2026届湖北省襄阳市高三统一调研测试思想数学试题（含答案）

2026年3月襄阳市高三年级统一调研测试

数学试题

本试卷满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码

粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求)

1.设集合P={2,4,6,8,10},Q={x12x>7,x∈R},则P∩Q=

A.{8,10}B.{6,8,10}C.{4,6,8,10}D.{2,4,6,8,10}

2.设i是虚数单位，iz=5+4i,则z=

A.-5-4iB.4-5iC.4+5iD.5+4i

3.已知向量a=(t,1),b=(2,-3),且a//(a-b),则t=

BCD

4.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线

向左平移个单位长度，得到函数的图象，则f(x)=

A.BCD

5.设a=log₅4,b=log₆5,c=log43,则

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

6.已知椭圆C₁与双曲线C₂有相同的左焦点F₁和右焦点F₂,P为椭圆C₁与双曲线C₂在

第一象限内的一个公共点，设椭圆C₁与双曲线C₂的离心率分别为e₁,e₂,,若

,则双曲线C₂的渐近线方程为

A.y=±3xB.y=±√2xC.y=±√5xD.y=±2x

高三数学试题第1页(共4页)

7.在一次游泳比赛结束后，甲、乙、丙、丁进入前4名，且这4人无并列名次。赛完他们出

场后，场外一个未看到比赛结果的游泳爱好者跟他们了解比赛结果：

甲说：我是第四名

乙说：我不是第二名或第四名

丙说：我排在乙前面

丁说：我是第一名

他们4人中只有一个人说的是假话，下列正确的是

A.丙是第一名B.乙是第二名C.甲是第三名D.丁是第四名

8.已知数列{a}为等差数列，首项a₁=m(m为整数),公差d=2,前n项和Sₙ=700,则满

足题意的n的所有取值的和为

A.3720B.4320C.2940D.1736

二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)

9.下列说法正确的是

A.若事件A与事件B相互独立，P(A)=0.1,P(B)=0.2,则P(AUB)=0.28

B.若样本数据x₁,x₂,…,xn的方差为4,则数据2x₁-3,2x₂-3,…,2xₙ-3的方差为8

C.一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事

件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥

D.1,2,3,…,2024,2025,2026这2026个数的上四分位数是507

10.已知菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°,现将△ADC沿对角线AC折起至△PAC,连接

PB,形成三棱锥P-ABC,则下列说法正确的是

A.二面角P-AC-B的大小为120°时，平面PAB⊥平面PBC

B.在折起的过程中，存在某个位置使PA⊥BC

C.∠PAB=90°时，三棱锥P-ABC的体积

D.三棱锥P-ABC的体积最大时，其外接球的表面积

11.已知f(x)=x³+ax²+cx+d,则下列结论正确的是

A.y=f(x)的对称中心为

B.若y=f(x)存在两个极值点x₁、x₂,且x₁<x₂,则与y=f(x)有3个交点

C.若f(1)=2026,f(2)=4052,则f(5)-f(-2)=14266

D.若c=0,d=-(1-a)²,f(x)=0有三个不等实根α,ß,y,,则实数a

的取值范围；

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三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.)

12.曲线在点(1,-1)处的切线方程为

13.已知等比数列{a,|满足a₁=1,a₃a₅=16(a₄-4),则a₂=

14.已知f(x)=2sinx+3cosx,若f(x₁)=f(x₂),且x₁-x₂≠2nπ(n∈Z),则sin(x₁+x₂)

二

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分13分)

如图，正三角形ABC′和平行四边形ABDE在同一个平面内，其中AB=4,BD=AD=

√31,AB,DE的中点分别为F,G.将△ABC'沿直线AB翻折到△ABC,使二面角C-AB-D

为120°,设CE的中点为H.

(1)求证：平面CDF//平面AGH;

(2)求平面CDE与平面DEF的夹角的余弦值.

16.(本小题满分15分)

在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,M为边BC所在直线上一点.

(1)若,AM平分∠BAC,AM=2,BC=3√7,求△ABC的周长；

(2)若AM⊥BC,且的最大值和最小值.

17.(本小题满分15分)

已知函数f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0恒成立，求a的取值集合；

(2)当时，证明：当x>1时1恒成立.

