E,kGZ,

2

1#兀+履，kGZ,

4

即

依，jtGZ.

2

故函数的定义域为

x#"+4兀，且xW'+E,kG'L

U42

（2）函数y=sinx—cosx的定义域为

2H+71,2An+57r|

【答案】_44&"Z)

【解析】要使函数有意义，必须使sinx-cosx20.利用图象，在同一坐标系中画出［O,27t］±y=sinx和歹

=COSX的图象,

如图所示.

在［。叫内，满足sinx=E的工为:不,再结合正弦、余弦函数的周期是.所以原函数的定义域为

I|2〃兀+”辽工在2%兀+5”,kRZ

lrI44

变式、函数y=lg（sin2丫）+9—x?的定义域为

【答案】f刃J。,3

【解析】■:函数y=lg(sin2x)4-9—x2,

sin2x>0,

••・应满足

4九〈文《"+"兀,

解得2其中k£Z,

—3WxW3,

・二一3—7t或0av7t,

22

-3,

••・函数的定义域为43

方法总结：三角函数定义域的求法

⑴以正切函数为例，应用正切函数y=tanx的定义域求函数y=Man（3+e）的定义域转化为求解简单的

三角不等式.

（2）求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式.

2.简单三角不等式的解法

（1）利用三角函数线求解.

（2）利用三角函数的图象求解.

考向二三角函数的值域（最值）

例2、已知a>0,函数危)=-2asin(2x+H)+2o+b,人动在R上的值域是[-5,1],求a的值.

12、.।I

【解析】因为sinl"6je[-l,1],所以一2asin(2x+：)E[-2r/,2a],所以火4a+〃.

因为/(x)的值域是[—5,1],所以b=-5,4a+b=l,解得。=；3>0,故4的值为;3.

0九

变式1、已知a>0,函数加)=一2八而(2x+*)+2a+b.当XE]'2」时，/(x)的值域是[-5,1],求。

的值.

02丫+—11

【解析】因为xw|_'2」，所以2x+"w|_6'6」，所以sinL6k|_2,，所以-2asin(2x+n)

66

£[-2〃，a],所以火x)£g,3a+b].因为危)的值域是[-5,1],所以方=-5,3a+〃=l,解得。=2>(),故

a的值为2.

变式2、求下列函数的值域；

小、sinxcosx小、

(2)y=..(0<x<n).

sinx—cosx+1

【解析】⑴因为y=sm"2=1-.1,所以当sinx=—l时，ymin=l+[=：，所以该函数的值域

sinx-1sinx-1

(2)令，=sinx—cosx,则/=2sin

因为0令4,所以一"气一，3八

444

所以一2.又因为sinxcosx=l'

2

1一产

sinxcosx_­>_1_z

sinx-cosx+1什]2

2

所以20y<i,所以该函数的值域为[1:,1)

方法总结：1.直接法：直接利用sinx和cosx的值域求解.

2.化一法：将所给三角函数化为y=Asin(3x+4>)+k的形式，由正弦函数的单调性写出函数的值域.

3.换无法：将sinx,cosx,sinxcosx或sinx±cosx换成t,转化为二次函数来求解.

考向三三角函数的单调性

2”-3的单调增区间.

例3、求函数y=sin

【解析】由2E—九忘2丫一五五2内i+'aeZ),得E—n<x^^+5n(^ez),

2321212

,,_Ttj.571

故所求函数的单调增区间为产-12'12」(〃WZ).

变式1、求下列函数的单调增区间.

“Jgo,呼

(l)/=siii

f+;l

(2)y=sin

(3)y=IsinKTi.

【解析】⑴由乂兀一7^?》一7^?而+”£Z),得版一冗

2321212

因为x£［0,汨，所以OWxW；；；；<一,

1171

故所求函数的单调增区间为［0,；；］,［l2'".

..(一不+斗.(2r-7Cl

(2)M因为y=sinI3j=-sinI3j,

所以由2也+兀〈2丫-7cW2H一加伏£z),

232

故所求函数的单调增区间为［E+；；E+；；］，k£Z.

(3)由桁W2x—：WE+；/£Z),得,+：忘》在1+；；(左£2),

故所求函数的单调增区间为［々+r，?+：：］，k"

26212

变式2、设Q>(),若函数y=4sinsx在区间［一；，，上单调递增，求口的取值范围.

