第三讲 平面向量

第三讲平面向量

1.向量的概念

(1)零向量模的大小为0,方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.

(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，。的单位向量为端.

(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量).

(4)如果直线/的斜率为匕则。=(1,6是直线/的•个方向向量.

(5)向量的投影：\b\cos(a,b)叫做向量，，在向量。方向上的投影.

2.向量的运算

(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律.

(2)平面向量的数量枳的结果是实数，而不是向量，要注意运算数量积与实数运算律的差

异，平而向量的数量枳不满足结合律与消去律.。力运算结果不仅与。，。的长度有关而

且与。与b的夹角有关,即ab=|a仙|cos(a,b).

3.两非零向量平行、垂直的充要条件

若〃=(X|,yi)»b=(X2>V2)>

则a//b^>a=/.b^x\yy—X2y\=0.

a_Lb—ab=0<=>.nx2+yi”=0.

可利用它处理几何中的两线平行、垂直问题，但二者不能混淆.

I.(2013•福建)在四边形4BC。中，AC=(1,2),应)=(-4,2),则该四边形的面积为()

A.小B.2小C.5D.10

答案C

解析因为病.应)=0,

：.ACA.BD.

.•・四边形ABCD的面积S=^AC\\BD\=^Xy[5X2y[5=5.

2.(2013・湖北)已知点4(一1J)、仇1,2)、C(-2,一1)、。(3,4),则向量后在而方向上的投

影为()

A也B巡

_3^2_36

L»・5Lx•2

答案A

解析赢=(2,1),Ch=(5,5),

・•・赢在诙方向上的投影为逋至=呼登

\CD\巾-+5-

15__3^2

=丽=2'

3.(2013•北京)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若c=M+〃力(九〃ER),则

2=

"---------•

答案4

解析以向量。和b的交点为原点建立直角坐标系，则。=(一1,1),Z>=(6.2),c=(-l,

—3),根据c=〃+〃b=(—1,—3)="-1,1)+〃(6,2)有-7+6〃=—1,入+2"=-3,解

之得2=—2且4=一=故(=4.

4.(2013•天津)在平行四边形48。。中，AD=1,N8A。=60。，E为CO的中点.若危崩

=1,则A8的长为.

答案I

解析在平行四边形A8C。中，取AB的中点凡则诙=应)，

.,・施=而=病一；赢，又启=而+欣

：,ACBE=(AD-1-AB)(Ab-^AB)

=翁一；而•嘉+病.赢-;诵2

=|Ab|24-||/W||AB|cos60。一力前2

=I+9书丽―；丽/=1.

.•・(/—|Q|)而|=0,又|成|工0,：.\AB\=^.

5.(2012•江苏)如图，在矩形八8。。中，AB=小,BC=2,点E为BC的中点，点尸在边

C。上，若初病=理，则能•流的值是.

答案V2

解析方法一坐标法.

以A为坐标原点，AB,AZ)所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则

A(OO),B诋0),E(>j2.1),FU2).

故卷=(小，0),而=(x,2),赢=(®I),

前=(x-®2),

：.ABAF=(yl2,0>(x,2)=g.

又巅酢'=&,.\x=l.

.,.«?=(1-^2,2).

布砺=(6，1)(一隹2)=6一2+2=隹

方法二用油,正表示近，即是关键.

设立=人脑，则#=(x-l)Ak

ABAF=AB(Ab-i-DF)

=AB(AD-{-XAB)=XAB2=2X,

又,：嘉•心=用,；2=戊,

坐.:.BF=BC+&=证+（当一I）嬴

:.AEBF=（猫+函•叵+

=（筋+城*2+（当一涧］

=（¥-1加2+统2

=（坐一1卜2+恭4=啦.

题型一向量的概念及线性运算

【例1】⑴已知向量a=（cosa,—2）,b=（sina,1）,且。则lan（a—£）等于（）

A.3B.gC.-3D.一；

（2）已知|a|=1,I才?|=小，届届=0,点。在N408内，且NAOC=30。，设无=

mOA-\-nOB（m,〃£R）,则:=.

