《逻辑学》（第三版）课件 第7章 现代归纳逻辑

《逻辑学》（第三版）第七章现代归纳逻辑马克思主义理论研究和建设工程重点教材目

录第一节概率和概率演算第二节统计推理第一节概率和概率演算一、概率和概率解释二、概率演算三、贝叶斯规则一、概率和概率解释考虑以下三个陈述句：从一副扑克牌中抽出K牌的概率是1/13。一个20岁的女人将要活到75岁的概率是913/1000。本月央行将下调人民币存贷款利率的概率是非常高的。它们分别涉及三种不同的概率理论：概率的古典理论概率的相对频率理论概率的主观主义理论（一）概率的古典理论概率的古典理论的起源可以追溯到17世纪数学家布莱斯•帕斯卡和皮埃尔•费马确定机遇游戏的打赌投注赔率的工作。根据古典理论，一个事件A出现的概率用下面的公式计算：

其中：f是有利的结果的数目，n是可能的结果的数目。【思考】从一副扑克牌中抽出一张红桃的概率是多少？【解析】从一副扑克牌中抽出一张红桃的概率，有利的结果的数目是13（因为有13张红桃），而可能的结果的数目是52（因为一副扑克中有52张牌）。因此，这一事件的概率是13/52或1/4。古典概率公式一个事件发生的概率与打赌其发生的投注赔率并不相同。一个事件A（适用于古典概率理论）将会发生的公平的打赌投注赔率为：Odds(A)=f：u其中，f是有利的结果的数目，u是不利的结果的数目。【思考】从一副扑克牌中抽出一张红桃的公平打赌赔率是多少？【解析】从一副扑克牌中抽出一张红桃的公平的打赌投注赔率是13:39（或1:3），因为有13张红桃，另有39张牌不是红桃。假设孟芳和胡杨打一个公平的赌，孟芳押100块抽中红桃。如果孟芳赢得赌局，那么胡杨就该支付孟芳300块钱。概率与赔率（二）概率的相对频率理论概率的古典理论存在局限性。比如，当试图确定一位60岁的男子在10年之内死于心脏病的概率时，要对所有可能的结果做出描述几乎不可能。他可能死于癌症、肺炎、致命流感，也可能死于意外事故等，且这些结果并非是等可能发生的。为了计算此类事件的概率，我们需要概率的相对频率理论。概率的相对频率理论起源于18世纪人寿保险公司所使用的死亡表。与依赖于先验计算的古典理论相反，相对频率理论依靠的是对某种事件发生的频率的实际观察。频率概率公式一个事件A发生的频率概率为：其中，fo是所观察到的有利的结果的数量，no是所观察到的结果的总数。【思考】一名50岁的男子再活5年的概率是多少？【解析】为确定一名50岁的男子再活5年的概率，可以观察由50岁男子组成的样本，比如1000名，如果有968人在5年之后还活着，那么那位男子再活5年的概率就是968/1000。（三）概率的主观主义理论概率的古典理论和相对频率理论都不能把概率指派给单个的事件，但现实世界中存在许多单个事件。例如，赵先生和周女士在某年某月结婚，某位游泳运动员在下一届奥运会上获得自由泳冠军，等。为了刻画这些事件的概率，我们需要主观主义理论。概率的主观主义理论用个人的信念这样的术语来说明概率的意义。尽管这样的信念是不明确的、模糊的，但是通过一个人所能接受的对某个赌博的投注赔率可以给出对信念的定量解释。比如，如果张三相信某匹马会获胜，并且他愿意以8:5的赔率对这一事件打赌，那么意味着他把8/(8+5)的概率指派给了这个事件。二、概率演算（一）初始规则概率演算有三条初始规则：规则1如果一个命题是重言式，那么它的概率等于1。其中，重言式是指无论事实真假都为真的命题，也叫永真式。规则2

