概率论与数理统计知识点总结(详细)

概率论与数理统计知识点总结(详细)

...《概率论与数理统计》

第一章概率论的基本概.(2)

§2.样本空间、随机事.(2)

§4等可能概型(古典概型.(3)

§5.条件概•⑷

§6.独立.⑷

第二章随机变量及其分.⑸

§1随机变.(5)

§2离散性随机变量及其分布.(5)

§3随机变量的分布函.(6)

§4连续性随机变晟及其概率密.(6)

§5随机变量的函数的分17)

第三章多维随机变.(7)

§1二维随机变.⑺

§2边缘分.(8)

§3条件分.⑻

§4相互独立的随机变.(9)

§5两个随机变显的函数的分.(9)

第四章随机变量的数字特(10)

§1.数学期.(10)

§2方.(11)

...§3协方差及相关系.(11)

第五.大数定律与中心极限定.(13)

§1.大数定............................................1.§2中心极限定..(13)

第一.概率论的基本概念

§2.样本空间、随机事件

1.事件间的关…?则称事件.包含事件.，指事件.发生必然导致事件•发£=?或…称为事

件.与事件.的和事件，指当且仅当.，.中至少有一个发生时，事件..?发生

uu=?且…称为事件.与事件.的积事件，指当.，.同时发生时，事件..?发生

.}....?£=且一…称为事件.与事件.的差事件，指当且仅当.发生、.不发生时，事件..一发生

币=?..,则称事件.与.是互不相容的，或互斥的，指事件.与事件.不能同时发生，基本事件是

两两互不相容的

且尸?..4)=?..,则称事件.与事件.互为逆事件，又称事件.与事件.互为对立事件

2.运算规.交换律..?=??=?

结合律)().)()(.....?=???=??

...分配.)().(......???=??).))(()...??=?.德摩根律.......?=??=..—

§3.频率与概率

定.在相同的条件下，进行了.次试验，在这.次试验中，事件.发生的次数..称为事件.发生的频

数，比值…称为事件.发生的频率

概率：设.是随机试验，.是它的样本空间，对于.的每一事件.赋予一个实数，记为.(.)，

称为事件的概率

1.概率)(..满足下列条件：

(1)非负性：对于每一个事件R(OWW..(2)规范性：对于必然事件.1).(=P

(3)可列可加性：设…“2.是两两互不相容的事件，有£===n

.k

..k

....1

1

)().(•可

以取8)

2.概率的•些重要性质.(..0)(=6P

(i.)若2.是两两互不相容的事件，则有£===n

.k

..k

....1

1

)0(

(.可以取8)

(ii.)设.，.是两个事件若.？则川()(.……对于任意事件.，1)(W.P

(.)乂1)(逆事件的概率)

(v.)对于任意事件.，.有)()()0(A......-+=?

§4等可能概型(古典概型)

等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相•若事件

£8

=8==1

1

)0(………P

(3.乘法定.设0)(>..，则有)100(..…A..=称为乘法公式

(4.全概率公式.£==

n

.i

i

....1

)100(

贝叶斯公式.£==

n

..........1

)

10()

1001(

§6.独立性

定•设.，.是两事件，如果满足等式)00(....A.尸，则称事件A,.相互独.定理.设.，.是两事件，且

0)(>..,若.，.相互独立,则().....=)|.定理.若事件.和.相互独立，则下列各对事件也相互独立：.

与一

与，与，....B

...第二.随机变量及其分布

§1随机变量

定.设随机试验的样本空间为X(e).{e}..==是定义在样本空间.上的实值单值函数，称X(e).=为随

机变量

§2离散性随机变量及其分布律

1.离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这和随

机变量称为离散型随机变量

满足如下两个条件(1)0.2.,(2)£8

=1

...=1

2.三种重要的离散型随机变显

(1)分布

设随机变量

X

只能取

与

1

两个值，它的分布律是

-1.分布或两点

分布。

(2)伯努利实验、二项分布

设实验.只有两个可能结果：.与一

.，则称.为伯努利实验.设

l)OP(A).将.独立重复的进行.次，则称这一串重复的

独立实验为.重伯努利实验。

.2,1,0.....)..(k

■・•，

,=???

.??==.满足条件(1)0.2..(2)£8

=1...=1注意到.・......???

