概率论与数理统计练习题附答案详解

第一章《随机事件及概率》练习题

一、单项选择题

L设事件A与B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,则一定有()

(A)P(A)=1-P(B)；(B)P(A|B)=P(A)；

；

(OP(A|B)=1(D)P(A|B)=1O

2.设事件A与B相互独立，且P(A)>0,P(B)>0,则()一定成立

(A)P(4|B)=1-P(A)；(B)P(A|B)=O；

(C)P(A)=1-P(B)：(D)P(A\B)=P(B).

3.设事件A与B满足P(A)>0,P(B)>0,下面条件()成立时，事件A与B

一定独立

(A)P(AB)=P(A)P(B),(B)P(AUB)=P(A)P(B)；

(C)P(A|B)=P(B)；(D)P(A|B)=P(A).

4.设事件A和B有关系，则下列等式中正确的是()

(A)尸(A5)=P(A)；<B)P(AUB)=P(A)；

(OP(B|A)=P(B)：(D)P(B-A)=P(B)-P(A)0

5.设A与B是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是()

(A)A与B互不相容；(B)A与B相容；

(C)P(AB)=P(A)P(B)i(D)P(A-B)=P(A)O

6.设A.B为两个对立事件,且P(A)HO,P(B)X0,则下面关系成立的是()

(A)尸(AU〃)=P(A)+P(〃)；(B)P(AU8)，尸(A)+尸(3)：

(OP(A5)=P(A)P(B)；(D)P(AB)=P(A)P(B)0

7、对于任意两个事件A与B,等于()

(A)P(A)-P(B)(B)P(A)-P(B)+P(AB)；

(C)P(A)-P(ABh(D)尸(A)+P(瓦一尸(AZ)。

二、填空题

1.若，,P(A)=0.9,，贝！J=。

2.设P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(A|B)=0.5,则P(B|A)=,

3.已知，，则

4.已知事件、满足，且，则=o

5.一批产品，其中10件正品.2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出后不再放回，则第2次抽出的是次

品的概率为O

6、设在4次独立的试验中，事件A每次出现的概率相等，若已知事件A至少出现1次的概率是，则A在

1次试验中出现的概率为o

7、设事件A,B的概率分别为，①若A与B相互独立，则

;②若A与B互不相容，则。

8、有10个球，其中有3个红球和7个绿球.随机地分给10个小朋友，每人1个，则最后3个分到球的小

朋友中恰有1个得到红球的概率为o

9、两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲击中的概率为0.8,乙击中的概率为0.7,则目标被击中的概率

为。

三、计算题

1.某工厂生产的一批产品共100个，其中有5个次品：从这批产品中任取一半来检查，求取到的次品不多于

1个的概率。

2.某城市的电话号码为六位数.且第一位为6或8：求（1）随机抽取的一个电话号码由完全不相同的数字

组成的概率；（2）随机抽取的电话号码末位数是8的概率。

3.已知，P（AB）=0,，求A,B,C至少有一个发生的概率。

4、设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件，已知所取2件中有一件是不合格品，求另外

一件也是不合格品的概率。

5.一个工厂有一，二，三3个车间生产同一个产品，每个车间的产量占总产量的45%,35%,20%,如

果每个车间成品中的次品率分别为5%,4%,2%,

①从全厂产品中任意抽取1个产品，求取出是次品的概率：

②从全厂产品如果抽出的1个恰好是次品，求这个产品由一车间生产的概率。

6、有两箱同类零件，第一箱装50只（其中一等品10只），第二箱装30只（其中一等品18只）；今从两

箱中任挑一箱.然后从该箱中依次不放回地取零件两次，每次一只：已知第一次取到的是一等品，求第二次

取到的也是一等品的概率。

7、右边是一个串并联电路示意图，A.B、C都

是电路中的元件，它们卜.方的数是它们各自独立

正常工作的概率（可靠性），求电路的可靠性。

四、证明：若,则事件A与B相互独立。

第二、三章《随机变・及其分布》练习题

一、单项选择题

1.设离012

散型随

机变量

的分布

列为

X

P0.30.30.4

为的分布函数，则=()

(A)0：(B)0.3；(C)0.6：(D)1。

2.如下四个函数中，哪一个不能作为随机变量的分布函数()

[0,X<0,

0,x<0,

1/3,0<x<l

(A)F(x)=<；(B)尸(x)=•

1/2,1<x<2则Exzo

1+x

1,x>2

x<0,

01,

r-X20,JV<(),

(C)F(x)=<40<x<2；(D)F(x)=«

L—J,x>0

_x>2

_

3.当常数b=()时，为某一离散型随机变量的概率分布

(A)2；(B)1；(C)1/2；(D)3。

4.设随机变量的分布函数为，则随机变量的分布函数是()

