第二十五章概率初步(压轴题专练)(原卷版+解析)-2023-2024学年学年九年级上学期单元精讲·速记·巧练(人教版)

第二十五章概率初步（压轴题专练）

一、填空题

1.（2023春・全国•七年级专题练习）同•元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与：C、

:。与？。.在一次制取8的实验中，？。与;3c的原子个数比为2：1,I，。与：。的原子个数比为［：］,

若实验恰好完全反应生成8,则反应生成;:G七的概率（）

A.-B.-C.\D.：

6332

2.（2023春・全国•七年级期末）按小王、小李、小马三位同学的顺序从一个不透明的盒子中随机抽取一张标

注“主持人”和两张空白的纸条，确定一位同学主持班级“交通安全教育'’主题班会.下列说法中正确的是（）

A.小王的可能性最大B.小李的可能性最大C.小马的可能性最大D.三人的可能性一样大

3.（2023・全国•九年级专题练习）数学社团的同学做了估算兀的实验.方法如下：

第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（工、），可以相等），且它们满足：0＜工＜1,0＜y＜1；

第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x,y,I为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；

第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；

第四步：估算出兀的值.

为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：

①如果一次试验中，结果落在区域Q中每一个点都是等可能的，用4表示“试验结果落在区域。中一个小区

域必中”这个事件，那么事件A发生的概率为P（A）=，；

②若x,y,1三个数据能构成锐角三角形，则需满足/+）无＞1.

根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的〃?份数据中能和'T'成锐角三角形的数据有〃份，则

可以估计兀的值为（）

4〃+2m2n

A.------B.

mm

4〃-4m-4〃

C.D.------

mm

4.12023•辽宁沈阳•模拟预测）如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，一个小球随机的在图案上滚动,

最后停留在阴影部分的概率是（）

5.（2023春・山东淄博•九年级校考期中）如图I所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），

小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为8m,宽为5m的长方形，将穴规则图案围

起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上

或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估

计不规则图案的面积大约是（）

A.12m2B.Mm2C.16m2D.18m2

6.（2023・全国•九年级假期作业）如图，正方形A3C。是一块绿化带，其中阴影部分都是正

方形的花圃.已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花0J上的概率为（）

二、填空题

7.（2023・全国•九年级专题练习）如图，点A在上，N3AC=60°,以A为圆心，A3为半径的扇形A8C内

接手。O.某人向。。区域内任意投掷一枚飞镖，则£镖恰好落在扇形内的概率为.

8.（2023・全国•九年级专题练习）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方

形EFGH.连结交人/、C”于点M、N.若平分一人。4,现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖

落在阴影区域的概率为.

9.(2023春・安徽蚌埠•九年级专题练习)有三张正面分别标有数字-1,1,2的不透明卡片，它们除数字不

同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该K片正面上的数字记为a；不放回，

\3x-23

-----<rd—

再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为b,则使关于x的不等式组2'2的解集中有

ax>b

且只有2个非负整数的概率为.

10.(2023春•四川成都・九年级专题练习)已知4。0(i=12…,2012)满足

国+国+图+...+M1+31=2000,则使一次函数y=a/+i(i=l,2,・、2012)的图象经过一、二、四象

a\a2a3〃刈I〃刈2

限的q的概率是

11.(2023春•天津和平・九年级专题练习)经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如

果这三种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆车向左转的概率为.

三、解答题

12.(2023•江苏泰州•统考二模)某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践行“绿水青

山就是金山银山''理念.在外打工的王大叔返回江南创、也，承包了四座荒山，各栽100棵小枣树，发现成活

率均为97%,现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他任意选了两座山(记作日山、乙山)，

从两山上随意各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示.

(1)直接写出甲山4棵小枣树产量的中位数；

(2)分别计算甲、乙两座山小枣样本的平均数，并判断哪座山的样本的产量高:

(3)用样本平均数估计四座荒山小枣的产量总和；

（4）用树状图或表格分析王大叔选中甲、乙两座山的概率.