审题破题（1）直接根据向量共线的坐标表示求tana,再用差角公式求tan（。一；）：（2）

寻找点C满足的条件.

答案（1）C（2）3

解析（1）：。勿，.,.cosa=-2sin«.

⑵方法一|后|=1,|为|=5，OAOB=0,

不妨假设点。在八8上，且NAOC=30。.

以。为原点，0A所在直线为x轴，08所在直线为y轴，建立直角坐标系，则A点坐

g,乎），OC=mOA-\-nOB（m,〃ER）,

标为（1,0）,B点坐标为（0,小），C点坐标为

3I

--3

所以存在〃-4

4,

方法二由条件。川=1,\OB\=y13,OAOB=0,可建立以。为原点，OA所在直线为

x轴，0B所在直线为），粕的直角坐标系，则后=（1,0）,历=（0,小）.

由。2=〃"4+〃。8,得0c=（〃?，小〃）.

又因为NAOC=30。，点C在NAO3内，

一u小〃“C1〃1口/〃c

可得%=tan3（F=］，-=3,即二=3.

反思归纳向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的

定理.平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表

示，这个定理的一个极为重要的导出结果是，如果小。不共线，那么九“+228=*。+

〃力的充要条件是a=川且不="3共线向量定理有一个直接的导出结论，即如果

xOB+yOC,则A,B,。三点共线的充要条件是x+y=l.

变式训练1如图所示，在△A3。中，点。是8。的中点，过点O的直线分别交直线人8,

AC于不同的两点M,N,若检=〃以拓AC=nAN（加，〃>0）,则的最小值为（）

A.2B.4

4D.9

答案C

解析MO=AO-AM

AB+ACI—(\1\-1一

-2-

同理双元<十%加M,O,N三点共线，

故（A辆+茨14（H）走4矶

即矗+Q一介痂=o,由于欣启不共线，根据平面向量基本定理

.=0且4+，=0,消掉入即得/n+n=2,

故A+L?+〃）《+3

=3+%粤）为5+4）号

题型二平面向量的数量积

【例2】⑴已知向量。和力的夹角为120。，\a\=\,仍|=3,则|5。一力|=.

（2）（2012•上海）在矩形48C。中，边48、4。的长分别为2、I,若M、N分别是边8C、

1»1>

co上的点，且满足幽=侬，则/育,病的取值范用是.

\BC\\CD\

审题破题⑴利用公式同2=。。直接计算：⑵利用其向量法，把病，病都用赢，病表

示，再求数量积.

答案（1）7（2）[1,4]

解析（1）15。一回2=（5。一协2=25。2—10。4+力2

=25X12-1OX1X3X（-；）+32=49,

所以|5a—"=7.

（2）如因所示，设理1=@DNc

18cl|CD|

=A（0^x^l）,则丽=2比，

OV=；Cb,DN=CN-CD

=（2-i）cb,

AMAN=(AB+

=(AB-\-ABC\[AD+(X-\)CD]

=a-\)ABCb+ABCAb

=4(1—i)+%=4—32,

.•.当2=0时，病•病取得最大值4；

当义=1时，Q/•瓶取得最小值1.

.••就•俞仁[1,4].

反思归纳向量的数量积计算有三种方法：(I)利用向量薮量积的定义，计算两个向量

的模及夹角；(2)根据向量数量积的几何意义，明确向量投影的含义；(3)建立坐标系写

出向量坐标，利用向量的坐标进行运算.

变式训练2(1)(2012•天津)在△A8C中，NA=90。，A8=l,AC=2.设点P,Q满足崩=2矗,

4Q=(I-X)AC,.若肥不=-2,贝IJ4=.