(A))；(B)产(1+1)：(c)2/(y)+l：(D)—F(,y)——»

5.设随机变量，且，则应取()

(A)a=2,b=—2;(B)a=—2,b=-1:

(O。=1,6=-1：(D)Q=-1,力=1。

6.设某一连续型随机变量X的概率密度在区间上等于，而在比区间外等于0,则区间为(

(A)[0,^/2]：(B)[0,^1；(O[-^/2,01；(D)[0,3万/2]。

7、设随机变量,则随的增大，则(

(A)单调增加：(B)单调减少：(C)保持不变：(D)增减不定。

8、设两个随机变量X与Y相互独立且同分布，，

，则下列式子成立的是()

(A)P{X=Y}=l/2；(B)P{X=Y}=1；

(OP{x+y=o}=i/4：<D)P{xy=i}=i/40

9、设随机变量X与Y相互独立，它们的分布函数分别为，则的分布函数为()

(A)Fz(z)=Fx(z)(B)Fz(z)=Fy(z)：

：

(C)Fz(z)=min{Fv(z),Fy(z)}(D)FZ(Z)=1-[1-FX(Z)][1-Fy(z)].

二、填空题

i.设离散型随机变量x的分布函数且，

则______,,x的分布列为_o

2.设随机变量X的分布函数

则_,x的概率密度f(x)=__。

3.将一颗均匀骰子重复独立地郊10次，设X表示3点朝上的次数，则X~,X的概率分布为

4.设随机变量X的概率密度为则使成立的常数_

5、某一时期在纽约股票交易所登记的全部公司股东所持有的股票利润率服从正态分布，期望值为10.2%,

且具有3.2%的标准差，这些公司股东所持有的股票利润率在15—17.5%之间的概率为<,

6、设,其概率密度,则。

7、(X,Y)的分布律为

123

11/61/91/18

21/3ab

则X的分布律为，Y的分布律为

当a=_____

b=时，X与Y相互独立。

8、设-3-2-1Y123

随机变

量X与Y

相互独

立，且

X、Y的

分布律

分别为

X

P1/41/41/2P2/51/52/5

则x与y的联合分布律为：

Z=X+Y的分布律为。

9、设D由y=l/x,y=0,x=l,x=c2围成，(X,Y)在D上服从均匀分布,

则(XV)的概率密度为.

10、若X与Y独立，而则X+Y~o

11、X与Y相互独立，且X~U(T,l),Y~e(l)即,

则x与y的联合概率密度/(x,y)=

1,X>Y,

Z={的分布为_______________________

0,X<Y9

三、计算题

1.3个不同的球.随机地投入编号为1,2,3,4的四个盒子中,X表示有球盒子的最小号码，求X的分布律。

2、某产品表面的疵点数服从泊松分布,规定没有疵点为特等品，1个为一等品，2至4个为二等品，4个

以上为废品，经检测特等品的概率为0.4493,则试求产品的废品率。

3.设随机变量X的概率密度为

试求(1)4;(2)尸｛|X|<l/2｝；(3)X的分布函数尸⑴。

4.设某人造卫星偏离预定轨道的距离(米)服从的正态分布，观测者把偏离值超过10米时称作“失败”，

使求5次独立观测中至少有2次“失败”的概率。

5、设X的

分布列为：-2-1/2024

X

J_£

P

84863

求：⑴X+2；(2)-X+1：(3)X2的分布歹L

6、设随机变量与独立同分布，且已知，记随机变量，o

求(I)(乂，为)的联合分布列；(2)判断X与八是否互用独立；

(3)求，。

//、(J+axy04x4i04y42,

7、设(X,Y)的概率密度为/(x,y)=〈“二

I0,其它，

试求⑴〃；(2)P{X+y>1)：⑶x与y是否相互独立？

8、已知(X,y)的联合概率密度为/(x,y)=14x，04x4上,4y«x,

I0,其它，

(1)求关于X和丫的边缘概率密度AWJy(y)：

(2)判断x与y是否相互独立；⑶求P{XNI/2}；P{x>i/2,y>i/2}

9、设随机变量X的概率密度为

1,0<x<l

/(X)=«

0,其它

求函数y=3x+i的概率密度。

第四、五章《随机变量的数字特征与

中心极限定理》练习题

一、单项选择题

1.设X~B(n,p),且E(X)=2.4,D(X)=1.44,贝lj()

(A)〃=4,p=0.6；(Bi〃=6,p=0.4；(c>〃=8,p=0.3：(D)n=24,p=0.11)

