第54讲、空间向量及其应用（学生版）2025高考数学一轮复习讲第54讲、空间向量及其应用（学生版）2025高考数学一轮复习讲义

第54讲空间向量及其应用

知识梳理

知识点一：空间向量及其加减运算

(1)空间向量

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或

模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量工的起点是

A,终点是8,则向量)也可以记作而，其模记为忖或|通.

(2)零向量与单位向量

规定长度为0的向量叫做零向量，记作。.当有向线段的起点A与终点8重合时，

A月=6.

模为I的向量称为单位向量.

(3)相等向量与相反向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向

量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面.，成为同一平面内的两个问

量.

与向量Z长度相等向方向相反的向量，称为Z的相反向量，记为-2.

(4)空间向量的加法和减法运算

®OC=OA+OB=a+btBA=OA-OB=a-b.如图所示.

②空间向量的加法运算满足交换律及结合律

a+b=b+a,(a+〃)+c=a+(/?+c)

知识点二：空间向量的数乘运算

(1)数乘运算

实数％与空间向量％的乘积义3称为向量的数乘运算.当2>0时，义3与向量方向相

同；当2<o时，向量2。与向量。方向相反.尤方的长度是。的长度的|川倍.

(2)空间向量的数乘运算满足分配律及结合律

(3)共线向量与平行向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量

或平行向量,■平行于〃，记作£11b.

(4)共线向量定理

对空间中任意两个向量囚伍=0),2/应的充要条件是存在实数力,使2=加

(5)直线的方向向量

如图8-153所示，/为经过已知点A且平行于已知非零向量Z的直线.对空间任意一点

O,点P在直线/上的充要条件是存在实数，，使/=砺+而①，其中向量£叫做直线/

的方向向量，在/上取A"九则式①可化为

OP=OA+tAB=OA+t[OB-OA^=(\-t)OA+tOB®

①和②都称为空间直线的向审:表达式，当，=L,即点尸是线段转的中点时，

2

O户=3(。河+。夕)，此式叫做线段的中点公式.

(6)共面向量

如图8-154所示，已知平面a与向量九作次=3,如果直线QA平行于平面。或在平

面a内，则说明向量。平行于平面a.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

O-----------------------

(7)共面向量定理

如果两个向量。，/；不共线，那么向量方与向最。，〃共面的充要条件是存在唯一的有

序实数对（X,y）,使万=xa+yb.

推论：①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对",），），使

A户=x4百+）/；或对空间任意一点0,有。户一。4=X4月+叶仁，该式称为空间平面

ABC的向量表达式.

②已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,满足向量关系式

OP=xOA+yOB+zOC（其中x+），+z=l）的点P与点A,B,C共面；反之也成立.

知识点三：空间向量的数量积运算

（I）两向量夹角

已知两个非零向量九b,在空间任取一点。，作。Z=a,OB=b,则NAO3叫做向

量。，B的夹角，记作通常规定w/r,如果（♦,〃）=/,那么向量”，B互

相垂直,记作Z1B.

（2）数量积定义

已知两个非零向最a,b,则HWcos（£,/“叫做a,8的数量枳，记作。•5,即

］邓|cos（G,/；）.零向量与任何向量的数量积为0,特别地，a-a-1«|.

（3）空间向量的数量积满足的运算律：

义（£万），a-b=ba（交换律）；

。・仅+c）=a•方+ac（分配律）.

知识点四：空间向量的坐标运算及应用

（1）设〃=（%,，2，%），〃=（4也,4），则4+万=（q+4,生+%，。3+4）：

a-b=（at-b^a2-b2.ay-b3）；

Act=（皿,A%，4仆）；

ab=aih}+a2h2+%仇；

a/!b（bw0）=4=也,％=犯吗=；

a±b=>afy+a2b2+4也=0.

若aA-b,即a•〃=0,PPJal.b.

②直线与平面的位置关系：直线/的方向向量为平面。的法向量为月」_La.

若不〃而，即4=2〃，则/_1_。；

若Z_LA,即a•〃=(),则。〃a.

(3)平面与平面的位置关系

平面a的法向量为力,平面£的法向号为出.

若用〃叫，即用=4%，则a〃/:若％_L叫，即％•%=(),则a_L〃.

