第35讲、平面向量的概念与坐标运算2025高考数学一轮复习讲义

第35讲平面向量的概念与坐标运算

知识梳理

知识点一.向量的有关概念

（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）.

（2）向量的模：向量4月的大小，也就是向量A月的长度，记作|八四.

（3）特殊向量:

①零向量：长度为。的向量，其方向是任意的.

②单位向量：长度等于1个单位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向

量平行.

④相等向量：长度相等月.方向相同的向量.

⑤相反向量：长度相等月.方向相反的向量.

知识点二.向量的线性运算和向量共线定理

（1）向量的线性运算

运算定义法则（或几何意义）运算律

①交换律

占"

求两个向量和的di+b=b+d

加法

运算aa②结合律

三角形法则平行四边形法则(cl+b)+C=a+(b+c)

求R与万的相反

向量。的和的

减法a-b=d+(-6)

运算叫做G与5a

的差三角形法则

（1）l/^HAIMI

4(=(2//)d

求实数2与向量（2）当4>0时，4G与。的方向相同：当

球(2+f.i)a=+pci

a的枳的运算4<0时，/Id与2的方向相同：

2(d+b)=々f+劝

当4=0时，Aa=0

【注意】

（1）向量表达式中的零向量写成0,而不能写成0.

（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所

在直线平行或重合，而在直线中，两条直线羽合与平行是两种不同的关系.

（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向

量的起点必须羽合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三

角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件.

（4）向量加法和减法儿何运算及该更广泛、灵活如：OA-OB=BA,

AM-AN=NM',OA=OB+CA<^>OA-OB=CA<^>BA-CA=+AC=BC.

知识点三.平面向量基本定理和性质

1、共线向量基本定理

如果d=M（/lwR）,则〃/〃；：反之，如果且则一定存在唯一的实数2,

使d=4.（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）.

2、平面向量基本定理

如果4和e；是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量己，都存

在唯一的一对实数44,使得d=44+当《，我们把不共线向量［，］叫做表示这一平面

内所有向量的一组基底，记为归,可，+叫做向量0关于基底归,可的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量e；与最不共线，平面内的任一向量G都可以

分解成形如4=43+冬6；的形式，并且这样的分解是唯一的.41+4不叫做e；,回的一个

线性组合.平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也

是向量的坐标表示的基础.

推论1：若&=4弓+石/=，则4=&，4=4.

推论2：若d=4q+4/=0,则4=%=（）.

3、线段定比分点的向量表达式

如图所示，在△ABC中，若点。是边8C上的点，且碗）,则向量

AD=/W+Z/AC.在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有

1+2

“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握.

4、三点共线定理

平面内三点A,B,c央线的充要条件是：存在实数尢〃，使OC=NO4+〃O8,其中

4+〃=1,。为平面内一点.此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握.

A、B、C三点共线

Q存在唯一的实数力,使得而=/1葩；

。存在唯一的实数4,使得比=。4+38：

。存在唯一的实数力,使得02=(1-2)。4+20至：

。存在2+〃=1,使得=+

5、中线向量定理

如图所示，在△ABC中，若点。走边BC的中点，则中线向量A万=LAA+AC),反

2

之亦正确.

知识点四.平面向量的坐标表示及坐标运算

(I)平面向量的坐标表示.

在平面直角坐标中，分别取与X轴，)，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，

那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量。，有且只有一对实数X)，使

a=xi+yj,我们把有序实数对Cr.y)叫做向量d的坐标，记作4=(工)，).

(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一双应的，即有

向量(X,y)、""、向量、对应、点A(x,y).

(3)设方=(内，,)，b=(x2,y2),则公+B=(内+&,)[+为)，a-b={xx-x2,yt-y2),即

两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

若d=（x,y）,4为实数，则蔚=（九r/y）,即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘

原来向量的相应坐标.

（4）设4芯,）［）,B（x2,y2）,AB=OB-OA=（x,-x2,yt-）»即一个向量的坐标等

于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标.

