概率论与数理统计试题

《概率论与数理统计》期末试题(1)

一、填空题(每小题3分，共15分)

1.设事件仅发生一个的概率为0。3,且P(A)+P(B)=0.5,则A,区至少有一个不发

生的概率为O

2.设随机变量X服从泊松分布，且P(XM1)=4P(X=2),则P(X=3)=。

3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量y=X?在区间(0,4)内的概率

密度为_________

4.设随机变量X,y相互独立，且均服从参数为4的指数分布，P(X>l)=e-2,则

2=，P{min(X,r)<l}

5.设总体X的概率密度为

f(0+l)x°,0<x<l,八

/(x)=6>>-lo

[o,其它

X2,X”是来自X的样本，则未知参数。的极大似然估计量为

二、单项选择题(每小题3分，共15分)

1.设为三个事件、且A8相互独立，则以下结论中不正确的是()

(A)若P(C)=1,则AC与3c也独立。

(B)若尸(。)=1,则4JC与8也独立.

(C)若P(C)=0,则ALC与3也独立.

(D)若CuB,则A与。也独立。

2.设随机变量X~N(O,1),X的分布函数为①(x)，则P(\X\>2)的值为()

(A)2[l-O(2)]o(B)20(2)-lo

(C)2-①⑵。(D)l-2O(2)o

3.设随机变量X和丫不相关，则下列结论中正确的是()

(A)X与y独立。(B)D(X-Y)=DX+DY.

(C)D(X-Y)=DX-DY.(D)D(XY)=DXDY。

4.设离散型随机变量x和y的联合概率分布为

(X,y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)

若X,y独立，则a,0的值为()

(C)a=—，/3=一

66

5.设总体X的数学期望为〃,X1,X2，,X〃为来自X的样本，则下列结论中正确的是()

(A)X1是〃的无偏估计量。(B)X|是"的极大似然估计量.

(C)X,是〃的相合(致)估“量。(D)X,不是"的估"量.

三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05,

一个次品被误认为是合格品的概率为0。02,求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的

概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率。

四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事

件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函

数、数学期望和方差。

五、（10分）设二维随机变量（X/）在区域O=｛（x,），）|xN0,），N0,x+y<i］上服从均

匀分布.求（i）（x,y）关于x的边缘概率密度；（2）z=x+y的分布函数与概率密度。

六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独

立，且均服从N（0,22）分布.求（1）命中环形区域O=｛（x,y）|iwf+y2〈2｝的概率；（2）

命中点到目标中心距离Z=yJx2+Y2的数学期望.

七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）X~N（〃,cr2）,今抽取容量为16的样

本，测得样本均值元=10,样本方差/=0.16。（1）求〃的置信度为0。95的置信区间；

（2）检验假设”0：。2《。1（显著性水平为0.05）.

（附注）r0.05（16）=1.746,ZOO5（15）=1.753,ZOO25（15）=2.132,

（16）=26.296,ZJ.O5（15）=24.996,Z；O25（15）=27.488.

《概率论与数理统计》期末试题(2)与解答

一、填空题(每小题3分，共15分)

(1)设P(A)=0.5,P(8)=0.6,P(8|用=0.8,贝J4,8至少发生一个的概率为

—尸(AJA)=尸(A)+I\B)-P(AB)=].\-0.2=0.9。

(2)设X服从泊松分布，若EX2=6,则P(X>1)=

(3)设随机变量X的概率密度函数为/(©=•7"一"°<'<2,今对x进行8次

.0,其他.

独立观测，以y表示观测值大于1的观测次数，则r)y=8x25x23=U15

888

(4)元件的寿命服从参数为」一的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统,能够正

100

常工作100小时以上的概率为

(5)设测量零件的长度产生的误差X服从正态分布N“/,£),今随机地测量16个零件,

得®Xj=8,£X：=34.在置信度0.95下,〃的置信区

r=Ir=l

(ZOO5(15)=1.7531,/OO25(15)=2.1315)

二、单项选择题(下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入()

中，每小题3分，共15分)

(1)AB,C是任意事件，在下列各式中，不成立的是()

(A)(A—矶B=A

(B)=

=(A-C)U(B-C).

(2)设X「X2是随机变量，其分布函数分别为白(x),F2(X),为使

尸(X)=叫。)+6鸟(.丫)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值()

中应取

3222

(A)〃=一，b=—.(B)〃=一,b=—.