知识点六：空间角公式.

(1)异面直线所成角公式：设Z,加分别为异面直线4，4上的方向向量，0为异面

直线所成角的大小，则COS0=cos(a,b).

(2)线面角公式：设/为平面a的斜线，［为/的方向向量，方为平面。的法向量，0

为

/与。所成角的大小，则sin9=cos/«,n\|=Lpr.

HU

(3)二面角公式：

设《，公分别为平面a,/的法向量，二面角的大小为〃，则6=(晨或

(需要根据具体情况判断相等或互补)，其中IcosOkg^.

知识点七：空间中的距离

求解空间中的距离

（1）异面直线间的距离•：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量

的正射影性质直接计算.

如图，设两条异面直线4,。的公垂线的方向向量为力，这时分别在〃，力上任取A,B

两点，则向量在为上的正射影长就是两条异面直线。，匕的距离.则d=|而.二|=空型

1〃11〃1

即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量

枳的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.

（2）点到平面的距离

A为平面a外一点（如图），“为平面a的法向量,过A作平面.a的斜线AB及垂线AH.

---.—.—.—.IAB-nIIAB•nI

\AH|=|AB\sinO=\AB\-\cos<AB,n>\=\AB\\.,=",,1

网同w

,\ABn\

d=：——

l〃l

【解题方法总结】

用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直

的问题，也可以求空间角和距离.因此，凡涉及L述类型的问题，都可以考虑利用向量法求

解，且其解法一般都比较简单.

用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些

点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除

要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基

底，如常选择几何体上共点而不共面的三条梭所在的向量为基底），然后将有关向量用基底

向量表示，并进行向量运算.

必考题型全归纳

题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算

例L（2024•全国-高三专题练习）下列命题中是假命题的是（）

A.任意向量与它的相反向量不相等

B.和平面向是类似，任意两个空间向量都不能比较大小

c.如果同=o,则。=0

D.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

例2.（2024•全国•高三对口高考）如图所示，在平行六面体ABCQ-ABCR中，M为

AG与用R的交点，若牖=£,AD=b^AAi=c,则丽■=（）

I-1r-

B.-a+-b+c

22

D.——a-^—h+c

22

例3.（2024•福建福州・福建省福州第一中学校考三模）在三棱锥P-A/3C中，点。为

△ABC的重心，点。，E,产分别为侧棱必,PB,PC的中点，若不=而，/;=CS，

则。户=（）

变式1.（2024•高三课时练习）如图.空间四边形OA8C中，OA=a,OB=h,OC=c,点M

在。4上，且满足87=2两，点N为的中点，则丽=（）

o

[-211-

A.—a——b+—c

232

_1-1r]一

C.—a+—b——c

222

变式2.（2024•湖南长沙•高三校联考期中）如图，M在四面体OA8c的棱8C的中点,

点N在线段OM匕且设E=丽=儿瓦=>则下列向量与丽相等

的向量是（）

-1T1-

A.-a+-b+-cB.a+-b+-c

3333

--IT1-

C.-a+—b+—cD.a+—b+—c

6666

变式3.（2024•全国•高三专题练习）如图，在四面体O-加圮•中，Q是aABC的重心,

G是OG上的一点，且OG=2GG，若砺=工西+），砺+z南，则（x,y,z）为（）

A.(；，*)o（222

B.行,可§）

222

C.(―g)「，222、

D-（靖.）

变式4.（2024•全国•高三专题练习）已知在空间单位正交基底下，｛）,反耳是空间的一组

单位正交基底，,+碗-瓦可是空间的另一组基底.若向量力在基底｛痴,2｝下的坐标为

（4,2,3）,则向量方在基底｛%+££-瓦2｝下的坐标为（）

A.（4,0,3）B.（1,2,3）C.（3,1,3）D.（2,1,3）

【解题方法总结】

空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可

以类比平面向量的运算法则.

