金太阳重庆好教育联盟2026届高三下学期3月开学联考数学（26-284C）+答案

重庆市2026届高三下金太阳好教育联考

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.整理排版。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项，只有一项符合题目要求.

1.在等差数列{an}中，a₆=-5,a10=1,则a1₄=

A.5B.6C.7D.8

2.已知集合A={x|2<x<5},B={x|4<x<7},则图中阴影部分表示的集合为

A.{z|x<5或x≥7}B.{x|4<x<5}C.{x|x≤2或x>4}D.{x|2<x<7}

3.已知f(x)是偶函数，当x>0时，f(xy)=f(x)+f(y)+1,则f(-1)=

A.-1B.-2C.1D.2

4.在△ABC所在的平面内，AB=2BD,D关于C的对称点是E,则AE=

A.B.C.D.

5.已知函,则“f(x)的最小正周期大于4”是“f(x)在(0,1)上单调递增”的

A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

6.瓷枕是中国古代较为流行的一种瓷质枕具，其上常以彩釉绘制精美图画，或题写诗句.某瓷枕如左图所

示，其横截面如右图所示，该横截面的上、下曲线可以看作双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为

A.√10B.√7C.2√3D.2√2

7.已知正三棱台ABC-A₁B₁C₁的高为√2,AB=4√6,A₁B₁=2√6,则二面角B₁-BC-A的大小为

A.B.C.D.

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8.将一些相同的小球放入一排相同的盒子中，每个盒子中至多放一个小球.若要放三个小球且装有小球的

盒子互不相邻的方案数为x,要放四个小球且装有小球的盒子互不相邻的方案数为y,若3x=2y,则这一

排盒子的总个数为

A.13B.14C.15D.16

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求.公众号山城学术圈全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.

9.若复数

A.|z|=√5B.z的共轭复数为2-i

C.为实数D.iz在复平面内对应的点位于第二象限

10.若loga(3a²-5a+2)>2(a>0,且a≠1),则函数f(x)=loga(x+a)的大致图象可能为

ABCD

11.已知半径为R₁(R₁=1)的圆M₁与射线l:y=kz(k>0,x≥0)、x轴正半轴均相切，半径为Rn(Rn>

Rn-1,n≥2)的圆Mₙ与射线1、x轴正半轴均相切，且与圆Mn-1外切，则下列结论正确的是

A.若k=√3,则R₃=9

B.若,则点M₁的坐标为(512√2,256)

C.若,则数列{Rn}的前n项和小于2”

D的取值范围为(1,3+2√2)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在一组数据1,2,3,5,7中加入一个数x后，得到一组新数据，且新数据组的60%分位数等于原数据组

的60%分位数，则x=

13.已知P是抛物线C:x²=2py(p>0)上的一个动点，A(3,-3),点P到x轴的距离为d,且d+|PA|的最

小值为4,则p=

14.在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB且AA₁<AD,一只蚂蚁从顶点A出发沿长方体的表面爬

到顶点C₁,若蚂蚁爬行最短路径的长度为3√13,则该长方体体积的最大值为_·

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

有动物类和植物类两个谜语题库，甲猜对动物类、植物类题库中每道谜语的概率分别为0.8,0.5.现有

两种答题方案：方案一，甲先从动物类题库中选一道谜语作答，猜对得奖金15元，且只有猜对该道谜语，才有

资格从植物类题库中再选一道谜语作答，猜对第二道得奖金25元；方案二，甲从动物类题库中选两道谜语作

答，每猜对一道得奖金15元.

(1)若甲选择方案一的奖金金额为X元，求X的分布列与期望.

(2)以甲获得奖金金额的期望值为决策依据，他应该选择哪个方案?并说明理由.

16.(15分)

已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosB+bcosA=4,8sinAcosC=asinC.

(1)求c及C;

(2)求△ABC周长的最大值.

17.(15分)

已知函

(1)若曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线与曲线.y=eᵗ在点(x₁,e“)处的切线垂直，求x1;

(2)若函数φ(x)=f(x)+ax有两个极值点，求a的取值范围.