13.（2023春・江西南昌•九年级南昌市外国语学校校考开学考试）为了倡导保护资源节约用水，从某小区随

机抽取了50户家庭，调查了他们5月的用水品情况，结果如图所示.

⑴这50户家庭中5月用水量在20〜30t的有多少户？

⑵物图中每组用水量的值用该组的中间值（如0〜10的中间值为5）来代替，估计该小区平均每户用水量；

（3）从该50户用水量在20〜401的家庭中，任抽取2户,用树状图或表格法求至少有1户用水量在30〜401

的概率.

14.（2023春•云南•九年级专题练习）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽

奖规则如下：

1.抽奖方案有以下两种：

方案4从装有I个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15

元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；

方案凡从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，

否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中.

2.抽奖条件是：

顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案8抽奖一次（例如

某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案8

抽奖两次或方案A,4各抽奖一次）.

已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元.

⑴若该顾客只选择根据方案人进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率；

（2）以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由.

15.（2023・广东广州•校考二模）为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A,B,C三种午餐供师生选

择，单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A,I）,C-

种午餐购买情况的数据制成统计表，乂根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条形统

计图：

种类数量（份）

41800

B2300

C900

4

8

C请你根据以上信息，解答下列问题:

（1）该校师生上周购买午餐费用的中位数是______.

⑵为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试通过列表或画树状图

的方法求该校学生小芳选择“BC”组合的概率：

（3）经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量:相对稳定.根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不

得超过3元，否则应调低午餐的单价.

①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价；

②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），为了使得下

周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元？

16.（2023春・全国•八年级专题练习）我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，

而且还在持续下降.为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了

一次身体索质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀.

频数

（人数）D

90

30

根据上述所给的统计表中的信息，解决卜列问题:

(1)本次抽测了一名九年级学生，〃=_,本次成绩的中位数位于一组；

(2)若该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？

(3)在本次抽测的优秀学生中按1：9的比例抽取部分学生，其中恰好有2名女生.若从中随机选取2名学生

参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率.

17.(2023•广东梅州•校考一模)五一期间在银川会展中心进行车展，某汽车经销商推出4、B、C,。四种

型号的小轿车共1000辆进行展销.C型号轿车销售的成交率为50%,其它型号轿车的销售情况绘制在图I

和图2两幅尚不完整的统计图中.

夕A200|-F6S]

(1)请你将图2的统计图补充完整.

(2)通过计算说明，哪一种型号的轿车销售情况最好？

(3)若对已售出轿车进行抽奖，现将已售出A、凤C、。四种型号轿车的发票(一车一票)放到一起，从中

随机抽取一张，求抽到A型号轿至发票的概率.

18.(2023春・全国•七年级专题练习)如图，程序员在数轴上设计了4、B两个质点，它们分别位于一6和9

的位置，现两点按照卜述规则进行移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数：

AB

-------•---------•----------------•-------►

左-6°9右

①若两次向上面的点数均为偶数，则4点向右移动1个单位，B点向左移2个单位；

②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位；

③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，3点向右移2个单位.

(1)经过第一次移动，求8点移动到4的概率；

(2)从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正方

体能子向上面的点数均为偶数的次数为小若人点最终的位置对应的数为儿请用含〃的代数式表示"并

求当A点落在原点时，求此时B点表示的数；

(3)从如图所示的位置开始，经过工次移动后，若48=3,求x的值.

19.(2023•北京海淀•九年级期末)为了增加学生的阅读量，讪到让学生“在阅读中成长，在成长中阅读.•的效

果，某中学计划在各班设立图书角.为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学

生进行抽样调查.学校团委在收舆整理了学生喜爱的书籍类型(4.科普、B.文学、C.体育、D.其他)

数据后，绘制出两幅不完整的统计图，如图所示.

请你根据以上信息，解答下列问题.