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18.(本小题满分17分)

如图，设抛物线方程为y²=2px(p>0),点P为直线x=-2p上任意一点，过P作抛物线

的切线，切点分别为M,N

(I)若M的坐标为(x₁,y₁),求证：直线PM的方程为y₁y=p(x+x₁);

(Ⅱ)已知P点的坐标为(-2p,4),IMNI=8√10,求此时抛物线的方程；

(Ⅲ)是否存在点P(-2P,yo),使得点H关于直线MN的对称点D在抛物线y²=2px

(p>0)上，其中点H满足OH=0M+OŇ(0为坐标原点).若存在，求出所有适合题意的点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

19.(本小题满分17分)

对T中的两个不同元素X=(xo,x₁,x₂,…,xn)和Y=(yo,y₁,y₂,…,yn),

若存在一个函数f:M→M满足：

①f(f(x))=x,Vx∈M

②y;=f(x;),Vi∈{0,1,2,…,n}

③(x:+y;)∈{0,n,2n},Vie{0,1,2,…,n}

则称：X与Y是T中的一对“友好元素”

(1)当n=4时，若X=(0,0,1,3,4),写出X对应的一个“友好元素”;

(2)若X=(xo,x₁,x₂,…,xn)和Y=(yo,y₁,y₂,…,yn)是T中的一对“友好元素”,且满

足max{xo,x₁,…,xn}=n,规定：随机变量ζ服从分布,当n=6

时，试写出的分布列及其对应的一对“友好元素”X与Y;

(3)当n≥4时，若A=(ao,a₁,a₂,…,an)∈T且满足max{ao,a₁,a₂,…,an}=n,证明：

若存在B使得A与B是T中的一对“友好元素”,则A中有且仅有n-2个0.

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高三数学试题解析

一、选择题

CBADDBAD

8.解析：an=m+2(n-1),,n(m+n-1)=700=2²×5²×7

所以n的取值为2²×5²×7的所有因数，所以所求和为(1+2+2²)×(1+5+5²)×(1+7)=1736

所以选D

二、选择题

9.AC10.BCD11.ACD

11、【详解】A.∵f(x)=x³+ax²+cx+d,.∴f'(x)=3x²+2ax+c,f"(x)=6x+2a=0

∴y=f(x)的对称中心为;所以A对

B.证明：设f(x)=f(m),

则0=f(x)-f(m)=x³+ax²+bx+c-f(m)=(x-x₁)²(x-m)

利用方程左右两边x²的系数相等，得到a=-m-2x₁

又x₁,x₂为f'(x)=3x²+2ax+c=0,所!

所!所以B错

C有题意知，1和2是f(x)-2026x=0的两根，设f(x)-2026x=(x-1)(x-2)(x-k)

则f(5)-f(-2)=2026×5+12×(5-k)-[2026×(-2)+12(-2-k)]=14266

D.f(x)=x³+ax²+cx+d=x³+ax²-(1-a)²=(x-α)(x-β)(x-γ)

所以：得(3-√6,1)u(1,3+√6)

又有f(x)=x³+ax²-(1-a)²三个不等实根，所以极大值大于0,极小值小于0

又实数a为正，所以f(x)在为增，,0)为减，(0,+∞)为增，所以

所且a≠3,所!U(1,3)u(3,3+√6

所以D对，故选ACD

三、填空题

试卷第1ī

12.3x-2y-5=0

13.2

14.【详解】∵2sinx1+3cosx₁=2sinx₂+3cosx₂

∴2(sinx1-sinx₂)=3(cosx₂-cosx1)

四、解答题

15.解析：(1)证明：因为四边形ABDE为平行四边形，F、G分别为AB、DE的中点，

所以四边形FDGA为平行四边形，所以FD//AG.——-1分

又H、G分别为CE、DE的中点，所以HG//CD.

因为FD、CDC平面AGH,AG、HGC平面AGH,所以FD//平面AGH,CD//平面AGH,

因为FD、CDC平面CDF,FDnCD=D,

所以平面CDF//平面AGH.——-5分

(2)因为三角形ABC为正三角形，BD=AD,F为AB的中点，所以AB⊥CF,AB⊥DF,

所以∠CFD为二面角C—AB—D的平面角，

又CFnDF=F,所以AB⊥平面CFD,因为ABC平面ABDE,所以平面CFD⊥平面ABDE.

作CO⊥平面ABDE于O,则O在直线DF上.又二面角C-AB—D的平面角为∠CFD=120°,所以O在

线段DF的延长线上.易知CF=2√3,则F

以F为原点，FD、FA所在直线分别为x轴、y轴，过点F平行于OC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

如图，

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因为AB=4,BD=AD=√31,所以DF=3√3

则A(0,2,0),B(0,—2,0),D(3√3,0,0),E(3√3,4,0),C(一√3,0,3),

由(2)知CD=(4√3,0,—3),DE=(0,4,0),设平面CDE的法向量为n=(x,y,z),则由n⊥CD,n⊥DE,得

令z=4√3,得n=(3,0,4√3).———11分

易知平面DEF的一个法向量m=(0,0,1),

所以平面CDE与平面DEF的夹角的余弦值为|cos<n,.一—13分

(几何法酌情给分)

16.解：(1)由题意得

所以bc=2(b+c)①-----3分

又63=b²+c²+bc②----5分

由①②解得b+c=9,所以△ABC的周长为9+3√7-----7分

(2)

又

试卷第2

当且仅

当时取=,--------13分

又当且仅当b=c时取=,所以的最大值和最小值4.----15分

17.解析：(1)f(x)的定义域为(0,+∞).