5533

1,31,3

(C)a=——,b=—.(D)a=—,b=—

2222o

(3)设随机变量X的分布函数为FJx)，则丫=3-5乂的分布函数为4()，)=()

(A)Fx(5y-3)o(B)5Fx(y)-3»

(C)在x(^)。(D)1—吊(牛).

JJ

X,-101

(4)设随机变量X,,X,的概率分布为_L1i=l，2

-P

424

且满足P(X]X2=0)=1，则X|,X2的相关系数为夕天以=()

(A)0。(B)-o(C)(D)-lo

42

(5)设随机变量X〜U[0,6],Y〜4(12,3且X,丫相互独立，根据切比

4

雪夫不等式有P(X-3<y<X+3)()

(A)<0.25o(B；<—.(C)>0.75o(D)>—.

1212

三、(8分)在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为4的泊松分布，而进入

超市的每一个人购买A种商品的概率为p,若顾客购买商品是相互独立的，

求一天中恰有k个顾客购买A种商品的概率。

四、(10分)设考生的外语成绩(百分制)X服从正态分布，平均成绩(即参

数〃之值)为72分，96以上的人占考生总数的2。3%,今任取1()()个考生

的成绩，以丫表示成绩在60分至84分之间的人数，求(I)y的分布列.(2)

EY和"。(<1>(2)=0.977,0(1)=0.8413)

五、(10分)设(X,y)在由直线X=Lx=)，=0及曲线y=」所围成的区域

x

上服从均匀分布，

(1)求边缘密度人(《)和4()')，并说明x与y是否独立.

⑵求p(x+r>2).

六、（8分）二维随机变量（x,y）在以（-1,0）,（0,1）,（1,0）为顶点的三角形区

域上服从均匀分布，求2=乂+丫的概率密度。

七、（9分）已知分子运动的速度X具有概率密度

4x2-（-'2__

——f=ea,x>0,a>0,

/"）=1优6X，x2,互为X的简单随

0,x<0.

机样本

（1）求未知参数。的矩估计和极大似然估计；（2）验证所求得的矩估计是否为a的无

偏估计。

八、（5分）一工人负责〃台同样机床的维修，这〃台机床自左到右排在一条直

线上，相邻两台机床的距离为。（米）。假设每台机床发生故障的概率均为

且相互独立，若Z表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走

n

的路程，求EZ。

《概率论与数理统计》期末试题（3）

一、填空题（每小题3分，共15分）

（1）设事件A与B相互独立，事件B与。互不相容，事件4与。互不相容，且

P（A）=P（8）=0.5,P（C）=0.2,则事件A、B、。中仅C发生或仅C不发生的

概率为P（ABC+ABC）=P（ABC）+P（ABC）

（2）甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2

个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为—=

■2

9Y0<r<1

（3）设随机变量X的概率密度为/（x）={''现对X进行四次独立重复观

察，用y表示观察值不大于0。5的次数，则Ey2=oy+（Ey）2="L+l=』。

44

（4）设二维离散型随机变量（x,y）的分布列为

（x,r）（1,0）(1,1)(2,0)(2,1)

p0.40.2ab

若EXY=0.8,则cov(X,Y)=EXY-EXEY=0.8-0.7=0.1.

(5)设X，X2，,，X17是总体M",4)的样本，S?是样本方差，若P(S2〉〃)=O.O],则

a=8。

(注:/O«7):33.4,/005a7)=35.7,/。/⑹:32.0,/005a6)=34.2)

二、单项选择题(每小题3分，共15分)

(1)设A、B、C为三个事件，%48)>0且〃(。|八8)=1,则有(C)

(A)P(C)<P(A)+P(B)—1.(B)P(C)<P(AJB).

(C)P(C)>P(A)+P(B)-1.(D)P(C)之P(AU3).

(2)设随机变量X的概率密度为

1-(x+2)：

f(x)=--^e4,-co<x<oo

且y=〃X+b~N(0,l),则在下列各组数中应取(B)

(A)a=1/2,b=\.(B)a=\/2/2,b—>/2.

(C)tz=l/2,Z?=-lo(D)a=V2/2,b=—5/2.

(3)设随机变量x与y相互独立，其概率分布分别为

X01Y01

P0.40.6P0.40.6

则有(0

(A)p(x=y)=o.(B)p(x=y)=o.5.