(1)随机抽样调查的样本容量是_____,扇形统计图中“ZT所对应的圆心角的度数为度；

(2)补全条形统计图；

(3)抽样中选择文学类书籍的学生有2名男生和2名女生，校团委计划从中随机抽取2名学生参加团委组织

的征文大赛，求恰好抽;H一男一女的概率.

20.(2023春・江苏南京•九年级专题练习)在两只不透明的袋中各装有3个除颜色外其他都相同的小球.甲

袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有红、白、黑色小球各1个.

⑴若分别从两个布袋中各摸出1个小球，求摸出的都是白色小球的概率(请用“画树状图”或“列表”等方法

写出分析过程).

(2)若分别从两个布袋中各摸出2个小球，则摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的概率是

21.(2023春•全国•七年级专题练习)某水果公司以9元/千克的成本从果园购进10000千克特级柑橘，在运

输过程中，有部分柑橘损坏，该公司对刚运到的特级柑橘进行随机抽查，并得到如下的“柑橘损坏率”统计

图.由于市场调节;特级柑橘的售价与口销售量之间有一定的变化规律，如下表是近一段时间该水果公司

的销售记录

柑橘损坏率

▲

（2）按此市场调节的观律，

①若特级柑橘的售价定为16.5元/千克，估计日销售量，并说明理由

②考虑到该水果公司的储存条件，该公司打算12天内售完这批特级柑橘（只售完好的柑橘），且售价保持

不变求该公司每日销售该特级柑橘可能达到的最大利润，并说明理由.

22.（2023春•江苏•八年级期末）一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，裁判在黑板上写出

正整数2,3,4,2006,然后随意擦去一个数，接下来由甲、乙两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去

其中一个数，然后甲再擦去一个数）.如此下去，若最后剩下的两个数互素，则判甲胜；否则，判乙胜，按

照这种游戏规则，求甲获胜的概率（用具体数字作答）.

23.（2023・福建•九年级专题练习）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒.该故事的大意是：齐

王有上、中、下三匹马田忌也有上、中、下三匹马A2、g，G，且这六匹马在比赛中的胜负可用不

等式表示如下：AoA?>用>">C>Q（注：力>夕表示人马与“马比赛，人马获胜）.一天，齐王找田

忌赛马，约定：每匹马都出场比赛•局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利.面对劣势，田忌事先

了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐

王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵瓦，&CQ获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经

典案例.

假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题:

（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其

获胜的概率；

（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请

列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率.

24.（2023春・福建南平•九年级专题练习）某超市开展“五一”大酬宾，举行购物抽奖活动，奖项设置为面值

不同的购物卡，分别是：一等奖120元，二等奖60元，三等奖10元，凡购买满200元及以上者，每200

元可抽奖•次（不足200元一概不计入，每人当天购物最多可抽5次），每次抽奖过程如下：在一个不透明

的袋子里装有三个小球，球面上分别标注数字“1”,"2”，“3”，它们除数字不同外没有任何区别.抽奖顾客

先随机摸出一球，记下数字后，将小球放回袋中充分搅匀，再随机摸出一球，若两球标注的数字之和为6,

则获一等奖，数字之和为5,则获二等奖，数字之和为4,则获三等奖，其余均不获奖.

（1）试利用树状图或列表法顾客每抽奖一次分别获得一等奖、二等奖、三等奖的概率；

（2）若此次超市大酬宾中，超市业绩调查部分随机抽查了100位顾客的消费金额并绘制成条形统计图如下

（金额折算为200元的整数倍，其中扣除200元的整数倍后不足200元的部分全部去掉不计入）：

不同消费金额顾客人数条形统计图

①求上述样本数据中每位顾客消费金额的平均数;

②据“五一节”当天统计，共有250）位顾客参与该超市的购物抽奖活动，已知该超市每销售100元，平均可

获利20元，请根据上述样本数据分析，扣除兑现的购物卡金融外，估计这一天超市共盈利大约为多少元？

25.（2023春・江苏南通•九年级专题练习）在抛物线丁=尔2+云+cSwO）中，规定：（1）符号口,力0称为该

抛物线的“抛物线系数”；（2）如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点

的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.

