第二十二章二次函数(压轴题专练)(原卷版+解析)-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练(人教版)

第二十二章二次函数（压轴题专练）

一、填空题

1.（2023•湖北十堰•统考二模）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若在二次函数

），=/+2;内一〃？（机为常数）的图象上存在两个二倍点3（.,为），且则机的取值范

围是（）

A.m<2B.m<\C.m<0D.m>0

2.12023秋•重庆开州•九年级统考期末）已知两个多项式4=V+x+l，B=X2-X+\，其中戈为任意实数.有

下列结论：

①若4-8>0,则%一定为正数；

②若力・8=0,则满足条件的x的值有4个；

③若切=A-B,则当x=3时，式子（/〃一I）?+{m-2）2+（〃?一3>+…+（/〃-10）2+（〃?_]»取得最小值.

其中正确的结论个数有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

3.（2023・湖北黄冈•统考二模）已知二次函数尸以+c（〃wO）的图像经过（1,0）,下列结论：①若图像对

称轴在y轴左侧，则枇•<（）；②x=2是方程“3-1『+3力二反-c•的一个根；③若图像与x轴的另一个交点在

（4,0）和（5,0）之间，则他十30）（6-3。）>4a<7；④点*（斗乂），B（x2,%）在抛物线J-，若0<c，<a,则当

$<入2<1时，必>%.其中正确结论的序号为（）

A.①③④B.①②C.®@D.①②③

4.（2023・重庆渝中•重庆巴蜀中学校考一模）对于两个正整数mb（a<b）,将这两个数进行如下操作：第一

次操作：计算力与。的差的算术平方根，记作不；第二次操作：计算力与为的差的算术平方根，记作演；

第三次操作：计算与々的差的算术平方根，记作用；……依次类推，若X1=X2=~=X”=4,则下列说法

①当。=3时，6=12；②当6=306时，1=18；

③点2（。力）一定在抛物线y=V+x上；

3331

④当4=1,2,3,…，〃时，对应力的值分别为4，b,“，…，”，若工■一7■一…一丁=；7则〃的值为42：

2b、b、b14

其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（2023•河北沧州・统考模拟预测）如图，抛物线y=+c经过点彳（-1,0）、8（3,0）,则下列结论，正

确的有（）

①若（〃?-2,必）、（〃?,为）在该抛物线上，当必<必时,〃7的取值范围是〃后2@若抛物线与>，轴交于点。（0,-3）,

当时y的最大值与最小值的差为6,则〃的值为1+百或1-后：③平面直角坐标系内，线段MN的

12

端点为也（4,2）,N（7,2）,当抛物线y=ad+云+c与线段MN有交点时，。的取值范围是77W。47；④以

165

AB为直径的圆与x轴下方抛物线有交点，则a的取值范围是“<|.

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.（2023•山东济南•统考一模）若点P（2J与。小匕）分别是两个函数图象G与G上的任一点.^a<x<b

时，有11c乂%£1成立，则称这两个函数在，是"相邻函数”.例如，点尸（4乂）与。（不匕）分

别是两个函数3=3x+1与y=2x-l图象上的任一点，当-34x4-1时,y}-y2=（3x+l）-（2x-l）=x+2,

它在-344-1上，-1£必一为£1成立，因此这两个函数在上是“相邻函数”.若函数y:x2r与

V=在0Wx42上是“相邻函数”，求a的取值范围（）

1113

A.—3WaKlB.-C.a之一D.—4a«一

2222

7.（2023・福建泉州•统考模拟预测）定义：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，则称这

两个函数互为“关联函数”，这对对称的点称为“关联点”.例如：点尸（-3,9）在函数y=V上，点。。,-9）在

函数），=-2x-3上，点，与点。关于原点对称，此时函数），=?和），=-2.r-3互为“关联函数”，点/>与点。则

为一对“关联点”.已知函数歹=/+2x和，=4x+〃-2022互为“关联函数”，则〃不可能是（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

8.（2023・湖北咸宁•统考模拟预测）二次函数旷=口炉+队+。（mh,c是常数，且。声0）的自变量x与函数

值y的部分对应值如下表：

X•••-1012・・・

y・..m22n•••

且当x=,时，对应的函数值

有以下结论:

①加>0；②当xWO时y随x的增大而增大；

③关于x的方程如2+8+。=0有异号两实根的，而且负实数根在-g和0之间；

20

@3m-n<-—；其中正确的结论是（）

A.②③B.③④C.®®®D.①②③④

二、填空题

9.（2023春・广东惠州•九年级校考开学考试）如图，点4、4、4、…、4在抛物线y=x2图象上，点用、

B八易、…、纥在y轴上,若△4综4、△48色、…、△4,4T纥都为等腰直角三角形（点纥是坐标原点）,

则△•^2018^2017^2018的底边长为

10.（2022秋•辽宁鞍山•九年级统考期中）二次函数尸♦+加:+C（",b,。是常数，。>0）（1勺图象与X轴

交于点彳（一1,0）,8（3,0）.下歹IJ说法中：①一元二次方程瓜+c=0的根为』=1，七二一3；②〃>4℃;

③对于”的每一个确定的值，若一元二次方程力x+c=〃（P为常数,p<0）的根为整数，则P的值只

有两个；④若点C（-2j）,。（应，乃）在该二次函数的图象上，则必〉为.正确结论的序号是.

11.（2023・湖南娄底・统考一模）已知点"（工,匕）在二次函数3；=«—2¥+1，其中菁=1,刍=2,……,4=〃，

令4=马+%,4=超+乃，……，4=/+3令为4的个位数字（〃为正整数），则下列说法:①4=30；

,2023

②为+乙+工3+》4=必一为+必一乂+场；③7+7+……+「—=而五；④4一24〃的最小值为一132,此时

〃=11：⑤4+4+……+与旧的个位数字为8.其中正确的是（填序号）.

12.（2023・四川巴中•统考中考真题）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y

函数”.例如：函数V=工+3与y=r+3互为“Y函数”.若函数）=+（左_1卜+%_3的图象与丫轴只有一

4

个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为.

三、解答题

13.（2023・山东・统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线4交y轴于点力（1,0）,。（5,0）,顶点坐

标为E（网㈤.抛物线4交x轴于点5（2,0）0（10,0）,顶点坐标为尸（吗㈤.

（1）连接EF，求线段E厂的长;

（2）点M（-7,4）在抛物线L.上，点N（16,dJ在抛物线右上.比较大小：44；

（3）若点尸（〃+3,工）,。（2〃-1/）在抛物线4上，八＜£,求〃的取值范围.

14.（2023秋•河北邢台•九年级统考期末）如图，抛物线y=-5/+&+4（左为常数）与x轴和N轴的正半

轴分别交于点A和点4.

（1）当4=T时

①求抛物线的对称轴和顶点坐标：

②当-2«工41,求抛物线最大值与最小值的差；

（2）直线/：y=6交y轴于点C,交物物线于点A/、N（M在N的左侧），当时，抛物线的最高点到直

线/的距离为2,请直接写出此时k的值

15.（2022秋・浙江衢州•九年级校联考期中）定义：由两条与％轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛

物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”.

⑴【概念理解】抛物线j，=x=x-2与抛物线J，=2/-2X-4（填“能”或“不能”）围成“月牙线”.

（2）【尝试应用】如图，抛物线G与抛物线G组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线G与抛物线G与x轴有

相同的交点N（点M在点N的左侧），与N轴的交点分别为A,8,抛物线G的解析式为y=!/+x+c,

4

抛物线G的解析式为^=/+4》-12.

①求的长和c的值；

②将抛物线G与抛物线c?所围成的“月牙线”向左或向右平移，平移后的“月牙线”与X轴的交点记为M，乂,

与『轴的交点记为4，4,当44=/%乂时，求平移的方向及相应的距离.

16.（2023•山东日照•统考中考真题）在平面直角坐标系直内内，抛物线y=-a，+5ax+2（a＞0）交），轴于点

C,过点C作x轴的平行线交该抛物线于点

（1）求点。，。的坐标；

（2）当时，如图1,该抛物线与x轴交于/,B两点（点/在点8的左侧），点尸为直线上方抛物线

上一点，将直线P。沿直线4。翻折，交x轴于点M（4,o）,求点尸的坐标；

（3）坐标平面内有两点E\-,a+1V（5,«+1）,以线段EF为边向上作正方形EFGH.

\.aJ

①若。=1,求正方形EFG”的边与抛物线的所有交点坐标；

②当正方形EFG”的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为g时，求。的值.

17.（2022秋•吉林长春•九年级长春外国语学校校考期中）已知函数尸（x-4+〃.

⑴①函数y=（x-〃『+。的顶点坐标为（用含。的代数式表示）

②函数＞＞，-（方-〃）2+々顶点的运动凯迹是,在平面直角坐标系中画出顶点的运动轨迹.