(C)P(X=Y)=0.52.(D)P(X=Y)=l.

(4)对任意随机变量X,若EX存在，则E[E(EX)]等于(C)

（A）0.（B）X.（C）EX.（D）（EX）3.

（5）设M，/,・・•,%为正态总体N3,4）的一个样本，x表示样本均值，则必的置信度为1一。

的置信区间为（D）

（A）（x-uaf2—f=,x+ual2-T=）.

\JnyJn

（B）U+U

^~\-ai2~j=^^a/2~j=^

（C）（x-ua-j=yx+ua-j=）.

7nyjn

（D）（x-ua/2~^j=,x+ua/2~^=）.

yjnyjn

三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件,三等品2件）的

箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都

是一等品，求丢失的也是一等品的概率.

四、（10分）设随机变量X的概率密度为

ar+l,0<x<2,

/U)=

0,其它.

求（1）常数〃；（2）X的分布函数F（x）；(3)P(1<X<3).

五、（12分）设（x,y）的概率密度为

*0<y<x,

0,其它.

求⑴边缘概率密度fx求）,A（y）；（2）p（x+r<i）；

（3）z=x+y的概率密度人（z）.

六、（io分）。）设*~q0,1],丫〜so,”且x与y独立，求six—丫|；

（2）设X~N（O,I）,丫〜N（O/）且x与y独立，求七ix-y|。

七、（10分）设总体的概率密度为

0<x<l,

/(x;0)=<八一«9>0)

0,其它.

试用来自总体的样本内，々，…，5，求未知参数。的矩估计和极大似然估计.

《概率论与数理统计》期末试题⑴

一、填空题

1.0.9

2le1

6

I

0<)，<4,

3。fr（y）=fx（\[y）

0,其它.

4o2=\-e~A

5。0=-------------1

二、单项选择题

1-5DABAA

三、解：设4='任取一产品，经检验认为是合格品，

B='任取-产品确是合格品:

则(1)P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)

=0.9x0.95+0.1x0.02=0.857.

迪=2^=0.9977.

(2)P(B|4)二

0.857

四、解：X的概率分布为

3、3T

p(x=k)=7人=0,l,2,3.

X0123

即2754368

1p

125125125125

X的分布函数为

0,x<0,

27

0<x<1,

125,

81

F(x)=1<x<2,

1255

117

2<x<3,

125,

I,x>3.

EX=3x-=-,

55

2r2318

DX=3x-x—=—。

5525

i）（x,y）的概率密度为

2,(x,y)eD

f(x,y)=<

0,其它.

「+co2-2x,0<x<1

/xQ)=JJ*"":

0，其它

+00

/(x,z-x)dx

-co

[2,0<x<l,0<z-x<\-x2,0<x<i,x<z<1.

其中/(x,z-x)=<

0.其它0,其它.

zOz>l

当〈或时fz(z)=O

0<z<lW上(z)=2j；公=2犬|；=2z

故Z的概率密度为

2z,0<z<1,

人（z）=

0,其它.

Z的分布函数为

fo,z<()0,z<0,

fz(z)=(2fz(y)^y=K"2ydy;0<z<1=>Z2,0<z<l,

J-ooJUo

z>1.

z>1

或利用分布函数法

0,z<0,

Fz(z)=P(Z<z)=P(X+y<z)=Hj2dxdy,0<z<l,

5

1z>1.

0z<0,

z20<z<l,

Iz>1.

2z,0<z<l,

fz(z)=F；(z)=<

0,其它.

六、解:(1)P{XyY)ED}=^f(x,y)dxdy

D

x+y"1r2冗.2——-

7出dxdy=—jJ]exrdrdO

2

「2.4r上

一JIe8d(一--)=-e&

22

⑵EZ=E(7%+r)=j二J二“2+y2,_ekdxdy

2

+X»rIiCyJc

re8rdrdO=—fe8r~dr

0o4Jo

-HX-

+8---•HO

=-re8e8dr=

fo-J

0

七、解：（1）”的置信度为1一。下的置信区间为

（X_%2（"1）帝，X+Q/2（〃一

X=10,s=0.4,〃=16,a=0.05,r0025(15)=2.132

所以〃的置信度为095的置信区间为（9。7868,10。2132）

（2）/：1200.1的拒绝域为/之心（〃一1）

15c2

/==15x1.6=24,/05a5)=24.996

•1

2

因为Z=24<24.996=ZJO5(15),所以接受“0・

《概率论与数理统计》期末试题（2）答案

1。

4.=IP(X,>100)]5=[l-l+e-,]5=e-5.