完成下列问题：

（1）若一条抛物线的系数是［-1，0,,川，则此抛物线的函数表达式为当用满足一时，此抛物线没有“抛物线

三角形”；

（2）若抛物线y=x2+bx的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求出抛物线系数为11，-5,3/7］的“抛物线三角

形”的面积;

（3）在抛物线），=尔+法+c中，系数均为绝对值不大于1的整数，求该抛物线的“抛物线三角形”是

等腰直角三角形的概率.

26.（2023春・山东济南・九年级专题练习）为实施“精准扶贫”政策，西昌市某校随机抽取「一部分班级对“建

档立卡家庭户”的学生人数情况进行了统计，发现各班“建档立卡家庭户''学生的人数只有1名、2名、3名、

4名、5名、6名共六种情况，并制成了如下两幅不完整的统计图：

（1）求班上有3名“建档立卡家庭户”的学生的班级所占圆心角，并将条形统计图补充完整；

（2）若该校共有80个班级，请你估计该校共有多少名“建档立卡家庭户”的学生？

（3）某爱心人士决定从只有2名"建档立卡家庭户”学生的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表

法或画树状图的方法，求出所选两名“建档立卡家庭户'’的学生来自同一个班级的概率.

27.（2023秋.九年级单元测试）感恩节即将来临，小土调杳了初三年级部分同学在感恩节当天将以何种方

式对帮助过自己的人表达感谢，他将调查结果分为如下四类：A类——当面表示感谢、B类——打电话表示

感谢、C类——发短信表示感谢、D类——写书信表示感谢.他洛调查结果绘制成了如图所示的扇形统计图

和条形统计图.请你根据图中提供的信息完成F列各题：

（1）补全条形统计图；

（2）在A类的同学中，有4人来自同一班级，其中有2人主持过班会.现准备从他们4人中随机抽出两位

同学主持感恩节主题班会课，请用树状图或列表法求抽出1人主持过班会而另一人没主持过班会的概率.

28.（2023春・福建福州•九年级福建省福州外国语学校校考期中）在中国，不仅是购物，而且从共享单车到

医院挂号再到公共缴费，男性、女性口常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅

速增加。中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的6000名用户（男性4000人，女性2000

人），从中随机抽取了60名（女性20人），统计他们出门随身携带现金（单位：元），规定：随身携带的现金在

元以下（不含100元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”

（1）①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中b=30,c=8）

手机支付非手机支付合计

男ab

女Cd

合计60

②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取1位，这1位女性用户是“手机支付

族”的概率是多少？

（2）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、

方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元：

方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有4个小球（其中2个红球2个白球，

它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出2个小球（逐个放回后抽取），若摸到1个红球则打9折，若摸到

2个红球则打8.5折，若未摸到红球按原价付款.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从

实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算.

29.（2023春•山东青岛•九年级专题练习）2012年6月5日是“世界环境日”，南宁市某校举行了“绿色家园”

演讲比赛，赛后整理参赛同学的成绩，制作成直方图（如图）.

八

（1）分数段在二范围的人数最多;

（2）全校共有多少人参加比赛？

（3）学校决定选派本次比赛成绩最好的3人参加南宁市中学生环保演讲决赛，并为参赛选手准备了红、蓝、

白颜色的上衣各1件和2条白色、1条蓝色的裤子.请用“列表法”或“树形图法”表示上衣和裤子搭配的所有

可能出现的结果，并求出上衣和能搭配成同一种颜色的概率.

30.（2023春•山东淄博•七年级统考期中）如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，乙号，XL

号，XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计图.

根据图中信息解答下列问题：

（1）求XL号，XXL号运动服装铛量的百分比;

（2）补全条形统计图；

（3）按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、），件，若再取2件XL

号运动服装，将它们放在一起，现从这（x+），+2）件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的概率

为丁求x,y的值.