答案I

解析由题意知的=而一巍=(1一方曲一后，

CP=AP-AC=/AB-AC,且而最7=0,

故心而=(2-1)走一.2

2

=4(2—1)—2=32—4=—2,即人=§.

(2)(2013・山东)已知向量后与元的夹角为120。，且油|=3,|而=2.若人产=力布+危,

且崩_L正，则实数2的值为.

答案卷

解析由成1成:知赢反=0,即前抚=(4S+病)•(启一第)=(2—1)讪石一MB2

+病2=(】-1)X3X2X(—9-7乂9+4=0,解得1=能.

题型三平面向量与三角函数的综合

【例3】已知向量〃=(cosa,sina),b=(cosx,sinx),c=(sin.r+2sina,cosx+2cosa),其

中0<a<v<7t.

(1)若。=去求函数外)=护。的最小值及相应x的值：

(2)若。与方的夹角为且。_1_和求lan2a的值.

审题破题求解本题的关键是准确利用向量的坐标运算化筒已知条件，将其转化为三角

离数巾的有关问题.(1)应用向量的数量移公式可得/5)的三角函数式，然后利用换元法

将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的尤值.注意利用换

元法令/=sinx+cosx时，要确定/的取值范围.(2)由夹角公式及a_Lc可得关于角a

的三角函数等式，通过三角恒等变换可得结果.

解(l)'・"=(cosx,sinJ),

c=(sinx+2sina,cosx+2cosa),a=

•"•M=b'c=coaxsinx+2cosAsina+sin.vcosx+2sinxcosa=2sin.vcosx+也(sinx+cosx).

☆f=sinx+cosx,贝］2sinxcosx

且一1

则)'=尸+霹1=(/+明2一方，

=­3

，当f=—,ymin2,此时sinx+cosx=一手.

S..n

2♦<4<v<7t,

it5.,it7.1In

丁甲’.・x+『秒.-v=-jy.

...函数凡r)的最小值为一“相应X的值为出.

j1L

⑵•・,〃与8的夹角为去

.7tab.

..cos3=|a|*|£>|=cosacosx十sinasmx=cos(x—a).

V0<a<r<7t,/.0<v—a<7t,.*.x-a=j.

V«±c,

cosa(sinx+2sina)+sin«(cosx+2cosa)=0,

，sin(x+a)+2sin2a=C,即sin(2a+§+2sin2a=0.

.'.^sin2a+坐cos2a=0,tan2«=一雪.

反思归纳在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角晶

数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表

述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题.在解

决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，

就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题.

变式训练3(2013•辽宁)设向量。=(小sin.t,sin"),b=(cosx,sinx),0,三.

(1)若|a|=|b|,求x的值:

(2)设函数八©=〃力，求川x)的最大值.

解(1)由⑷2=(小sinx)24-sin2A=4sin2x,

|Z>|2=cos2x4-sin2,v=1,

及回=网，得4SIMX=I.

又0,W，从而sinx=:,所以尸专

(2贸x)=a6=小sin.vcosi+sin+r

3

=2sin2x—^cosZt+5

=sin^2x-

当x=^w[o,即时，sinQ一,取最大值1.

3

所以於)的最大值为全

【典例】⑴设向量。，b,c满足|3=俗|=1,ab=—^,(a-c,h—c)=60°,则|c|的最大值

等于

()

A.2B.-\/3C.^2D.I

(2)(2012・天津)已知AABC为等边三角形，48=2.设点P,。满足力=瓶瓦而=(1-

X)AC,7£R.若丽)=一方则2等于

]地

A5冲

解析（1）如图，设为=G,Oli=b,OC=c,

a-c

则C4=a—c,CB=b—c.A\

b-c

===

V\u\\b\l9OA—OB1.

又,・Z%=一

/.\a\-\b\coaZAOB=-/

••・cosNA08=一；.・•・NA08=120°.

又:(a-c,b-c)=6(T,而120。+60。=180°,

，0、A、C、B四点共圆.

