概率论与数理统计练习册 习题答案 张天德 练习册2答案

第2章随机变量及其分布

重点：随机变量及其分布函数的概念，离散型随机变量及其概率分布，连续

型随机变量及其概率密度函数，常见分布，随机变量函数的分布.

难点：随机变量函数的分布.

2.1随机变量与分布函数

1.设Fi(x)与B(x)分别是某两个随机变量的分布函数，为使FW=aF](x)-bF2W

成为某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取().

3222

A.a=-h=--B.Q=±/=W

59533

二二

C.a=--b=-

21222

答案：A

2.下列各函数中，可作为某随机变量分布函数的是().

x

,x>0,

A.F(x)=­-00cx<+ooB.6(x)=〈l+x

l+x~

0,x<0

31

C.6(x)=e1-co<%<4-00D.F(x)=—+——arctanx,-8cx<+oo

442乃

答案：B

3.设/(x)=A+'arclanx(-8<xv+oo)为某一随机变量的分布函数，则常数

71

A二

答案4

0,x<0

]_

4.已知随机变量X的分布函数为%x)=0<x<l,则片X=l}二

了

1-"Jx>\

答案：”

-X

5.设随机变量X的分布函数为F（x）=《

(l)P{X<3};

⑵P{X>1};

(3)P{2<X<4}.

解：

⑴P{X«3}="3)=1-"3；

⑵P{X>l}=l-F(l)=e-,;

(3)P{2<X<4}=F(4)-F(2)=/

6.设随机变量X的分布函数为F（x）=Asinx,-<x<-,求:

⑴A;

⑶喈<XV乃

【解】（1）由于分布函数的性质可知，尸。）在x处应该是右连续的，可知

limF（x）=Ff-\也即A=l.

<XW乃｝二口（不）

2.2离散型随机变量

1.下列各表中可作为某随机变量分布律的是（）.

X012

A.

p0.50.2-0.1

X012

B.

P0.30.50.1

C.X012

124

P———

3515

X012

D.

222

p

234

答案：C.

2.已知离散型随机变量X的概率分布如下表所示:

X-10124

p0.10.20.10.20.4

则下列概率计算结果正确的是（）.

A.P{X=3}=0

B.P{X=（）}=0

C.P{X>-1}=1

D.P{X<4）=1

答案：A.

3.设离散型随机变量X的分布律为尸{X=k）=b¥,（k=1,2,3,）且/»（）,则（）.

A.4为任意实数

B.A=Z?+1

C.A=—

\+b

D.A=—

b-\

答案：C.

4.设随机变量X服从参数为A的泊松分布，且P(X=0)=L

则P(X>1)=().

2

A1C

A.—+—ln2

22

B.i--ln2

2

C.1(l-ln2)

LJ.一

2

答案：C.

5.若随机变量X~8(4,；),则P{XN1}=().

65一

AB.

81

16一

C

81“

一

27

D.照

16一

2A7

6.已知离散型随机变量X的分布律的是

X012

P().3p0.1

则p=_______

答案：0.6.

7.已知随机变量X的分布律为

X-2012

p（）.1（）.30.40.2

且y=x2-i,记随机变量y的分布函数为6（），），则弓（2）=.

答案：0.7.

8.设X服从泊松分布，且己知P{X=1}=P{X=2},则P{X=4}=.

答案：0.0902

9.设x~8(2,〃)，y~5(3,〃)，若P{xzi}=2,则P{yzi}=________.

9

IQ

答案：3

27

解析：由于XBQ,p),可知尸{乂=口=。；〃气1一〃产水=0,1,2

从而P{XNl}=l—P{X=0}=l—(l—p)2,代入P{XN1}=3可得〃=；。

乂由于y8⑶〃),可知P{y=k}=Cf〃"l-〃)"*M=0.L2.3,从而

io

3

p{y>i}=i-p{r=o)=i-(i-P)=-o

10.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，则抛掷次数X服从参数为

的几何分布.

答案：-

36

解析：设4={第，枚骰子出现6点}，i=L2,P(4)=L且A与A,相互独立.

6

再设C={每次抛掷出现6点}.则

P(C)=P(A1,A2)=P(Ai)+P(A2)-P(A])P(A2)

111111

=—I---------x—=——

666636

故抛掷次数x服从参数为U的几何分布.