(2)当〃=1时，函数关系式为,在平面直角坐标系中画出此函数的图像;

⑶已知点掰T1),4(2,1),连结48.若抛物线y=(x-4『+a与线段48有且只有一个交点，求〃的取值

范围；

(4)把函数_)，=(》-。『+。(》40)的图像记为6,当G的最低点到x轴距离为1时，直接写出。的值.

18.(2023春•海南省直辖县级单位•八年级义昌中学校考期木)如图，抛物线y=a/+bx+4与x轴交于

力(-2,0),5(4,0)两点,与N轴交于点C.

备用图1备用图2

(1)求抛物线的解析式；

(2)点。是抛物线的顶点，请画出四边形/8QC,并求出四边形,48QC的面积；

(3)点£是抛物线上一动点，设点£的横坐标为«1々＜4),点尸为抛物线对称轴/上一点.若△8£尸是等腰

直角三角形，请直接写出所有满足条件的点上的坐标，并写出其中一种情况的计算过程.

19.（2022秋•江西南昌•九年级南昌市第十九中学校考阶段练习）某数学兴趣小组在探究函数丁=k2-21-3|

的图象和性质时经历以下几个学习过程：

（I）列表（完成以下表格）.

X・・・-3-2-1012345・・・

)\=x2-2x-3・.・1250-3—-30512・・・

2

y=|x-2x-3|・・・1250——————0512・・・

（II）描点并画出函数图象草图（在备用图①中描点并画图）.

二LOL2_3_456Z8工Lkl殳LOL2_14_5_6,7.8x

备用图①备用图②

（III）根据图象解决以下问题：

⑴数学小组探究发现直线尸£与函数”卜2-2x-3］的图象交于点£（-2,5）,F（4,5）,则不等式

3|<5的解集是.

（2）设函数y=W-2x-3|的图象与x轴交于44两点（6位干力的右侧），与y轴交于点C.

①求直线BC的解析式；

②探究应用：将直线4c沿y轴平移个单位长度后与函数2》-3|的图象恰好有3个交点，求此时

m的值.

20.（2023春•广西南宁•九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）如图1,在平面直角坐标系中，直线

4：P=x+l与直线3x=-2相交于点。，点A是直线6上的动点，过点A作"_L4于点8,点C的坐标为

（0,3）,连接AC,BC.设点A的纵坐标为，，△力8c的面积为九

⑴当点8的坐标为时，直接写出,的值；

（2户关于，的函数解析式为s=44'/，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出〃与6

^（f+l）（z-5）,-l</<5

的值；

（3）在《上是否存在点A,使得“8c是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和少出。的面积；若不

存在，请说明理由.

21.（2023秋・山西长治•九年级统考期末）如图I,在平面直角坐标系中，菱形。48。的边可在x轴的负半

轴上，点4在第二象限，点C在第一象限，对角线4c交y轴于点。，线段8c交y轴于点E,抛物线

y=，x2+：x经过点。，A,C.已知点C的坐标为（3,4）,点尸是直线力c上的一点（不与力，C重合）.

66

（1）求点力、。的坐标和直线4c的函数关系式；

（2）当点P在线段4C上时，连接0尸，BD.若△力。尸与△8CO面积相等，求点尸的坐标；

（3）如图2,过点尸作x轴的平行线，交抛物线），=:/+。工于朋，％两点（M在N的左侧）.直线力C上是

否存在点P,使以点£C,P,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点〃的坐标；若不存

在，说明理由.

22.（2023春・湖南长沙•八年级校考期末）年少的岁月里，约定是令人欣喜的！我们不妨约定：关于原点对

称的一对点（不重合）称为〜对“双子星”，图象至少经过一对“双子星”的函数称为“双子星函数”.

⑴若和8（-1，/-2/+1）是一对“双子星”，则$=,/=；

⑵已知关于x的函数y=/—筑―1和），=h+p（其中七〃为常数）

①求出“双子星函数=X2-3X-1图象上所有的“双子星”；

②关于x的函数y=^+P的图象是否存在“双子星”，如果有，指出共有多少对“双子星”，如果没有，请说

明理由；

⑶己知“双子星函数”尸。W+〃x+c（其中为常数，。工0）的图象经过不同的两点?（4-〃?,〃）和。（加,〃）,

（其中m,n为常数）并且满足以下2个条件：①Q+/）+C=1；②当〃时，该函数的最小值为4〃+1,

求二次项系数。的值.