・••当OC为圆的直径时，|c|最大,

此时/04C=/OBC=9€­°,，Rt△AOCWRt△8OC,

:.NACO=N8CO=30。，

：.\OA\=^\OC],：.\OQ=2\OA\=2.

(2)BQ&=(BA-\-AQ)(CA^AP)

—>—>—>—>3

=[8A+(l-#ACHCA+，8)=一2，

所以4X2-42+1=0.所以2=；.

答案(1)A(2)A

得分技巧(1)解决本题关犍是将向量叫b,c的起点移至同一点C,得到四点A、0、

B、C共圆.

(2)向量坐标化，利用向量的坐标运算是解题的突破点.

阅卷老师提醒(1)树立数形结合意识、向量是数彩结合的载体，充分挖掘条件的几何意义.

(2)拓宽思维层面，对向量的数量积运算的三种方法要灵活运用.

I.△48C的外接圆的圆心为0,半径为2,3+矗+元=0且|"M=|赢则向量行在无

上的投影的长度为()

A#B.3C.一5D.-3

答案A

__

解析由后+诵+/=。，

得油十亚=崩.尸<7^

又。为△ABC外接圆的圆心，OB=OC,\)

.•・凹边形ABOC为菱形，AO.LBC.

由|以|=丽|=2,知△A。。为等边三角形.

故自在无上的投影的长度为|丽=2cos

2.如图，△48C中，ZC=90°,且AC=8C=3,点M满足的=2诙，则屈心=()

A.2B.3

C.4D.6

答案B

解析（5/.五=（次+丽.为=游十份避网=海+|丽之一函=上海=3

3.（2013•浙江）设△ABC,2是边A8上一定点，满足PoB=；AB,且对于边A8上任一点P,

恒有丽辰》云B.吊G则()

A.N4BC=90。B.ZB4C=90°

C.AB=ACD.AC=BC

答案D

解析设3c中点为M,

则而.正=(PB|Pc}_2=PM2~^CB2

同理前.前二厢泳—加^

•/丽.前2MB•觉恒成立，

...|丽冽厢⑷恒成立.

即P^MA.AB,

取48的中点N,又PoB=%B,

•4

贝|JCALLAS,.•.4C=8C.故选D.

4.已知向量。，力夹角为45。，且同=1,|2。一"=4而，则协尸.

答案3^2

解析Va,。的夹角为45。，|a|=l,

•\ab=\a\-\b\cos450=

|加一。|2-4—4X孚网+|例2_io,,\\b\-3y[2.

5.（2013•课标全国I）已知两个单位向量a,b的夹角为60。，c=fa+（l—f）个若bc=O,则

t=.

答案2

解析\'c=ta+(\-t)b,

:.cb=tab4-(1—t)b2

2

=/X1X1XCOS60°+(l-/)Xl

=苏+1—f=1—1/=0.

.*.Z=2.

6.(2013•浙江)设白，及为单位向量，非零向量力=.阳+"-£R.若⑨，e2的夹角为全

则曷的最大值等于.

答案2

解析①当x=0时，曷=。；

②当xHO时，

向2=(.阳+)9)2

=A2+)?2+2x>'ei-e2

由①②知曷的最大值为2.

专题限时规范训练

选择题

(2012.四川)设〃、8都是非零向量，下列四个条件中，使裾/成立的充分条件是()

A.a=—bB.a//b

C.a=2bD.a〃〃且|a|=|臼

答案C

解析病表示与。同向的单位向量，卷表示与。同向的单位向量，只要〃与8同向，就

有*点观察选项易知C满足题意.

2.(2013•辽宁)已知点A(l,3),8(4,-1),则与向量A8同方向的单位向量为()

4停3

-氏-

5-5

34」43

---

一5D.5,5

5?