5。(-0.2535,1.2535).

二、BCDAD

三、解:设8=’一天中恰有〃个顾客购买A种商品'k=0,1,•

Ctl='一天中有〃个顾客进入超市'n=k,k+1,

00

则P(B)=ZP(G8)=ZP(C,)P(B|C„)

n=kn=k

n-k

I加

(p4OC-

。_〃尸

k\n=k{n—k)\

包"pk=0,1,

k!

84-72

四、解:(1)丫〜B(100,p),其中p=P(60<XW84)=①-----)

a

―60-72,…12、.

一①(-------)=20(—)-1

<7cr

)=1一衅)

由0.023=P(X>96)=1-0(——

(J

242412

得<D(—)=0.977,即一二2,故一=1

(7(7(7

所以〃二2①(1)—1=0.6826.

故Y的分布列为P(Y=k)=。3(0.6826)"0.3174),0°-*

(2)£7=100x0.6826=68.26,DY=68.26x0.3174=21.6657o

五、解:区域O的面积So=J；，公=lnx『=2

X

（*/）的概率密度为/（儿月=二’（x，y）e。，

0,其它.

f-1、

,,、4•/、f包乙"二心'，\<x<e~,

⑴AW=J_xf(^y)dy=y02'

’[0,其它.

—,1WxW夕，

=<2x

0,其它.

1-dx

J12y

f(y)=J："(Ky)dx=<Je2<y<1,

YJ12

,0，其它

：(/_]),

\<y<e-2

J__

—*>e~2<y<]

2y2

、°，其它

(2)因/(x,y)*fx*)•万(y)，所以X,丫不独立。

(3)P(X+r>2)=l-P(X+r<2)=l-jjf(x,y)dxdy

x-¥y<2

।11।13…

=1—x—=1—=—=0.75.

1,(x,y)wD

六、解K（XJ）的概率密度为f（x,y）=<

0,其它.

设Z的概率密度为/z（z），则

%(z)=J：/(z-y,y)dy

2y-\<z<1

当z<—1或z>1时人（z）=0

当一Ivzwl时上（Z）=Jo2"7二三1

所以z的密度为

z+1

,|z|<l,

，Z（Z）=〈2

0,其它.

解2：分布函数法，设Z的分布函数为弓（z）,则

Fz(z)=P(Z<z)=P(X+/<z)=JJf(x,y)dxdy

X+)士

0,

0,Z<-1

(z+1)2

='jjdxdy,-1<z<1=",-1<z<1,

4

1z>1.

1,Z>1

z+1

|Z|<1,

故Z的密度为5(z)=£(z)=<2

0,其它.

七、解：(1)先求矩估计

c+*4x3-(->2,

=EX=[——j=eadx

J。炉品

4<O

2

2xY)；-HX-2a6

------eaxea..a=----

a6。方02

再求极大似然估计

«4r2_(二)2

L(X]，…,X“;a)=FT—r4=e"

,=ia〃

_n

3,,),...x„)2

=a-^4(xi,e

上1丁、

InL=-3771na+ln(^-24/1)+ln(x1•2---7Vx,2

1xn)

2A

-a-\-n--L-=——3n+—yx22=A0

daaa

2〉；

得a的极大似然估计a=j=l

3〃

(2)对矩估计Ea=叵成=江•孕=a

226

所以矩估计a=a的无偏估计。

八、解：设从左到右的顺序将机床编号为L2,…，〃

x为已经修完的机器编号，y表示将要去修的机床号码，则

nn

P(x=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=7)=4

n~

Z=\i-j\a

于是FZ=££U-；|aP(X=Z,Y=j)

1=1j=\

f=lj=l〃

ni=l|_曰；=r+l

(〃2"I)

=———a.

《概手论与数理统计》期末试题(3)

一、填空题

1。P(ABC+ABC)=P(ABC)+P(ABC)

2o\A)=-

-2

3。EY2=DY+(EY)2=-+1=-

44

4ocov(X,Y)=EXY-EXEY=0.8-0.7=0.1

5.8

二、单项选择题

CBCCD

三、解：设人='从箱中任取2件都是一等品'

Bj=，丢失i等号，z=l,2,3.

则P(A)=P(B1)P(A