第11课时一次函数的应用

第三单元函数及其图象第11课时一次函数的应用1.

用一次函数的性质解决实际问题解答一次函数的应用题时，应从给定的信息中抽象出一次函数关系，

利用一次函数的图象与性质求解，同时要注意自变量的取值范围.2.

用一次函数的图象解决实际问题解题的关键在于弄清横轴、纵轴各表示什么量，图象上的每一点表示

什么实际意义，以及图象的变化趋势、倾斜度大小表示的含义等.类型之一最大利润问题1.

［2025•泸州模拟］草莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以

3

150元购进A，B两种不同品种的盒装草莓，其中A品种进价为35元/

盒、B品种为50元/盒.若按A品种60元/盒、B品种80元/盒的标价出售可

获利润2 050元.（1）这两个品种的草莓各购进多少盒？解：（1）设A品种草莓购进x盒，B品种草莓购进y盒，

答：A品种草莓购进40盒，B品种草莓购进35盒.（2）该店计划购进这两种品种的草莓共100盒（每种品种至少进1盒），

并在两天内将所进草莓全部销售完毕（损耗忽略不计）.因B品种草莓的销

售情况较好，水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A

品种不少于25盒.如何安排进货，才能使利润最大？最大利润是多少？解：（2）设A品种草莓购进m盒，则B品种草莓购进（100－m）盒，总利

润为w元，则w＝25m＋30（100－m）＝－5m＋3 000.

∵m为正整数，∴m的最大整数值为33，最小整数值为25.∵w＝－5m＋3 000，k＝－5＜0，∴w随m的增大而减少，∴当m＝25时，w取最大值，最大值为w＝－5×25＋3 000＝2 875，此时

100－m＝75.答：安排A品种草莓购进25盒，B品种草莓购进75盒，才能使利润最大，最

大利润是2 875元.∴当m＝25时，w取最大值，最大值为w＝－5×25＋3 000＝2 875，此时

100－m＝75.答：安排A品种草莓购进25盒，B品种草莓购进75盒，才能使利润最大，最

大利润是2 875元.2.

某商店销售一种产品，该产品成本价为8元/件，售价为10元/件，销售人

员将该产品一个月（30天）的销售情况记录绘成图象.图中的折线ODE表

示日销量y（单位：件）与销售时间x（单位：天）之间的函数关系，若

线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件.（1）第26天的日销量是

件，这天销售利润是

元.【解析】（1）由题意，∵时间每增加1天，日销量减少5件，且第22天的

销售量为340件，∴第26天的日销售是340－（26－22）×5＝320（件），∴这天销售利润是（10－8）×320＝640（元）.故答案为320，640.320640【解析】（1）由题意，∵时间每增加1天，日销量减少5件，且第22天的

销售量为340件，∴第26天的日销售是340－（26－22）×5＝320（件），∴这天销售利润是（10－8）×320＝640（元）.故答案为320，640.（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围.解：（2）设直线OD的函数关系式为y＝kx（k≠0），将（17，340）代入，得340＝17k，解：（2）设直线OD的函数关系式为y＝kx（k≠0），将（17，340）代入，得340＝17k，解得k＝20，∴直线OD的函数关系式为y＝20x.当x＝22，y＝340；当x＝26，y＝320，∴DE过（22，340），（26，320），设直线DE的函数关系式为y＝mx＋n（m≠0），

∴直线DE的函数关系式为y＝－5x＋450.由题意，令y＝20x＝－5x＋450，∴x＝18.

（3）销售期间日销售最大利润是多少元？日销售利润不低于660元的天数

共有多少天？解：（3）结合函数的图象可得，当x＝18时，日销售为20×18＝360，此

时日销售利润最大为（10－8）×360＝720（元）.又∵每件利润为10－8＝2（元），∴当销售利润为660元时，销售量为330件.∴令y＝330时，有20x＝330或－5x＋450＝330，∴x＝16.5或x＝24，∴日销售利润不低于660元的天数在17到24之间.∴24－17＋1＝8（天），∴日销售利润不低于660元的天数共有8天.解：（3）结合函数的图象可得，当x＝18时，日销售为20×18＝360，此

时日销售利润最大为（10－8）×360＝720（元）.又∵每件利润为10－8＝2（元），∴当销售利润为660元时，销售量为330件.∴令y＝330时，有20x＝330或－5x＋450＝330，∴x＝16.5或x＝24，∴日销售利润不低于660元的天数在17到24之间.∴24－17＋1＝8（天），∴日销售利润不低于660元的天数共有8天.类型之二行程问题3.

［2022•巴中］甲、乙两人沿同一直道从A地到B地，在整个行程中，

甲、乙离A地的距离s（单位：米）与时间t（单位：分钟）之间的函数关

系如图所示，下列说法错误的是（

C

）A.

甲比乙早1分钟出发B.

乙的速度是甲的速度的2倍C.

若甲比乙晚5分钟到达，则甲用时10分钟D.

若甲出发时的速度为原来的2倍，则甲比乙提前1分

钟到达B地C4.

［2024•资阳］小王前往距家2

000米的公司参会，先以v0（米/分）的速

度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还

有14分钟，小王距家的路程s（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）

之间的函数图象如图所示.若小王全程以v0（米/分）的速度步行，则他到

达时距会议开始还有

分钟.5

解：（1）设B种冰箱贴的单价为x元，则A种冰箱贴的单价为（x＋3）

元，

解得x＝12，经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，则x＋3＝15.答：A种冰箱贴的单价为15元，B种冰箱贴的单价为12元.解得x＝12，经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，则x＋3＝15.答：A种冰箱贴的单价为15元，B种冰箱贴的单价为12元.