23.（2020秋・广东广州•九年级广州市第十三中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点4的坐标为（-3,-4）,

线段。8绕原点逆时针旋转后与x轴的正半轴重合，点B的对应点为点A.

(1)直接写出点4的坐标，并求出经过4、O、6三点的抛物线的解析式.

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点C,使8C+O。的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说

明理由.

(3)点尸是抛物线上的一个动点，且在x轴的上方，当点P运动到什么位置时，AHA的面积最大？求出此

时点P的坐标和△产力4的最大面积.

24.(2023春・广东梅州•九年级统考期中)如图，抛物线y=-f+2x+6与4轴分别相交于A,5两点(点A

在点4的左侧)，。是月5的中点，平行四边形。。石产的顶点。，上均在抛物线上.

(1)直接写出点C的坐标；

(2)如图(1),若点。的横坐标是-2,点E在第二象限，平行四边形COE厂的面积是13,

①求直线C。的解析式；

②求点F的坐标；

(3)如图(2),若点尸在抛物线上,连接。/，求证：直线。尸过一定点.

25.(2023春・吉林长春•九年级吉林省第二实验学校校考阶段练习)在平面直角坐标系中，抛物线

y=x2+bx+c(Ac为常数)经过点4(3,0)1(0,-3).点尸在该弛物线上，点尸的横坐标为〃?，点。的坐标

1、

是一帆+1，3机-2,以尸。为对角线构造矩形PMQN.使得尸M_Ly轴.

(1)求该抛物线所对应的函数表达式.

(2)当抛物线在力、尸之间的部分〔包括力、P两点)的最高点与最低点的纵坐标差为5时，求点尸的坐标.

(3)当点“在矩形P/QV的内部时，求机的取值范围.

(4)当点P在x轴下方时，设抛物线在矩形内部(包括边界)的图象的最忘点与最低点的纵坐标的差

为P.点。到抛物线对称轴的距离为夕，当p=时，直接写出用的值.

26.(2023春・广西•八年级南宁十四中校考期末)如图1,抛物线y=ad+x+c与x轴交于力(-2,0),8(4,0)

(2)点P是直线8。上方抛物线上的一个动点，使APBC的面积等于小8C面积的;求点P的坐标：

(3)过点C作直线/〃x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线/翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一

个新图象(如图2),请你结合新图象解答：当直线y=-/x+d与新图象只有一个公共点。(见〃)，且〃2-8

时，求"的取值范围.

27.(2023春・湖南长沙•八年级校联考期末)如图1,抛物线j=qY+Ox+S交x轴于点力(3,0)和点3(—1,0),

图1图2

(1)求抛物线的表达式；

(2)若点。是直线力。上方抛物线二一动点，连接8C,AD^IBD,8。交4C于点设△4DM的面积为S，

△8CM的面积为S2,当S「S?=1时，求点。的坐标;

⑶如图2,若点尸是抛物线上一动点，过点尸作尸。轴交直线/C于。点，请问在y轴上是否存在点E,

使以P,0,E,C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点E的坐标：若不存在，请说明理由

28.（2023•浙江杭州•杭州市公益中学校考三模）已知抛物线必相，〃是实数,。工0）与x

轴交于A,6两点.

⑴若。=1,且A,8两点的坐标分别为（L0）,（-2,0）,求函数凹的表达式及其图象的顶点坐标；

（2）函数乂的图象与x轴只有一个交点，经过点（m-2j）,（4-w,/）,求阳的值；

（3）若抛物线乂过点（1,〃），（6,1），a<Q,P>q,求证〃?+〃<7.

29.（2023•河北张家口•统考三模）将小球（看作一点）以速度匕竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐减少直

至为（），此时小球达到最大高度，小球相对于抛出点的高度N（m）与时间/（s）的函数解析式为两部分之和，

其中一部分为速度W（m/s）与时间f（s）的积，另一部分与时间，s）的平方成正比.若上升的初始速度

（1）求小球上升的高度N与时间，的函数关系式（不必写范围），并写出小球上升的最大高度；

（2）如图，平面直角坐标系中，轴表示小球相对于抛出点的高度，x轴表示小球距抛出点的水平距离，向上

抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度匕（m/s）,发现小球运动的路线为一抛物线，其相对于推出点

的高度，（m）与时间«s）的函数解析式与（1）中的解析式相同.