知识点五.平面向量的直角坐标运算

22

①已知点A（$,y）,B（X2,为），则AQ=（%-芭，y2-yt）,\AB\=^U2-x））+（>',-yj

②已知G=（X［，X）,，）=（12，）’2），则。±6=（%±±，y±其），而=（%X［My），

aA-X2+yty2,\d\=^x；+y；.

a//b=x}y2=0»a±b<^>%工+yy2=。

【解题方法总结】

（I）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零

向量相加，称为多边形法则.一-般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点

指向最后一个向量终点的向量.

即A&+A2Al+•••+An_iAs=A4.

（2）\\a\-\b\\^\a±b\^a\+\b\,当且仅当至少有一个为0时，向量不等式的等号

成立.

（3）特别地：||可-|加国值±5|或修土石国训+防|当且仅当至少有一个为。时或者

两向量共线时，向量不等式的等号成立.

（4）减法公式：AB-AC=CB,常用于向量式的化简.

（5）A、尸、4三点共线。冰=（l-r）砺+这是直线的向量式方程.

必考题型全归纳

题型一：平面向量的基本概念

例1.（2024•全国-高三专题练习）下列说法中正确的是（）

A.单位向量都相等

B.平行向量不一定是共线向量

C.对于任意向量。石,必有|“+〃凶"1+1川

D.若工行满足|2|＞份|且Z与分同向，则

【答案】C

【解析】依题意，

对于A,单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；

对于B,平行向量就是共线向量，故错误：

对于C,若a,B同向共线，|a+〃j=|a|+|〃|,

若ZB反向共线，|a+〃l«a|+⑸，

若工方不共线，根据向量加法的三角形法则及

两边之和大于第三边知|a+5Ma|+l〃|.

综上可知对于任意向量",凡必有|二+力区;“+山，故正确；

对于D,两个向量不能比较大小，故错误.

故选:C.

例2.（2024•全国-高三专题练习）给出如下命题：

①向量而的长度与向量函的长度相等；

②向量&与5平行，则4与5的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量血与向量是共线向量，则点A,B,C,D必在同一条直线上.

其中正确的命题个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】对于①，向量而与向量面，长度相等，方向相反，故①正确：

对于②，向量云与。平行时，五或方为零向量时，不满足条件，故②错误；

对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；

对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；

对于⑤，向量而与磅是共线向量，点A,B,C,力不一定在同一条直线上，故⑤错

误.

综上，正确的命题是①③.

故选：B.

例3.（2024•全国-高三专题练习）下列命题中正确的是（）

A.若3=方，则3弓＞2,B.BC-BA-DC=AD

C卜|+|坂卜卜与可的方向相反D.若M=W=R,则£=B=2

【答案】B

【解析】对于A选项，由于任意两个向量不能比大小，故A错；

对于B选项，BC-BA-DC=AC+CD=ADf故B对；

对于C选项，忖+欠=卜+同0“与B的方向相同，故C错；

对于D选项，若同第=田但入〃、2的方向不确定，故D错.

故选：B.

变式1.（2024•全国-高三专题练习）下列说法正确的是（）

A.若，〉耳，则；;二B.若卜卜忖，则[；=]

C.若则D.若出力，则；工不是共线向量

【答案】C

【解析】A.因为向量不能比较大小，所以该选项错误：

B.若口=忖，则;;工不一定相等，有可能它们方向不同，但是模相等，所以该选项错误,

C.若＞则7"，所以该选项正确；

»若山b，则也有可能是共线向量，有可能方向相同模不相等，有可能方向相反，

所以该选项错误.