题型二：空间共线向量定理的应用

例4.（2024•全国•高三专题练习）若空间中任意四点O,4,B,。满足

OP=mOA+nOB^其中加+〃=1,则（）

A.P^ABB.P^AB

C.点P可能在直线AB上D.以上都不对

例5.（2024•全国•高三专题练习）已知1=（2,-3,1）,则下列向量中与〉平行的是（）

A.（1,1,1）B.（-4,6,-2）C.（2,-3,-1）D.（-2,-3,1）

例6.（2024•全国•高三专题练习）向量，，耳分别是直线4，〃的方向向量，且

a=（1,3,5）,Z?=（x,>\2）,若4〃4，则（）

13

A.x=-,y=-B.x=3,y=15

「26c315

C.x=-y=-D.x=-,y=—

JtJ4

变式5.（2024•全国•高三专题练习）若点42,—5,7）,8（—,。（加+3,-3,咫在

同一条直线上，则加-〃=（）

A.21B.4C.-4D.10

变式6.（2024•全国•高三专题练习）己知Z=（2x,1,3）,日=（1,3,9）,如果Z与否为

共线向量，则工二（）

A.IB.；C.—D.—

-36

变式7.（2024•浙江•高三专题练习）若A（m+L8（2〃］，〃，〃?-2〃）、

。（6+3,〃—3,9）三点共线，则〃什〃=（）.

A.0

B.1

C.2

D.3

【解题方法总结】

空间共线向量定理:2〃砸叫=2=4.

利用此定理可解决立体几何中的平行问题.

题型三：空间向量的数量积运算

例7.（多选题）（2024•全国•高三专题练习）已知向量。=（□/），6=（-1,0,2）,则下列

正确的是（）

A.5+/；=（0,1,3）B.|司=石C.alb2

D.（a,b）=—

4

例8.（多选题）（2024•黑龙江哈尔滨•高三哈尔滨七十三中校考期中）如图，在平行六

面体ABCO-A耳中，其中以顶点A为端点的三条梭长均为6,且彼此夹角都是60°,

下列说法中不正确的是（）

C.向量8仁与夹角是60。

D.向量西与正所成角的余弦值为理

3

例9.（多选题）（2024•全国•高三专题练习）四面体A8C。中，ABLBD,CD±BD,

AB=3,BD=2,CD=4,平面ABD与平面BCO的夹角为则AC的值可能为（

A.V17B.V23C.5/35D.历

变式8.（多选题）（2024•校考模拟预测）在平行六面体48CO-AMG。中，已知

AB=AD=AAy=\,AB=Z.\AD=ZBAD=60°,则（）

B.线段A。的长度为G

C.直线AC与所成的角为90。

D.直线AC与平面A8CO所成角的正弦值为巫

3

变式9.（多选题）（2024•全国•高三专题练习）空间直角坐标系中，已知0（（）,（）,（））,

OA=（-l,2J）,OB=（-U2,-I）,DC=（2,3,-l）,则（）

A.网=2

B.是等腰直用三角形

c.与次平行的单位向量的坐标为?,-乎,-手］或,半,手

636J636J

D.方在瓦方向上的投影向量的坐标为（-qWil

变式10.（多选题）（2024•全国-高三专题练习）已知空间向量0二（2,-1,3）,

6=（T2,X）,下列说法正确的是（）

A.若G_l_B,则x=5

B.若3日+）=（2,-1,10）,则x=l

C.若方在5上的投影向量为g方，则x=4

（101

D.若4与万夹角为锐角，则xe彳,+8

XZ

变式11.（2024•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考模拟预测）如图，平行六面体

A8CO-ABCA中，AD=BD=AAi=1,ADJ.BD,/4人8=45°,Z/\40=60°,则线

段AR的长为.

变式12.（2024♦全国•高二专题练习）已知空间向量@=（1,1,0）,^=（-1,0,2）,则日本石

方向上的投影向量为.

变式13.（2024•全国-高三专题练习）已知MN是棱长为2的正方体ABC。-%及CQ内

切球的一条直径，则与？.就=.

变式14.（2024•全国•高三对口高考）已知向量）=。23）,5=（-2,—4,一6）洞=而\若

（a十万）Y=7,则.

变式15.（2024•上海•高三专题练习）已知空间向量,=（123）,5=（2,-2,0）,

c=（l,l,A）,若<_L（2l+b）,则见=.

变式16.（2024•上海•高三专题练习）已知向量£=（0J0）,向量〃=（1J0）,则£与石的

夹角的大小为.