31.（2023春・山东济南・九年级专题练习）我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，

开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程.为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机

抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统

计图：

1

8

1

*15

A12

9

6

3

0

本次随机调杳的学生人数为一人;

（2）补全条形统计图；

（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；

（4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织''四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用

列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率.

32.（2023・全国•九年级假期作业）寒假居家学习期间，小明在玩一个跳棋游戏，游戏规则如下：

①棋盘为正五边形A3CDE.一跳板根子从点A开始按照逆时针方向起跳.从点A跳到点。为1步.从点B跳

到点。为1步，以此类推.每次跳的步数用掷正方体骰子所得点数决定：

②如果第一次掷骰子所得点数使得棋子恰好跳回到点A,就算完成了一次操作：

③如果第一次掷骰子所得点数不能使得棋子跳回到点A,就再掷•次，棋子按照两次点数之和跳到相应位

置，不论是否回到点A.都算完成了一次操作.

（1）小明只掷一次骰子，就使棋子跳回到A点的概率为一.

（2）求小明经一次操作，使得棋子跳回到A点的概率，（请用“树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

33.（2023春・江苏苏州•九年级专题练习）一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面

上分别标有数-1，2,-3,4.

（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是正数的概率为_;

（2）摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标：再从余下的3

个球中任意摸出1个球，记下数字作为点M的纵坐标，用列表或画树状图的方法求：两次摸球后得到的点M

恰好在函数），=：（%<0）图像上的概率.

34.（2023春•浙江•九年级专题练习）九年级（1）班学生在完成课题学习“体质健康测试中的数据分析”后,

利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行训练，

训练后都进行了测试.现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图.请

你根据上面提供的信息回答下列问题:

（1）该班共有学生______人，训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是.

（2）老师决定从选择铅球训练的3名男生和1名女生中任选两名学生先进行测试，请用列表或画树形图的方

法求恰好选中两名男生的概率.

项目选择人数情况统计图

35.（2023・福建•模拟预测）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公

路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计），第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车

从入口处发车，小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区

入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林，离入口处的路程》（米）与时间x（分）的函数关系如图

2所示.

（1）求第一班车从入口处到达塔林的时间.

（2）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草

甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不

变）.

（3）若小聪在8：30至8：50之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不

超过3分钟的概率是多少？

36.（2023•福建福州•校联考模拟预测）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被海汰.机器有

一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件

不足再购买，则每个500元，三年后如果备件多余，每个以。元（。＞0）回收.现需决策在购买机器时应

同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到如下

频数分布宜力图:

记入表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，〃表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

（1）以100台机器为样本，请利用画树状图或列表的方法估计x不超过19的概率；

（2）以这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为决策依据，在〃=19与〃=20之中选其一，当。

为何值时，选〃=19比较划算？

37.（2023•陕西西安•校考一模）［概率中的方案设计］小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分

别为2m和3m的同心圆（如图），然后蒙上眼睛，并在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影部分时小红

胜，否则小明胜，未掷入圈内（半径为3m的圆内）或掷在边界上重掷.

（1）你认为游戏公平吗?为什么？

（2）游戏结束，小明边走边想：能否用频率估计概率的方法，来估算不规则图形的面积呢?请你设计一个

方案，解决这一问题（要求画出图形，说明设计步骤、原理，并给出计算公式）

38.（2023・辽宁抚顺・统考三模）为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，并计

划购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整

的统计图，如图所示，请根据统计图回答卜.列问题：

调查问卷（单项选择）

你最喜欢阅读的图书类型是（）

乩文学名著B.名人传记

C科学技术D篁他

（I）本次调查共抽取了一名学生，两幅统计图中的m=_,n=_.

（2）已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？

（3）学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者（2男1女）中随机选送2人参赛，请用

列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率.

39.（2023春•八年级单元测试）计数问题是我们经常遇到的一类问题，学会解决计数问胭的方法，可以使

我们方便快捷，准确无误的得到所要求的结果，下面让我们借助两个问题，了解计数问题中的两个基本原

理…加法原理、乘法原理.