故选：C

变式2.（2024•全国•高三对口高考）给出下列四个命题：

①若Ma=bta=-b；

②若羽=觉，则A,B,C,。是一个平行四边形的四个顶点：

@^a=b,b=c,则3=人

④若“〃,，bile»则a〃c：

其中正确的命题的个数为（）

A.4B.3C.2D.I

【答案】D

【解析】①若|£|=|力，只能说明—石模相等，它们方向不一定相同或相反，错；

②若而=皮，若AB//DC且AB=DC,即A,B,C,。是一个平行四边形的四个顶点，

若4艮C。四点共线，不能构成平行四边形，错；

③若a==c,即a,B、a,c分别为相等向量，故［=",对；

④若Z//人百几，当区为零向量时力不不一定成立，错.

故选：D

变式3.（2024•全国•高三对I」高考）若3+坂+"=6，则£,b，c（）

A.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形

B.一定小可能构成三角形

C.都是非零向量时能构成三角形

D.一定可构成三角形

【答案】A

【解析】ACD选项，若非零向量共线时，也能满足3+另+2=。，但无法构成一个三

角形，A正确，CD错误；

B选项，当非零向量7反2两两不共线时，可构成三角形，B错误.

故选：A

【解题方法总结】

准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键.共线向量即为平行向量，非零向

量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方

向相同且长度相等，就是相等向量.共线向量或相等向量均与向量起点无关.

题型二；平面向量的线性表示

例4.（2024•山东泰安•统考模拟预测）在AABC中，点。为AC中点，点E在8c上且

BE=2EC.记荏=工/=九则防=（）

【答案】B

【解析】如图所示:

由AB=a,AC=b,

所以BC=AC-AB=8-a，

又•；BE=2EC,

.•.配=；及=*询，

又因为。为AC中点，

—.1_

.\CD=--b

2t

则成=反+而=」£」B,

36

故选：B.

例5.（2024•河北邯郸•统考三模）已知等腰梯形人8CO满足人8〃CO,AC与8。交于点

P,且48=2CO=2BC,则下列结论错误的是()

A.AP=2PCB.\AP\=2\PD\

--2-1--—•1—2―•

C.AP=-AD+-ABD.AC=-AD+-AB

3333

【答案】D

【解析】

依题意，显然△AMs.OPC,故有空=竺=4B2

­=—>

即AP=2PC,PB=2PD,则/=2定，故A正确:

又四边形ABC。是等腰梯形，故AP=PB,即|丽=2|丽故B正确；

在△ABO中，AP=AD+DP=AD+^DB=AD-i-^AB-Ar））=^Ab+^AB,故C正确:

又如=5川=5—。+.46=A。+548,所以D错误；

故选：D.

例6.（2024•河北•统考模拟预测）已知。为AABC所在平面内一点，且满足

CD=^DB,贝ij()

―.3—•1—.

A.AD=-AB——ACB.AD=-AB+-AC

2233

C.AB=AAD-3ACD.AB=3AD-4AC

【答案】c

【解析】如图,

—1—

因为。。=,。8,所以。是线段8。的四等分点，且瓦>=3£>C.

所以而=而+昉=而+：前=南+；国一期=；肉：痣,

故A,B错误;

___1一3___

由加犬+产，可得正4皿砂故C正确，D错误’

故选:C.

变式4.（2024•河北•高三学业考试）化简诲—丽+而所得的结果是（）

A.2ABB.2fi4C.0D.PA

【答案】C

【解析】PA-PB+AB=PA+AB-PB=PB-PB=（）.

故选：C

变式5.（2024•贵州贵阳•校联考模拟预测）在AABC中，AO为8。边上的中线，E为

八。的中点，则配=（）

3一I—1—3—

A.-AB一一ACB.--AB--AC

4444

3—1--I__3__

C.-AB+-ACD.——AB+-AC

4444

【答案】D

【解析】

由。为8。中点，根据向量的运算法则，

可得八）=

在AABC中，EC=AC-AE=AC--AD=--（AB+AC）+AC=-AC--AB.

2444

故选:D.

变式6.（2024•贵州黔东南•高三校考阶段练习）已知在平行四边形A8c。中，E,产分

别是边CD，3C的中点，则乔=（）

1一I―.

