概率论与数理统计（慕课版第2版） 教案 张天德 第5、6章 统计量及其分布、参数估计

概率论与数理统计教学教案

第5章统计量及其分布

授课序号01

教学基本指标

教学课题第5章第1节总体、样本及统计量课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本教学难点统计量、样本均值、样本矩及样

矩及样本方差的概念本方差

参考教材作业布置课后习题

大纲要求理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本矩及样本方差的概念。

教学基本内容

一.总体与样本

1.总体与个体：把研究对象的全体称为总体，构成总体的每个成员称为个体.

2.有限总体与无限总体：若总体中的个体数是有限的，此总体称为有限总体；否则称为无限总体.

3.样本容量:在相同的条件下从总体中随机地抽取〃个个体，记为…，X“，我们将X，Xz，

称为来自总体彳的一个样本，〃称为样本容量.

4.简单随机样本：若样本X”X2，,X.与所考察的总体具有相同的分布，且乂，乂2,…，勺相互独立，

则称X,乂2，・・・,乂”为来自总体才的容量为〃的简单随机样本，简称样本.

5.若X,X?,…，X”为来自总体才的一个样本，则乂，*2,…，X”的分布函数为

F*（xPx2,---,x„）=nF（A/）.

1=1

6.若总体/为离散型随机变量，其分布律为P{X=Xj}=p（%）,勺取遍乃所有可能取值，则样本的概率分

布为

P{X1=x，X,二修,…,X“=x.}=fjp（xj.

1=1

n

7.若总体x为连续型随机变量，其概率密度为/（“）,则样本的概率密度为/*（王,12,…，z）=n/（w）.

/=1

二.统计量

1.统计量：设Xi,*2,,x〃为取自某总体的样本，若样本函数r=nxH・,，x〃）中不含有任何未知参数，

则称T为统计量.统计量的分布称为抽样分布.

2.几个常见统计量：设（X”X2,…,X”）是总体X的样本，常用的统计量有

(1)样本均值：x=-Yxi；

i«_

22

(2)样本方差：S=----V(X/-X)；

〃-1公

(3)样本标准差：s=■冬(Xj—V)?：

(4)样本才阶(原点)矩：4=-Xx/«=l,2,…；

〃/=1

I"、__

(5)样本女阶中心矩：纭.=一2(、[•-X)”,女=1,2,….

3.性质：设总体¥具有二阶矩，即现¥)=4，。(*)="<48,X],X2,…,X”为来自总体X的样本，X

和S?分别是样本均值与样本方差，则

(1)E(X)=£1(%)=//;

-1(J2

(2)D(X)=-D(X)=—；

nn

(3)E(S2)=D(X)=(T2.

三.例题讲解

洌1.从某班级的英语期末考试成绩中，随机抽取10名同学的成绩，分别为：100,85,70,65,90,95,

63,50,77,86.求样本均值，样本方差及二阶原点矩.

例2.设总体X〜笈(狐夕)，X1,X2，.，X”为来自该总体的简单随机样本，文为样本均值，求

喟NF]

授课序号02

教学基本指标

教学课题第5章第2节抽样分布课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点教学难点

??分布、/分布和/分布的概念及性质、分位数??分布、/分布和尸分布的性

的概念并会查表、正态总体的某些常用抽样分布。质，正态总体某些常用抽样分布

参考教材作业布置课后习题

大纲要求

1.了解力?分布、，分布和产分布的概念及性质，了解分位数的概念并会查表计算。

2.了解正态总体的某些常用抽样分布。

教学基本内容

一.抽样分布

1.f分布（卡方分布）

（1）设…，X”是来自标准正态总体N（0,l）的样本，则称统计量力2=*：+*；+，-+X；服从自由

度为〃的/分布，记为/〜/（〃）.

------!-----------------------X之（）

（2）才2（n）分布的概率密度为/（,r）={2#2r（〃/2）.‘一

0,xv0.

（3）设X〜/（〃），则有E（X）=〃，D（X）=2n.

（4）若X〜/（〃）丫〜/（&）且才与J,独立，则x+y〜%2（%+%）

2.1分布

V

（1）设x〜N（O,I）,y~fs）,且x与v相互独立，则称随机变量7=服从自由度为〃的7分布，

记为T〜£（九）.t分布,又称学生（Smde/7»分布.

