排列课件2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2.1排列6.2排列与组合分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点不同点注意点用来计算完成一件事的方法种数每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）类类独立、不重不漏步步相依、缺一不可分类、相加分步、相乘分类加法计数原理与分步乘法计数原理复习回顾关于两个原理的解题步骤：复习回顾根据题意，理解要完成的一件事是什么分类，分步，或者分步分类相结合根据两个原理计数得出结论

在上节例8的解答中我们看到，用分步乘法计数原理解决问题时，因做了一些重复性工作而显得烦琐.

能否对这类计数问题给出一种简捷的方法呢?问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？由分类加法计数原理可得，不同的选法有3×2＝6种，所有的排法如下：乙乙丙甲下午丙乙甲上午相应的选法甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙甲丙问题探究先取后排或边取边排如果把上面问题中被取的对象叫做元素，

那么问题可叙述为：从3个不同元素a,b,c

中任取2个，然后按一定顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同排列是ab,ac,ba,bc,ca,cb.不同的排列方法种数为3×2＝6.问题探究问题2从1,

2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数?由分步乘法计数原理可得，不同的三位数有4×3×2＝24个，树状图如下：1234342423百位十位个位213434141331242414124123231312问题探究

由此可写出所有的三位数：

123124132134142143213214231234241243312314321324341342412413421423431432问题探究同样，问题2可以归结为:

从4个不同的元素a,b,c,d中任意取出3个，并按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法?所有不同排列是不同的排列方法种数为4×3×2＝24

.abcabdacbacdadbadcbacbadbcabcdbdabdccabcadcbacbdcdacdbdabdacdbadbcdcadcb

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement).思考1

上述问题1,2的共同特点是什么?你能将它们推广到一般情形吗?排列：

问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数.我们把这种计数方法称为排列.概念抽象排列的定义中包含两个基本内容：一是“不同元素”；二是“按照一定顺序”．“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要依据．

根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同．概念辨析思考2

如何判断两个排列是否相同?概念辨析是不是不是是是排列中元素所满足的两个特性无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题．有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．

总结提升例1某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛?分析:我们要完成一件什么事情？这件事情的完成与顺序有关吗？解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队.

按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为

6×5＝30.概念应用步骤：判断是否为排列问题⇒应用两个计数原理解：(1)可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.

按分步乘法计数原理，不同的取法种数为

5×4×3＝60.(2)可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法.

按分步乘法计数原理，不同的选法种数为

5×5×5＝125.

例2(1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法?

(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法?概念应用分析:两个问题的区别是什么？概念应用概念应用“树形图”适用范围及策略适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．

总结提升2、写出:(1)用0~4这5个自然数组成的没有重复数字的全部两位数；(2)从a，b，c，d中取出2个字母的所有排列.解：(1)10121314202123243031323440414243共16个.(2)abacadbabcbdcacbcddadbdc共12个.3、一位老师要给4个班轮流做讲座，每个班讲1场，有多少种轮流次序?解：4×3×2×1＝24(种).概念应用心中有顺序，下笔无顾虑3、学校乒乓团体比赛采用5场3胜制(5场单打)，每支球队派3名运动员参赛，前3场比赛每名运动员各出场1次，其中第1，2位出场的运动员在后2场比赛中还将各出场1次.(1)从5名运动员中选3名参加比赛，前3场比赛有几种出场情况?(2)甲、乙、丙3名运动员参加比赛，写出所有可能的出场情况.解：(1)5×4×3＝60(种).概念应用③打5场比赛：甲乙丙甲乙甲乙丙乙甲甲丙乙甲丙甲丙乙丙甲乙甲丙乙甲乙甲丙甲乙乙丙甲乙丙乙丙甲丙乙

丙甲乙丙甲丙甲乙甲丙丙乙甲丙乙丙乙甲乙丙.概念应用(2)可分为三类：①打3场比赛：甲乙丙甲丙乙乙甲丙乙丙甲

丙甲乙丙乙甲；②打4场比赛：甲乙丙甲甲乙丙乙甲丙乙甲甲丙乙丙乙甲丙乙乙甲丙甲乙丙甲乙乙丙甲丙

丙甲乙丙丙甲乙甲丙乙甲丙丙乙甲乙；共3×2×1+3×2×1×2+3×2×1×2×1=30（种）

4、为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为

()A．216

B．480C．504

D．624解析：当课程“御”排在第一周时，有5×4×3×2×1＝120种排法；当课程“御”“乐”均不排在第一周，且“御”不排在最后一周时，有4×4×4×3×2×1＝384种排法．综上，所有可能的排法种数为120＋384＝504.故选C.答案：C概念应用特殊元素，优先考虑BCB当堂检测1．从1，2，3，4四个数字中，任选两个数进行加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，其中可以看作排列问题的运算有(

)A．1种B．2种C．3种D．4种2．信号兵有3种不同颜色的旗子各1面，每次打出3面，最多能打出不同的信号(

)A．1种B．3种C．6种 D．27种3．某段铁路所有车站