①若a≤0,因为所以不满足题意；--2

②若a>0,由知，当x∈(0,a)时，f'(x)<0;当x∈(a,+o)时，f'(x)>0,所

以f(x)在(0,a)单调递减，在(a,+∞o)单调递增，故f(x)在x=a时取得最小值点.

所以f(a)=a-1-alna≥0,---5分

令g(a)=a-1-alna,则g'(a)=1-lna-1=-Ina

当a>1时，g'(a)<0,g(a)单减；当0<a<1时，g'(a)>0,g(a)单增；

又g(1)=0,所以f(a)=a-1-alna≥0的解为a=1,故a=1---7分

(2)且x>1时，

令g(x)=e-¹-2x+1+lnx(x>1),下证g(x)>0即可.

,再令h(x)=g'(x),则

显然h'(x)在(1,+∞)上递增，则h'(x)>h'(1)=e⁰-1=0,------12分

即g'(x)=h(x)在(1,+∞)上递增，

故g'(x)>g'(1)=e⁰-2+1=0,即g(x)在(1,+∞)上单调递增，

故g(x)>g(1)=e⁰-2+1+ln1=0,问题得证-----15分

18.【详解】(I)证明：由y²=2px(p>0)得y=±√2px

当y=√2px时，

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所I则PM的方程为：

又y₁=√2px1

整理得：yy1=p(x+x1)

同理，当y=-√2px时，PM:yy₁=p(x+x₁-----4分

(Ⅱ)解：同(1):设N(x₂,y2),则PN的方程为yy₂=p(x+x₂),又P点的坐标为(-2p,4),则4y₁=p(-2p+

x₁),又y²=2px₁,所以y²-8y-4p²=0,同理y²-8y₂-4p²=0,

所以y₁,y₂是方程y²-8y-4p²=0的两根，

因此y₁+y₂=8,y₁y₂=-4p²-6分

由弦长公式

所以p=4或2,因此所求抛物线方程为y²=8x或y²=4x;-----9分

(Ⅲ)解：设D(x₃,y₃),由题意得H(x₁+x₂,y₁+y₂),

则HD的中点坐标

由(1)(2)可知：直线MN的方程为yyo=p(x-2p),

由点T在直线MN上，并注意到点也在直线MN上，

代入得y₃y。=px₃.

若D(x3,y3)在抛物线上，则y3²=2px₃=2yoy3

因此y₃=0或y₃=2yo.即D(0,0)或.-----12分

(1)当时，则此时，点适合题意.----14分

yo=0y₁+y₂=2yo=0'P(-2p,0)

(2)当y≠0,对于D(0,0),此

试卷第37

所

即y²+y²=-4p²,矛盾.对于.因为此时直线DH平行于x轴，

又所以直线MN与直线DH不垂直，与题设矛盾，所以y≠0时，不存在符合题意的P点.

综上所述，仅存在一点P(-2p,0)适合题意---17分

19.[解析](1)当n=4时，由X=(0,0,1,3,4),需构造Y=(yo,y₁,y₂,y₃,y₄)满足

①f(f(x))=x,Vx∈M

②y;=f(x;)

③x₁+y;∈{0,4,8},Vi∈{0,1,2,3,4}

设f(0)=0,f(1)=3,f(2)=2,f(3)=1,f(4)=4,则f(x)满足①②③,此时

Y=(0,0,3,1,4);故Y=(0,0,3,1,4)满足题意.------4分

(1)取X=(0,0,0,0,2,4,6),Y=(0,0,0,0,4,2,6)满足x₂+y;∈{0,6,12}且满足

f(0)=0,f(1)=5,f(2)=4,f(4)=2,f(3)=3,f(5)=1,f(6)=6

ξ的分布列为

ξ0246

----7分

p0

,所以X=(0,0,0,0,2,4,6),Y=(0,0,0,0,4,2,6)(其他合

理答案，同样给分，如：X=(0,0,0,2,6,4,0),Y=(0,0,0,4,6,2,0)等)。---9分

(3)当n≥4时，若A=(a₀,a₁,a₂…,an)∈T且满足max{a₀,a₁,…,an}=n不妨令a₀=n

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①由于a₀+a₁+a₂+…+a,=2n,所以a,a₂,…,a,不可能都是0.

②若A中有n-1个0,