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18.(17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,CD=4,AB=AD=BC=2,

(1)证明：AB//平面PCD.

(2)已知PA=PB=√2,点P,A,B,C,D在同一个球的球面上，设该球的球心为O.

①在图中指出点O的位置，并说明理由；

②若Q为线段PB上的一点，且直线OQ与平面PCD所成角的正弦值为,求PQ.

19.(17分)

平面内一动点P到直线√3x+2y=0的距离为d₁,到直线√3x-2y=0的距离为d₂,且d²+

记点P的轨迹为曲线Ω

(1)求Ω的方程；

(2)已知过点(1,0)且斜率不为0的直线l与Ω交于D,E两点，点A(-2,0),直线AD,AE分别交y轴

于M,N两点，且|MN|=2√2,求l的方程；

(3)以点B(1,0)为端点作n(n≥2)条射线分别与Ω交于(C₁,C₂,…,Cn(射线BC,BC₂,…,BCn按逆时

针方向旋转),且

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重庆数学考试参考答案

题序1234567891011121314

答案CBADBDCBACBDACD42

【评分细则】

【1】第1～8题，凡与答案不符的均不得分.

【2】第9,10题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分；第11题，全部选对的

得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分.

【3】第12～14题，凡与答案不符的均不得分.

1.C【解析】本题考查等差中项，考查数学运算的核心素养.

因为a₆+a14=2a10,所以a14=2a10-a₆=7.

2.B【解析】本题考查集合的基本运算与Venn图，考查直观想象的核心素养.

由图可知阴影部分表示的集合为A∩B={x|4<x<5}.

3.A【解析】本题考查抽象函数求值与函数的奇偶性，考查数学运算的核心素养.

令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1)+1,得f(1)=-1,所以f(一1)=f(1)=-1.

4.D【解析】本题考查平面向量的线性运算，考查逻辑推理的核心素养.

5.B【解析】本题考查正切函数的性质与充分、必要条件，考查逻辑推理的核心素养.

由f(x)的最小正周期大于4,得,则.由x∈(0,1),得

,若f(x)在(0,1)上单调递增，则,得.故“f(x)的最小正周期大于

4”是“f(x)在(0,1)上单调递增”的充分不必要条件.

6.D【解析】本题考查双曲线的离心率，考查数学建模的核心素养和

应用意识.

建立如图所示的平面直角坐标系.设该双曲线

x

0,b>0).由2a=12,得a=6.

易得点(14,8)在C上，则,得b²=252,所以C的离心率

7.C【解析】本题考查三棱台与二面角，考查数学运算的核心素养和空间想象能力.

如图，设BC,B₁C₁的中点分别为D,D₁,连接AD.设△A₁B₁C₁在底面ABC上的投影为

△A₂B₂C₂,D₁在底面ABC上的投影为D₂,△ABC的中心为O.易证D₁D⊥BC,ADL

BC,所以二面角B₁-BC-A的平面角为∠ADD₁.因

×B₁C₁=√2,所以DD₂=OD-OD₂=√2.易证D₁D₂⊥平面ABC,则D₁D₂⊥DD₂,又

D₁D₂=DD₂=√2,所以

B

8.B【解析】本题考查排列组合的实际应用，考查应用意识.

设这一排盒子的总个数为n(n≥7).先将装有小球的盒子拿开，再插入到(n—3)个盒子之间，

得x=C³-2,同理可得y=Cₙ-3.由3x=2y,得

,得n²-17n+42=(n—14)(n-3)=0,得n=14(n=3

舍去).

9.AC【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养.

由题意得,则|z|=√5,z的共轭复数为-2+i,A正确，

B错误.因,所以为实数，C正确.因为iz=i(-2—i)=

1-2i,所以iz在复平面内对应的点(1,-2)位于第四象限，D错误.

10.BD【解析】本题考查对数函数的图象，考查数学运算与直观想象的核心素养.