36

11.设随机变量X可能的取值为,

P{X=-l)=-,P{X=0}=Z7,P{X=l}=-,且P{X?=X}=L求

262

00«

解：由分布律的规范性可知，\>=1,则有£+"7=1。

片26

又由p{x?=x}=?，有尸{X=O}+P{X=U=!，即〃+!=：,

2262

解得b=；，故。=1。

12.设口袋里有白球4个和黑球1个，甲乙两人轮流从中取球，取到黑球就停止,

甲先取，用X表示甲的取球次数，求X的分布律.

解：由于甲先取球，所以X的取值至少是1。由于白球一共只有4个，所以如果前两次甲

乙都取到白球的话，第五次甲就一定会取到黑球了，此时甲的取球次数为3,可知X的最

大值是3。

综上，我们可以得到X所有可能的取值是{1,2,3}。下面再逐一计算X等于这些值的概率:

方法一：首先考虑X=1的概率，注意到X=1有两种可能，第一种是甲第一次就取到黑球,

1412

第二种情况是甲第一次取到白球同时乙第一次取到黑球，其概率为《=可知

P{X=1)=|。

再考虑X=2的概率，这里也有两种可能，一是甲乙第一次取球都取到白球，甲第二次取

球的时候取到了黑球；二是甲前两次都取到了白球和乙第一次都取到了白球，乙第二次取到

431432122

了黑球，其概率为+=可知P{X=2}二±。

543543255

最后再计算P{X=3},由归一性可知P{X=3}=1—P{X=1}-P{X=2}=,。

5

即

X123

~P-1II

555

方法二：甲乙两人轮流取球相当于把这五颗球依次排序，由抽签原理可知，黑球排到任何一

个位置的都是等可能的，概率均为

5

2

X=1对应黑球排在前两个位置的情形，可知P{X=1}=—；X=2对应黑球排在第三和

第四个位置的情形，可知P{X=2}=±；X=3对应黑球排在最后一个位置的情形，可知

P{X=3}1。

即

X123

~P—I1r

555

13.从装有3个红球，1个白球的袋中分两次随机地取球，每次取一个，设X表

示两次取出的白球数，试分两种情况：（1）有放回抽取；（2）不放回抽取，分另ij

求出X的分布律.

解（I）有放I可时，X的可能取值为（），1,2.

十=。）=冷得

X=1包括第一次取白球，第二次取红球，和互斥事件：第一次取红球，第二次

/==133I6

取白球，根据有限可加性其概率为:zDIXv1I-X-----1-----X-=------,

\7444416

P（X=2）=,x』=-L,故X的分布律为

'74416

故X的分布律为P(X=r)=0.5,(/=0,1)

14.设随机变量X的分布律为

X-124

P0.20.50.3

求：⑴X的分布函数尸(x)；

(2)P{X<0},P{-l<X<2.5},P{-l<X<2.5),P{X>I.5}.

解(1)当xv—1时，因为X取得最小的值是-1,因此事件{XWx}是不可能事件，故

F(x)=P(X<x)=0,

当一lWx<2时，事件{XWx}就是事件{X=-l},

故F(x)=P(X<x)=P(X=-l)=0.2.

当2W戈<4时，事件{XWx}就是事件{X=-l}或{X=2},

故F(x)=P(X<x)=P(X=-1)+P(X=2)=0.2+0.5=0.7.

当工之4时，因为X的最大值为4,因此事件{X<x}是必然事件，故/(x)=P(XKx)=l

可以把X的分布函数尸(幻的表达式写成

0,x<-1,

0.2,-l<x<2,

F(x)=\

0.7,2<x<4,

1x>4

(2)P(X<0)=0.2,

P(-l<X<2.5)=0.5,

P(-l<X<2.5)=0.7,

P(X>1.5)=0.8.

0,x<-\

0.4,

15.设X的分布函数为F(x)=P{X<x}=.,求X的概率分布.

().8,\<x<3

1,x>3

解P{X=-l}=F(-l)-F(-l-0)=0.4-0=0.4

p{X=l}=F（l）-F（l-O）=0.8-04=0.4

P{X=3]=F（3）-F（3-0）=1-0.8=0.2

X的概率分布（即离散分布律）为

X-113

Pi0.40.40.2

16.设有5个独立同类型的供水设备，在任一时刻，每个设备使用的概率为0.1,

问在同一时刻，(1)恰有2个设备被使用的概率是多少？

(2)至多有3个设备被使用的概率是多少？

解:设X为同时使用的设备台数,则X~B(5,0.1).