如果一个命题是矛盾式，那么它的概率等于0。其中，矛盾式是指无论事实真假它都为假的命题，也叫永假式。规则3

如果两个命题是逻辑等值的，那么它们有相等的概率。其中，两个命题逻辑等值是指它们陈述的是同一事实。（二）析取规则和否定规则否定规则一般析取规则（三）条件概率和合取概率在讨论合取规则之前，需要引入条件概率的概念。已知A的条件下B的概率称为B的条件概率，记作P(B|A)，它可以读作“在A条件下B的概率”、“基于A的B的概率”或者“假设A时B的概率”。以掷骰子为例，掷出偶数点的概率是1/2。但在已经掷出2点或4点的条件下掷出偶数点的概率就不是1/2而是1。在已经掷出1点或3点的条件下掷出偶数点的概率是0。一般合取规则“独立”概念如果事件A发生不会影响事件B发生的概率，就说A、B两事件是独立的。此时，P(B|A)=P(B)且P(A|B)=P(A)。独立与互斥并不相同。例如，“下一次掷骰子将掷得5点”与“下一次掷硬币掷得正面”是独立的，但它们并不互斥，因为它们可能同真。而命题“下一次掷骰子将掷得偶数点”与命题“下一次掷骰子将掷得5点”是互斥的，但它们并不独立。P(掷得偶数点)=1/2，但P(掷得偶数点|掷得5点)=0。P(掷得5点)=1/6，而P(掷得5点|掷得偶数点)=0。一般来说，如果A和B互斥，它们就不独立；而如果A和B独立，它们就不互斥。特殊合取规则三、贝叶斯规则贝叶斯规则（亦称贝叶斯定理）是英国数学家托马斯•贝叶斯（ThomasBayes1702-1761）在1763年发表的一篇论文中提出的。贝叶斯规则是打开“向经验学习”之门的钥匙，是帮助我们理解如何应用新证据的重要规则。贝叶斯推理的核心思想【思考】有两个坛子，都装有红球和黑球。坛子A有80%的红球，20%的黑球，坛子B有60%的黑球，40%的红球。随机挑选一个坛子，并从这个坛子中摸出一个球，该球是红球。请问该坛子是A的概率是多少？该坛子是B的概率是多少？【解析】从坛子A中抽出红球的概率是0.8，从坛子B中抽出红球的概率是0.4。即P(R|A)=0.8；P(R|B)=0.4需要求的概率是：P(A|R)和P(B|R)，它们分别是P(R|A)和P(R|B)的逆概率。我们可以根据条件概率的定义来计算。但是，还有一个更加简单的计算规则，即贝叶斯规则（贝叶斯公式）。下面将讨论该公式。贝叶斯公式贝叶斯推理的必要信息课后作业根据贝叶斯公式计算前述坛子问题中的P(A|R)和P(B|R)。第二节统计推理一、统计推理概述二、统计推理的类别、形式和相关概念三、统计推理的抽样问题四、统计推理的应用一、统计推理概述统计推理是一种现代意义上的归纳推理，它以统计数据为前提，以概率论为基础。统计数据是人们通过对数量信息进行收集、整理和分析等统计工作得到的。例如：中国电子商会2012年1-6月的调查显示，近94％的中国消费者对智能电视有所了解，36％的消费者打算近期购买智能电视。2020年的2月14日注定与往年不同。近日，苏宁发布了2月10日-13日的消费大数据。数据显示，油盐酱醋等调料销量环比增长131%，大米销量同比增长175%。看来，有不少平时不做饭的人也“为爱下厨”了。(新民晚报，2020-2-14)【思考】什么是“同比”，什么是“环比”？它们有哪些用途？同比与环比同比和环比用于表示某一事物在对比时期内发展变化的方向和程度。同比：本期水平与上年同期水平相比较。环比：本期水平与上一统计段的水平相比较。一般用在相邻的月或日。同比发展速度和同比增长速度【思考】今年3月某统计指标的值是110亿元，而去年3月该指标的值是100亿元，那么该指标今年的同比发展速度和同比增长速度是多少？【解析】同比发展速度(110÷100)×100%=110%。可以看出，该指标今年相比去年增长了10%，即(110-100)÷100×100%=10%，这就是同比增长速度。同比发展速度