【解题方法总结】

ab=闻@cos（a©=x^x2+yy2+z（z2；

求模长时，可根据==收++z：；

求空间向量夹角时，可先求其余弦值COSG，9=M.要判断空间两向量垂直时，可以

求两向量的数量积是否为0，^a-b=0<^a±b.

G，力为锐角=7/；>0；R4为钝角n£4<0.由此,通常通过计算的值来判断

两向量夹角是锐角还是钝角.

题型四：证明三点共线

例10.（2024•全国•百三专题练习）在四面体QWC中，点M,N分别为。人、BC的中

点，^OG=^OA+xOB^yOC,且G、M、N三点共线，则%+），=.

例11.（2024・全国-裔三专题练习）已知点4（1,2,3）,«（0,I,2）,C（-1,0,

人），若4,B,C三点共线，则4=_.

例12.（2024•全国•高三专题练习）如图，在平行六面体/WCO-AMG。中，

⑴求证：A、E、E三点共线；

⑵若点G是平行四边形的中心，求证：。、尸、G三点共线.

变式17.（2024•全国-高三专题练习）在长方体A4C7）-A修GR中，M为DR的中点,

N在AC上，且4V:NC=2:1,£为3M的中点.求证：A，E,N三点共线.

【解题方法总结】

先构造共起点的向量4月，AC,然后证明存在非零实数几，使得丽=4配.

题型五：证明多点共面的方法

例13.（2024•全国-高三专题练习）下面关于空间向最的说法正确的是（）

A.若向量2,万平行，则Z力所在直线平行

B.若向量所在直线是异面直线，则不共面

C.若4,B,C,。四点不共面，则向量八乩亦不共面

D.若A,B,C,。四点不共面，则向量八百，AC,而不共面

例14.（2024•江苏常州・高三校考阶段练习）以下四组向量在同一平面的是（）

A.（1,1,0）、（0,1,1）、（1.0.1）B.（3,0,0）、（1,1,2）、（2,2,4）

C.（123）、（1,3,2）、（2,3,1）D.（1,0,0）,（0,0,2）、（0,3,0）

例15.（2024•全国•高三对口高考）已知乙=（2,-1,3）石=（-1,4,-2）,d=（7,5,4）,若

a,£2三向量共面，则义等于（）

62「^64h65

A.—B.9C.—D.—

777

变式18.（2024•江西-校联考二模）在四棱锥P-A5C。中，棱长为2的侧棱垂直底

面边长为2的正方形人3c。，例为棱的中点，过直线3M的平面。分别与侧棱上4、

PC相交于点E、F,当在：二所时，截面ME8尸的面积为（）

A.2&B.2C.3百D.3

一3—.1一__

变式19.（2024•全国-高三专题练习）。为空间任意一点，若。P=JA+W。—

若AB,GP四点共面，则/=（）

B.；

A.ID，7

变式20.（2024•全国-高三专题练习）已知空间A、B、C、。四点共面，且其中任意

三点均不共线，设P为空间中任意一点,若7〃5=5M—4P*+/l正，则丸=()

A.2B.-2C.1D.-1

变式21.（2024•广东广州•高三执信中学校考阶段练习）如图所示的木质正四棱锥模型

PF3PFI

P-ABCD,过点A作一个平面分别交夕区PC,P。于点E,F,G,若三=：，£=；，则

PR5PC.2

ZPG的值为（）

变式22.（2024•甘肃平凉・高三统考期中）对于空间任意一点O和不共线的三点

-1—I1

有如下关系：OP=-OA+-OI3+-OC则（）

632f

A.反。四点必共面B.P,ARC四点必共面

C.。/.氏。四点必共面D.。阿4,氏。五点必共面

变式23.（2024•全国•高三专题练习）已知A、B、C三点不共线，对平面A8C外的任一

点O,下列条件中能确定点〃与点4、B、。一定共面的是（）

A.OM=()A+OB+OCB.OM=-OA+-OB+-OC

333

C.OM=OA+-OB+-OCD.OM=2OA-OB-OC

23

变式24.（2024•全国•高三专题练习）如图，正四棱锥夕-ABC。的底面边长和高均为

2,E,F分别为PD,的中点.