.??是二项式

n

(+的展开式中出现..的那一项，我们称随机变量.服从参数为

■・

•••

......的二项分布.(3)泊松分布

设随机变量.所有可能取的值为0,1,2-,而取各个值的概率为

,2,l,0,k!

=..人

入其中0＞人是常数，则称.服从参数为，的泊松分布记为

)

(卜n~.§3随机变量的分布函数

定.设.是一个随机变量，.是任意实数，函数8分布函数川(.….W=,具有以下性质(1J(..是一个

不减函.(2)

1儿O)(1)(O=8=-8WW........(3)是右连续的即)(),()0(……=+

§4连续性随机变量及其概率密度

连续随机变量：如果对于随机变量.的分布函数.(.)，存在非负可积函数)(..，使对于仃意函

数.有，

d...).(.x

-?

OO

)(则称.为连续性随机变量，其中函数f(x)称为X

的概率密度函数，简称概率密度

.概率密度乂..具有以下性质，满足(1)1)(

(2.,0)(-=2?

+8

OO

d.....；

(3)?

WW2

)()(21..d.......；

(4)若)(..在点.处连续，则有=)(..,

)(..2,三种重要的连续型随机变量

⑴均匀分布

若连续性随机变量.具有概率密度?????，O..-.l)(b

…，则成.在区间(a,b)上服从

均匀分布.记为)，

⑵指数分布

若连续性随机变量.的概率密度为?????>=,其他

,0

O.e

1)(.-...。0

其中为常数，则称X

…服从参数为。的指数分布.(3)正态分.若连续型随

机变审•的概率密度为

,)

OO一

...-21）（2

2

2（oUo

JT。U。。H,服从参数为为常数，则称（,其中.）0＞的正态分布或高斯分布，记为

）

,（2.~.。.特别，当10==cu,时称随机变量.服从标准正态分布

§5随机变量的函数的分布

定.设随机变量.具有概率卷度,-）（.80）（...，贝IJ

Y=）（..是连续型随机变量，其概率密度为

11?

?

?a.......第三.多维随机变量

§1二维随机变量

定•设.是一个随机试验，它的样本空间是*伯）.但｝..==和Y（e1.=是定义在.上的随机变量，称X（e）=

为随机变量，由它们构成的一个向量（.，.）叫做二维随机变最

设（.，.）是二维随机变量，对于任意实数.，.，二元函数

y｝..P｛.y）｝（.x）P｛（...WWW?W=，记成）,（称为二维随机变量的

分布函数

如果二维随机变量（.，.）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称（.，.）是离散

型的随机变量。

我们.，

,,,2,1..）..。...====.…为二维离散型随机变量（.，.）的分布律。

对于二维随机变量（.，.）的分布函数），（…，如果存在非负可积函数.

…使对于任意.，.有，），（）

，（??

OOOO

二・-X

-dud….…则称（.,.）是连续性的随机变量，

函数.（.，.）称为随机变量（...）的概率密度，或称为随机变量.和•的联合概率密

度。

§2边缘分布

二维随机变量（.，.）作为一个整体，具有分布函数），而.和.都是随机变最，各自也有分

布函数，将他们分别记为）（（.）依次称为二维随机变量（.，.）关于.和关于.的边缘分

布函数。

,,2,1.}.P{..1

..i..====E00

=?P

一2,1.}.P{..1

..i.====L00

=?.p

分别称?.…?为（.,.）关于•和关于.的边缘分布律。

?oo00

-=d.......）,（）.?8

OO

-=d….…),()(分别称乂…，

)(…为.，.关于.和关于.的边缘概率密度。

§3条件分布

定.设(.,.)是二维离散型随机变量，对于固定的.，若,0}{>=.…则.,2,1,}

0

,{}{==

==?................j

i……为在…=条件下随

机变量.的条件分布律，同.,2,1,}

()

,{}{==

======?

