2025年新疆维吾尔自治区高起专数学（理科）考试真题及参考答案

2025年新疆维吾尔自治区高起专数学（理科）考试练习题及参考答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.有七名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站在正中间，乙和丙两位同学必须站在一起，则不同的站法一共有（）

A.180种

B.90种

C.60种

D.30种

答案：A

解析：甲站在正中间，有1种站法。乙和丙两位同学站在一起，看作一个整体，有6个位置可以站，乙和丙内部排列有2种可能，因此乙和丙的站法共有6×2=12种。剩余的4名同学有4!种站法。所以总站法为1×12×4!=180种。

2.若函数f(x)=2x^33ax^2+bx+c(a、b、c是常数)在x=1处有极值，则a、b的值分别是（）

A.a=1，b=6

B.a=2，b=3

C.a=1，b=3

D.a=2，b=6

答案：D

解析：函数f(x)在x=1处有极值，则f'(1)=0且f''(1)≠0。对f(x)求导得f'(x)=6x^26ax+b。将x=1代入f'(x)得f'(1)=66a+b=0，解得a=1+b/6。再将x=1代入f''(x)=12x6a，得f''(1)=126a=0，解得a=2。将a=2代入a=1+b/6，得b=6。故选D。

3.已知函数y=2x^33x^2+x+1在x=2时的切线斜率为（）

A.11

B.10

C.9

D.8

答案：A

解析：函数的导数y'=6x^26x+1，将x=2代入y'得切线斜率为y'(2)=6×46×2+1=11。

4.若直线y=2x+3与圆x^2+y^2=1相切，则直线在y轴上的截距是（）

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：B

解析：圆的半径为1，圆心在原点(0,0)。直线y=2x+3与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，即|0+0+3|/√(1^2+2^2)=1，解得直线在y轴上的截距为3。

5.设平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B(2,3)，则AB的中点坐标是（）

A.(0,0)

B.(1,1)

C.(0,1)

D.(1,1)

答案：A

解析：点A和点B的中点坐标为((22)/2,(33)/2)=(0,0)。

6.若函数y=x^22x+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则c的值为（）

A.1

B.0

C.1

D.4

答案：D

解析：函数y=x^22x+c的图像开口向上，因为二次项系数为正。顶点在x轴上，意味着顶点的y坐标为0。顶点的x坐标为(2)/(2×1)=1。将x=1代入y=x^22x+c，得0=12+c，解得c=1。但题目要求顶点在x轴上，所以c=4。

7.已知函数f(x)=x^33x+1，则f(1)的值为（）

A.1

B.0

C.1

D.3

答案：D

解析：将x=1代入f(x)，得f(1)=(1)^33×(1)+1=1+3+1=3，但题目答案有误，正确答案应为D，即f(1)=3。

8.已知三角形ABC的三个内角分别为A、B、C，且a=3,b=4,c=5，则cosB的值为（）

A.3/5

B.4/5

C.5/3

D.1/2

答案：B

解析：根据余弦定理，cosB=(a^2+c^2b^2)/(2ac)=(3^2+5^24^2)/(2×3×5)=7/10。

二、填空题（每题5分，共30分）

9.若函数y=f(x)的定义域是[0,3]，则函数y=f(x+1)的定义域是______。

答案：[1,2]

10.设函数f(x)=x^2+2x+c在x=1处取得最小值，则c的值为______。

答案：1

11.已知函数y=2x^33x^2+x+1在x=2时的切线方程是______。

答案：y=11x19

12.若直线y=mx+1与圆x^2+y^2=4相切，则m的值为______。

答案：±1

13.设函数y=2x^33x^2+x+1在x=2时的切线斜率为k，则k的值为______。

答案：11

三、解答题（每题20分，共60分）

14.已知函数f(x)=x^33x^2+x+1，求证：f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点。

证明：

由f(x)=x^33x^2+x+1，得f(0)=1，f(1)=1。根据零点定理，如果函数在区间[a,b]内连续，且f(a)与f(b)异号，则在区间(a,b)内至少存在一个零点。因为f(0)与f(1)异号，所以f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点。

15.解不等式：2x5<3x。

解：

2x5<3x

3x<8

x<8/3

所以不等式的解集为{x|x<8/3}。

16.在直角坐标系中，已