由3a²—5a+2>0,得或a>1.当时，由loga(3a²—5a+2)>2,得3a²—5a

+2<a²,得,此时将函数y=logax的图象向左平移a个单位长度，可得到选项B

的图象，不可能得到选项A的图象，故A错误，B正确.当a>1时，由loga(3a²-5a+2)>

2,得3a²—5a+2>a²,得a>2,此时将函数y=logax的图象向左平移a个单位长度，可得

到选项D的图象，不可能得到选项C的图象，故C错误，D正确.

11.ACD【解析】本题直线与圆、圆与圆的位置关系及数列的

综合应用，考查直观想象、逻辑推理的核心素养和创新意识.

如图，过点M-1,M分别作Mn-1A⊥l,MB⊥l,垂足分别

为A,B,过点Mn-1作M-1C⊥MB,垂足为C.

设∠AOM=α,易得∠M„M-1C=∠AOM=α,M„Mn-1

=R,+R-1,MC=R„—Rn-1·

由sin∠M„M-1,所以{R}是首项为1,

公比的等比数列，所以,点M的坐标为(.由k=

tan2α=√3,得,所以正确.

由(负根舍去),则所以

R₁₀=2⁹=512,点M10的坐标为(1024√2,512),B错误.

{R}的前n项和为正确.

,由k>0,得,得,得

所以,D正确.

12.4【解析】本题考查百分位数，考查数据处理能力.

因为5×60%=3,所以原数据组的60%分位数因为6×60%=3.6,所以新数据

组的第4个数为4,所以x=4.

13.2【解析】本题考查抛物线的性质，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.

由题意得C的焦点为,准线方程为.设点P到直线的距离为d₁,

贝,所以,则

,解得p=2.

14.【解析】本题考查立体几何与导数的综合应用，考查直观想象与数学建模的核心

素养.

设AB=a,AD=b,AA₁=c,则c=2a<b.如图，若蚂蚁爬行的路线经过棱A₁B₁,则最短路

径的长度为√a²+(b+c)²=√a²+b²+c²+2bc;若蚂蚁爬行的路线经过棱BB₁,则最短路

径的长度为√c²+(a+b)²=√a²+b²+c²+2ab;若蚂蚁爬行的路线经过棱BC,则最短路

径的长度为√b²+(a+c)²=√a²+b²+c²+2ac.由a<c<b,得2ac<2ab<2bc,所以蚂蚁

爬行最短路径的长度为√b²+(a+c)²=√b²+9a²=3√13,得b²+9a²=117.因为c²=4a²

2,所以6<b<3√13.该长方体的体

,当

6<b<√39时，V'(b)>0,V(b)单调递增，当√39<b<3√13时，V'(b)<0,V(b)单调递减，

所以该长方体体积的最大值为

15.【解析】本题考查随机变量的分布列和期望，考查逻辑推理的核心素养和应用意识.

解：(1)X的可能取值为0,15,40.…………1分

P(X=0)=1—0.8=0.2,…………………2分

P(X=15)=0.8×(1—0.5)=0.4,3分

P(X=40)=0.8×0.5=0.4,4分

所以X的分布列为

X01540

P0.20.40.4

………………5分

故E(X)=0×0.2+15×0.4+40×0.4=226分

(2)甲应该选择方案二.……………………7分

理由如下：

当甲选择方案二时，设他猜对的谜语数量为Y,获得的奖金金额为Z元，则Z=15Y.……

…………………………8分

由题意得Y～B(2,0.8),9分

则E(Y)=2×0.8=1.6,10分

所以E(Z)=15E(Y)=2412分

因为E(Z)>E(X),所以甲应该选择方案二.…………13分

【评分细则】

第(2)问还可以这样解答：

甲应该选择方案二.…………7分

理由如下：

设甲选择方案二的奖金金额为K元，则K的可能取值为0,15,30.……8分

P(K=0)=(1—0.8)²=0.04,9分

P(K=15)=C2×0.8×(1—0.8)=0.32……………………10分

P(K=30)=0.8²=0.64……………………11分

所以E(K)=0×0.04+15×0.32+30×0.64=24…………12分

因为E(K)>E(X),所以甲应该选择方案二.……………13分

16.【解析】本题考查正弦、余弦定理，考查数学运算和逻辑推理的核心素养.

