概率论与数理统计练习题(附答案)

练习题

1、设随机变量X~b(10,0.6),则空驾二；

［E(X)「

2

2、假设随机变量*的分布未知，但EX=7/,DX=<y，则*落在区间(4-2b,〃+2<T)

的概率必不小于

3、设d=@(乂］,乂2……X〃)是未知参数。的一个估计量，满足条件

则称。是0的无偏估计。

4.设。v为随机变量，且。(叶¥)二7,。？二4,。01,则相关系数Pxy二

5.设随机变量X'X2,、X〃相互独立，且Xj(i=l,2,,〃)都服从区间［0,1］上的均匀分布,

则当〃充分大时，匕,=：ZXj近似服从〔写出具体分布与参数〕

/=1

6.设(X,y)服从区域G：/+y2«R2上的均匀分布，其概率密度为:

222

Cx+y<R,r、

f(x,y)=<0其它’则c=〔〕;

,11

(A)

成一；⑸就；©2吹0)—

2

7.设XpX2Xn为相互独立的随机变量，且E(Xp=〃，O(Xp=cr

1n_

[/=1,2......九〕，X=-ZX；,则DX=(

/=1

2

(y2。

(A)——(B)na(Q(D)

nn

8.设一次试脸中事件A不发生的概率为p,独立重复n次试脸,A发生了*次则正确的选项是:

〔〕

(A)E(X)=p(l-p/；(B)E(X)=np;

(C)DX=np［\-p)；(P)DX=p-po

9.设随机变量X和丫不相关，则以下结论中正确的选项是〔

A.X与y独立；B.D(X-Y)=DX+DY-

C.D(X-Y)=DX-DY\D.D(XY)=DXDY.

10.任何一个连续型随机变量的概率密度0（x）一定满足（）o

A、0<(p(x)<1B、在定义域单调不减

C、J(p(x)dx=1D、(p(x)>1

11袋中有m个红球，n个白球，任取2球，求〔1〕取得两个同色球的概率；〔2〕至少取

得一个白色球的概率

12（x,y）的联合分布率为:

求：〔1〕关于X的边缘分布律；

〔2〕z=x?y的分布律及分布函数&（Z）

13有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机

来的概率分别为03、0.2、0.1、0.4o假设他乘火车、

轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为而乘飞机来不迟到，试求：〔1〕这位朋

31

友迟到的概率；〔2〕如果他迟到了，求他乘火车的概率,

14设46为随机事件,且2（4）=：,尸（布）=3,P（4|B）=；，令

求：（1）二维离散型随机变量（1））的概率分布表；

（2）峰Y是否相互独立

\Ax+B0<x<71

15设随机变量X的概率密度为/（x,y）=<且

0其它

771

EX万求〔1〕A,B的值；⑵P（—<X<——'）；〔3〕Z=sinX的密度

44

22

16设总体X~N（〃，b）（cr未知）有假设检验”（）：，=4（）—:及

样本XyX2……Xn[1]请指出所用统计量及其分布；〔2〕指出并推导拒绝域〔显

著水平为a〕

17*包装机包装物品重量服从正态分布N（〃,4?）。现在随机抽取16个包装袋，算得平均包

装袋重为x=900,样本为方差为§2=2,试检查今天包装机所包物品重量的方差是否有

变化.〔a=0.05〕〔力殷5（15）=6.262,^025（15）=27.488]

18〔*,Y〕的联合概率密度为：

4>0.y>0

/（x，P）=<一’，

0其它

试求：〔1〕*,Y的边缘密度函数⑵*,Y是否相互独立⑶p{o<X<1,0<Y<2}

19设XyX2……Xn为来自于总体*的一个样本，*服从指数分布，概率密度为

f（x,2）=〈_,求参数4的矩法估计与最大似然估计°

[0,其他

2

20设随机变量*,Y相互独立，且都服从正态分布N（4，b）,假设

Z]=x+y,z2=x-3丫；求*和Y的函数ZpZ2的相关系数P、12o

21从*种电子元件中随机抽取30只，测得平均寿命〔单位h〕X=2500/7,样本标准差

22

S=700h,设该种电子元件的使用寿命服从正态分布N（〃，b）求。的贪信度为95%

的置信区间〔上侧分位数%（）（）25（29）=45.7,粉975（29）=16.（）〕

22证明设连续型随机变量X的概率密度函数/。）是偶函数，其分布函数为

F（JC）O证明对任意实数x,有小）+尸（r）=l°

练习题

1、设随机变量X~b（10,0.6）,则0X"=ox；

[E（X）]~

2

2、假设随机变量*的分布未知，但EX=//,DX=a，则*落在区间（〃-2cr,〃+2oj

的概率必不小于—3/4〔切比雪夫不等式〕

3、设3=/9（XpX2……X〃）是未知参数6的一个估计量，满足条件

E（3）=0,则称。是。的无偏估计。

4.设。Y为随机变量，且。（叶刃二7,。^二4,。0>1,则相关系数Pxy二”

5.设随机变量X1,X2,…,X”相互独立，且X,（i=l,2,）都服从区间[0,1]上的均匀分布，

n]1

则当〃充分大时，/=+ZXj近似服从N（二,—）〔写出具体分布与参数〕〔中心极限定

〃工212〃

理：

6.设（X,Y）服从区域G:Y+y2MR?上的均匀分布，其概率密度为:

Cx2+y2<R2

/(x,)')=«其它'则C二〔B〕；

0

(A)成2；(B)春©2成,(D)短

2

7.设XpX2....为相互独立的随机变量，且E（Xp=〃，£>（Xj）=er

_1n

[j=l,2......〃〕，X=—£X：,则DX=[A)

ni=l

2

er23…2」

(A)——(B)no(Q

nn

8.设一次试脸中事件A不发生的概率为p,独立重发n次试脸，A发生了*次。则正确6勺选项

是：〔C〕〔注：X-b(nJ-p)]

(A)E(X)=p(l-p『(B)E(X)=np；

2

(QDX=np(\-p)；(D)DX=p-po

9.设随机变量x和y不相关，则以下结论中正确的选项是〔B〕

A.x与y独立;B.D(X-Y)=DX+DY\

C.D(X-Y)=DX-DY;D.D(XY)=DXDY.

10.任何一个连续型随机变量的概率密度8（%）一定满足（C）o

A、0<(p(x)<1B、在定义域单调不减

C、J(p(x)dx=1D、(p(x)>1

11袋中有m个红球，n个白球，任取2球，求〔1〕取得两个同色球的概率；〔2〕至少取

得一个白色球的概率

c2c2c2

解：⑴—2十—2⑵1—六2

cm^ncJjn+ncm+n

12（x,y）的联合分布率为:

表示“朋友乘飞机来"；8表示"朋友迟到”,则〔1〕

⑵呐明，?y)二成)

V17P⑻％02

14设4,8为随机事件，且P(A)=；,P(.A)=：,尸(川8)二\令

求：(1)二维离散型随机变量的概率分布表；

(2)峰Y是否相互独立

IP(AQ\I

解⑴由于由(A/=P(A)P(5|A)=r，P(B)=7^=q,

所以P{x=i,y=i}=P(AB)=%,

-i

P{X=IY=O}=P(AB)=P(A)~P(AB)=-,

6

一一2

尸{X=0,1,=0}=P(AB)=1-P{A+B)=1-P[A)-P(8)十尸(A8)=彳

1112

〔或p{x=o,y=o}=i-----------=一〕

126123

故(ID的联合概率分布为

_2

0

123

(2)米,y的概率分布分别为

b01Y01

1

由于P〔*二1〕P[Y=1—P[*=1,Y=l)

462412

P(*=1]P[Y=l]HP[*=1,Y=l]

故*与Y不相互独立

\Ax+B0<X<7T

15设随机变量X的概率密度为/(x,y)=，且

0其它

77137T

EX=二万求〔1〕A,B的值；[2)P(一£X£—)〔3〕Z=sinX的密度

、44

「(Ax+B)dx=1

A=4

:2乃解得：<

解：〔1〕<7T

j：(Ax+B)xdx=—B=O

——/0<z<1

2

〔3〕fz(z)=-^71-z〔分布函数法！〕

0其他

22

16设总体X~NO，。)(a未知)有假设检险”0:〃=4。及

样本X］,X2……Xn〔1〕请指出所用统计量及其分布；［2［指出并推导拒绝域〔显

著水平为a1

x-勺2］g-

解：［Lt=—/「〜，(孔—1)其中S=----Z(X,—X)

5/yjnn-1，=1

：2〕假设“0成立/〜t(n-1)

则-1))二。〔注意：此处拒绝域形式应该与备择假设形式一致！〕

从而拒绝域为{f<"_。(及-1)}={/<一％(〃-1)}

17*包装机包装物品重量服从正态分布N(〃,4?)。现在随机抽取16个包装袋，算得平均包

装袋重为x=900,样本为方差为S?=2,试检查今天包装机所包物品重量的方差是否有

变化.〔a=0.05〕〔/.。5）=6.262,^025（15）=27.488]

22

解：:cr=cr(>=4,%:cr2H

由于z2=-1"~/2(〃-1),

b

拒绝域为归伍<若琬(15)或*>'025d5)}=/<6.262或/2>27.488),

c1^x9

〃=16,S2=2,(J2=4?代入得才~=------=1.875

16

由于1.875</必(15)=6.262

所以拒绝4。，即认为其方差有变化。

18〔*,Y]的联合概率密度为:

12夕3》川%>0y>0

f(x,y)=<,

0其它

试求：〔1〕*,Y的边缘密度函数⑵*,Y是否相互独立⑶P{0<X<L0<Y<2}

>>0_13"笈，x>0

解：⑴fxM=匚j。,y)dy=<

0,其它°，其它

⑵因为7%（工）力3=/（不，）'），所以*与丫相互独立.

38

(3)^(0<X<1,0<Y<2}=££12小3"4y港方二(l-e-)(l-e-)

19设XpX2……Xn为来自于总体*的一个样本，*服从指数分布，概率密度为

义0一久，x>0

f（x,/t）=<:一,求参数％的矩法估计与最大似然估计。

0,其他

,+00.I

解：⑴1.1求出总体*的期望为石(X)=Jx-Ae~Xdx=—

"°A

1.2令E(X)=又得，-=X

A,

解得7=J-

X

AJ

1.3所以义的矩法估计为％二一

X

〔2〕2.1写出似然函数

2.2求最大值

先取对数：〃，一立

In,X2,・・・x4)=〃In2xi9xi>0,

/=1

再由3TlnL(X|,X2，・・x〃，㈤=?一汽七=0,

d九4j=i

fl1AI

得最大值点九=—=—,也即戢大似然估计义二一〔最大值的驻证可略〕

3/X