解：（2）设购买A种冰箱贴m个，则购买B种冰箱贴（120－m）个，总费

用为w元，由题意，得w＝15m＋12（120－m）＝3m＋1 440，

解得80≤m≤85，∴有6种购买方案，其中m＝80，81，82，83，84，85.∵w＝3m＋1 440，k＝3＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝80时，w最小，此时120－m＝40.答：有6种购买方案，购买A种冰箱贴80个，B种冰箱贴40个时总费用最少.解得80≤m≤85，∴有6种购买方案，其中m＝80，81，82，83，84，85.∵w＝3m＋1 440，k＝3＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝80时，w最小，此时120－m＝40.答：有6种购买方案，购买A种冰箱贴80个，B种冰箱贴40个时总费用最少.

追及问题

［2024•威海］同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间.

甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地.甲车速度始终保持不变，

乙车中途休息一段时间，继续行驶.如图表示甲、乙两车之间的距离y（单

位：km）与时间x（单位：h）的函数关系.下列结论正确的是（

A

）AA.

甲车行驶

 h与乙车相遇B.

A，C两地相距220 kmC.

甲车的速度是70 km/hD.

乙车中途休息36 min一、选择题1.

［2023•自贡］如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上.小亮从

家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家.小亮离家距

离y（单位：km）与时间x（单位：min）之间的关系如图2所示.下列结论

错误的是（

D

）

图1

图2DA.

小亮从家到羽毛球馆用了7 minB.

小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75 mC.

报亭到小亮家的距离是400 mD.

小亮打羽毛球的时间是37 min2.

［2023•山西］一种弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体，不挂物体时弹

簧的长为12 cm，每挂重1 kg物体，弹簧伸长0.5 cm，在弹性限度内，挂重

后弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）之间的函

数关系式为（

B

）A.

y＝－0.5x＋12B.

y＝0.5x＋12C.

y＝0.5x＋10D.

y＝0.5xB3.

［2025•苏州］声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家

测得一定温度下声音传播的速度v（单位： m/s）与温度t（单位：℃）部

分对应数值如下表：温度t/℃－1001030声音传播的速度v/（m/s）324330336348研究发现v，t满足公式v＝at＋b（a，b为常数，且a≠0）.当温度t为

15 ℃时，声音传播的速度v为（

B

）A.

333 m/sB.

339 m/sC.

341 m/sD.

342 m/sB4.

雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，全长240 km.一辆货车和一辆

轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段OM表示货车离西昌距离y1

（单位：km）与时间x（单位：h）之间的函数关系；折线OABN表示轿车

离西昌距离y2（单位：km）与时间x（单位：h）之间的函数关系，则以下

结论错误的是（

D

）A.

货车出发1.8 h后与轿车相遇B.

货车从西昌到雅安的速度为60 km/hC.

轿车从西昌到雅安的速度为110 km/hD.

轿车到雅安20 min后，货车离雅安还有60 kmD

答图【解析】如答图，延长AB交x轴于点D，过点B作EF∥x轴.∵EF∥x轴，∴∠EBC＝∠BCO，∠FBD＝∠BDO.

∵∠ABE＝

∠EBC，∴∠BCO＝∠ABE.

∵∠FBD＝∠ABE，∴∠BCO＝∠BDO，

∴BC＝BD.

又∵BO⊥CD，∴OD＝OC，∴点D的坐标为（1，0）.将

答图6.

［2024•济南模拟］A，B两地相距40 km，甲从A地出发向B地前进，乙

从B地出发向A地前进，两人沿同一直线同时出发，甲先以12 km/h的速度

前进1 h，然后减慢速度继续匀速前进，甲、乙两人离A地的距离s（单

位：km）与时间t（单位：h）的关系如图所示，则甲出发

⁠h后与乙

相遇.

【解析】甲减速后的速度为（40－12）÷（5－1）＝7（km/h），乙的速

度为40÷8＝5（km/h），设甲出发x h后与乙相遇，根据题意，得12＋7

解：（1）设A种花卉的单价为x元/株，B种花卉的单价为y元/株.

答：A种花卉的单价为3元，B种花卉的单价为5元.解：（2）设采购A种花卉m株，则采购B种花卉（10 000－m）株，总费

用为W元.由题意，得W＝3m＋5（10 000－m）＝－2m＋50 000，∵m≤4（10 000－m），解得m≤8 000.在W＝－2m＋50 000中，∵－2＜0，∴W随m的增大而减小，∴当m＝8 000时W的值最小，W＝－2×8 000＋50 000＝34 000，此时10 000－m＝2 000.答：当购进A种花卉8 000株，B种花卉2 000株时，总费用最少，最少总费

用为34 000元.解：（2）设采购A种花卉m株，则采购B种花卉（10 000－m）株，总费

用为W元.由题意，得W＝3m＋5（10 000－m）＝－2m＋50 000，∵m≤4（10 000－m），解得m≤8 000.在W＝－2m＋50 000中，∵－2＜0，∴W随m的增大而减小，∴当m＝8 000时W的值最小，W＝－2×8 000＋50 000＝34 000，此时10 000－m＝2 000.答：当购进A种花卉8 000株，B种花卉2 000株时，总费用