问题1.从青岛到大连可以乘坐飞机、火车、汽车、轮船直接到达.如果某一天中从青岛直接到达大连的飞机

有3班，火车有4班，汽车有8班，轮船有5班，那么这一天中乘坐某种交通工具从青岛直接到达大连共

有一种不同的走法：

问题2.从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路，那么从甲地经过乙地到丙地，共有一种不同的走法：

方法探究

加法原理：一般的，完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有〃?种不同的方法，在第二类方案中有“

种不同的方法.那么完成这件事共有N加+〃种不同的方法，这是分类加法计数原理浣成一件事需要两个步骤,

做第一步有机种不同的方法，做第二步有〃种不同的方法.那么完成这件事共有N=mxn种不同的方法，这就是

分步乘法计数原理.

实践应用1

问题3.如图1,图中线段代表横向、纵向的街道，小明爸爸打算从A点出发开车到8点办事（规定必须向北

走，或向东走，不走回头路），问他共有多少种不同的走法？其中从A点出发到某些交叉点的走法数已在图2

填出.

⑴根据以上原理和图2的提示，算出从A出发到达其余交叉点的走法数，如果将走法数填入图2的空圆中，

便可以借助所填数字回答：从人点出发到8点的走法共有一种：

⑵根据上面的原理和图3的提示，请算出从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C的走法有一种.

⑶现由于交叉点。道路施工，禁止通行.小明爸爸如果任选一种走法,从A点出发能顺利开车到达B点（无返

回）概率是.

副

实践应用2

问题4.小明打算用5种颜色给如下图的5个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色,

间共有_种不同的染色方法.

40.（2023春•八年级课时练习）2010年5月1日，第41届世博会在上海举办，世博知识在校园迅速传播.小

明同学就本班学生对世博知识的了解程度进行了一次调查统计，下图是他采集数据后绘制的两幅不完整的

统计图（A：不了解，B：一般了解，C：了解较多，D：熟悉）.请你根据图中提供的信息解答以下问题:

卜人数

ABCD了解程度

（1）求该班共有多少名学生；

（2）在条形统计图中，将表示“一般了解”的部分补充完整；

（3）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；

（4）从该班中任选一人，其对世博知识的了解程度为“熟悉”的概率是多少？

第二十五章概率初步（压轴题专练）

一、填空题

1.（2023春・全国•七年级专题练习）同•元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与：C、

:。与？。.在一次制取8的实验中，£。与：c的原子个数比为2：1,；“。与:。的原子个数比为1：1,

若实验恰好完全反应生成8,则反应生成;:屐七的概率（）

A.-B.-C.\D.：

6332

【答案】B

【分析】根据反应的化学方程式，画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出反应生成的结果数，

然后根据概率公式求解..

【详解】解：反应的化学方程式为2C+O：售2cO，

："与的原子个数比为2：1,f0与1二日的原子个数比为1：1,

反应后生成的::c『o中来自「•反应物c,而：。来自「反应物O,

开始

C河第柒

AAA

o\oaqai'og

共有6种等可能的结果数，其中反应生成:;《七的结果数为2,

・•・反应生成fc广。的概率为，7=：1,

O3

故选：B.

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果〃，再从中选出符合

事件人或B的结果数目〃人然后利用概率公式计算事件A或事件8的概率.

2.（2023春・全国•七年级期末）按小王、小李、小马三位同学的顺序从一个不透明的盒子中随机抽取一张标

注“主持人”和两张空白的纸条，确定一位同学主持班级“交通安全教育”主题班会.下列说法中正确的是（）

A.小王的可能性最人B.小李的可能性最人C.小马的可能性最人D.三人的可能性一样人

【答案】D

【分析】先分析小王抽到空白纸条和“主持人''纸条的可能性，再在小王抽到空白纸条的基础上分析小李抽到

“主持人''纸条的可能性，注意小李如果没有抽到主持人，则小马必然抽到“主持人”，由此可以求出三人抽到

“主持人”的可能性.