A.-AB-AF5B.-AB-BCC.-~AB+-ADD.-AB——BC

222222

【答案】D

【解析】如图所示，由中位线定理和平行四边形的性质得：

乔=3加=3（顺-而）=阮）,

故选；D

变式7.（2024•山东滨州•校考模拟预测）如图所示，点E为“的边4c的中点，F

为线段BE上靠近点4的四等分点，则/=（）

EC

A

B

3SS_r3713—.1—

A.-BA+-13CB.-BA+-BCC.--BA+-BCD.--BA+-RC

88448844

【答案】C

________1__3__1__3____

【解析】AF=AE+EF=-AC+-EB=-AC+-(AB-AE)

2424

1一3—3—1—3—

24884

1一一3-7—I—

=-(BC-BA)--BA=——BA+-BC.

8488

故选：C.

变式8.（2024•全国•高三专题练习）在平行四边形八8C。中，对角线人C与8。交于点

。，若+=则4=（）

A.：B.2C.!D.—

232

【答案】B

【解析】在平行四边形A8CQ中，AC=AB+AD=AAO,所以4=2.

故选：B.

变式9.（2024•河南•襄城高中校联考三模）己知等腰梯形ABCD中，AB//DC,

AB=2DC=2AD=2,3c的中点为E,贝］1而=()

］__5__I__5__

A.-DB+-ACB.-DB+-AC

3336

C.-DB+-ACD.-DB+-AC

3236

【答案】B

［解析］,:AB=DB-DA=DB-(DC+CA)=DB-DC-CA=DB-^AB-CA,

：,-AB=DB-CA,

2

■2.2.

:.AB=-DB+-AC,

33

.•.荏=；例+砌中|丽+汽/萍=冲+河.

故选：B.

【解题方法总结】

（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此

类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解

题.

（2）进行向量运算.时:要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发

的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘孟算来求解.

（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形

中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接

关系的向量来求解.

题型三：向量共线的运用

例7.（2024•广东广州•统考槿拟预测）在AABC中，A/是A。边上一点，且

是8M上一点，若+则实数”的值为（）

29

A.—B.—C.-D.—

3663

【答案】D

【解析】由福.=；雨，得出而=3而，

由从河=1其3+〃]86;得八N=5而+/〃（43-八月）=（1+"[82-〃?/1月

因为B,N,M三点共线，所以K+3in+(-///)=!,解得“=

故选：D.

例8.（2024•湖南长沙•长沙市实验中学校考三模）如图，在AAAC中，M为线段8C的

中点，G为线段AM上一点，而=2的，过点G的直线分别交直线48,AC于P,。两

点，AB=xAP（x>0）,AC=}AG（y>0）,则：+击的最小值为（）.

A

C.3D.9

【答案】B

【解析】因为M为线段8c的中点，所以AA/=；（A8+4Q,又因为而=2而，所以

―.2I—.一

AG=-AM=-（AB+AC）,

33

又丽=》丽（工>0）,4C=yA0（y>O）,所以4匕=楙4/$+1%。，

又RG,。三点共线，所以：+1=1,即x+y=3,

所以

4I141」，，、i1「,A4(y+l)J、J-~4(y+l)9

-H----=—(—+----)[x+(y+l)l=-4H-----+-------+1之一(5+2I------------)x=—,

xy+\4Ay+11J4[y+1AJ4\y+1x4

当且仅当*=如上°,即工==:时取等号.

y+1X33

例9.（2024•山西•高三校联考阶段练习）如图，在AABC中，。是8c边中点

Q=g而,CP的延长线与八8交于AM则（）

—1—-.1—.

A.AN=-ABB.AN=-ABC.AN=-ABD.AN=-AB

4567

【答案】B

【解析】设丽=2丽，

11O1

加

A加

6-6-6-6-

因为N,P,C三点共线，

所以＜+!=］，解得a=5,

6o

所以血=5而，所以丽=［而.