⑴P(X=2)==c；x(0.1)2x(0.9)3=0.0729;

(2)P(X<3)=1-P(X=4)一P(X=5)=0.99954.

17.电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：

(1)每分钟恰有8次呼唤的概率；

(2)每分钟的呼唤次数大于10的概率。

解⑴法一：P(X=8)=—^=0.029770(直接计算)

8!

法二：P(X=8)=P(X>8)-P(X>9)(查人=4泊松分布表)。

=0.051134-0.021363=0.029771

(2)每分钟呼唤次数大于10的概率。

P(X>1())=P(X>11)=0.002840(查表计算)

18.设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,且

一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人

维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台.试比较这两种方法在设备

发生故障时不能及时维修的概率的大小.

解按第一种方法.以X记“第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”,

以4(—123,4)表示“第人维护的20台中发生故障不能及时维修”，则知80

台中发生故障不能及时维修的概率为

P(A，&出A4)>P(A])=P{X>2}.

而X〜伙20,0.01),故有

1।(20、

P{XN2}=1-ZX=灯=1-Z(0.01/(O.Q^20-*=0.0169.

Jt=O&=0(%)

即p（4A3A4）>0.0169.

按第二种方法.以y记80台中同一时刻发生故障的台数.比时

Y〜伙8（）,0.（）1）,故80台中发生故障而不能及时维修的概率为

3（80、

P（r>4）=l-^（0.01）X（0.99）8°-X=0.0087

k=0）

也可用泊松近似：v近似服从泊松分布尸（0.8）,查表计算.

结果表明，在后一种情况尽管任务重了（每人平均维护约27台），但工作效率

不仅没有降低，反而提高了.

19.设在15只零件中有3只是次品，在其中不放回取4次，每次任取一只，以X

表示取出次品的只数，求X的分布律.

「k「4一£

解:超几何分布:P（X=Z）==0,1,2,3.

"GT

20.设做伯努利试验，每次成功的概率为〃（0<〃<1）,试验一直进行到第二次

成功为止，X表示此时的试验次数，求X的分布律。

解：试验进行到第二次成功时为止，所以X的取值至少是2,由于无论做多少次试验，都

无法保证其中必然能够成功两次，可知X的取值是没有上限的。综上，X所有可能的取值

是{2,3,4,......}。

下面来计算X=*的概率（9=2,3,4,......）

由题意可知X=%意味着前A—1次中恰好成功一次，并且第％次是成功的，故

P{X=A}=CL（l—p）ip〃=（A—l）（l—p）ip2,k=2,3,4,......

这就是随机变量X的分布律。

2.3连续型随机变量

1.设X为连续型随机变量，则X的分布函数是（）.

A.非阶梯间断函数。B.可导函数。

C.连续但不一定可导的函数。D.阶梯型函数。

答案：C

解析：连续型随机变量的分布函数一定是连续的，但不一定可导。因为对于函数

产（尤）=[/«）力来说，如果要保证产（X）可导需要已知“X）是连续的，而这一点

不一定成立，例如均匀分布和指数分布的概率密度就都有不连续点。所以X的

分布函数一定连续但不一定可导。

2.下列各函数中，可作为某随机变量概率密度的是().

14

5x4,0<x<1;0<X<1;

A.f(x)=-B.

其他

(),0,其他

2

4月,-1<JT<1;3x,0<x<1;

C./Cv)=D./⑶=,

0,其他-1,其他

答案：A

1(X+2)2

3.设随机变量X的概率密度为/(X)=1=J一1,则X〜().

2j2乃

A.N(—2,2)B.B(-2,4)C.N(—2,8)D.N(—2,16)

答案：B

4.设随机变量X在区间［2,4］上服从均匀分布，则尸{2vX<3}=()

(A)P{3.5<X<4.5}(B)P{1.5<X<2.5}

(C)P{2.5<X<3.5}(D)P{4.5<X<5.5}

答案：C

解析：因为随机变量X在区间［2,4］上服从均匀分布，概率密度函数

2<x<4

于(x)=<2

0,其它

所以夕{2<X<3}=；=P{2.5<X<3.5}.

5.设随机变量x服从正态分布y服从正态分布且

片|X一从|<1}>尸{|丫一4|<1},则必有().

A.必<B.CT]>/

C.必<必D.4>/A.

答案：A

解析：随机变量标准化，有上星〜N(O,1),所以

6.设随机变量X的概率密度为/(幻=四《"，则〃二.

