数据的离散程度课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

24.2数据的离散程度

数据的离散程度（第1课时）现有甲、乙两名射击选手，他们的测试成绩如下表所示．第1次第2次第3次第4次第5次甲的命中环数78889乙的命中环数1061068由上表可以很容易计算出他们成绩的平均数都是8．教练需要从中挑选一位成绩稳定的选手参加全市运动会．你能帮助教练选出合适的人选吗？什么统计图可以方便看出波动程度呢？根据这两名射击选手的成绩画出折线图如下．345成绩/环次数246810乙甲120从折线图来看，甲的成绩上下浮动较小（相对稳定），故选择甲更合适．某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表所示．甲7.657.507.627.597.657.647.507.407.417.41乙7.557.567.537.447.497.527.587.467.537.49根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢？＝7.537，＝7.515，上面两组数据的平均数分别是说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大，由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大．由样本平均数估计总体平均数．为了直观地观察甲、乙两种甜玉米在各试验田产量的分布情况，我们把表中的两组数据分别用图形进行描述，如下图所示．甲种甜玉米的产量乙种甜玉米的产量比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近．因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好．如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？一般地，有

n个数据x1，x2，…，xn，用

表示它们的平均数，我们把

（i＝1，2，…，n）叫作

xi关于平均数

的离差．思考可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由可知，一组数据的离差和总是0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异．叫作这

n个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”．把离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记作s2．为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和．我们把甲、乙两组数据的方差分别是，，由，可得乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜玉米产量波动较小，稳定性较好．

这与我们从前面的两幅图中看到的结果一致．由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定．正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差．因此可以推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比甲种的稳定．综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米．简便来说，即：方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小．2、正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差估计总体的方差．1、方差能较好地反映出数据的离散程度：方差越大，数据越分散（在平均数附近的波动越大）；方差越小，数据越集中（在平均数附近的波动越小）．思考用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？离差平方和可以刻画一组数据的离散程度．在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制．例1

一组数据3，2，1，2，2的众数、中位数、方差分别是多少？解：这组数据中2出现的次数最多，则众数为2；将这组数据按从小到大的顺序排列，处于中间位置的数为2，则中位数为2；平均数为

×(3＋2＋1＋2＋2)＝2；方差为×[(3－2)2＋3×(2－2)2＋(1－2)2]＝0.4．求一组数据的方差的一般步骤：（1）求这组数据的平均数；（2）根据方差公式求这组数据的方差．方差为[(x1＋k－a－k)2＋(x2＋k－a－k)2＋…＋(xn＋k－a－k)2]＝

[(x1

－a)2＋(x2－a)2＋…＋(xn－a)2]＝b．例2

已知一组数据x1，x2，…

，xn的平均数为a，方差为b．（1）求一组数据x1＋k，x2＋k，…，xn＋k的平均数和方差．解：（1）x1＋k，x2＋k，…，xn＋k的平均数为

(x1＋x2＋…＋xn＋nk)＝＝a＋k．(x1＋x2＋…＋xn)＋例2

已知一组数据x1，x2，…

，xn的平均数为a，方差为b．（2）求一组数据kx1，kx2，…，kxn的平均数和方差．解：（2）kx1，kx2，…，kxn

的平均数为

方差为[(kx1－ka)2＋(kx2－ka)2＋…＋(kxn－ka)2]＝[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…＋(xn－a)2

]＝k2b．(kx1＋kx2＋…＋kxn)＝＝ka．(x1＋x2＋…＋xn)方差为[(kx1＋c－ka－c)2＋(kx2＋c－ka－c)2＋…＋(kxn＋c－ka－c)2]＝[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…＋(xn－a)2]＝k2b．例2

已知一组数据x1，x2，…

，xn的平均数为a，方差为b．（3）求一组数据kx1＋c，kx2＋c，…，kxn＋c的平均数和方差．解：（3）kx1＋c，kx2＋c，…，kxn＋c的平均数为

(kx1＋kx2＋…＋kxn＋nc)＝＝ka＋c．(x1＋x2＋…＋xn)＋将一组数据中的每一个数据都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变．将一组数据中的每一个数据都变为原来的k