=本期数/上期数×100%，它可以消除季节变动的影响，反映现象的相对发展速度。同比增长速度

=[(本期数-上期数)/上期数]×100%，或者=同比发展速度-1。环比发展速度和环比增长速度【思考】某企业2014年3月的销售收入为110亿元，2014年2月的销售收入为100亿元。请问该企业销售收入的环比发展速度和环比增长速度分别是多少？【解析】环比发展速度=(110÷100)×100%=110%。可以看出，3月的销售收入相比2月增长了10%，即(110-100)÷100×100%=10%，这就是环比增长速度。环比发展速度

=本期数/上期数×100%，它反映了现象的逐期发展速度。环比增长速度

=[(本期数-上期数)/上期数]×100%，或者=环比发展速度-1，它反映了本期相对上期增长了多少。统计假说统计假说是人们在研究统计数据的基础上提出的假说。例如：37%的中国成年男子喝酒。18%的中国成年妇女喝酒。它们都给出了总体中的某些个体具有或不具有某种属性，即（总体）的x%是（属性）这就是统计假说的基本结构。【思考】人们提出统计假说时，是否需要考察总体中的所有个体？【解析】一般情况下，人们往往没有（或无法）考察完总体中的所有个体，而只是考察了总体的某个样本，并根据样本的特征推出总体的特征。这就是统计推理。二、统计推理的类别和形式统计推理：是由样本到总体的推理，是由样本具有某种属性推出总体也具有某种属性的推理，主要包括估计、统计假说检验和贝叶斯推理。估计：通过样本具有某个特征来推出总体也具有某个特征的统计推理。统计假说检验：利用样本的信息来判定一个统计假说的真假。贝叶斯推理：把推理者的知识背景与样本数据结合起来的统计推理。贝叶斯推理的特点是：不仅需要推理者当前从样本中获取的知识，而且还需要推理者过去所积累的经验或知识（主观先验知识）。注：估计、统计假说检验属于经典统计推理，贝叶斯推理属于非经典统计推理。练一练【思考】如果想知道某所大学的学生对于某项制度的看法，可以如何做？【解析】可以运用估计这种推理形式。我们可以对10%的学生进行问卷调查，并根据调查结果推出该所大学所有学生对该项制度的看法。比如，如果调查结果表明，80%的学生赞同这项制度，那么我们就可以得出结论：该所大学80%的学生赞同这项制度。估计的推理形式估计就是通过一个样本具有某个特征来推出总体也具有某个特征。涉及三个基本概念：总体：被研究对象的全体个体：被研究对象中的每个成员样本：从总体中抽取出的那部分个体以T、S、R分别表示总体、个体和属性，估计的推理形式可表示为：显然，当m/n等于1时，估计可以解释为枚举归纳推理。统计分布统计分布是统计假说的合取。主要涉及两个概念：变项：以不同的类型或数量出现的事物。变项值：与一个变项相联系的不同类型或数量。例如，在中国人构成的总体中，如果把“性别”看做一个变项的话，那么它就有两个可能的值：“男性”和“女性”。【思考】某国公共卫生局关于喝酒和健康的2012年度报告指出，该国成年妇女喝酒者2012年的总体喝酒量为：36％的妇女每天喝酒少于50ML，44%的妇女每天喝酒在50~100ML之间，20％的妇女每天喝酒超过100ML。这是一个关于成年妇女喝酒者的统计分布。请问该统计分布的变项和变项值分别是什么？【解析】变项是“喝酒量”；有三个变项值：少于50ML、50~100ML、超过100ML。注：统计分布的每一个合取支本身就是一个简单统计假说。