⑴若点M是线段PC上的点，且判断点M是否在平面Ab内，并证明你的

结论:

(2)求直线尸8与平面A律所成角的正弦值.

变式25.(2024•全国•高三专题练习)如图，在几何体ABCOE中，△48C,ABCD,△

COE均为边长为2的等边三角形，平面平面80),平面。CE_L平面BCQ.求证：

人，B,D,E四点共面；

变式26.(2024•全国•高三专题练习)如图，四边形人3£尸为正方形，若平面A8C。/平

面AH*\,AD〃BC,AD±DC,AD=2DC=2BC.

(1)求二面角4—C/一。的余弦值;

⑵判断点3与平面底厂的位置关系，并说明理由.

变式27.（2024•全国・高三专题练习）如图，在边长为3的正方体八"Q-ABCR中,

点忆Q,R分别在棱A8,B£,DQ上,且AP=eQ=RR=1.

（1）求点D到平面PQR的距离;

（2）若平面尸QR与线段AG的交点为N,求百的值.

Zi

变式28.（2024•四川成都-石室中学校考模拟预测）如图四棱锥

P-ABCD,ZABC=90,AD//BC,且4。=44=2,平面夕CD_L平面A8CD,且

2

△PQC是以/OPC为直角的等腰直角三角形，其中£为棱PC的中点，点r在棱PD上，

且PF=2FD.

p

（I）求证：4,反£/四点共面;

【解题方法总结】

要证明多点（如A,B,C,O）共面，可使用以下方法解题.

先作出从同一点出发的三个向量（如丽，AC,AD）,然后证明存在两个实数

x,y，使得AD=xAB+yAC.

题型六：证明直线和直线平行

例16.（2024•高二课时练习）如图所示，在四棱锥P-ABCO中，底面A8CO为矩形，

POJL平面A8CD,E为。。的中点，N为DE的中点,OM丛D4=。。=1,CO=2,

4

求证：MN//AP.

AB

例17.（2024•高二课时练习）已知校长为1的正方体0AB。一。1入用€；在空间直角坐标系

中的位置如图所示，2£尸0分别为棱0144与3。,。。的中点，求证：DEMGF.

例18.（2024•高二课时练习）如图，四边形A8CO和ABE/都是平行四边形，且不共

面，M,N分别是AC,8广的中点，求证：CEMMN.

变式29.（2024•全国•高三专题练习）在四棱锥P-4BCO中，平面ABCO_L平面PCO,

底面48C。为梯形.AB//CD,ADLDC,且A»=l,AD=DC=DP=2,

ZPDC=120.若M是棱％的中点，则对于棱上是否存在一点忆使得M尸与PC平

行.

【解题方法总结】

将证线线平行转化为证两向量共线.设“〃是两条不重合的直线，它们的方向向量分

别为2,5,则£//〃。£=2“义£氏/1/0).

题型七：证明直线和平面平行

例19.(2024•全国-高三专题练习)在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利

于采光，其中一角如图所示，为多面体A8CQ6，ABA.AE,AE//BC,

AB〃ED,"底面/"COE,四边形八万仁乌是边长为2的正方形且平行于底面,

八蜴，的中点分别为厂，

8〃4D、E,GAB=AE=2DE=2BC=4,AA1=\.

(1)证明：FG〃平面CC。；

例20.（2024•广东潮州,高三校考阶段练习）如图，四棱锥尸-ABC。中，底面A8CO为

矩形，PA，平面A3CD,£为。。的中点.

⑴证明：阳〃平面AEC

例21.（2024•天津滨海新•高三校考期中）如图，AD//BC且AD=2BC,AD1CD,

EG〃A。且EG=AD,CDHFG&CD=2FG,DGJ-平面A3CQ,DA=DC=DG=2.

⑴若M为C尸的中点，N为EG的中点，求证：MN〃平面CDE；

变式30.（2024•全国•高三专题练习）如图，在四棱锥P-48CD中，底面A8CO为矩

形，平面平面A8C7）,AD1MN,AB=2,AD=AP=4,M,N分别是4C,

的中点.

⑴求证：MN〃平面/VW；

变式31.（2024•陕西汉中•校联考模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCO中，底面ABCO

为正方形，Q4J_平面4Hs,E为P。的中点，PA=AB=2.