倍，所得的一组新数据的方差变为原数据方差的k2

倍．方差离差、离差平方和、方差的概念方差的求解步骤及意义数据的离散程度（第2课时）说一说离差、离差平方和、方差的概念．一般地，有

n个数据x1，x2，…，xn，用

表示它们的平均数，我们把

（i＝1，2，…，n）叫作

xi关于平均数

的离差．我们把说一说离差、离差平方和、方差的概念．叫作这

n个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”．把离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记作s2．简便来说，即：方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小．方差能较好地反映出数据的离散程度：方差越大，数据越分散（在平均数附近的波动越大）；方差越小，数据越集中（在平均数附近的波动越小）．说一说方差的意义．例1

甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如下表所示．甲97910108910510乙910781099879哪名射击运动员的发挥更稳定？波动小方差小解：甲、乙两名运动员射击成绩的平均数分别为方差分别为由

可知，乙射击运动员的发挥更稳定．，．，．利用方差的意义说明实际问题在解决实际问题时，方差的作用是反映数据的波动大小．运用方差解决此类实际问题的一般步骤是：先计算样本数据的平均数，当多组数据的平均数相等或相近时，再用方差来比较它们的稳定程度．用计算器求方差使用计算器的统计功能求方差时，需要参阅其使用说明书．通常先按某一功能键，使计算器进入统计状态；然后依次输入数据x1，x2，…，xn

；最后按求方差的功能键，计算器便会求出方差的值．例2

在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm）如表所示．甲163164164165165166166167乙163165165166166167168168哪个芭蕾舞团的女演员的身高更整齐？波动小方差小解：甲、乙两团女演员的身高平均数分别是方差分别是由

可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐．，．，．例3

如图是甲、乙两射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图，观察图形，甲、乙这10次射击成绩的方差，哪个大？解：甲、乙这10次射击成绩的平均数分别是方差分别是，．，．．所以如果不计算方差，通过观察图形，可以判断甲、乙这10次射击的成绩哪个更稳定吗？显然，甲射击运动员的成绩落在平均数附近的较多，波动幅度相对较小，因此，甲射击运动员的成绩更稳定．谁更稳定需要比较方差的大小，但要注意数形结合思想的应用：数据的稳定程度可以通过图象，根据其波动幅度的大小来帮助判断或验证．例2

用科学计算器分别计算下列各组数据的方差．（结果保留两位小数）（1）1，2，3，4，5，6；（2）－2，－2，0，0，0，6．解：按照计算器的统计功能的说明操作，即可求得（1）这组数据的方差约为2.92；（2）这组数据的方差约为7.22．除了方差，还有其他度量数据波动程度的量吗？一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差．极差仅仅反映了数据的波动范围，没有提供数据波动的其他信息，且受极端值影响较大．为了更好地刻画数据的波动程度，可以考虑每个数据与其平均数的差的绝对值的平均数，即这个式子可以用来度量数据的波动程度，我们把它叫作这组数据的平均差．除了方差，还有其他度量数据波动程度的量吗？，此外，人们还引入了标准差的概念．标准差是方差的算术平方根，即标准差的单位与原始数据的单位相同，实际中也常用它度量数据的波动程度．除了方差，还有其他度量数据波动程度的量吗？，方差的应用利用方差的意义说明实际问题及其步骤其他度量数据波动程度的量用计算器求方差数据的离散程度（第3课时）如何利用方差的意义说明实际问题？在解决实际问题时，方差的作用是反映数据的离散程度．运用方差解决实际问题的一般步骤是：先计算样本数据的平均数，当多组数据的平均数相等或相近时，再用方差来比较它们的稳定程度．某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎．现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿．（1）快餐公司可以通过哪些方面来比较鸡腿的质量？解：鸡腿质量的平均水平、鸡腿质量的稳定性．（2）鸡腿的数量较多，无法一一进行测量比较，你能帮助快餐公司想出解决办法吗？解：采取抽样调查，利用样本来估计总体．（3）快餐公司检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15个，记录它们的质量（单位：g）如下表所示．甲747475747673767376757877747273乙757379727671737278747778807175根据表中数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？利用什么数据做决策呢？解：检查人员从甲、乙两家农副产品加工厂各随机抽取的15个鸡腿分别组成一个样本，样本数据的平均数分别是，．从样本的平均数来看，鸡腿的质量相近，无法判断出哪家的鸡腿更好．样本数据的方差分别是由