2

解析：方法一：由概率密度的性质可知「/'(幻心=「，3万+%=1。

JyJy

X1(X-[)21(x-l尸

方法二：f(x)=ae2=ae2&=a&e2。

ia-"-

由于正态分布的概率密度应该为-7—e2,，和/(式)对照可知，这里的

\J27TO-

//==1,ifiJa4e=J——,从而。

行y/2i

0<x<1

3

7.设连续型随机变量X的概率密度为/*)=.33Vx<6,则使得

0,其它

2

P{X>k}=^成立的k的取值范围是

解析：由题意可知公=2,结合图像注意到]'/(幻公=12公=2。

所以，要使得『/(幻公=|,则必有心3。

又由于在(0,1)上，f(x)=1,所以％最小只能取到1,当2<1时，就有

f-KC2-

J.f(x)dx>三了。

Jk3

综上所述，当且仅当々£[1,3]时，f(x)dx=-

Jk3

8.设X~E(/l)(/1>0),则P，X>~!4=

A

Ax

解析：由于X的概率密度为/*)=：Xe~=r>0o

0,x<0

从而P"X>'=Ji/(%)公=J1^''dx——e"[i=<?-1o

\--^r>0

或者，由于X的分布函数为/(x)=i€'"5

0,x<().

i&pJx>-^[=i-p(x<4}=I-F(4)=-.

22Ae

9.设随机变量X服从正态分布N("d)9>0),且二次方程/+4y+X=0无实

根的概率为;，则〃=

解析：二次方程无实根，即,J+4)，+X=0的判别式△=J]-4ac=16-4X<0,

也就有X>4.此事发生概率为g,即P{X>4}=g,

对于XN(〃,02)(c>0),可知P{X>〃}=，，所以〃=4.

10WxW]•

10.设连续型随机变量X的概率密度为/*)=0套&'则当0W1时，X

的分布函数FU)=.

答案：x

11.设随机变量X的概率密度为f(x)=匕1'受2，

0,其匕.

求(1)常数a；(2)X的分布函数歹(幻；(3)P(1<X<3).

解析：(1)1=J/⑶公=J°(0¥+1)公=(]/+x)；=2〃+2

(2)X的分布函数为

0,x<0,'(),x<(),

2

1X

F(x)=t[f(u)du=•0<x<2,=<X0<x<2,

-COJo24'

1,A>2.1,A>2.

(3)P(1<X<3)=j'f(x)dx=f(1-i.

12.设连续型随机变量X的概率密度为

〃[2x,0<x<l

fM=<

0,其他

以y表示对x的三次独立重复试验中出现的次数'求概率PG=2).

I.111

解析：由题意ax则y例匕),

所以p(y=2)=%)2弓)=看.

13.设随机变量X的分布函数为

0,x<0,

F(x)=1A己

0<x<1,

x>\.

试求：(1)常数A；(2)P{0.3<X<0.7}；(3)概率密度函数/(x).

解：⑴limF(l+Ar)=F(l),1M12,A=1

Ar->0，

0,X<0,

(2)F(X)=]X2,0<X<I,

1,x>\.

0{0.3<X<0.7)=户(0.7)—/(0.3)=0.72-O.32=0.4

八，2x,0<x<1,

⑶/⑺《⑴=Q其他，

14.随机变量K在区间[0,5]上服从均匀分布，求方程4f+4aTK+2=0有实根

的概率.

解"△=(4A)2—4X4X(Z+2R0}

=P[k>2^k<-\]

=P{k>2}+P{k<-\}

15.设随机变量X服从参数为义的指数分布，且落入区间(1,2)内的概率达到最

大，求4.

解由于X~EQ),则/(/l)=P{l<X<2}=e<―二:

2

于是/(2)=W+2e“/=e-\2e-1)。由/(2)=0可知/=In2

16.设随机变量X~ML4),试求P{0<X41.6}与尸{X>5}.

解P(0<X<1.6)=①-(D(—)=①(0.3)—①(―0.5)=0.3094,

22

5-1

P(X>5)=1-P(X<5)=1-7(二—)=1-①(2)=1-0.9772=0.0228.

2

17.一工厂生产的电子管的寿命X(小时)服从参数为〃=160,0(未知)的正态分

布,若要求「(120WXW200)K).8,允许。最大为多少?

解P(120士200)=卜喈卜,祟

喏部0.80

of—)>0,9=>—>1.281=>o-<^-=31.25.

(ojo-1.281

18.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所

需时间X服从N(40,102)；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从

Af(50,42).