.................i......为

在…=条件下随机变量.的条件分布律。

设二维离散型随机变量(,，.)的概率密度为),(...，(...)关于•的边缘概率密度为乂…，若对

于固定的.，)(...>0,则称

)

0

,(……为在Y=.的条件下.的条件概率密度，记为)(..…=

)

0

...§4相互独立的随机变量

定.设)，(…及儿..，)(…分别是二维离散型随机变量(.，.)的分布函数及边缘分布函数.若对

于所有".有y}}P{.{},{WW===........,即

(y)).(.},{……=，则称随机变量•和.是相互独立的。

对于二维正态随机变量(.，.)，.和.相互独立的充要条件是参数0=P

§5两个随机变量的函数的分布

1,z=x+.的分布

设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度),(.…则Z=X十.仍为连续性随机变量，其概率

密度为？

d.........),0(或?8

OO

+=d........),()(

又若.和.相互独立,设(.,.)关于.，.的边缘密度分别为)(),(……则

?ooOO

-+-=d...........y)()((.和？

OO

OO

-+-=d............)(()()这两个公式称为的卷积公式

有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分.2,的分布的分布、X..X

设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度则X..X

Y

・==.仍为连续性随机变量其概率密度分别为

d.x.......),0(?°000

-=d.x

z

.•…x.MD(?

8

OO

々又若.和.相互独立，设(.，.)关于的边缘密度分别为)(),(……则可化为d.x.?OOOO

-=)()()(

d.x

z

…•…x.)()(D(.?

00

00

-.3的分布及，},.in{..}{..a....==

...设.，.是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为)(),(……由于

Y){.ma.,=.不大于.等价于.和.都不大于.故有z}.z,P{.z}P{.WW=＜又

由于.和.相互独立，得到Y}{.ma.,=.的分布函数为川()(ma........=

},min{..尸的分布函数为［皿(l)(ll)(mi........-=

第四.随机变量的数字特征

§1.数学期望

定.设离散型随机变量.的分布律为......==}{,k=l,2,…若级数

L8

=1

..k

.x

绝对

收敛，则称级数

£8

=1

..k

.x

的和为随机变量.的数学期望，记为)(..，即X=i

……)(

设连续型随机变量.的概率密度为)(..，若积分

?

OO

OO

-d..x.)(绝对收敛，则称积分

?

OO

OO

-d.X)(的值为随机变量.的数学期望，记为)(..，即?+88

-=d..x...)()(

定•设.是随机变量•的函数丫=儿.(•是连续函数)

(.)如果.是离散型随机变量，它的分布律为匕1,2,…若

k

.k

...E00

=1

0

绝对收敛则有=).(.=

))((-k

.k

...E00

=1

0

(i.)如果•是连续型随机变量，它的分概率密度为)(..，若？

OO

OO

-d..…)()(绝对收敛则

有=).(・=

))((...?

OO

OO

-d..…)0(

数学期望的几个重要性.1设.是常数，则有...=)(

2设.是随机变量，.是常数，则有)()(CC...3设X,.是两个随机变量,则有)0()(.......+=+；

...4设.，.是相互独立的随机变量，则有)0()(....X..=

§2方差

定•设.是一个随机变量，若[]})({2

存在，则称口})({2

为.的方

差,记为.(.)即.(.)=[]})({2

在应用上还引入量儿.，记为)(.。，

称为标准差或均方差。

222)()())(()(E.........-=-=

方差的几个重要性质

1设.是常数,财⑼(=.D

2设.是随机变量，.是常数，则有)(.)(2

..C.=,D(X))(=+..D

3设X,.是两个随机变量,则有E(Y))}-E(X))(.-2E{(.D(Y)D(X))(++=+...特别，若X,.相互独立,则

有川()(.……+=+

40)(=..的充要条件是.以概率1取常数E(X),即1)}({==...P

切比雪夫不等式：设随机变量.具有数学期望2

则对于任意正数叽不等式

22

}--P{£

。£11W2成立

§3协方差及相关系数

定.量)]}()][({[…….-称为随机变量•与.的协方差为),(..Co.,即

)()()())]())(([(L(....x...........Co.-=-=

而D(Y)

D(X)..(X.),Co.=

P称为随机变量.和•的相关系数

对于任意两个随机变量.和.，),(2)()()_(..Co........-

+

+=.协方差具有下述性质

...l)/(),.L,()/(.abCo.b.a.Co...Co...Co.=.2)/()z(),(2121..Co...Co....Co.+=+

定..1WX.P

,1=X.P的充要条件是,存在常数a,.使l}{=+=b...P

当

=X.P0时，称.和.不相关

...第五.人数定律与中心极限定理