①若匕=5m/s,当/=|s时，小球的坐标为，小球上升的最高点坐标为；求小球上升的

高度>与小球距抛出点的水平距离x之间的函数关系式；

②在小球的正前方的墙上有一高京的小窗户如，其上沿尸的坐标为（吟）若小球恰好能从窗户中穿

过（不包括恰好击中点尸,。，墙厚度不计），请直接写出小球的水平速度岭的取值范围.

30.（2023春・广东梅州•九年级校考开学考试）如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=与x轴

(1)求抛物线的函数解析式.

(2)点P为直线4C下方抛物线上一动点，过点P作夕产_L/C交4。于点凡过点P作PE〃4C交x轴于点

E,求+的最大值及此时点尸的坐标.

(3)在(2)问的条件下，将抛物线y=〃/+/>-3沿射线方向平移后个单位长度得到新抛物线V，新抛

物线V与原抛物线交于点M；连接CP,把线段b沿直线4c平移，记平移后的线段为。'户'，当以C'、P，、

M为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的〃点的坐标.

31.(2023•江西新余•统考一模)定义：在平面直角坐标系中，抛物线、=〃/+瓜+。(。=0)与了轴的交点坐

标为(0,c),那么我们把经过点(0,c)且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线.

【特例感知】

(I)抛物线y=W+2x+l的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为.

【深入探究】

⑵经过点力(-2,0)和8(、,0)(4>-2)的抛物线歹+与歹轴交于点C,它的极限分割线与该抛

物线另一个交点为Q,请用含〃?的代数式表示点。的坐标.

【拓展运用】

⑶在(2)的条件卜，设抛物线)，=-1./+5小+〃的顶点为P,直线E尸垂直平分OC,垂足为£,交该抛

物线的对称轴于点少.

①当/=45。时，求点P的坐标.

②若直线EF与宜线MN关「极限分割线对称，是否存在使点P到直线MN的距离与点B到直线EF的距离

相等的用的值？若存在，直接写四机的值；若不存在，请说明理由.

32.(2023春・湖北武汉•九年级校考期中)如图,抛物线y=a/+c与x轴于48两点，交y轴于点C,/(-1,()).

(1)直线^=底+有过C两点，

①加图1,求抛物线的解析式；

②如图I,将直线力。向右平移，.4的对应点为&且8M=24C,以8W为一边作等腰三角形氏WV,求N

的坐标；

(2)如图2,M为抛物线第一•象限上任意一点，直线4M交y轴于点“，若+OG)=1,求a的值.

33.(2023•湖北武汉•校考模拟预测)如图1,一段高架桥的两墙48由抛物线一部分/C8连接，为确保安

全，在抛物线一部分/。内修建了一个菱形支架。QC£,抛物线的最高点。到的距离。。=4米，

/。。。=60。，点。，E在抛物线一部分4C3上，以月8所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平

面直角坐标系xOy,确定一个单位长度为1米.

(1)求此抛物线对应的函数表达式.

(2)如图2,现在将菱形OQCE做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形MNP。广告牌，设边EP长度为m

米，试求内接矩形"NP。的面积S.(用含用的式子表示)；

(3)若已知矩形MNP。广告牌的价格为80元/米2,广告牌其余部分的价格为160元/米2,试求完成菱形广告

牌所需的最低费用.

34.(2023・湖南长沙•校考二模)若三个非零实数x，乂z中有一个数的平方等于另外两个数的枳，则称三个实

数ij，z三构成“雅境三元数”.

⑴实数-2,1,4可以构成“雅境三元数”吗？请说明理由；

(2)若M/。，%)，%)，%(1+1，%)三点均在函数丁=履(〃为常数且攵工0)的图象上且这三点

的纵坐标必,为，必构成“雅境三元数”,求实数，的值；

(3)设非负实数x,,马，士是“雅境三元数”且满足x,＜x3＜x2,其中不々是关于x的一元二次方程+心+〃=0

的两个根，若过点4(七,0)的二次函数y=aP+6+c同时满足以下两个条件：①4o-2b+c=0；②当

《。十1时，函数V的最小值等于4a.求二次函数解析式.

35.(2023•浙江杭州•统考二模)在平面直角坐标系中，设二次函数y=F—2ax+l(a是常数).

(I)当a=2时，求函数图象的顶点坐标和对称轴.

⑵若函数图象经过点(1，P),(7,q),求证：〃夕44.

(3)已知函数图象经过点4-3,乂),8(4+1,%),点以如为),若对于任意的4金〃46都满足乂,%〉为，

求〃的取值范围.