2.设随机变量X与Y满足，则()

(A)D(XY)=D(X)D(Y),(B)D(x+y)=0(x)+£>(y)；

(Ox与y独立：(D)x与y不独立。

3.随机变量服从区间上均匀分布，，则区间为()

(A)(0,1)；(B)(-1,3)：(O(0,2)；(D)(0.5,1.5)。

4.设与为两个随机变量,且，则=()

(A)3/2：(B)-3/2：(O3：(D)一3。

5.设随机变量X与Y独立同分布，记，则U与V必()

(A)独立；(B)不独立；(C)不相关：(D)相关系数不为零。

5.设X的概率密度，则()

(A)1：(B)6(C)4：(D)9。

二、填空题

1.设随机变量相互独立，且都服从，而，则__

2.设随机变量X服从参数为的泊松分布，且E[(X-1)(X-2)]=1,则

3.设X与Y相互独立，且，则o

4.设服从均值为的指数分布，则__o

5.若随机变量服从区间上的均匀分布，则=o

6.一枚硬币连抛10(H)次,则正面向上的次数大于等于550的概率为。

7、已知，则=o

8、设X与Y的相关系数，若，则Y与Z的相关系数为°

9、设，，则o

\10＞设随

012

,变量，

V

11.(*Y)

的分总律

为\

-11/101/207/20

23/101/101/10

则，，。

三、计算及证明题

1.某保险公司规定：如一年中顾客的投保事件A发生，则赔a元：经统计一年中A发生的概率为，若公

司期望得到收益的为，则要求顾客交多少保险费？

2.设X的概率密度为

且E(X)=2,P{lvM<3}=3/4,求(1)a、b、c(2)E(eV)□

3.设在以为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求。

4.设(X,Y)的概率密度为试求。

5、飞机在第一次飞行后必须进行检修的概率是0.4,在以后的两次飞行中，每一次飞行后其被检修的概率

各增加0.1,求三次飞行后修理次数的数学期望。

《数理统计》练习题

一、单项选择题

1.设总体,未知，而已知，(X1,X2,…,Xn)为一样本，

,,则以下样本的函数为统计量的是

(A)—-(B)—72(为一X)?；(C)r——;(D)r——.

b<=ibi=i〃

2.,为样本,，，则统计量服从的分布为()

(A)N(0,l)：(B)⑵;(C)t(2)：(D)F(2,2)o

3.设随机变量，而满足，若，则()

(A)%2；⑺)4_叽：©〃/：⑴)。

4.设总体的二阶矩存在，为一样本.，，则的矩估计为()

；：(

(A)X(B)S：；(C)，—S;D)—VX/0

〃-1y

二、填空题

1.设总体,(Xl,X2「・,Xn)为一样本，则，，，，。

2.设总体，为样本，是样本均值，为样本方差，则

3、设总体，(乂1,'2尸・.乂11)为一样本,是样本均值。则服从的分布为

4.设，为样本，若要求,则=

5、设总体在上服从均匀分布，为一样本，则的矩估计为一

三、计算题

1.设总体，是X的样本，试求。

2.设总体X服从方差为4的正态分布，是一样本.求n使样本均值与总体均值之差的绝对值不超过0.1

的概率不小于0.95。

3.设总体，为X的简单随机样本，为样本均值，为样本方差，

(1)求；(2)若，求。

4、设总体X的概率密度为一样本，试求的矩估计。

一直练习题参考解答

一、单项选择题

1.(D)o2.(A)«3.(B)o4.(B),5.(D),»6.(A)o7、(C)»

二、填空题

l.__0.7_2.2/3,0.83.0.64.1-p5.1/6

6.1/37、13/18;1/2o8、。9、0.94°

三、计算题

1.解：。

2.解：令A=｛抽取的电话号码中完全不相同的数字组成｝,

B=｛抽取的电话号码末位数是虬则,。

3、解：

产(AU〃UC)=p(A)+尸(〃)+P(C)—P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=5/8

4.解：令人=｛2件中有1件为次品｝,B=｛另一件也为次品｝,欲求，

而，，故。

5、解：设人=｛任取一件产品为次品｝,Bi=｛任取一件产品是第i个车间生产的｝.i=l,2,3,

则，且两两互不相容；

已知，

P(A|B,)=0.05,P(A\B2)=0.04,P(A|B3)=0.02：

①P(A)=P(b1)P(A|4)+P(B2)P(A\B2)+P(Bi)P(A|B3)=0.0405：

②PS⑷=a皿=誓33。

1P(A)P(A)9

6.解:设Ai=｛第i次取到一等品｝,Bi=｛取到第i号箱｝,i=l,2,

且2Al两两互不用容，从而

।in][82

P(A)=)P(A|)+P(B)P(A.|B)=---+--—=-：

XX22//JU3

且两两互不相容，从而

1A2iA2276

P(A4)=P(4)P(A4|骂)+P(叫)P(A&I%)=彳・芳+彳,费=由；

/Ago/

P(A4)690

所求为尸(42|4])=«0.4856

P(4)1421

7、解：以A.B.C分别表示元件A、B.C正常工作之事,由于各元件独立工作.故A.B.C相互独立，且,

所求为P(ABUAC)=P(AB)+P(AC)-P(ABC)