⑴求证：PB〃平面AEC；

变式32.（2024•全国•高三对口高考）如图所示的几何体中，四边形A8CO是等腰梯

形，AB//CD,NZM6=60°,”C_L平面A8CO,AE1BD,CB=CD=CF.

F

（1）求二面角。一3/-。的余弦值；

AP

⑵在线段（含端点）上，是否存在一点P,使得肥〃平面AKO.若存在，求出工的

AB

值；若不存在，请说明理由.

【解题方法总结】

（1）利用共面向量定理.设为平面。内不共线的两个向量，证明存在两个实数

x,y>使得/=xa+yb,则///。.

（2）转化为证明直线和平面内的某一直线平行.

（3）转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（此方法最常用）.

题型八：证明平面与平面平行

例22.（2024•全国•高一专题练习）如图所示，正四棱ABCO-AgGA的底面边长I,

侧棱长4,4A中点为£,CG中点为F.求证：平面8DE//平面BRF.

例23.（2024•高二课时练习）如图，在直四棱柱A8CO-A瓦中，底面A8CD为等腰

梯形，ABHCD,AB=4,BC=CD=2,AA,=2f/是棱48的中点.求证：平面

人ARO〃平面FCG.

例24.（2024•高二课时练习）如图所示，平面加O_L平而ABCD,四边形A8CO为正方

形，△FD是直角三角形，且%=4。=2,E,F,G分别是线段南,PD,CO的中点.，

求证：平面E”G〃平面P8C.

变式33.（2024•高二课时练习）在正方体ABCO-A/G仅中，M,N,P分别是

CC/GCQ的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面MM7/平面AB。.

【解题方法总结】

（1）证明两平面内有两条相交直线分别平行.

（2）转化为证两平面的法向量平行（常用此方法）.

题型九：证明直线与直线垂直

例25.（2024•山西太原•高二统考期中）如图，在平行六面体中，

AB=AD=4,AA}=5^DAB=^DAA,=^BAA[=60\

（1）求AG的长;

(2)求证：AC.1BD

例26.（2024•北京海淀,高二校考期中）已知三棱锥P-ABC（如图1）的平面展开图

（如图2）中，四边形A8CO为边长为友的正方形，△.△腿和△次才均为正三角形.在三

棱锥?一ABC中:

（图1）

⑴求点A到平面8cp的距离;

一12-

CM

--BN

⑵若点M在棱PC上，满足=e—33，点N在棱AR上，且8MJL4V,求而

一-

的取值范围.

例27.（2024•全国•高三专题练习）如图，平行六面体ABCO-AgGA的所有棱长沟为

血，底面44CO为正方形，44/8=44小力=方，点E为Be的中点，点F为CG的中

点，动点P在平面A8CO内.

（I）若。为AC中点，求证：A.OLAO,

（2）若/平面RAE,求线段CP长度的最小值.

变式34.（2024・湖南长沙・雅礼中学校考一模）斜三棱柱ARC-的各棱长都为2,

=60。，点4在下底面ABC的投影为AB的中点0.

（1）在棱8%（含端点）上是否存在一点。使AO_LA£?若存在，求出BD的长；若不存

在，请说明理由；

⑴在棱8片（含端点）上是否存在一点。使AO_LAC?若存在，求出8。的长；若不存

在，请说明理由；

变式35.（2024•贵州遵义•统考三模）如图，棱台中，

AA'=BB'=CC=DD'=y/M,底面A8C。是边长为4的正方形，底面A9C'。是边长为2

的正方形，连接人C,BD,DC'.

(1)证明：ACA.BD；

变式36.(2024•江西鹰潭•高三贵溪市实验中学校考阶段练习)如图，在三棱柱

A3C-ABC中，CG，平面A6C,ACLBC,BC=AC=CCt=4,。为A4的中点,

CBi交BQ于点E.

(1)证明：CBQGD；

变式37.(2024•黑龙江哈尔滨•哈尔滨市第六中学校校考三模)已知直三棱柱

A8C-AMG中，侧面44笈因为正方形，AB=BC,E,尸分别为AC和CC的中点，。为

棱A纥上的动点.8F_LA4.

