苏教版小学数学二升三年级暑假衔接精讲练过关金牌讲义：含有小括号的混合运算知识清单

苏教版小学数学二升三年级暑假衔接精讲练过关金牌讲义：含有小括号的混合运算知识清单一、【核心概念与运算规则】【基础】★【必考】（一）小括号的引入背景与作用：在数学计算中，我们通常遵循“先乘除，后加减”的运算顺序。然而，在解决实际问题时，有时需要优先计算加法或减法，然后再进行乘除。为了满足这种“想要先算”的需求，数学中引入了小括号这一符号。小括号最核心、最重要的作用就是改变原有的运算顺序。它就像一个“优先通行证”，提醒我们在计算时，必须把括号里面的内容作为一个整体，优先计算完毕。在苏教版三年级上册教材的例3中，芳芳用100元买了一个50元的书包后，问剩下的钱能买几本5元的笔记本，我们需要先算减法求出剩余钱数，再算除法，这时就必须用到小括号，即列式为（10050）÷5179。（二）含有小括号的混合运算顺序法则：这是本专题最根本的法则，必须烂熟于心。【重点】★★在含有小括号的两步混合运算（以及后续的三步运算）中，要先算小括号里面的，再算小括号外面的。这意味着，无论小括号里面是加法、减法、乘法还是除法，它们都获得了最高的计算优先级。计算过程必须严格遵守：第一步，锁定小括号，计算出括号内的得数；第二步，用括号内的结果与括号外的数进行第二步计算168。（三）脱式计算的规范格式：正确的书写格式是数学思维的严谨体现。在计算含有小括号的算式时，我们采用递等式（脱式计算）书写。例如：计算(26+37)÷9。正确的书写步骤为：第一步，抄题，并在下一行对齐题目的位置写等号；第二步，先算括号内26+37=63，这一步要将计算过程写出来，同时把括号外面的“÷9”原样抄下来，形成“=63÷9”；第三步，再算63÷9=7，在下一行对齐写等号，写出结果“=7”14。严禁出现不写步骤、跳步计算或格式混乱的情况。二、【运算顺序的深度辨析与对比】【难点】▲（一）与小括号相关的三种基本类型对比：为了深刻理解小括号的作用，必须将同一组数字组成的、有无小括号的算式进行对比。[1]不含括号，先乘后加型：如10050÷5。按照“先乘除后加减”的规则，先算50÷5=10，再算10010=90。这种运算顺序不符合芳芳买书包问题的实际情境。[2]含小括号，先加后除型：如(10050)÷5。有了小括号，就必须先算10050=50，再算50÷5=10。结果从90变成了10，意义完全不同。[3]小括号位置不同型：如(20+15)÷7与20+15÷7。前者先算加法求总和，再算除法求数量；后者先算除法15÷7（但此处不能整除，更具对比意义），再加20，结果和意义迥异19。通过对比，可以深刻理解小括号是如何精准地改变运算顺序和结果的。（二）小括号内外的运算级别：小括号仅仅改变了运算的先后顺序，并不改变括号内外原本的运算规则。当计算出小括号内的结果后，整个算式就转化成了一个无括号的算式，此时仍需严格按照“先乘除，后加减”或“同级运算从左到右”的顺序进行计算。例如：4×(8666)，先算括号内8666=20，此时算式变为4×20，这是乘法和加减法混合吗？不是，它变成了单一的乘法，直接计算即可1。再如：64÷(4×2)，先算括号内4×2=8，算式变为64÷8，直接计算得81。三、【列综合算式解决问题的方法论】【高频考点】★★★★（一）解题步骤（三步法）：[1]分析数量关系：通读题目，理解题意，找出已知条件和所求问题。思考“要求这个问题，必须先知道什么？”这是列式的逻辑起点。例如，要求“剩下的钱可以买几本笔记本”，必须先知道“剩下的钱是多少”79。[2]分步列式理清思路：在初学阶段或遇到复杂问题时，可以先列出分步算式。第一步求什么，第二步求什么，把中间问题清晰地表达出来。这有助于我们寻找数量关系。[3]合并综合算式，巧用括号：将两个分步算式合并成一个综合算式。这一步最关键的是观察分步算式中的第一步计算在合并后的综合算式中是否会被优先计算。如果第一步计算（如加法或减法）在综合算式中会因“先乘除后加减”的规则而被滞后，那么就必须在第一步计算的算式外面加上小括号，以确保它优先计算510。（二）常见基本数量关系模型：许多两步计算的实际问题，其核心都是一个不变的基本数量关系，只是其中一个数量被隐藏，需要先计算出来。【思维拓展】[1]总价、单价、数量模型：如“剩下的钱可以买几个笔记本”，核心关系是“数量=总价÷单价”，这里的总价不是直接给出的，而是需要先通过“带的钱花费的钱”计算得出。列式为(总钱数已花费的钱)÷单价19。[2]和、差、积、商模型：如“大志的钱可以买几个文件夹”，核心关系是“数量=总钱数÷文件夹单价”，总钱数需要先通过“原有的钱+爸爸给的钱”求出。列式为(原有钱+又给的钱)÷单价19。[3]工作效率、工作时间、工作总量模型：如“剩下的平均每天看多少页”，核心是“工作效率=剩余工作量÷剩余时间”，剩余工作量需要先通过“总页数已看页数”求出。列式为(总页数已看页数)÷天数1。[4]面积、方砖面积、块数模型：在铺砖问题中，核心是“房间总面积=方砖面积×块数”。当需要求方砖面积或块数时，可能需要先计算出房间总面积，或者先计算出一块砖的面积，再列式，有时也需要用到小括号改变运算顺序35。