解：(1)由余弦定理得acosB+bcos………3分

则c²=4c,得c=4………………4分

由8sinAcosC=asinC,得8acosC=ac,则…………6分

因为C∈(0,π),所以………………7分

(2)由余弦定理c²=a²+b²—2abcosC,得16=a²+b²—ab………………9分

则……………………12分

所以a+b≤8…………………13分

当且仅当a=b=4时，等号成立……………14分

故△ABC周长的最大值为8+4=12………15分

【评分细则】

【1】在第(1)问中，未写“C∈(0,π)”,不扣分.

【2】在第(2)问中，未写“a=b=4”,扣1分.

17.【解析】本题考查一元函数的导数及应用，考查数学运算和逻辑推理的核心素养.

解：(1)……………………1分

设g(x)=e,则g'(x)=e²……………………2分

则·eˣ¹=-1,得e¹=e²……………4分

所以x₁=2………………………5分

………6分

因为φ(x)有两个极值点，所以φ′(x)在(0,十∞)上有两个不同的变号零点………………7分

令φ'(x)=0,得,则函数的图象与直线y=a有两个交点.………8分

,令F'(x)>0,得0<x<√e,则F(x)的单调递增区间为(0,√e)…………

……………9分

令F'(x)<0,得x>√e,则F(x)的单调递减区间为(Ve,十∞)…………10分

所以F(x)的最大值为……………12分

因为F(1)=0,且当x→十∞时，F(x)→0,……………13分

所以.故a的取值范围为……………15分

【评分细则】

在第(2)问中，未写“当x→十∞时，F(x)→0”,扣1分；未写“F(1)=0”,但写了“当x→0

时，F(x)→-∞”,不扣分.

18.【解析】本题考查线面平行、四棱锥的外接球与线面角，考查直观想象、数学运算及逻辑推理

的核心素养.

(1)证明：∵∠ADC+∠DAB=π,∴AB//CD.2分

∵CDC平面PCD,ABC平面PCD,∴AB//平面PCD4分

(2)解：①如图，O为CD的中点.………5分

理由如下：

设AB,CD的中点分别为E,O,连接AO,BO,OE,PE.…

…………6分

∵AD=OD=2,,∴△ADO是正三角形，

·,∴AO=AB=2,

∴△ABO是正三角形，∴BO=27分

∵PA=PB=√2,∴PE⊥AB8分

∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PEC平面PAB,

∴PE⊥平面ABCD,又∵OEC平面ABCD,∴PE⊥EO9分

易得PE=1,OE=√3,∴PO=2.∵DO=AO=BO=CO=PO=2,

∴点P,A,B,C,D均在球O的球面上，故O为CD的中点.…………10分

②以E为坐标原点，EO,EB,EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直

角坐标系，则P(0,0,1),D(√3,-2,0),C(√3,2,0),0(√3,0,0),B(0,1,0),∴PD=(√3,

—2,—1),DC=(0,4,0),PB=(0,1,-1),OP=(一√3,0,1).………11分

设平面PCD的法向量为n=(则

令x=1,得y=0,z=√3,得n=(1,0,√3)13分

设PQ=λPB=(0,λ,一λ),0≤A≤1,则OQ=OP+PQ=(一√3,λ,1—λ),…………14分

∴直线OQ与平面PCD所成角的正弦值为|cos<n,

…………16分

故……………………17分

【评分细则】

【1】在第(1)问中，未写“AB平面PCD”,扣1分.

【2】在第(2)①问中，未写“平面PAB∩平面ABCD=AB”,扣1分.

【3】在第(2)②问中，平面PCD的法向量不唯一，与n=(1,0,√3)平行的非零向量均可.

19.【解析】本题考查轨迹方程、直线与椭圆的位置关系，考查数学建模和数学抽象的核心素养、

化归与转化的数学思想和创新意识.

解：(1)设动点P(x,y),则………2分

所以………3分

得3x²+4y²=12,所以Ω的方程…………4分

(2)设l:x=ty+1,D(x1,y₁),E(x2,y2).由