故选：B.

变式10.（2024•全国•高三专题练习）如图所示，已知点G是△A3C的重心，过点G作

直线分别与AB,AC两边交于M,N两点,设工加=丽7，丁而=丽，则’的值为

Ay

（）

A.3B.4

C.5D.6

【答案】A

【解析】由题意配=4而7+。一义）丽'且owawi,而1八方=通7，yAC=AN.

所以箱=.U而+y（l-团正,

—21——I——

又G是△ABC的重心，故AG=-X-(A8+AC)=-(A8+AC),

323

xA=-

所以［，可得丁+丁=1,即一+-=3.

Xl-A)=l3x3)，x)，

3

故选：A

变式11.（2024•重庆沙坪坝•高三重庆一中校考阶段练习）在“8C中，E为AC上一

I3

点，京=3蔗,P为线段跳:上任一点（不含端点），若加="福+），而，则一+一的最小值

xy

是（）

A.8B.10C.13D.16

【答案】D

【解析】由题意，如下示意图知：AP=AAI3+（\-^）AE,HO</1<1,又然=3荏,

x-k

所以AP=%/A月H-------ACf故，1—2且Ov/vl,

3y=------

r3

柏13/9〃九］s1-29A.ll-A9A.,

xyA\~A\~A,V2.1—2

仅当F=%，即4=J时等号成立.

A1-24

13

所以一+一的最小值是16.

故选：D

变式12.（2024•全国•高三专题练习）已知向量，、五不共线，且

c=xa+b,d=a+（2x-\）b,若"与2共线，则实数才的值为（）

A.1B.一:C.1或一!D.-1或一工

222

【答案】C

【解析】因为Z与2共线，则存在keR,使得Z=kG，^a+（2x-1）b=kxa+kb,

因为向量£、办不共线，贝“女［2.1，整理可得x（2x-l）=l,即2f_x_i=o,

解得x=-；或1.

故选：C.

变式13.（2024•全国•高三专题练习）已知直线/上有三点A,B,C,0为/外一点,

又等差数列血』的前〃项和为S”，若丽=（%+%）而+2外交,则SH=（）

c13

B.3

'•7cT•~2

【答案】A

【解析】•.•点A、8、C是直线/上不同的三点,

.・存在非零实数/I,使而=幺而函=2（元一。豆）=西=（1+/1）面-义乐;

「若0人=(«1+aJOR+2«loOC，

：.ay+a3+2aw=\:

•••数列伍"是等差数列,

2%+2al0=\=>a2+«l0=-=«I+«n；

11(“+%)11

S”=

27

故选：A.

变式14.（2024•全国-高三对口高考）设两个非零向量那与5不共线.

f11Ul*l11---/——\

⑴若A3="+%，8C=2"+8b，8=3,-〃)，求证AB,。三点共线.

（2）试确定实数2,使坛+丽）+总共线.

ULU11ULM1i1一一/--\

【解析】(1)因为A8=a+〃，8c=2a+8〃，CO=3(“一

所以=BC+6=2,；+8/；+3仅一/“

2a+Sb+3a-3b=5(a+b)=5AB

所以加，丽共线,

又因为它们有公共点4,

所以A及。三点共线:

（2）因为和a+妨共线,

所以存在实数义，使h+〃=2（〃+旧），

所以=义。+k2.b，

即(k-A)a=(U-\)b.

又入五是两个不共线的非零向量,

所以2-/1=以-1=0

所以攵2_1=0，

所以2=1或4=一1.

变式15.(2024•全国•高三对口高考)如图所示，在△ABC中，。，尸分别是8C,4c的

中点，AE=-AD,AB=(iAC=b.

(1)用表示AD,AE,AF,BE.BF：

(2)求证：B,E,尸三点共线.