四、【易错点与难点突破】【易错警示】▲▲▲（一）易错点1：忽略小括号，运算顺序错误。这是最常见也是最严重的错误。例如计算56(4+16)，错误做法是跳过括号，先算564=52，再算52+16=6810。这完全违背了运算法则。纠正策略：每次计算前，用手指或眼睛先“扫描”算式，看到小括号就像看到红灯，必须停下来，先把括号里的算完。（二）易错点2：列综合算式时，忘记加或加错括号位置。例如，把“15+15=30，30÷6=5”合并成综合算式时，错误地写成15+15÷610。或者，对于“男生25人，女生比男生少10人，求总人数”，列综合算式时，虽然加了括号，但位置不对，如25+2510，这会导致先算25+25。纠正策略：先确定运算顺序（此题必须先算减法求女生人数，再算加法求总和），然后检查综合算式25+2510的运算顺序（加减同级从左到右，先算加），不符合要求，因此必须给“2510”加上括号，写成25+(2510)5。（三）易错点3：不恰当使用小括号。在不需要改变运算顺序的地方滥用括号。例如，计算15+6×2，本来就应该先算乘法，如果写成(15+6)×2或15+(6×2)，前者改变了运算顺序导致结果错误，后者虽然结果正确但括号是多余的，显得不专业，且在某些复杂算式中可能引发误解。纠正策略：深刻理解小括号的唯一作用——“改变”运算顺序，只有当算式的自然顺序不符合解题逻辑时，才考虑使用括号。（四）难点：根据分步算式合并综合算式：这是对学生逆向思维和整体把握能力的考查。例如，给出两步算式5×8=40，4025=15，要求学生合并成一个综合算式。首先，找到第二个算式中的“40”是由第一个算式的结果得来的，因此将第一个算式整体（5×8）代入第二个算式中的40位置，得到5×825。接着，检查这个综合算式的运算顺序，由于乘法的优先级高于减法，它本身就是先算5×8再减25，与原分步顺序完全一致，因此无需加括号。而如果给出6×4=24，24+5=29，合并得6×4+5，同样不用括号。但如果给出4+5=9，6×9=54，合并时，将4+5代入6×9中的9，得到6×4+5。此时检查运算顺序，6×4+5先算乘法6×4=24，再+5=29，而原分步要求是先算4+5=9，再算6×9=54，顺序完全错误。因此，必须给“4+5”加上括号，即(4+5)×6710。这个“代入检查定括号”的过程是必须掌握的核心方法。五、【思维拓展与拔高训练】【培优】★★★（一）添括号游戏：给定一个不含括号的算式和结果，要求添加适当的小括号使等式成立。例如，给9030÷3×5=400，应该如何加括号？这需要倒推和尝试。要得到400，可能要先做加法或减法得到一个较大的数再乘除。通过尝试，9030=60，60÷3=20，20×5=100，不对。尝试(9030÷3)×5，先算30÷3=10，9010=80，80×5=400。正确。这种训练能极大提升对运算顺序和小括号作用的理解5。（二）一题多解与变式练习：[1]基础变式：改变问题中的条件。如将“买一个书包后剩下的钱买笔记本”改为“买一个书包和一个笔袋后剩下的钱买铅笔”，需要连续使用括号或进行多步带括号的运算。[2]高阶应用：结合图形或表格信息的应用题。例如，出示几种商品的单价表，提出诸如“小明带了50元，买了两样东西，还剩10元，他可能买了什么？”此类问题不仅需要列式，还需要进行逻辑推理和枚举验证，列式时可能用到(5010)÷某单价或50(单价1+单价2)等模型。（三）跨学科视野下的数学应用：在科学实验数据记录中，比如记录种子发芽数量，总种子100颗，第一批发芽35颗，第二批发芽28颗，求未发芽的种子数。列式为100(35+28)。这里的小括号帮助我们先把两批发芽的总数作为一个整体计算出来，再求差，体现了数学在处理组合数据时的简洁性。六、【考点与考查方式全扫描】【备考指南】（一）直接计算题：给出含有小括号的算式，要求学生脱式计算。这是最基础的考查方式，旨在检验运算顺序法则的掌握情况和计算能力。如：(70+23)÷3、2×(28+12)、64÷(4×2)等1。（二）改错题：给出错误的计算过程，让学生找出错误并改正。错误类型通常包括：无视小括号先算外面、括号内计算错误、脱式格式不规范等。例如，展示56(4+16)=52+16=68，让学生判断对错并说明理由10。（三）列综合算式题：给出一组分步算式，或给出具体情境，要求学生列出一个综合算式。这是对逆向思维和符号化思想的考查，也是本单元的重点和难点710。（四）解决问题（应用题）：将含有小括号的运算置于实际生活情境中，要求学生先分析数量关系，再列式解答。这考查了学生将实际问题抽象为数学模型的能力。常见的情境有购物问题、看书问题、乘车问题、铺砖问题等135。（五）比较大小题：给出几组有/无括号或括号位置不同的算式，不计算比较结果的大小，或者通过计算结果来比较。例如，比较10050÷5和(10050)÷5的大小，通过分析运算顺序即可判断，不需要算出最终结果。（六）填空题：考查基本概念，如“算式里有括号的，要先算()”；或者考查对算理的理解，如“把8×9=72，7230=42合并成一个综合算式是