【答案】⑴顶点坐标(2,-3),对称轴为直线“2

⑵见解析

3

(3)5＜。＜3或。＞7

36.(2023•湖北武汉・统考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线歹="，-%丫-%

与“轴交于点力、8两点(点月在点8的左侧)，与V轴交于点C,且0C=08.

⑴直接写出。的值：

(2)如图1,点。为第一象限的抛物线上一点，且满足=44cO,求点。的坐标；

(3)如图2,点。为第四象限的抛物线上一点，直线80交V轴于点M,过点8作直线N8〃力。，交N轴于点

N,当。点运动时，线段A/N的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围.

37.(2023•山东青岛•统考二模)如图1,在菱形力8。。中，AC、BD交于点、E,8。=16厘米，点尸在CE上,

EF=3匣米.点、P、。分别从力、E两点同时出发，点P以k厘米/秒的速度沿力E向点七匀速运动，用时8

秒到达点反点。以〃，厘米/秒的速度沿£8向点E匀速运动，设运动的时间为x秒(04xK8),△石尸。的面

枳为必平方厘米，的面积为乃平方厘米.

2

I

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-4-3-2-10

（1）图2中的线段OH是必与x的函数图象，则必与x的函数关系式为，机的值为;

（2）图2中的抛物线是8与x的函数图象，其顶点坐标是（412）,求点P的速度及对角线4C的长；

（3）在图2中，点6是X轴正半轴上一点（0<OG<6,过G作4W垂直于x轴，分别交抛物线和线段。〃于

点M、N.

①直接写出线段的长在图1中所表示的意义；

②当0cx<6时，求线段A/N长的最大值.

38.（2023•河北邯郸•校考模拟预测）如图是一动画的设计示意图，水面（x轴）上小山的最高点为人山后

由48,BC,C。三部分组成，其中力（3,6）,8（4,2）,。（5,2）,。（9,0）；水面下有两点（-2,-2）,N（O,-2）,从

平台M/V上的点E（不与点M,N重合）向右上沿£：歹=-/+版+。+1发射带光的点尸（水的影响忽略不

⑴若£上最高点的纵坐标为9,

①求L的解析式并求此时机的值；

②判断点P能否越过点力?并说明理由.

（2）一个7形架：尸G〃x轴（FG在上方），，为尸G的中点，点K在上（不与端点重合）,

KH1FGi/77="G=，K=l设点K到x轴的距禽为〃，若L的对称轴为直线x=3,点P不能落在尸G上，

直接写出〃的取值范围.

39.(2023•广西南宁•统考二模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线歹=3与x轴交于点4B

(点力在点3的左侧)，与y轴交于点C,且08=304=3.

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)若点例是线段6c下力抛物线上的一个动点(不与点从点C,重合)，过点仞作直线M2_Lx轴于点/)

交线段8。于点N.是否存在点M使得线段MN的长度最大，若存在，求线段MN长度的最大值，若不存在,

请说明理由；

(3)当二次函数2=。/+/_3的自变量工满足心工3+1时，此函数的最大值与最小值的差为2,求出，的值.

40.(2023•河北石家庄•校考一模)如图，已知抛物线/：歹二-x(x-3)+〃与x轴交于4B两点(点A在点B

的左侧)，与)，轴交F点A/.

(1)若该抛物线过点。6)

①求该抛物线的表达式，并求出火时力、8两点坐标；

②将该抛物线进行平移，平移后的抛物线对应的函数为卜二-武戈-3)+6,4点的对应点为4,求点H移动

的最短距离；

⑵点M关于/：J=r(x-3)+〃的对称轴的对称点坐标为(用含〃的代数式表示)；

(3)冷抛物线/：尸T(X-3)+〃上04x43的--段图像记作C,若C与直线y=1+2有唯一公共点，直接写出

〃的取值范围

第二十二章二次函数（压轴题专练）

一、填空题

1.（2023•湖北十堰•统考二模）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若在二次函数

），=/+力内一〃？（机为常数）的图象上存在两个二倍点V（.,为），且则〃?的取值范

围是（）

A.m<2B.m<\C.m<0D.m>0

【答案】B

【分析】根据题意得出纵坐标是横坐标的2倍总在直线y=2x上，x「々是方程/+2尔-〃?=2》的两个解,

根据根与系数的关系得出玉+占=2-2加，根据根的判别式得出△=（2〃?-2）2+4〃00,根据

40?।3>0,得出/〃取任意熨数时，△》（）总成立，根据玉<1<当，得出玉一1<0,x2-l>0,叩

（X-1）（毛T）<0,得出--（2-2〃?）+1<0,求出用的值即可.