【详解】解：小王先抽，小王可能抽到“主持人”，也可能抽到空白纸条，则分为两种情况：

小王抽到“主持人''可能性为:.

小王抽到空白纸条的可能性为：自，在此基础上，小李抽取情况分为抽至『'主持人''或抽到空白纸条，

抽取“主持人”可能性为：P

抽取空白纸条可能性为：I（当此种情况出现时，则小李必抽到“主持人”），

9II

故小李抽至广主持人”的可能性为：-x-=-,

D4。

211

小马抽到“主持人”的可能性为：

JJ

故选：D.

【点睛】本题考查概率计算，能够根据事件分析出某个事件发生的概率是解决本题的关键.

3.（2023・全国•九年级专题练习）数学社团的同学做了估算花的实验.方法如下：

第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0<x<l,0<y<l；

第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x,y,1为三条边长能构成锐角三角形”为事件4

第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；

第四步：估算出兀的值.

为「计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：

①如果一次试验中，结果落在区域。中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域。中一个小区

域“中”这个事件，那么事件A发生的概率为P（A）=果；

②若x,y,1三个数据能构成锐角三角形，则需满足/+卡>1.

根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的，〃份数据中能和成锐角三角形的数据有〃份，则

可以估计兀的值为（）

4〃+2m空

A.----------B.

mm

4〃4m-4〃

C.D.----------

inin

【答案】D

【分析】根据->，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足F+>2>1的条件，可以判断符合条件的区域

为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的加份数

据中能和力,成锐角三角形的数据有〃份的条件，得到用用，〃表示上述方法计算的概率，从而解出兀的值，

得出答案.

【详解】解：根据第一步，0<x<l,0<y<l,

可以用图中正方形区域表示，

S正=1x1=1,

再根据若工，户1三个数据能构成锐角三角形,

则需满足/+卡>1,

可以用图中（3）区域表示，

・•・面积为正方形面积减去四分之一圆的面积，

._7T-\-_4—乃

••$3）=1--^-=—»

设”以心1为三条边长能构成锐角三角形''为事件A,

・•・根据①概率计算方法可以得到：

]02

P（A）=——^=七，

LS正14

又*•共搜集上来的机份数据中能和力”成锐角三角形的数据有〃分，

..・0⑷=%上£,

m4

4m-4/t

解得乃=-------,

m

故选：D.

【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利用图

中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率.

4.（2023•辽宁沈阳•模拟预测）如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，一个小球随机的在图案上滚动，

最后停留在阴影部分的概率是（）

【答案】B

【分析】根据菱形和等腰三角形性质，得DC=；根据菱形和余角性质，得DB=D4,从而得■=DA=DC;

结合三角形面积计算公式分析・，分别得阴影部分面积和部分重叠的两个菱形面积，结合概率的性质计算，

即可得到答案.

【详解】如图，

•・•两个菱形相同

・•・DC=DB

又1•两个菱形

，1DCB+NDAB=90。,NDBC-/DBA=90°

・•・力AB=/DBA

:.DB=DA

:・DB=DA=DC

・•・阴影部分面积=2XgS-BC=S&8C，

；•部分重叠的两个差形面积=8s△ABC■阴影部分面积=7sMsc

故选:B.

【点睛】本题考查了菱形、余角、等腰三角形、概率的知识；解题的关键是熟练掌握菱形、等腰三角形、

概率的性质，从而完成求解.

5.（2023春・山东淄博•九年级校考期中）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），

小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为8m,宽为5m的长方形，将不规则图案围

起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上

或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估

计不规则图案的面积大约是（）

小球落在不规则图案内的频率

图1图2

A.12m2B.14m2C.16m2D.18m2

【答案】B

【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35,因此用频率估计概率，

再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35,即可求得不规则图案的面积.

【详解】p由折线统计图知，随着实验次数的增加I,小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35,于是把0.35

作为概率.

r

设不规则图案的面积为xcm2,则有捻=0.35

8x5

解得：x=14

即不规则图案的面积为14cm2.

故选：B.