(1)若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些?

（2）又若离火车开车时间只有45分钟，间应走哪条路赶上火车把握大些?

解：（1）若走第一条路，X-/V（40,102）,则

P(X<60)=1I"消J。消)=①Q)=0.97727

若走第二条路，X〜N(50d),则

P(X<60)=p[]=①Q.5)=0.9938

I44)

故走第二条路乘上火车的把握大些.

(2)若走第一条路，X~N(40,102),贝IJ

<X-4045—40、

P(X<45)=P----------<———=^(0.5)=0.6915

(1010)

若走第二条路，X〜N(50,42),则

P(X<45)=P[上史<45-501=^(-1.25)

I44)

=1一例1.25)=0.1056

故走第一条路乘上火车的把握大些.

2.4随机变量函数的分布

(~\019、

1.己知X的分布律为,则y=x2-i的分布律为().

(0.20.1a0.4)

(-\0121(10141

A.,B.,

(0.20.10.30.4J(0.20.10.30.4J

f014)(-\03、

C.•10.10.50.4,

(0.10.50.4J

答案：D.

2.设随机变量X的分布密度为/（x）,-8<x<8.则y=X3的概率密度为（）.

2」1（B）6（），）=y/热尸0

(A)fY(y)=-y

］二2二a

3

(C)fY(y)=-y(D)fY(y)=-y/(y

答案：B.

解析：Y=X\即有y=g(x)=/,它严格单调增加，

11_2

解得x=/z(x)=y3,且有h'(y)=-y3,

3

33

Y=X的概率密度为fY(y)=；y~\f(y),y*0

J

3.若x是连续型随机变量，则y=g(x)().

A.一定是连续型随机变量B.一定是非离散型随机变量

C.一定是离散型随机变量D.有可能是连续型随机变量

答案：D.

4.设随机变量X服从参数为2的指数分布，则y=1-6-2X的分布函数为

0,y<0

答案：尸(y)=«y,o<y<1.

,1,y>i

e-xv->0

5.设随机变量x的概率密度为/(x)=《‘廿、，则)>o时，y=x2的概率密

0,其'已

度为.

答案：」尸"6

解析：由题意y=x?,即有)，=g(x)=f.

在x>0时，g(x)严格单调增加，具有反函数r=力()。=又有/(y)=：y2.

y>0

所以丫=X2的概率密度为fY(y)=2，)，

0,其它

6.若X~N(1J)，贝lJ2X+l~.

答案:N(3,4).

7.设随机变量X的分布律为

X-2-1013

P0.30.20.10.30.1

求：

（1）y=2—x的分布律;

（2）Z=X?的分布律.

解列表

X-2-1013

Y=2-X4321-1

Z=X2410r9

P0.30.20.10.30.1

根据上表可以得出随机变最匕Z的分布律，只是要注意两点：一是随机变最取值习惯按

从小到大排列；二是对于随机变量取的同一个值的事件的概率要注意合并，如

P（Z=1）=P（X=-1）+P（X=1）=0.2+0.3=0.5

y的分布律

Y-11234

P0.10.30.10.20.3

z的分布律

Z014

P0.10.50.30.1

X

0<x<4,

8.设随机变量X的概率密度为人（x）=V

、0,其他.

求y=2X+8的概率密度函数.

解：记y的分布函数为6⑶），则

FY(y)=P[Y<y}=P{2X+S<y}=P{X<^}=Fx^

4乙

fy(y)=%(y)=&(­)•；=/x(4)•I

—8

1.18<y<16,

=8

其他.其他.

9.设随机变量X的概率密度为

—,-1<x<0

2

fx(x)=<一,0Vx<2,,

4

0,其它

求y=x?的概率密度力（），）

解：因为一1VXV2,可知0WYV4,

2

从而当y<0时，FY（y）=P{Y<y}=P[x<>]=0：当），24时，耳（），）二1。

当OKy<4时，6（），）=「{乂2<»=*一4工*477}=仁人（为心，结合人食）的

解析式可知，接下来还需要分0W”1和1W），v4两种情况讨论：

当04yv1时，&（y）=p{-4《X《4}==;

当1w），v4时,入（），）=P[-y[y<X<V7）=J：*+J：9=9；6；

综上所述，有

y<0

3

0<y<1

24

FY(y)=P{Y<y}P{x<y}=«

1<y<4

4<y

0<y<1

8“

进一步有人（），）=K（y）=,1<y<4

心o

0,其他

第2章测验题

一、选择题

I.设随机变量X的概率分布为

X1234

\_43

P

48756

若其分布函数为F(x)，则F(3)=().

