概率统计在计算机中的应用

一、综述

研究自然界中随机现象统计规律的数学方法，叫做概率

统计，又称数理统计方法。

概率论一一是根据大量同类随机现象的统计规律，对随

机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对

这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的

大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方

法。

概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随

机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。概率

是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中，如

果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较

明显的稳定在某一固定常数附近。就可以认为这个事件发生

的概率为这个常数。对于任何事件的概率值一定介于0和1

之间。

数理统计一一是应用概率的理论来研究大量随机现象的

规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法

给出严格的理论证明；并判定各种方法应用的条件以及方法、

公式、结论的可靠程度和局限性。使我们能从一组样本来判定

是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控

制发生错误的概率。

数理统计包括抽样、适线问题、假设检验、方差分析、相

关分析等内容。抽样检验是要通过对子样的调查，来推断总体

的情况。究竟抽样多少，这是十分重要的问题，因此，在抽样

检查中就产生了“小样理论”，这是在子样很小的情况下，进

行分析判断的理论。

适线问题也叫曲线拟和。有些问题需要根据积累的经验数

据来求出理论分布曲线，从而使整个问题得到了解。但根据什

么原则求理论曲线？如何比较同一问题中求出的几种不同曲

线？选配好曲线，有如何判断它们的误差？.....就属于数理

统计中的适线问题的讨论范围。

统计方法一一是一上提供的方法在各种具体问题中的应

用，它不去注意这些方法的的理论根据、数学论证。应该

指出，概率统计在研究方法上有它的特殊性，和其它数学学

科的主要不同点有：第一，由于随机现象的统计规律是一种集

体规律，必须在大量同类随机现象中才能呈现出来，所以,

观察、试验、调查就是概率统计这门学科研究方法的基石C第

二，在研究概率统计中，使用的是“由部分推断全体”的统计

推断方法。第三，随机现象的随机性，是指试验、调查之前来

说的。

二、例题分析

例一：

假设你参加了一个游戏节目，现在要从三个密封的箱子中

选择一个。其中两个箱子是空的，另一个箱子里面有大奖（你

偶像的签名你并不知道奖在哪一个箱子里，但主持人知

道。游戏节目的主持人先要你选择一个箱子，接着他把你没有

选的空箱子打开，以证明它是空的。最后主持人给你换箱子的

机会，你可以把你所选择的箱子换成另一个没有打开的箱子。

此时你该不该换箱子?