【点睛】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统

计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.35附近，由此得实验的频率，并把它作为概率.这对学

生知识的灵活应用提出了更高的要求.

6.（2023・全国•九年级假期作业）如图，正方形A8C。是一块绿化带，其中阴影部分£。松，G/7MN都是正

方形的花圃.已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花画上的概率为（）

【答案】A

【分析】设正方形ABC。的边长为〃，根据正方形的性质乙4cB=乙4。。=45。，AC=g,再利用四边形

BEOF为正方形易得CF=OF=3F=；a,则S-形,京，设正方形MNG〃的边长为x,易得CM=

24

AN=MN=X,即3X=&。，解得则S迂方杉MNG〃=qa2,然后根据几何概率的意义，用两个小正

39

方形的面积和除以正方形A8CQ的面积即可得到小鸟落在花厕上的概率，从而得到小鸟不落在花刚上的概

率.

【详解】解：设正方形A8CD的边长为〃，

:四边形4BCQ为正方形，

/.ZACB=ZACD=45°,AC=y[ia,

:四边形BEOF为正方形,

:.CF=OF=BF,

••S正方形BEOF=2=—a2,

24

设正方形MNGH的边长为长

•••△/06和4CM〃都是等腰直角三角形，

:・CM=AN=MN=x,

解得工=立。，

3

**•S加方形MNGH=—-a=（7~»

1~/

112,

・•・小鸟不落在花圃上的概率=1-匕支;=导

2

a36

故选：A.

【点睛】本题考查了正方形的性质与概率的计算，求出正方形MNGH的面积是解题的关键.

二、填空题

7.（2023・全国•九年级专题练习）如图，点A在。。上，/BAC3,以A为圆心，A8为半径的扇形A8C内

接于。O.某人向。。区域内任意投掷一枚飞镖，则飞镖恰好落在扇形48c内的概率为.

【答案】1/0.5

【分析】分别求得。。的面积和扇形的面积即可求解.

【详解】解：连接BC,

VZZMC=60°,AB=AC,

•••△ABC是等边三角形，

设。O的半径为如图,

连接。4,过点。作。DJLAB,则AB=2AD,

ZOAD=-ZBAC=30°,

2

ACOS300=—=—,解得4。=立/，

OAr2

工AB=2AD=y/3r,

•••圆的面积为;r/，扇形的面积为空士®_=L兀/，

3602

J__2

工飞镖恰好落在扇形A8C内的概率为2二1，

乃产2

故答案为：g

【点睛】本题考查了几何概率，扇形的面枳的计算:，等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键.

8.（2023・全国•九年级专题练习）如图，四个全等的直角三角形才成“赵爽弦图”，得到正方形A8CO与正方

形EFGH.连结30交■、C”于点M、N.若OE平分NAQ8,现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖

落在阴影区域的概率为.

【答案】巫匚应/0.25收

44

【分析】求出阴影部分的面枳与正方形面枳的比值，即可得到针尖落在阴影区域的概率.

【详解】解；如图，连接EG交于点P,

•・•DE平分

，^ADE=ZMDE

•・•四边形EFG”是正方形

/.ZMED=90°,

/.NAEO=180。一NMEO=900

:・NMED=NAED

'：DE=DE

：,^ADE^AMDE(ASA)

：.AE=ME

同理可证△8GCg/\8GN(ASA),

•・•四边形ABC。是正方形

:.NAQM=45°

ZADE=ZMDE=22.5°

，ZEMD=90°-NAO七=67.5。

•・•NMEG=45。

，ZMPE=180°-ZEMD-ZMEG=67.5°

JNEMD=ZMPE

:.EM=EP

设EM=EP=x,则EG=2EP=2.x

在RsEFG中，NEFG=45。,

・・/G=EGxsin450=&x

冬〉

：,HF=AE=CG=xyBG=BFA-FG=(四+l)x,xBFA@AAEDdCGB@△NBGTMED,

在R(A/?CG中>

BC2=CG2+BG2=(4+2&)J

S阴影