【解析】(1)在AABC中，D,尸分别是BC,AC的中点，

则而=裾+瓦^=而+3配=而+3国—通卜义通+(/=]+/,

,,—.2―.1-1一

333

—1—1-

AF=—AC=­b,

22

———I-I--1-2-

BE=AE-AB=-a+-b-a=-b—a,

3333

W=AF-AB=-b-a；

2

(2)证明：因为==8声=g伍一24,

所以8至尸，

所以说//而，

又因而，所有公共点8,

所以8,E,户三点共线.

【解题方法总结】

要证明4,B,C三点共线,只需证明血与83共线，即证4分=/18仁(AG/?).若已

知A,B,。三点共线，则必有八月与3。共线，从而存在实数K使得A*=/18C.

题型四：平面向量基本定理及应用

例10.（2024•上海•高三专题练习）设耳、不是两个不平行的向量，则下列四组向量中,

不能组成平面向量的一个基底的是（）

A.q+G和6一02B.q+2g和e2426

C.3q-2弓和4e2-6etD.e2和/+q

【答案】C

【解析】依题意，4、晟不共线，

A选项，不存在ZeR使6+白=尤（4一备），

所以1+4■和可以组成基底.

B选项,不存在义wR使4+2鼻=2（W+2eJ,

所以W+24■和司+石可以组成基底.

C选项，4e；,-鸡=-2（3q-24）,

所以34-和44-6或不能构成基底.

D选项，不存在AeR使&=；（d+ej,

所以可和4+冢可以组成基底.

故选：C

例11.（2024•四川成都・四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知向量《可是平面内

所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（）

A.{涓一4B.{1+£，_34}

C.{4-2e2^-3et+6e?}D.^2e,+3e2,2et-3e2^

【答案】C

【解析】对于A,假设4再共线，则存在2wR,使得4=2（3-司,

因为4,W不共线，所以没有任何一个2eR能使该等式成立,

即假设不成立，也即同，冢"不共线，则能作为基底:

对于B,假设[+£.-坛共线，则存在/IwR,使得。|+弓=2（,-3.）,

2=1

即।无解，所以没有任何一个/IwR能使该等式成立,

即假设不成立，也即4+£3-或不共线，则能作为基底；

对于C,因为一国+6鼻=一3（1-2瑟），所以两向量共线，

不能作为一组基底，C错误；

对于D,假设国+区,2冢-温共线，则存在AwR,

使得2e,+3e2=X（2ey-3可，

2/1=2

即"。无解，所以没有任何一个/iwR能使该等式成立,

-34=3

即假设不成立，也即2[+34质；-34不共线，则能作为基底,

故选:C.

例12.（2024•河北沧州•校考模拟预测）在中诙=（反.前=（（丽+而），点P

为AE与A厂的交点，/=之丽+〃祝，则丸一〃=（）

A.0B.-C.D.-

424

【答案】B

【解析】因为3户=1雨+30,所以尸为AC中点，

B,P,F三点共线,故可设加=攵旃，即Q-而=攵（而-丽），

^^A/i=kAF+(l-k)AB=(l-k)AB+^kAC,

因为颉△反,所以通一通,亚，即荏=1恁+2南,

22233

AP.E三点共线，

n^AP=mAE=m\^AC+^AB]

=—mAC+—tnAB,

33

2m1

——=\f-kf

3,,解得2

所以

mI

—=—kf/〃=一

324

可彳,Q=g丽则4=；,〃=：,之一〃=:.

故选：B

变式16.（2024•全国•模拟预测）如图，在"8（7中，CM=ACBfNC=^AC,其中

0<2<1,若AM与BN相交于点Q,且而=［前，则（）

A.%〃=/+〃B.24〃=义+〃C.54=2+32〃D.32=2+52〃

【答案】C

【解析】由题意得

B0=|/?”=|（陶+4月）=|［端+（I一〃）时=„+（IBC,-网］

=-［x/fiA+（l-//）BCj=-//E4+--j^BA7,

因为。，M,A三点共线，由三点共线可得向量的线性表示中的系数之和为I,

所以3+3与=1，

J31-4

化简整理得54=2+32〃.