(1)证明：EFLPC.

【解题方法总结】

设直线412的方向向量为。,方，则。＜=＞。/=0.

这里要特别指出的是，用向量法证明两直线尤其是两异面直线垂直是非常有效的方

法.

题型十：证明直线与平面垂直

例28.（2024•内蒙古乌兰察布•校考三模）如图，在四棱锥尸-A8C。中，尸D_L底面

ABCD,底面A8CO是边长为2的止方形，PD=DC,F,G分别是尸8,八。的中点.

⑴求证：GFJ_平面尸C8；

例29.（2024•吉林通化•梅河口市第五中学校考模拟预测）如图，已知直三棱柱

人3。一尸6石,人。=8。=4,4。_18。,0为3。的中点，。为侧棱8G上一点，且

BD=、BG,三棱柱八3C-FGE的体积为32.

4

（1）过点。作@2，。石，垂足为点Q,求证：8Q1平面ACQ；

例30.（2024•上海黄浦・上海市大同中学校考三模）如图，.直三棱柱A8C-ABG中,

NB4C=90,|4可=|AC|=2,|A4j=4,。为的中点，E为CG上的点，且

I。冏="G].

（1）求证：8EJ_平面A。片；

变式38.（2024•全国•高三专题练习）如图，直三棱柱ABC・AB©的侧面8CG4为正

方形，2AB=BC=2,E,产分别为AC,CG的中点，入片.

（1）证明：8b_L平面人出声；

【解题方法总结】

（1）证明直线和平面内的两天相交直线垂直.

（2）证明直线和平面内的任一直线垂直.

（3）转化为证明直线与平面的法向量共线.

题型H"一：证明平面和平面垂直

例31.（2024•广东深圳•统考模拟预测）在正方体ABCO-AgGA中，如图E、尸分别

是的中点.

(1)求证：平面A£)L_L平面八£＞石：

例32.(2024•全国•高三专题练习)已知在直三棱柱ABC-中，其中

M=2AC=4,AB=8C/为的中点，点E是CG上靠近C1的四等分点，A尸与底面

L

A3C所成角的余弦值为卫.

B

(1)求证：平面A*C_L平面4石尸；

例33,(2024•北京丰台・北京丰台二中校考三模)如图，在四棱锥P-A6C。中，PA1.

平面ABC。，AD工CD,AD//BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点，点F在

-->D

(I)求证：平面AEr_L平面尸CO；

变式39.(2024•北京•北京四中校考模拟预测)如图，正三棱柱ABC-A,8c中，E、F分

别是棱上的点，AE=8/=＜例.

(1)证明：平面CEEJ•平面ACGA；

变式40.(2024•江西新余•高三江西省分宜中学校考阶段练习)如图，在四棱锥

P—ABCD中，底面/WC7)是菱形，Z4BC=60,AB=2,AC^\BD=O,PO_Z底面

ABCD,PO=2,点E在棱尸。上，且CELPD

(1)证明：平面Q8Z)_L平面ACE；

变式41.(2024•全国•高三专题练习)如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABC。中,

PA_L平面ABC。，%=AB=2,BC=4,E是PD的中点.

(I)求证：平面PCD_L平面附。；

变式42.(2024•全国•高三专题练习)如图，已知四棱锥P-A8CD的底面是平行四边

⑴求证：平面以8_1_平面同灰工)；

(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形8EQ厂是过RQ两点的截面，且八C〃平面"£Q尸，是

否存在点Q,使得平面/汨2尸，平面P4。？若存在，求器的值；若不存在，说明理由.

变式43.（2024•江苏•统考三模）如图，三棱锥P一人BC的底面为等腰直角三角形，Z

A8C=90。，人4=2.D,E分别为人C,8c的中点，PO_L平面A8C,点M在线段PE二.

（1）再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为己知，使得平面MBTXL平面

并给予证明；

（2）在（1）的条件下，求直线8尸与平面M8。所成的角的正弦值.

条件①：PD=6；

条件②：/。£。=60。；

条件③：PM=3ME：

条件④：PE=3ME.

【解题方法总结】

（1）转化为证明两平面的法向量互相垂直

（2）转化为证明一平面内的一条直线垂直于另一个平面.