简单相关简单相关是两个变项之间线性或非线性的关联关系。例如，人的“身高”往往与“体重”相关。在统计学中就会这样表述：“身高”和“体重”这两个变项是相关的。【思考】在成年中国人这个总体中，“性别”这个变项有两个值：“男性”和“女性”。“喝酒习惯”这个变项也有两个值：“喝酒”和“不喝酒”。假设：（1）37%的中国成年男子喝酒。（2）18%的中国成年妇女喝酒。请问“性别”和“喝酒习惯”这两个变项有什么关系？【解析】在成年中国人这个总体中，“性别”和“喝酒习惯”是相关的，并且，它们的值之间还具有一种特殊关系：喝酒者和男性是正相关的，喝酒者和女性是负相关的。简单相关有三种类型在给定总体中，变项A与变项B正相关，当且仅当，A在B中的百分比大于A在非B中的百分比。在给定总体中，变项A与变项B负相关，当且仅当，A在B中的百分比小于A在非B中的百分比。在给定总体中，变项A与变项B零相关，当且仅当，A在B中的百分比等于A在非B中的百分比。三、统计推理的抽样问题在统计推理中，被研究对象的全体称为“总体”，从总体中抽选出来那部分个体叫做“样本”，从总体中抽取样本的方法叫抽样。统计推理的抽样问题：抽取的样本是否代表了总体？因而，抽样问题也称为样本的代表性问题。【思考】金赛（A.Kinsey）是美国著名生物学家和性学家。他在美国首次对性行为做了大规模的调查研究。金赛调查的人是方便参与的、志愿的，比如，与金赛曾经有过交往的人、同学会成员、搭过他便车的人等。几年下来，金赛及其同事调查了将近18000人，并由此得出了美国人的性行为倾向。请问金赛的调查是否存在抽样问题？【解析】尽管金赛的样本不算小，但它不能代表抽样总体，存在偏差。样本的代表性统计推理结论的可靠性，主要取决于样本的代表性。样本代表总体的程度用样本偏差来表示。样本偏差指某种属性在样本中出现的频率与在总体中出现的频率之差。例如，如果样本统计表明某种产品的合格率是90%，而实际上这种产品的合格率只有80%，那么样本偏差就是10%。一般来说，可以从三个方面来提高样本的代表性，减少样本偏差。扩大样本量，使样本具有广泛性。不带偏见地随机抽样。样本要从总体的各个层（类）中抽取。四、统计推理的应用统计推理的应用问题，包括“平均数”的意义，以及如何避免陷入百分比陷阱和平均数陷阱等。在统计学中，“平均数”一词在三种意义上使用：均值、中位数和众数。尽管有时候均值、中位数、众数的值比较接近，然而一旦这些值之间出现较大差异时，就会出现所谓“平均数”陷阱。百分比陷阱【案例】在航空业萧条时期，各家航空公司并没有节省广告开支，纷纷推出如下宣传广告：飞机远比汽车安全！你不要被空难的夸张报道吓破了胆，根据航空业协会的统计，飞机每飞行１亿公里死１人，而汽车每跑5000万公里死人。汽车工业协会对这则广告大为恼火，他们在电视上宣传说：飞机每20万飞行小时死１人，而汽车每200万行驶小时死１人……【解析】这两个百分比都不假，但是都掩盖了一个重要信息：百分比所依据的绝对数字。乘坐汽车的人比乘坐飞机的人多得多，飞机的飞行速度比汽车快得多。基础比率信息不同，因而不可比。平均数陷阱【案例】胡里开了一家小工厂，工厂的管理人员由胡里、他的弟弟和他的6个亲戚组成，工作人员由5个领工和10个工人组成。现在需要招聘一个新工人，熊蓓碧前来应聘。胡里和熊蓓碧谈招聘条件。胡里说：“我们的报酬不错，平均每人的薪金是每周300元