（2）t分布的概率密度为概x）=黑;;；%+1）'-8Vx<+00.

3.尸分布

（1）设U-fSDh/g）,且U,V相互独立，则称随机变量尸二且旦服从自由度为（〃”〃,）的F分布，

V/n2

记为F〜尸（九1，电）.

⑵产（〃”心）分布的概率密度为⑴「（〃，2）「（％/2乂曲人曲）\n2）^

-0,x<0

（3）若尸〜尸51，九2），则,〜F（〃2，“）・

F

4.上侧a分位数（点）

（1）设有随机变量X,对给定的a（0<a<1）,若存在实数力满足P{X>xa]=a,则称％为I的上侧a分

位数（点）.

（2）标准正态分布、自由度为〃的卡方分布、自由度为〃的£分布、自由度为4,〃2的尸分布的上侧a分

位数分别记为〃a、/（〃）、%（〃）、EZ（〃I，〃2），图像如下图所示.即有

(1)X〜N(0,l),则P(X>%)=a；

⑵/〜/2(〃),则尸{/2〉/(〃)}“；

(3)7〜《〃)，则叩乜(〃)}二a；

(4)/〜/(％,公),则〃{/>/；(勺,4)}=。.

四大抽样分布的上侧a分位数

（5）性质

（i）由标准正态分布和1分卷的对称性有：U^a=-Ua;tj_a=-ta.

（ii）由方分布的定义可以得到:Fj（%，&）=

Fa（%，%）

(iii)由于〃比较大时，分布近似川(0,1),一般的，当〃>45时，有〃(〃)七气.

二.正态总体的抽样分布

I.来自单一正态总体可仪,。2)的统计量的分布

定理：设X1,Xz，…,X”是来自正态总体N(〃,o2)的一个样本：鼠S?分别是样本均值和样本方差，则有

(1)又〜N(",二),即岂二£〜N(0,l)；

na\,n

X-u

(3)—,,—〜f(〃-1).

yVH

2.来自两个正态总体N(%,g2)、N(〃2，©2)的统计量的分布

定理：设X,X2,、X,“与乂上,•，匕，分别是来自两个相互独立的正态总体N(〃1，供2)和N%,02)的样

本，其样本均值分别记为冗门，样本方差分别记为工2,$22,则

（G-7）-（必一〃2）

〜N（OJ）；

(，一')「(从一出)7(4+%—2)；其中S；=（4-1）S1+（坦-DS；

当of=母时,

〃1+〃2―2

-----1------

F%

例5.4设X~N(0,32),y~N(03),且X,y相互独立，(X1,…,X9),(X，…，匕)分别为来自X和V的

样本，求u=,不++x<)的分布.

收+・・・+%2

2

Y.Y2,.Y-

例5.5设X1,X2,…,X]5是来自总体N(0,22)的样本，求统计量y=1…―肾的分布.

例5.6某公司生产瓶装洗洁精，规定每瓶装500亳升，但是在实际罐装的过程中,总会出现一定的误差.

误差要求控制在一定范围内.假定灌装量的方差。2:1,如果每箱装25瓶这样的洗洁精，试问25瓶洗洁精

的平均灌装量和标准值500亳升相差不超过0.3亳升的概率是多少？

例5.7设总体I服从正态分布"(72,100),为使样本均值大于70的概率不小于90%,则样本容量应取多

例5.8在设计导弹发射装置时，重要事情之一是研究弹着点，扁离目标中心的距离的方差.对于一类导弹

发射装置，弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布N(〃,o2),这里。2二io。平方米，现在进行了21次发射试

验,用S?表示这21次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差，试估计S:不超过17().85平方米的概率.

概率论与数理统计教学教案

第6章参数估计

授课序号01

教学基本指标

教学课题第6章第1节点估计课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点点估计、估计量与估计值的概念、估计量的无偏教学难点矩估计法（一阶、二阶距）和最

性、有效性和一致性的概念、、估计量的相合性、大似然估计法。

矩估计法（一阶、二阶距）和最大似然估计法。

参考教材作业布置课后习题

大纲要求1.理解参数的点估计、估计量与估计值的概念；了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）

和一致性（相合性）的概念，开会验证估计量的无偏性；会利用大数定律证明估计量的相合性。

2.掌握矩估计法（一阶、二阶距）和最大似然估计法。

教学基本内容

一.矩估计法

1.矩估计法的基本思想是替换原理，即用样本矩去替换相应的总体矩，这里的矩可以是原点矩也可以是中

心距，我们知道，矩是由随机变量的分布唯一确定的，而样本来源于总体，由大数定律，样本矩在一定程度上

反映总体矩的特征。

2.矩估计法：用样本矩来估计总体矩的估计方法称为矩估计法.

