安徽省宿州市宿城第一初级中学2025-2026学年第一学期九年级综合素质评价（一）数学试卷(含答案)

宿城第一初级中学2025-2026学年第一学期九年级综合素质评价（一）满分为150分，时间为120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列方程中，关于的一元二次方程是（

）A． B．C． D．2．正方形、菱形、矩形都具有的特征是（

）A．一个角是直角 B．对角线互相垂直C．一组邻边相等 D．对角线互相平分3．若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（

）A．0，4 B．0， C．，4 D．1，44．如图，菱形的周长为，对角线，交于点，为的中点，则的长等于（）A． B． C． D．5．关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（

）A．2024 B．2026 C．2023 D．20256．如图，在矩形中，对角线相交于点O，，则矩形的边的长为（

）

A．3 B．6 C． D．7．若关于的方程是一元二次方程，则（

）A． B． C． D．8．如图，将一个矩形纸片折叠，使点与点重合，若则折痕的长度为（

）A． B． C． D．9．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（）A． B．且 C． D．且10．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，有下列5个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤EF的最小值等于．其中正确结论的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．关于x的一元二次方程的解为．12．如图，四边形是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线长分别为和，求阴影部分的面积为．13．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为．14．如图，菱形边长为，，是的中点，，分别是边，上的两个动点，且，连接、，则，的最小值是．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解方程：；16．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF，BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，已知矩形，过点C作交的延长线于点E．求证：．18．从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，在四边形ABCD中，，AB=DC，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=，BD=2，求线段CE的长．

20．如图，学校准备在教学楼后面搭建一简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外三边利用学校现有的总长的铁栏围成．已知车棚在平行于后墙的一边留出宽的缺口作门，且铁栏无剩余．(1)若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽；(2)能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．六、（本题满分12分）21．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题：(1)一元二次方程的倒方程是______；(2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值；(3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值是多少？七、（本题满分12分）22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝60°，AD＝24cm，CD＝8cm．点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动；点Q从点B同时出发，以3cm/s的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点Q的运动时间为x（s）．（1）BC＝cm，AB＝cm；（2）当PQ＝CD时，x＝；（3）当四边形ABQP为矩形时，求x的值．八、（本题满分14分）23．【问题情境】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，正方形中，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为，延长交线段于点P，连接．求的度数．【追本溯源】（2）小瑞受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图②，正方形的边长为6，点E，F分别在上运动，连接．若，试猜想的数量关系是_____________，并加以证明．【拓展迁移】（3）小波深入研究以上两个问题，发现并提出新的探究点：如图③，是的高，，若，求的面积参考答案一．选择题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．A．2．D．3．C．4．．5．D．6．A．7．B8．．9．．10．C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．，．12．．13．．14．，．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解：∵，∴，，，∴，∴，解得：，；16．解：，且．理由如下：∵四边形是正方形，∴（正方形的四条边相等，四个角都是直角）．∴．∴．又∵，∴．∴．延长交于点H（如图）．∵，∴．∵，∴．∴．∴．∴．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．证明：∵四边形是矩形，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴．18．解：设竹竿长为x尺，则门框宽为尺，门框高为尺，根据题意，得，即．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．解：（1）∵，∴，∵AC为的平分线，∴，∴，∴，，，∴四边形ABCD是平行四边形，又，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴，∵BD=2，∴，∴，，设BE=x，∵，∴在中，在中，，∴，解得，∴∴．20．（1）解：设车棚垂直于墙的一边长为米，则：则平行于墙的边长为，由题意，得：，解得：或，当时，不合题意，∴，，∴自行车车棚的长和宽分别为；（2）不能围成面积为的自行车车棚．理由如下：设车棚垂直于墙的一边长为，则平行于墙的边长为，根据题意，得，整理，得，∴，∴此方程没有实数根，∴不能围成面积为的自行车车棚．六、（本题满分12分）21．（1）解：方程的倒方程是；；故答案为：；（2）解：由题意得：方程的倒方程为，把代入方程，得，∴（3）解：由题意得：方程的倒方程为，∵m是方程的一个实数根，∴，∴．故答案为：2025．七、（本题满分12分）22．解：（1）如图1，作DE⊥BC于点E，则∠DEC=∠DEB=90°，∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=180°-∠B=90°，∴四边形ABED是矩形，∴BE=AD=24，∵∠C=60°，∴∠CDE=30°，∴CE=CD=×8=4，∴BC=BE+CE=24+4=28（cm），AB=DE=（cm），故答案为：28，4；（2）如图2，PQ=CD=8，且PQ与CD不平行，作DE⊥BC于点E，PF⊥BC于点F，∵∠PFB=∠B=∠A=90°，∴四边形ABFP是矩形，∴AP=BF；∵∠PFQ=∠DEC=90°，PF=DE，∴Rt△PFQ≌Rt△DEC（HL），∴∠QPF=∠CDE=30°，∴QF=PQ=4；∴24-x=3x+4，解得，x=5；如图3，PQ=CD=8，且PQ∥CD，作DE⊥BC于点E，作PF⊥BC于点F，∵∠PFB=∠B=∠A=90°，∴四边形ABFP是矩形，∴AP=BF；∵∠PFQ=∠DEC=90°，PF=DE，∴Rt△PFQ≌Rt△DEC（HL），∴∠QPF=∠CDE=30°，∴QF=PQ=4；∴24-x=3x-4，解得，x=7，故答案为：5或7；（3）如图4，∵AP∥BQ，∠B=90°，∴当AP=BQ时，四边形ABQP时矩形，∴24-x=3x，解得