题型十二：求两异面直线所成角

例34.（2024•宁夏银川•银川一中校考模拟预测）在正四棱柱ABC。-A8CA中，底面

边长为I，高为3,则异面直线8。与人。所成角的余弦直是.

例35.（2024•江西鹰潭•贵溪市实验中学校考模拟预测）已知正方体4BCO-Aq的

棱长为1,E是棱A"的中点，G为棱/3C上的动点（不含端点），记舁面直线A8与EG所

成的角为々，则bina的取值范围是.

例36.（2024•全国•高三专题练习）在三棱锥P-4BC中，R4_L底面A8C,底面ABC

为正三角形，PA=AB,则异面直线P8与AC所成角的余弦值为

变式44.（2024•四川成都•石室中学校考模拟预测）如图，在三棱锥夕-A4C中，PAL

底面ABC,N84C=90.点。、E、N分别为棱24、PC、笈C的中点，M是线段4）的

中点，PA=AC=4,A3=2.

⑴求证：MN〃平面BDE；

(2)已知点〃在棱附上，且直线M7与直线8石所成角的余弦值为立，求线段A”的长.

21

变式45.(2024•湖北•高三校联考阶段练习)在四棱锥P-4AC。中，底面AACQ为正方

形，平面PAO_L平面抬Z?,ZPAD=45°tAB=2.

(1)证明：平面R4/)_L平面ABC。；

(2)若石为PC的中点，异切直线8石与以所成角为30，求四棱锥P-人3CD的体积.

变式46.(2024•全国•高三对口高考)如图，图I,四棱锥P-A3CQ中，PD_L底面

ABCD,面A8C。是直角梯形，M为侧棱上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图

如图2所示.

(1)证明：BC工平面PBD；

(2)证明：人知//平面28。；

使,与阴V所成角的余弦值为手？若存在，找到所有符合

⑶线段C。上是否存在点N,

要求的点M并求CN的长；若不存在，说明理由.

【解题方法总结】

设两异面直线4和〃的方向向量为公和坂，利用求角余弦公式可求得公和坂的夹角，由

于两向量所成角。的范围是[07],而两异面直线所成角。的范围是（0,3.所以

cos（z=|cos^|=匕].

\a\\b\

题型十三：求直线与平面所成角

例37.（2024•湖南长沙•高三长郡中学校考假期作业）如图所示，直三棱柱48C-AGG

中，AB1AC,AB=AC=AA]=\AD=^AC,C£=1cC,.

⑵求直线4。与平面8DE所成角的正弦值.

例38.（2024•广东河源・高三校联考开学考试）如图，在四棱锥P-ABCQ中，瓦厂分别

为PDP8的中点，连接E厂.

（I）当G为PC上不与点尸C重合的一点时，证明：斯〃平面8DG；

⑵已知G,。分别为PC4O的中点，△皿＞是边长为2的正三角形，四边形8CQ。是面积为

2的矩形，当CQ_LPQ时，求PC与平面BGO所成角的正弦值.

例39.（2024•山西运城・高三校考阶段练习）在如图所示的多面体中，四边形A8C。为

正方形，AE,及产四点共面，且△A8£和448厂均为等腰直角三角形,

NBAE=NA/B=90，平面平面A£B广，AB=2.

(1)求证：直线席〃平面AO77;

(2)求平面CB厂与平面BFD夹角的余弦值；

(3)若点尸在直线OE上，求直线A尸与平面BC尸所成角的最大值.

变式47.(2024•河南-校联考模拟预测)已知三棱柱ABC-%B£中，

AB=AC=2,AJA=A,B=A1C="BAC=90。,E是3c的中点，F是线段AG上一点.

B

⑴求证：AB工EF；

⑵设尸是棱44上的动点(不包括边界)，当aPBC的面积最小时，求直线PC与平面

所成角的正弦值.

变式48.(2024•全国-高三专题练习)如图，四棱锥尸-A8c。的底面为正方形，

AB=AP=2,PA_L平面48CO,E尸分别是线段P。的中点，G是线段PC上的一点.

(I)求证：平面&G_L平面PAC；

（2）若直线AG与平面AM所成角的正弦值为:，且G