【详解】解：•・•纵坐标是横坐标的2倍总在直线y=2x上，

点M（x,，必），N（x2,y2）一定在直线y=2x上，

又；点必），"（9,出）在二次函数丁=.一+为优一加（切为常数）的图象上，

.•・々、々是方程/+2"优一〃?=2工的两个解，

BPx2+（2/w-2）x-/»=0,

/.x}+x2=2-2m,x]-x2=-m,

A=（2w-2）"+4m>0,

（ir

,:（2m-2）"+4m=4〃/一Arn+4=4（〃J—川）+4=4tn——+3，

I2j

1\2

又「m——NO,

2J

+3>0,

・•・〃?取任意实数M，△>（）总成立,

■:X)<1<x2,

-1<0,x2-1>0,

艮f]x}x2-(X]+x2)+l<0,

:.-m-(2-2m)+\<0,

解得：故B正确.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，

解题的关键是根据题意得出事、々是方程丁+2g—=的两个解，且(毛-1)(."1)<0.

2.12023秋・重庆开州・九年级统考期末)已知两个多项式4=/+x+l，8=/-x+l,其中戈为任意实数.有

下列结论：

①若4一8>0,则%一定为正数；

②若4•8=0,则满足条件的x的值有4个；

③若m=A-B,则当x=3时，式子(用一+(w-2)2+(〃?—3>+…+(m—1(J)?+(〃?-11)2取得最小值.

其中正确的结论个数有()

A.。个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】可求4-8=2x,①即可求解；由4可求卜2+1+。卜2一1+])=0,②即可求解；设

y=(m-1)2+(w-2)2+•••+(w-10)2+(m-ll)2,可得y=11〃/一132〃?+506,从而可得y=44〃/-264x+506,

③即可求解.

【详解】解：‘•‘力=犬+%+l,=X2-X+1，

A—B=2x,

/.BP2x>0,

A>0,

二•①正确；

力心=0即(Y+x+l)(x2-x+l)=O,

V+x+i=o或/_工+[=0都无实角军,

・.・/8=0无实数根,

，②错；

设y=("「if+(m-2)2+•••+(/??-10)2+(w-lI)2,

整理得：^=11W2+(-2-4------20-22)w+(l+4+---+100+121)

=11m,-132〃？+506，

m=A-B=2x,

j=44/n2-264.r+506,

•/44>0,

一264

・・・当X=—£^=3,y取得最小值，

2x44

即：式子(〃?-1)~+(W—2)~+—3)2+…+(〃?-10)~+。〃-11)~取得最小值.

・•.③正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了一元一次不等式，判断一元二次方程根的个数，二次函数的最值，掌握判断方法

及最值求法是解题的关键.

3.(2023・湖北黄冈•统考二模)已知二次函数产尔+队+44工0)的图像经过(1,0),下列结论：①若图像对

称轴在y轴左侧，贝九c<0；②x=2是方程“3-4+3人加-c的一个根；③若图像与x轴的另一个交点在

(4,0)和(5,0)之间，则(6+34)(b-3q)>44c；④点4卜乂)，B(x2,必)在抛物线上，若0<c<〃，则当

王</<1时，其中正确结论的序号为()

A.①③④B.①②C.@@D.①②③

【答案】D

【分析】根据抛物线的对称轴计算公式可判断①，根据二次函数与x轴的交点判断一元二次方程的解，继而

判断②，根据图像与x轴的另一个交点在(4,0)和(5,0)之间，可得抛物线与

4轴的交点之间的距离大于3,利用韦达定理得到。力4之间的关系，继而判断③，根据0<。<，可得抛物线

开口向上且与N轴交「上半轴，利用二次函数的性质，即可判断④，继而得到答案.

【详解】解：•••二次函数产♦+似+4。/0)的图像经过(1,0),

:.0=a+b+c,

若图像对称轴在y轴左侧，则，力>0,故同号,

•••凡。异号，

.\ac<0,故①正确；

根据a(3-x)2+3/>=/xr-c可得a(3-x)~+/?(3-x)+c=0,

一+〃x+c=o有一个根为1=1,

...当3-x=l时，a(3-x/+〃(3—x)+c=0成立，

x=2是方程a(3-x1+3〃=bx-c的一个根，故②正确；

若图像与x轴的另一个交点在(4,0)和(5,0)之间，则归一司>3,

•••|x,--r2|==J（X|+X）2y中2

>!b2-4ac_

可得-4ac>9a2，

变形可得(b+3a)仅-3〃)>4ac,故③正确;

若o<c<。，则抛物线开口向上且与y轴交于上半釉，

--—<1,

2a

，•0=a+b+c,

.,・对称轴为》=与£<1,

2a

.•.毛<工2<1时，乂,外的大小关系无法确定，故④错误；

故选：C.