【解析】令f=cox,则y=4sinl.

_n7t

因为①>0,xW「3'

nn

3'1上单调递增，

所以/=GX在区间L

所―.

Tt7T

因为y=4sinft>x在区间3'4」上单调递增，

_nconeo_n兀

所以「3'4上「2'2_l,

_71W>_71

'3'~2y/v，

2

所以7To»n解得

4、2'①W2.

3

又切>0,所以0<GW；

故g的取值范围是2

方法总结：本题考查三角函数的单调性.首先化成尸然皿⑺+夕)的形式，再把cox+o看作整体代入尸siu

的相应单调区间内求x的范围即可.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数口的范围的问题，首先，

明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间

的关系可求解.考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想.

考向四三角函数的奇偶性、周期性及对称性

例4、(2022年湖北省荆州市高三模拟试卷)(多选题)已知函数/(x)=2(sinx+|sinx|)cosx,给出下列

四个命题，其中正确的是()

A./*)的最小正周期为乃B./(x)的图象关于点—,0中心对称

(2)

7171

C./*)在区间——，一上单调递增D./(x)的值域为［-2,2］

44

【答案】BD

【解析】/(犬+")=2(—sinx+sinx|)♦(—cos=2(sinx-|sinx|)-cosx/(x),所以A选项错误.

/

n71)=2(cosx+|cosx|)(-sinx),

=2sin—+sin•cos—=0,f一十X

2212

7T

・住+2(cosx+|cosx|)sinx=—+x

2

所以/(X)的图象关于点2,0中心对称，B选项正确.

(2]

包+旦［旦=0,/(0)=2(0+0)1=0,所以C选项错误.

222

14sinxcosx,2Zr^-<JV<2k7r+7r12sin2x,2%乃（工（2女；r+乃

f（x）=<=<9

、0,2k兀+乃<x<2k兀+2万0,2k兀+7T<X<2k冗+2〃

所以/（x）的值域为［-2,2］,D选项正确.

故选：BD

变式1、（2022年广东普宁市高三模拟试卷）（多选题）对于函数/（x）=binx|+cos2x,下列结论正确得

是（）

Qjr

A./（X）的值域为0,-B./（X）在0,-单调递增

8_L2_

C./（X）的图象关于直线X=（对称D./（X）的最小正周期为乃

【答案】AD

【解析】

/（x）=|sinx|+cos2.r,xwR,

所以/(一犬)=卜而(一工)|+(：05(-2了)=|5吊引+(：052Y=f(x),

所以〃x)是偶函数，

X/(x+7i)=|sin(x+^)|+cos2(x+TT)=(sinx|+cos2x=/(A),

所以乃是函数〃x)的周期.

乂fx+—=sin(x+—)+cos2(x+—)=|cosx|-cos2xf(x),

(2J222

故/（x）的最小正周期为万.

对于A,因为/（x）的最小正周期为兀，令此时sinx20,

所以/(x)=sinx+1-2sin2x

199

令，=sinxjG[0,1]所以有g(1)=—2/+/+1=-2t一一+-，可知其值域为［0=］，故A正确;

<488

对于B,由A可知，g。）在［0」］上单调递增，在（；J上单调递减,

因为£=sinx,/E[0,1],

乃

所以/（X）在0,5上不是单调递增，故B不正确;

对于C,因为/（（））=1,g=0,

k2J

所以/⑼*/图，

所以/（x）的图象不关于直线x=（对称，故C不正确；

对于D,前面已证明正确.

故选：AD

变式2、（2022年福建莆出市模拟试卷）（多选题）已知函数/*）=2|sinx+cosx|-sin2x,则（）

A.函数y=/'（x）的最小正周期为2乃B.工=-2为函数y=/（x）的一条对称轴

4

C.函数/⑶的最小值为1,最大值为2D.函数/⑴在上单调递减

_42_

【答案】BC

【解析】

因为/（x+乃）=2卜in（x+万）+cos（x+乃）卜sin2（x+乃）=2卜sinx—cosx|-sin2x,所以

/'（x+^）=2|sinx+cosx|-sin2x=/（x）,A错误；

因

/（-^-x）=2|sin（-y-x）+cos（-y-x）|-sin2（-y-x）=2|-cosx-sinx|-sin（一乃-2x）

=2|sinx+cosx\-sin2x=f（x）,

所以/（一：一工）=/1-5+'）所以函数看十:）为偶函数，所以/（一春+》）的图象关于y釉对称'