故选：C.

变式17.（2024•广东汕头•统考三模）如图，点/）、E分别力C、8c的中点，设A54,

AC=b，产是。E的中点，则"=（）

【答案】C

【解析】因为点。、E分别AC、BC的中点,产是。上的中点,

所以标=而+而」比+」方=-^C+-AB.

2224

—11-

即AF=^H+^b.

故选：C.

变式18.(2024•山西大同•统考模拟预测)在△ABC中，。为8。中点，M为A。中点,

初7=〃LO+〃而，则〃叶〃=()

A.—B.-C.1D.—1

22

【答案】A

【解析】

因为。是3c的中点，所以而=g旃+g/,BD=^BC=^x[AC-AB)=^AC-^AB.

又因为M是A。的中点，

所以，BM=-BA+-BD=--AB+-(AC-AB}=--AB+-AC,

2224、744

_______3j]

=mAB+nAC所以机=一；，〃=：，所以，〃+〃=一三.

442

故选：A.

变式19.(2024•广东•统考模拟预测)古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第

五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六枝

柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率.，体现了动物的智慧，得到世人的认可.

已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则而=()

5―.3―.

B.--CE+-DE

62

2—5―-5—,2―-

C.——CE+-DED.--CE+-DE

3663

【答案】B

【解析】以。为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.

不妨设AO=2,则八（一1，百），3（5,56），力（0,0）,E（9,y/3）,C（0,4月）,

故而=仅,4石），诋=（9,—3万），诙=（9,@.

6=9%+9y

^.AB=xCE+yDE,贝卜

46=—3>/3A+6y

5

x=—

6,

解得3

所以A/j=—己CQ+2OU.

62

故选：B.

变式20.（2024•吉林长春•统考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，M,N分别为

一2一

BC,C。上的点，且丽=函，CN=-CDf连接AM,BN交于P点,若

4户=2PA/，丽=〃而，则2+〃=（）

【答案】C

【解析】在YA8CQ中，取｛砥而｝为平面的基底,

由丽=碇，得而=丽+而w=赤+g而,

由~AD-2PM，得人户=---八府=----AB+-------AD,

山八1一""，付1+21+22(1+2)

___2__________2_____

由西=一。3,知所=配+国=--AB+AD,

33

由丽=〃丽，^BP=^BN=--^AB+-^-Ai5,

1+〃3(1+〃)1+〃

2_3+〃

因此A/；=4*6户=3+〃AB+N-AD,1+A3(1+〃)3

+则，，解得4=3,〃=g,

3(1+〃)1+〃A_//

2(1+犷】+〃

所以2+〃=£.

故选:c

变式21.（2024•湖北黄冈•滞水县第一中学校考模拟预测）如图，在四边形A8C。中,

AB//CD,48=40点E在线段CB上，且CE=2EB,设9=£,而=应则荏=

D.浮^

34

【答案】D

【解析】在梯形人BCQ中，AB//CD,且A3=48,则。6=1八百,

4

因为E在线段C8上，且CE=2EB,则瓶=g而，

______________1_3-

BC=BA+AD+DC=-a+b+—a=b——a,

44

所以，AE=AB+BE=AB+-BC=a+-\h--d\=-d+-b.

33(4J43

故选：D.

变式22.（2024•安徽•校联考二模）如图，在AA3c中，点Z）为线段的中点，点E,

户分别是线段A。上靠近。，八的三等分点，则而=（）

A

—.I—,I—.—,____4—•—.

A.-BE--CFB.-BE-CFC.-BE-CFD.一BE-CF

339

【答案】C

IIJ

【解析】BE=BD+DE=BD--AD,则3Ao=18。-；3£①：

CF=CD+DF=CD--AD,则而=2前—2CF②：

322

3_