3.矩估计法的步骤：

设总体才的分布中包含勿个未知参数6G,…，8X-X2,…,X”为来自总体X的样本，如果总体

的K阶原点矩E（Xk）存在，并设石（*"）=4（40，…，内），相应的攵阶样本原点矩为

1〃

A「一£X：,以儿替代顼X",即可得到关于〃1,e2、…，夕"的方程组

4（4,，2,•••,/）=2之X:,k=12...,加

〃r1

A

方程组的解纵（X，X2，・・・,X“），k=l,2,.••,〃?，称为参数%（2=1,2,…，⑼的矩估计量.

-1.若代入一组样本观测值内,々,…,“则蓝（不和…，乙）称为参数。式〃=1,2,…,加）的矩估计值.

二.最大似然估计法

I.最大似然估计的步骤：

若总体才的分布中含有4个未知待估参数0I，62,…，0A,则似然函数为

“a,3，…0）=n/（苍;a0，…a）•

解似然方程组9=0,1=1,2,»,或者对数似然方程组且叱=0』=1,2,次，即可得到参数的最大似然

s皿

估计a,...,。o

2.定理：若。为参数。的最大似然估计，g（。）为参数。的函数，则gS）是晨。）的最大似然估计.

三.点估计的评价标准

1.无偏性：设0=i（X，X2，,X“）是未知参数0的估计量，若E（0）=O,则称d为0的无偏估计。

2.有效性：设a,A均为参数。的无偏估计量，若。（«）＜。（。），则称。比a有效。

3.相合性（一致性）：设方为未知参数0的估计量，若对任意的£＞0,都有!夕|＜同=1,即力

依概率收敛于参数0,则称。为。的相合（一致）估计。

4.定理：设J为。的估计量，若limE⑹二夕，lim/）（3）=0,则』为。的相合（一致）仔计.

oon-»oo

四.例题讲解

例1.设X为某零配件供应商每周的发货批次，其分布律为

X0123

pe20（1—夕）021—2。

其中8是未知参数，假设收集了该供应商8周的发货批次如下：3,1,3,0,3,1,2,3,求6的矩估计值.

X”X,,X”为来自总体1的简单随机样本，求夕的矩估计量.

例3.已知某种金属板的厚度/在（a,5）上服从均匀分布，其中a,。未知，设抽查了刀片金属板，厚

度分别为X「X2,…,X”，试用矩估计法估计a,b.

例4.设袋中放有很多的白球和黑球，已知两种球的比例为1:9,但不知道哪种颜色的球多，现从中有放

回地抽取三次，每次一球，发现前两次为黑球，第三次为白球，试判断哪种颜色的球多。

例5.求出例2中未知参数夕的最大似然估计量.

1x＞n

例6.设某种元件使用寿命X的概率密度为J\x)='二＞，其中。＞0是未知参数，设

0,其它

王,，，玉是样本观测值，求夕的最大似然估计.

例7.设某工厂生产的手机屏幕分为不同的等级，其中一级品率为“如果从生产线上抽取了20件产品，

发现其中有3件为一级品，求：

(1)0的最大似然估计；

(2)接着再抽5件产品都不是一级品的概率的最大似然估计.

例8.设样本X],X2,,X”来自正态总体乃〜N(〃，cr'),其中〃，未知，求〃和cr'的最大似然估计。

1〃

例9.设总体乃的A阶矩从=E(X*)存在，证明：不论乃服从什么分布，样本的左阶矩4=一乏＞。是

外的无偏估计。

例10.已知8,二,£(Xj—N)2,S2=—L£(X,-5)2都是总体方差/的估计量，问哪个估计量更

好？

2x

例11.设总体X的概率密度为/*)=]济其中夕是未知参数，x「X2,…，X”为来自

0其它

总体/的简单样本，选择适当常数。，使得cfx；是式的无偏估计.