所以X二一生为函数y=/（x）的一条对称轴，B正确；

4

令卜inx+cosx|=f,有sin2x=『_i，则y=2卜inx+cosx|-sin2x=T2+2/+1,当xeR时、

r=V2sinx+?）e［o,/"］,

因为y=一d+2/+i在［o,i］上单调递增，在［1,正］上单调递减，

又/⑼=1,/,⑴=2,/^)二一2+2夜+1=2后-1<2

所以当x=l时•，函数/(工)取最大值，最大值为2,当x=0时，函数/(X)取最小值，最小值为1，C正

确;

7171

函数/(x)由y=—/+2，+1和Z=binx+cosx|复合而成，当XG时'

〃

函数z=|sinx+cosx\=sinx+cosx=41sinx+—因为任7t3

-29T

所以函数/=J^sin(x+?在上单调递减，所以函数,二卜inx+cosx|在上的调递减，且

tG1,V2j,

函数>=一j+2，+1在［1,&］上单调递减，所以函数/(x)在?上单调递增，D错误，

故选：BC

变式3、(2022年福建上杭县高三模拟试卷)写出一个同时满足下列三个性质的函数：/(%)=.

①f(2x)为奇函数；②〃3x+l)为偶函数；③/(X)在R上的最大值为2.

TTY

【答案】/(入)=25后爹(答案不唯一〉

【解析】分析函数的三条性质，可考虑三角函数，

因为/(2力为奇函数,/(x)在R上的最大值为2,

所以函数/(A)的解析式可以为/(x)=2sin—.

对于①，/(2x)=2sin7ix,因为2sin(乃(一x))=—2sin7Lj用以/(2x)为奇函数，符合；

对于②，/(3x+l)=2sin+D=2cos^~,因为2cos=2cos,所以/(3x+l)为偶

22\2y2

函数，符合；

7TY

对于③，/(x)=2sin5的最大值为2,符合.

7TY

故答案为：/(x)=2sin士(答案不唯一)

2

方法总结：本题考查三角函数的奇偶性与对称性.求Ar）的对称釉，只需令3%+夕=；+々；1（片三2），求工即

可；如果求.儿丫）的对称中心的横坐标，只需令/x+8=%n伏£Z），求x即可.奇偶性可以用定义判断，也可

以通过诱导公式将》=击皿5+0）转化为》=泗亩3X或y=4C0S3X.考查运算求解能力，整体代换及转化与

化归的思想.

1、（2022年福建上杭县模拟试卷）“函数y=tanx的图象关于（小,0）中心对称”是“sinx0=0”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

k

y=tanx的对称中心为（万兀,0）,左GZ,y=sinx的对称中心为（々兀,0）,左wZ,y=lanx的对称中心不一

定为y=sinx的对称中心；y=s:nx的对称中心-•定为y=tanx的对称中心.

故选：B.

2、（2023•江苏连云港•统考模拟预测）若函数/（x）=6sin2x+2cosA+机在区间0,^上的最大值为6,则

常数用的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

/（x）=V3sin2x+2cos2x+m=>5^sin2x+cos2x+1=2sin2x++1,

当OKXKN时，-<2x+-<—,

2666

则函数的最大值为/（x）=2sin5+〃7+l=〃?+3=6,解得〃?=3.

故选：C.

3、（2022年湖南常德市模拟试卷）设函数/（刈=冈111|,若。=/（兀-1112）,0=/0。%2）,c=f#,

k?

贝IJ（）

A.h<a<cB.b<c<a

C.c<a<bD.a<b<c

【答案】A

［解析J因为/（x）=|sinx|为周期为兀的偶函数，

b=lo2

所以a=/(北_In2)=/(In2),/(gi)=/(-log32)=/(log32)

3

因为J\x)=|sinx|在(0,兀)上关于直线x=5对称，

所以〃3；)=/(兀一百)，

,.cIn2.,

"i「1。832=-——»1>In2>0>In3>1,