可知，两家加工厂的鸡腿质量大致相等；由

可知，甲加工厂的鸡腿质量更稳定，大小更均匀．因此，快餐公司应该选购甲加工厂生产的鸡腿．，．用样本的方差来估计总体的方差类似于用样本的平均数估计总体的平均数，考察总体的方差的时候，如果考察的总体包含很多个体，或者考察本身带有破坏性，实际中常常会用样本的方差来估计总体的方差．例1自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差（实际含量－标准含量）．甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为500mL的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取10瓶饮料进行测量，结果（单位：mL）如表所示．甲501496498499503498505498501501乙496493504495500506504505498499例1

（1）如果有一瓶饮料含量的误差的绝对值超过10mL，此条灌装线的灌装质量为不合格，那么两条灌装线的灌装质量是否合格？

解：（1）甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量500mL的误差如表所示．甲组误差/mL1－4－2－13－25－211乙组误差/mL－4－74－50645－2－1从表中的数据可以看出，甲、乙灌装线灌装的误差绝对值最大分别为5mL、7mL，两者都小于10mL，因此两条灌装线灌装的质量都是合格的．分析：在饮料含量的误差的绝对值符合要求前提下，灌装饮料的实际含量与标准含量的差异越小，说明灌装线的质量越好．例1

（2）哪条灌装线的灌装质量更好？甲501496498499503498505498501501乙496493504495500506504505498499解：（2）甲、乙灌装线饮料实际含量的平均数分别为，．两条灌装线饮料实际含量的平均数都等于标准含量．解：（2）可以类比方差，计算甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量的平均差异程度，分别为可以发现，甲灌装线饮料实际含量与标准含量的平均差异更小．根据样本估计总体，综合来看，甲灌装线的灌装质量更好．，．例2

甲、乙两地同一天的气温记录如表所示．时刻0:002:004:006:008:0010:0012:0014:0016:0018:0020:0022:0024:00甲/℃1191012162123242118161413乙/℃13111214151719212018171615两地的气温有什么差异？解：为了直观地观察两地气温的特点，以时刻为横坐标，气温为纵坐标，把表中的数据用折线图进行表示，得到下图．从图中可以看出，甲、乙两地气温在不同的时刻互有高低，但甲地的最高气温高于乙地，而最低气温低于乙地．为进一步了解两地气温的差异，可以从数据的集中趋势和离散程度两个方面分别进行比较．解：两地气温的平均数分别为，．两地气温按从小到大排列，可得甲地9

10

11

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14

16

16

18

21

21

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乙地11

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15

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17

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20

21可以发现两地气温的中位数都是16，众数各有两个（甲地是16和21，乙地是15和17）且都出现两次，因为重复次数太少，所以不具有代表性．因此，从数据的集中趋势看，两地的气温差异不明显．解：两地气温的方差分别为，．由

可知，乙地气温的波动程度比甲地的小，气温更稳定．例3

甲、乙两名同学本学年11次数学测验成绩（整数，单位：分）的统计图如下图所示．（1）分别求出他们成绩的平均分与方差；解：（1），．，．（2）请你从中挑选一人参加“学用杯”全国数学知识应用竞赛，并说明你挑选的理由．解：（2）甲、乙两人的平均分相同，从超过96分的次数来看，应选甲同学参加比赛，因为甲超过平均分的次数比乙多，比乙更容易获得高分；从成绩的稳定性来看，应选择乙同学参加比赛，因为乙的方差比甲的小，说明乙的成绩比较稳定．用方差进行决策以不同的角度为出发点进行选择，得到的结论可能不同．具体选择应结合实际要求进行判断．例4

某农场种植的甲、乙两种水稻，在连续