1=1

1」

-e0x＞0,

例12.设某种产品的寿命才服从指数分布，其概率密度为八幻二1。,其中9为未知参数,

0x＜0

XpX2,X3,X4是来自总体的样本，设有0的估计量

A11

^=-(XXJ+-(X.+X),

o1+34

ft=l(Xi4.2X24-3X34-4X4),

^=1(X,+X24-X34-X4)

问哪一个最优？

例13.设X是总体I的样本均值，则当X作为总体期望£(用的估计量时,乂是£(切的相合估计最。

例14.设总体x〜u(e,2。),其中。＞0是未知参数，乂……乂”是乂的样本，试证明6=2年是。的

3

相合估计量.

授课序号02

教学基本指标

教学课题第6章第2节区间估计课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点置信区间、区间估计、单个正态总体的均值和方教学难点置信区间、区间估计、单个正态

差的置信区间、两个正态总体的均值差和方差比总体的均值和方差的置信区间、

的置信区间。两个正态总体的均值差和方差

比的置信区间。

参考教材作业布置课后习题

大纲要求1.掌握建立未知参数的（双侧和单侧）置信区间的一般方法；

2.了解区间估计的概念，会求单个正态总体的均优和方差的置信区间，会求两个正态总体的均

值差和方差比的置信区间。

教学基本内容

一.区间估计的概念

1.置信区间：设。为总体的未知参数，若对于给定的a（0<a<l）,存在统计量@=&（X］,X2,…,X〃）和

ft=4（x„x2,.使得片&=则称随机区间［@,组为参数。的置信度（或置信水平）

为的置信区间，@和。分别称为置信下限和置信上限。

14

2.枢轴量：称满足下述三条性质的量。为枢轴量.

（1）是待估参数〃和估计量》的函数；

（2）不含其他未知参数；

（3）其分布已知且与未知参数〃无关。

3.求置信区间的一般步骤：

（1）根据待估参数构造枢轴量Q,一般可由未知参数的良好估计量改造得到；

（2）对于给定的置信度1-々，利用枢轴量。的分位点确定常数a,b,使价=1-a：

（3）将不等式恒等变形为尸{4«"«}=1—a,即可得到参数。的置信度为ba的置信区间［自,团.

二.正态总体参数的区间估计

1.单个正态总体的情形：

设总体X〜N（〃,/）,X1,X?,,X”是取自总体X的样本

(1)。2已知，均值〃的置信区间：〃的置信度为1一。的置信区间为又一见£,又+以,

⑵b未知，均值〃的置信区间：〃的置信度为1一。的置信区间为X1)-=,X(w—1)

(3)〃已知，方差b?的置信区间：的置信度为1一。的置信区间为

(4)〃未知，方差。2的置信区间：的置信度为1—a的置信区间为

2.两个正态总体的情形：

设总体x〜N(M，CT：),总体y〜N(〃2。；)，x与y独立，样本乂，X?,…，x,“来自总体x,样木

匕匕,二来自K

(Do-,2,cr；已知，均值差从-%的置信区间：从-出的置信度为的置信区间为

(X-Y)-u+-，(X-y)+〃q

(2)未知，但[2=。；，均值差的置信区间：的置信度为1-a的置信区间为

x_丫一心(〃]+小-2)S—F—,X-Y+，“(〃]+〃,-2)S—।—

1-N%%1'Y4公

(3)外，出未知，方差比耳■的置信区间：耳■的置信度为La的置信区间为

O"cCX、

以上关于正态总体参数的区间怙计的讨论可以列表1和表2如下:

表1单个正态总体参数的区间估计表

待估参数条件枢轴量置信区间

^7=#〜N(O,1)

[X-tc-Z=,X+-y=]

(T2已知

2yJn2Jn

[X-几(〃-1)-^^,X+ra(7?-l)-^=]

a*未知

S/y/n5/〃2

2X"力(Xj—〃)2

E〜y2(i\f=l!=l

〃已知、Zvf*7

(J~%；(〃)'屋号S)

2

(7

2(〃-1)S2("W

(n-\)S2/n

4未知2〜75I)

式〃—D

表6.2两个正态总休参数的区间估i卜表

待估

条件枢轴量置信区间

参数

22乂一丁心)〜%©])

(Di，用寺(I…居图

已知/

又一了:〃「㈤〜

M-〃222

%，%F1，

S二所一屋%(为+〃2-2)£

7%"2

未知，但

22其中又一斤十%⑺+%-2电,J111

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