分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第六章计数原理

计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法.但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高.能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢?思考1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码?因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.课堂导入探究你能说一说这个问题的特征吗?

首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现:一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示.因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同.这两类号码数相加就得到号码的总数.这里的“或”代表分类.课堂探究上述计数过程的基本环节是：(1)确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；(2)分别计算各类号码的个数；

(3)各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.我们把这种计数方法称为分类加法计数原理.课堂探究一般地，有如下分类加法计数原理：

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有

种不同的方法N＝m＋n分类加法计数流程注意：两类不同方案中的方法不相同。课堂探究

如果完成一件事有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为:

N＝m1＋m2＋…＋mn分类加法计数原理推广课堂探究

例1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表.如果这名同学只能只能选一个专业，那么他共有多少种选择？A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所.在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法.因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为典例精讲正确理解分类（加法）计数原理：①分类加法计数原理针对的是“分类”问题，②完成一件事要分为若干类，③各类的方案相互独立，④各类中的各种方法也相对独立，⑤用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.总结提升……ABm1m2mn加法原理看成“并联电路”;总结提升完成这件事情的任何一种方法必须属于且只能属于某一类方案

思考2

用前6个大写英文字母和1~9这9个阿拉伯数字，以A1,A2,‧‧‧,A9,B1,B2,‧‧‧的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码?

这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”，但与前一问题的要求不同.在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码.

但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤.由此可得，能编出的不同号码共有课堂探究A19423数字5768字母得到的号码A1A2A3A4A5A6A7A8A9树状图能用树状图列出所有可能的号码吗？上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成.因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的.我们把上述这种计数方法称为分步乘法计数原理.课堂探究分步乘法计数原理：一般地，完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.注意：无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数.特别地，如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，‧‧‧‧‧，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.课堂探究正确理解分步乘法计数原理：①分步计数原理针对的是“分步”问题，②完成一件事要分为若干步，③各个步骤相互依存，④完成任何其中的一步都不能完成该件事，⑤只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.总结提升…ABm1m2mn乘法原理看成“串联电路”总结提升完成这件事情必须且只需连续做完这些步骤

例2某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法?解：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法；

第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选法.

根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为

N＝30×24=720.典例精讲

例3书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，(1)从书架上任取1本书，有多少不同的取法？(2)从书架的第1,2,3层各取1本书,有多少不同的取法?解：(1)从书架上任取1本书，有三类方案：第1类方案,从第1层中任取一本计算机书,有4种方法;第2类方案,从第2层中任取一本文艺书,有3种方法;第3类方案：从第3层中任取一本体育书,有2种方法.根据分类加法记数原理,不同取法种数是

N=4+3+2=9典例精讲解：(2)从书架的第1,2,3层各取1本书,可以分成三个步骤完成：第1步:从第1层中任取一本计算机书,有4种方法;第2步:从第2层中任取一本文艺书,有3种方法;第3步:从第3层中任取一本体育书,有2种方法；根据分步乘法记数原理,不同取法种数是N=4×3×2=24

例3书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，(2)从书架的第1,2,3层各取1本书,有多少不同的取法?典例精讲分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点不同点注意点用来计算完成一件事的方法种数每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）类类独立、不重不漏步步相依、缺一不可分类、相加分步、相乘分类加法计数原理与分步乘法计数原理联系与区别总结提升乘法是相同数加法的简化运算分步乘法计数原理是相同方法数的分类加法计数原理的简化解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上,有2种选法.根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数为N＝3×2=6.这6种挂法如右图所示.

例4要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法?乙乙丙甲右边丙乙甲左边得到的挂法甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙甲丙典例精讲你还有其他解法吗？关于两个原理的解题步骤：总结提升根据题意，理解要完成的一件事是什么分类，分步，或者分步分类相结合根据两个原理计数得出结论第一类：从一、二层各取一本，有4×3=12种方法；第二类：从一、三层各取一本,有4×2=8种方法；第三类：从二、三层各取一本,有3×2=6种方法；根据两个基本原理，不同的取法总数是

N=4×3+4×2+3×2=26因此从书架上取2本不同种的书,有26种不同的取法.解：需先分类再分步.

例3变式书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，(3)从书架上取2本不同学科的书,有多少种不同的取法?典例精讲你还有其他解法吗？分类加法和分步乘法计数原理，回答的都是有关完成一件事的不同方法种数的问题.区别在于:

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，关键词是“分类”，要做到不重不漏；

分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事，关键词是“分步”，要做到步骤完整.总结提升1．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(

)2．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能

完成这件事．(

)3．在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(

)4．在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，

那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．(

)×√√√牛刀小试1、已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为

(

)A．10 B．6C．8 D．9解析：因为x从集合{2,3,7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，

－4,8}中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×3＝9个不同的值．答案：D

巩固训练2、某地地铁一号线正式开通的时候，两位同学同时去乘坐地铁，已知该列地铁有6节车厢，两人进入车厢的方法数共有

(

)A．15种

B．30种C．36种

D．64种解析：每位同学都可以进入地铁中的任何一节车厢，每个人都有6种方法，所以两人进入车厢的方法数共有6×6＝36种．故选C.答案：C

巩固训练3、王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读．(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，有多少种不同的带法？(2)若带外语、数学、物理参考书各1本，有多少种不同的带法？解：(1)要完成的事情是带1本参考书，无论是带外语书，还是带数学书、物理书，都可完成，从而根据分类加法计数原理，共有5＋4＋3＝12种不同的带法．(2)要完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此根据分步乘法计