=P(A)P(H)+P(A)P\C)-P(A)P(B)P(C)=0.8190

四、证：，，

代入得，故A与B相互独立。

随机变■及其分布练习题参考答案

一、单项选择题

1.(O2.(B)3.(B)4.(A)5.(O6.(A)7、(C)8、(A)9、(D)。

二、填空题

1._1/6_,-112

,5/6,,X

的分布为

X

P1/62/61/2

2._1_,_1_,_3/4,X的概率密度f(x)=

3.X~陨10,1/6),X的概率分布为

4、。5、。6、-3,

7、X的分布律为

X123

P1/2a+1/9Z>+1/18

y的分布律为

Y12

P1/3a+b+I/3

当a=_2/9_,b=1/9时，X与Y相互独立。

8、X与丫的联合分布律为

-3-2-1

i1/101/101/5

21/201/201/1()

31/101/101/5

z=x+y的分布律为

Z-2-1012

P1/103/207/201/51/5

一,

14x4e~,04y4—,2?

2xio、N(4+〃2,5+4)。

0,其它.

111.01

Z的分布

为

Z

Pl-l/2el/2e

三、计算题

1.解:X的1234

分布律为

X

P(43-35)/43⑶-23)/43(23-1*1/43

2.解：令疵点数为X,分布律为

已知P{X=0}=0.4493，故e"=0.4493,2=-In0.4493«0.8，所求为

P{X>4}=l-ZP{X=A}=l-0.4493Z笠«0.009E

k=OA=0k!

3.解:(1)由归一性得所以

4=1/%。

f1/2f1/21

⑵P{|XKl/2}=1y(x)dx=[dx=l/3。

<-1/2W-1/27T\I1-X2

0,x<-l,

尸⑸=口心=J,上=­arcsinx,-1<x<1.

7t

1,x>1.

4.解：设某人造卫星偏离预定轨道的距离为X,5次独立观测中“失败”的次数为Y,

则，每次观测“失败”的概率为

=().0124,

由此得，所求概率为

P{Y^2]=1-P{Y=G}-P{Y=1}

=1-(0.9876)5-G(0.0124)(0.9876)4«0.0015

5.解⑴03/2246

X+2

p1/81/41/81/61/3

⑵

-X+1-3-113/23

P1/31/61/81/41/8

⑶

X201/4416

P1/81/47/241/3

6W123

Y\JVK

11/900

22/91/90

32/92/91/0

()p(y,+L«3)=1i)+(X=2)+p(y,=I)1/3：

3尸(匕=名=尸I9Y2=29Y2==

p(y1=y2)=p(yI=i,y2=i)+p(yI=2,y2=2)+p(yI=3,y2=3)=i/3o

7、解：（i）由归•性得

令

二二一2；

JJ(x,y)dxdy=j^dxj\x+axj)dj=J(2,+2ax)dx=-+a=1,

得。=­o

3

2

⑵7{X+YN1}=Jff(x9y)dxdy=J'dxjiJx+^)d^=-|

x+yN1

/：(，+彳)沙=2，+^_,04x41,

⑶fx(x)=j^f(x,y)dy=JJ

0,其它.

人（刈=『二八//加="J:3+争T+也

0,其它.

在/（x,j）的非零区域内/（X,y）w/x（x）/y（y），故X与y不独立。

/x(x)=J：/(x,y)dy=」。4xdj_4x,0<x<l,

8、(1)

其它.

/＞（丁）=1:/（"/）加"J"4xdx=2-2j,0<j<1,

0,其它.

（2）在f（x,y）的非零区域内/（x,y）w/*（工）4（丁），故x与y不独立.

，l

(3)尸{XNl/2}=Jj/(x,j)dxdj=JidxJo4xdy=—；

xil/21/2016

P{X>l/2,y>l/2}=JJf(x,y)dxdy=j'/^dxj=1/4o

x21/2一

y21/2

8/证明：y的分布函为

0,y41,

2r

Fy(j)=P(Y<,y)=P{3X+1j}=P{X<=.J=