分析：

要相信直觉。你当然应该换箱子！我们把三个箱子编号

A,B,C,并假设你选的是A箱。显然奖品在A里的概率是1/3,

在B或C里的概率是2/3。B和C可能有一个是空的，也可能

两个都是空的。因此，当你选择了A箱后，主持人很可能会打

开B箱或C箱，以显示里面是空的。在这种情况下，主持人的

举动并不会影响奖品在A箱里面的机会。我们假设主持人打开

了B箱，以告诉你它是空的。现在A箱有奖品的概率还是1/3,

B箱里面有奖品的概率是0,因此C箱里面有奖品的概率是

2/3。在这种情况下，你应该换到C箱，因为它使你赢的机会

提高了1倍！

例二：

世界上每十万人中就有一人是艾滋病患者。艾滋病的检测

目前已经很准确，但并非万无一失。它的检测准确率是69%,

假设你刚去做完艾滋病检验，得到的了检测报告，结果…是

阳性！你会绝望或昏倒吗？或者说，你会担心到什么程度？

分析：

你大可不必那么担心，因为你几乎可以确定没有得艾滋

病。什么？检测是阳性还几乎可以确定没有艾滋病？！是

的，为了说明这一点，假设有100万人和你做了同样的检验。

在这100万人中，得病的会有10个，没有得病的有999990

个。当这些人接受检验时，9~10个人患有艾滋病的人会呈现

阳性反应，另外999990个没有得病的人则会有1%出现错误的

阳性反应，换算成人数大概是1万人。也就是说，大约10000

个阳性诊断中，实际只有10个左右是真正患者。因此，绝大

多数所呈阳性的反应都是误诊。当你得到阳性的检测结果时，

真正得艾滋病的机会大概只有千分之一。（当然，如果你在检

测之前很可能感染艾滋病的事，那就另当别论了）

例三：

一个国家人们只想要男孩，每个家庭都会一直要孩子，只

到他们得到一个男孩。如果生的是女孩，他们就会再生一个。

如果生了男旗，就不再生了。那么，这个国家里男女比例如

何？

分析：

一开始想当然的以为男多女少，毕竟都想要男孩。但是注

意这句话“如果生了男孩，就不再生了”，一个家庭可能有多

个女孩，只有一个男孩。再仔细分析，我们来计算期望值，只

用计算一个家庭就行了。设一个家庭男孩个数的期望值为S1,

女孩为S2.杈据题目条件，男孩的个数期望值S1二1这个是不

用计算了c主要计算S.一个家庭的孩子数量可以

为:1,2,3,4,5…对应的的男女分布为.“男”，“女男”，“女

女男”，“女女女男”，“女女女女男”…对应的概率分布为

1/2.1/4.1/8.1/16.1/32o其中女孩的个数分别为

0,1,2,3,4因此

S2=0*l/..1*1/..2*1/..3*1/1..4*1/3.......可以按照题2

用级数求，也可以用错位相减法：52=1/4+2/8+3/16+4/32+…

两边乘以2,得.2*52=1/2+2/4+3/8+4/16+5/32+..两个式子相

减.S2=l/2+l/4+l/8+l/16+l/32+…=1.所以期望值都为1,男

女比例是一样的。

例四：

一副扑克牌54张，现分成3等份每份18张，问大小王出

现在同一份中的概率是多少？（大意如此）

解答1：

54张牌分成3等份,共有M=（C54取18）*（C36取18）*（C18

取18）种分法。其中大小王在同一份的分法有N二（C3取1）*（C52

取16）*（C36取18）*（C18取18）种。因此所求概率为P二N

/M=17/53。

解答2：

不妨记三份为A.B.C份。大小王之一肯定在某一份中，不

妨假定在A份中，概率为l/3o然后A份只有17张牌中可能

含有另一张王，而B份、C份则各有18张牌可能含有另一张

王，因此A份中含有另一张王的概率是

17/（17+18+18）=17/53。也因此可知，A份中同时含有大小王

的概率为1/3*17/53。题目问的是出现在同一份中的概率，因

此所求概率是3*（1/3*17/53）=17/53。

例五：

有一苹果，两个人抛硬币来决定谁吃这个苹果，先抛到正

面者吃。问先抛者吃到苹果的概率是多少？

分析：

我首先想到的就是把第一次抛到正血的概率.第二次抛到

的概率.…+无穷多次，当然后面的概率几乎为0了。结果就

是..1/..1/..1/32.……最后的结果就是P=2/・.这个计算也不

难，其实就是等比数列，比为1/4。简单的无穷级数

(1/2..(1.-1/4..2/3o1/(1-x)2=l+2x+3x2+4x3+5x4+…

(T〈x<l,还有一个别人的分析：给所有的抛硬币操作从1开

始编号，显然先手者只可能在奇数(1,3,5,7-)次抛硬币得

到苹果，而后手只可能在偶数次(2,4,6,8-)抛硬币得到苹

果。设先手者得到苹果的概率为P,第1次抛硬币得到苹果的

概率为1/2,在第3次(3,5,7…)以后得到苹果的概率为p/4

(这是因为这种只有在第1次和第2次抛硬币都没有抛到正面

(概率为1/41/2*1/2)的时候才有可能发生，而且此时先手

者在此面临和开始相同的局面)。所以可以列出等式p=l/2+p/4,

P=2/3o

三、总结

概率论与数理统计是数学的一个有特色且又十分活跃的

分支，一方面，它有别开生面的研究课题，有自己独特的概

念

和方法，内容丰富，结果深刻；另一方面，它与其他学科乂有

紧密的联系，是近代数学的重要组成部分。由于它近年来突飞

猛进的发展与应用的广泛性，目前已发展成为一门独立的一

级

学科。概率论与数理统计的理论与方法已广泛应用于工业、农

'也、军事和科学技术中，如预测和滤波应用于空间技术和自动

控制，时间序列分析应用于石油勘测和经济管理，马尔科夫

过

程与点过程统计分析应用于地震预测等，同时他又向基础学

科、工科学科渗透，与其他学科相结合发展成为边缘学科，这

是概率论与数理统计发展的一个新趋势。(孔繁亮)

目前，概率统计理论进入其他自然科学领域的趋势还在不

断发展.