【点睛】本题考杳了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，韦达定理，熟练运用韦达定理是

解题的关键.

4.(2023・重庆渝中•重庆巴蜀中学校考一模)对于两个正整数小b(a<b),将这两个数进行如下操作：第一

次操作：计算b与。的差的算术平方根，记作阳；第二次操作：计算力与花的差的算术平方根，记作演；

第三次操作：计算b与々的差的算术平方根，记作天；……依次类推，若*=K21・・二乙=。，则下列说法

①当，7=3时，6=12；②当力=306时，a=18；

③点P(a,6)一定在抛物线y=Y+x上；

3331

④当a=l,2,3,…，〃时，对应力的值分别为乙，b2,仄，…，"，若［一7"一…一7=77则〃的值为42：

nxILb•/14

其中正确的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据题意，首先找出。，/)之间的关系式，然后逐个分析找出规律，即可得解.

【详解】由题意得，玉=\lb-a,x,=1b-X［=>/b-xTb^ci且

2

xy=x2=afa+a=b,

则当。=3时，力=12,

・••①正确.

当方=306时,4=17或。=一18,

•••②错误.

将P的碓标代入抛物线得b=a+a\

・••式子成立，③正确.

当。=1时力=2.

当。=2时,b=6.

当“=3时,6=12.

当“=〃时,=〃2+,j

33333

126129+1)42

.11

"2"6\2〃(〃+1］石，

11I

•/------=-------

/;(/?+1)nn+\'

2U3jn+\)42

11

■7+I-42?

/.//=41.

，④错误.

故选：B.

【点睛】本题考查了规律性探索问题，解题时需要分析题意，学会转化，灵活变形.

5.（2023•河北沧州•统考模拟预测）如图，抛物线ynoV+bx+c经过点/（-1,0）、*3,0）,则下列结论，正

确的有（）

①若（〃?-2,必）、（孙乃）在该抛物线上，当乂＜为时,〃7的取值范围是〃栏2您若抛物线与^轴交于点。（0,-3）,

当时y的最大值与最小值的差为6,则〃的值为1+百或③平面直角坐标系内，线段MN的

I7

端点为M（4、2）.Ng）.当抛物线y=ad+h+「•与线段MV有交点时.〃的取值范围是白④以

165

AB为直径的圆与x轴下方抛物线有交点，则a的取值范围是。.

【答案】A

【分析】运用抛物线的解析式，抛物线的图象性质，一元二次方程的求解，点与圆的位置关系求解.

【详解】•・•抛物线上点力（-1,（））、*3,0）关于对称轴对称，

・•・抛物线对称轴为直线x=l,

;抛物线开口向上，

・••当时，y随x的增大而增大，当x＜l时，y随x的增大而减小，

当阳-221,即加23时，（m-2,%）、（/〃,.%）,两点在对称轴上或右侧，乂＜为恒成。:；

当阳一2＜1且〃？2/即1工机＜3时，若必〈为，则初一1＞1-（初一2）,解得出＞2,

即2＜m＜3；

当阳＜1时，（机-2,必）、（〃?,月）两点均位于对称轴左侧，乂＞y2；

所以当机＞2时，＜y2；

故①错误；

设抛物线解析式为y=a（x+D（x-3）,把（0,-3）代入可得。=1,

••・抛物线的解析式为y=V--3,

当1工〃44时，X=4时》有最大值为5,%=〃时)，有最小值为〃、2〃-3,

•・？的最大值与最小值的差为6,

，5-(〃"-2〃-3)=6,解得〃=1+e或〃=]-百(舍去)；

当-2工〃<1时，x=4时y有最大值为5,当x=l时y有最小值为-4,不符合题意；

当”-2时，当X=〃时y有最大值为〃2—2〃-3,当x=l时)，有最小值为-4,

•・？的最大值与最小值的差为6,

・・・/-2〃-3-(-4)=6,解得〃=1+及或〃=1-巫，均不满足非<-2,故不符合题意；故②错误；

/、/人、、,[a-b+c=O[b=-2a

把/(T。)、%。)代入尸八区+c,得日……二。’解得1-3/

y=cix2