答案：A

2.掷一枚不均匀的硬币，已知在4次投掷中至少出现一次正面朝上的概率为妁,

81

则在一次投掷中出现正面朝上的概率为().

(A)—(B)-(C)-(D)-

81933

答案：C

3.设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为

工(幻和6(x),分布函数分别为耳。)和鸟(幻，则().

(A)fM+必为某一随机变量的概率密度.

(B)/(x)力(x)必为某一随机变量的概率密度.

(C)耳(幻+8。)必为某一随机变量的分布函数.

(D)『X)入(X)必为某一随机变量的分布函数.

答案：D

解析：(A)选项不可能，因为

r”f-oof-MO

J,"(x)+人(X)妁=L/“世+J,&(入岫=1+1=201

也不能选(B),因为积分广£(x)人(工世的值不一定为1,可取反例，令

工叫[1o,,-其1他<x<0启叫[1。,,0其<他x<1

显然/(尤)，丛(x)均是均匀分布的概率密度.而

/(X)人(x)=0,不满足L，(幻A(x)公=1条件.

(C)当然也不正确，因为

lim[尸(芭)+尸®)]=1+1=2工1

XT+OO

可以验证：耳(X)鸟(X)满足充要条件的全部三条性质，故耳(X)鸟(X)必为某一随机变量的

分布函数，答案应选(D).

4.设随机变量X的概率密度/(X)满足/(l+x)=f(l-X),且J；/*)心=0.6,则

P{X<0}=().

(A)0.2(B)0.3(C)0.4(D)0.5

答案：A

解析：由题意可知，该随机变量的概率密度/(x)关于I

x=l对称，故f(x)图像如右图所示，可以借助图像来

进行分析和计算。一吗叫工---

由1/")心=0.6可知用影部分的面积为0.6,由对称性可知「f(x)心=0.2,故

JoJ-CC

P(X<0)=0.2,故选(A)o

5.设X~N(〃4),y~N(〃,52),记P]=P｛XW〃一4｝、〃2=尸｛丫2〃+5｝,则().

(A)对任意实数〃，有亿二〃2⑻对任意实数〃，有pa/%

(C)对任意实数〃，有P|>P2(Q)对〃的个别值，有P1=P2

答案：A

解由于江二幺~N(0,l),上二幺〜N(0,l)

45

所以p1=尸｛勺幺4一1｝=①(_1)

p2=P｛上二幺>1)=1-0(1)故p产〃2,而且与〃的取值无关.

二、填空题

1.已知随机变量.X.的概率分布为

X123

Pk0-(1-0)2

7

且P{XN2}=-,则未知参数，=________.

4

解由p{XN2}=p{x=2}+P{x=3}=2e(i-e)+(i-e)2=i_e2=3_,得。=一I或

6>=-1,乂P{X=2}=20(1—0)20,故取。二;.

2.设X-P(/l),4P{X=2}=P{X<\}f则P{X=3}=.

2

7&A

解析：由于X~P(/t),可知产{X二行二JeT,k=0,l,2,,从而P{X=2}='

k\2

P[X<\]=P[X=0}^P[X=\}=e-^,代入4P{X=2}=P{X<\]可得

2/l2=2+K解得2=1或％=一，(舍去)，可知XP⑴,从而尸{X=3}=」-。

26e

3.设随机变量X服从参数为1的指数分布，。为常数且大于零，则

P[X>a+\\X>a}=.

解由指数分布的无记忆性，得

P[X>a+\\X>a]=P{X>l}=i-P{X<l}=e\

4.随机变量X〜其概率密度函数为

]x?-4x+4

f(x)=—i=e6(-<»<x<-Ko)

府

若已知ff(x)dx=「f(x)dx,贝ijc=

JcJ-<x?__________•

答案：2

i/-4x+4](K-2)2

解析：因为==L「e”3)2,

46兀J2乃J3

所以由正态分布概率密度函数，〃=2.

若J：/(幻公=[f(x)dx,由正态分布的对称性可知c=〃=2.

5.设随机变量X在(0J)区间内服从均匀分布，则y=-21nX的分布密度为.

答案：力()，)=5'、

0,y<0

三、解答题

1.设10件产品有7件正品,3件次品，随机地抽取产品，每次1件，

直到取到正品为止，

(1)