答案A

解析A万=O万一。了=(4,一1)一(1,3)=(3,-4),

34

-

.,•与A万同方向的单位向量为竺=55

\AB\

已知a,b是平面向量，若a_L(a-26),bL(b—2a),则。与。的夹角是)

A工

A,6B]鳄琮

答案B

解析由aL(a—2b)^\af=2a-b,

由bl(b-2a)^\b\1=2a-b,

・・・cos〈％b)=矗=今・•・2，b)=1.

4.设向量G=(1,sin0,A=(3sin仇1),且。〃力，则cos26»等于()

Io21

A•-？B--3C3DJ

答案D

解析'：a//b,A3sin^=l,

21

/.cos23=1—2sin2^=1—，=1.

5.等腰直角三角形ABC中，A=5,AB=AC=2,M是8C的中点，P点在△ABC内部或

其边界上运动，则而•府的取值范围是

()

A.[-1,0]B.[1,2]

C.(-2,-1]D.[-2,0]

答案D

解析以点A为坐标原点，射线AB,AC分别为x轴，y粕的正方向建立平面直角坐标

系，则8(2,0),例(1,1).设尸(x,y),由于点P在△48C内部或其边界上运动，故x20,

y20且x+yW2,而•俞=(x-2,y)(l1)=x-2+y,所以游•赢/的取值范围是[-2,0].

6.如图，己知点。是边长为1的等边三角形A8C的中心，财(济+油)・(次+浣)的值为

()

A.^B.—i

C.7D.—7

oo

答案D

解析•・•点。是边长为1的等边三角形ABC的中心，

：.\OA\=\OB\=\OC]=^-,ZAOB=ZBOC=Z>AOC=y,A(OA+OB)\OA+00)=OA

2兀1

2+OAOC+dAOB+OBOC=+3X™~

惇｝僧%36-

7.已知加=(2,0),OC=(2,2),』=(&cosa,/sina),则以与加央角的取值范围是()

B[?if]

A穆,f]

卷n]D詹,f]

答案C

解析a\=OC+CA=(2+V2cosa,

24-\/2sin«),设A(x,>)，

x=2+啦cosa,

则彳其中a是参数,消掉a,

j=2+，5sina,

即(x—2尸+°，-2p=2,这是一个以点(2,2)为圆

心、、「为半径的圆，作出图象如图所示，从图中可知两向量方U/夹角的取值范围是

「2L汨

Ll2*12J-

8.在AABC中，E、尸分别为A3、AC的中点.P为EF上任一点,实数x,)，满足R+x7》

+)'无=0.设△A8C,4PBC,△PCA,△B4B的面积分别为S,Si，S2,S3,记卷=为，

费=22,1=23,则左右取最大值时，2r+y的值为

()

33

A.-IB.1C.~2D.爹

答案D

解析由题意知4=九=；,即Si=*.

所以S2+S3=S-S|=^S,

两边同除以S,得WW，即上也斗

所以3=石+久3>2/高，

所以晶器高当且仅当』2=后=；,

此时点P位于EF的中点，延长4P交AC于。，1

则。为中点，由丽+,vPB+yPC=O,E/

得xPB+yPC=~PA=AP,

AP=Pb=^PB+PC)BDc

1-I-

=5PB+产，

113

所以x=E，y=y所以2x+y=q,选D.

二、填空题

9.(2012,浙江)在AA5c中，M是8C的中点，AM=3,«C=10,则赢•充=.

答案T6

解析利用向量数量积的运算求解.

如图所示，

AC=AM^-MC

ABAC=(AM+MB)-(AM-MB)

=AM2-MB2=\AM\2-\MB\2=9-25=-\6.

I<\

10.(2013•江苏)设E分别是△八8c的边A8,8c上的点,A/)=/8,8c.若及：=心赢

+石4(?(九，幻为实数)，则九+义2的值为

答案\

—>—>—>|­►2->I->2―~►—>|-*2-►

解析如图，O£=£>B+8£=]A8+QBC=ZA8+](AC—A8)=—制8+1八。，

121

则九=一不入2=予九+莅=?.

II.(201