北京十三中学分校2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷(含答案)

2024北京十三中学分校初三（上）期中数学考生须知1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共6页．2．本试卷满分100分，考试时间120分钟．3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号．4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师．一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.下列图形是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.方程的解是（）A.B.C.， D.，3.如图，一块含30°角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，当B，C，在一条直线上时，三角板的旋转角度为（）A.30° B.60° C.120° D.150°4.在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后所得到的抛物线表达式为（）A.B.C.D.5.若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（）A.4 B.5 C.6 D.76.在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于x的方程根的情况为（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.无法准确判断7.如图，数轴上有A、B、C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在外，内，上，则原点O的位置应该在()A.点A与点B之间靠近A点 B.点A与点B之间靠近B点C.点B与点C之间靠近B点 D.点B与点C之间靠近C点8.二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…12t……mppn…其中m，n，p为常数，且．有下列四个结论：①；②抛物线的对称轴是直线；③0和1是方程的两个根；④若，则．其中正确的结论的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9.点（1，2）关于原点的对称点的坐标为__．10.二次函数的最大值是______．11.如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为______°．12.如图，⊙O的半径为1，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则的长为__．13.如图，在长为、宽的矩形空地上，修建一横一纵两条道路，并且横、纵两条道路的宽度比为，余下的部分作为草坪，若草坪面积为，设横向道路的宽度为，则可列方程为______．14.点在二次函数的图象上，若当时，则与的大小关系是_____．（用“”、“”、“”填空）15.已知某航天爱好者社团设计制作了一款小火箭，小火箭点火的时刻记为，在火箭飞行过程中，经仪器追踪测量小火箭与地面的距离h（m）与飞行时间t（s）近似满足函数表达式．关于小火箭的飞行过程有以下推论：①点火后和点火后小火箭与地面的距离相同；②点火后火箭落于地面；③小火箭飞行过程中第二次距离地面时，飞行时间为；④小火箭飞行过程中与地面的最大距离为．其中正确的推论是______．16.已知的半径是，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使．（1）点到直线距离的最大值为______；（2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为______．三、解答题：（本大题共12小题，共68分）17.解方程.18.如图，在平面直角坐标系中，点，B4,0，．（1）以点为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的；（2）在（1）的条件下，①线段扫过的图形面积为______；②连接，线段的中点的坐标为______．19.已知：如图，中，．求作：，使得顶点P在的垂直平分线上．作法：①作的垂直平分线l，交于点O；②以O为圆心，为半径画圆，与直线l的一个交点为P（点P与点C在的两侧）；③连接，，就是所求作的角．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接，为的垂直平分线，______．，______．点A，B，C都在上．点在上，（________________________）（填推理依据）．20.已知关于x的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程的两个实数根之差为3，求m的值．21.唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长8m，设圆心为，交水面于点D，轮子的吃水深度为2m，求该桨轮船的轮子直径．22.如图，在中，，，以为旋转中心，分别将线段，AB顺时针旋转得到线段，AD，AD交于点．若，求的长．23.已知：二次函数中的x和y满足表：x…0123……300m…（1）m的值为______；（2）直接写出这个二次函数的顶点式，并画出它的图象；（3）当时，结合图象直接写出y的取值范围；（4）对于正比例函数，当时，总有，直接写出k的取值范围．24.如图，在中，，以为直径的分别交、边于点、．过点作于点．（1）求证：是的切线；（2），，求的半径．25.某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）已知：，，，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和；（1）求A喷头喷出的水流的最大高度；（2）一名游人站在点D处，．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？26.在平面直角坐标系中，已知抛物线G：．（1）直接写出抛物线G的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）已知点，点，若抛物线G与线段只有一个交点，求m的取值范围．27.在中，，．点是边=上一动点（不与点重合），连接，作于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，作直线交于点．（1）依题意补全图形，求证：；（2）对于任意的点，点的位置是否改变，若不变，请指出点的位置，并证明；若改变，请说明理由．28.在平面直角坐标系中，，，线段的中点为，若平面内存在一点使得或者为直角（点不与，，重合），则称为线段的直角点．（1）当时，①在点，，中，线段的直角点是______；②直线上存在四个线段的直角点，求出取值范围；（2）直线与，轴交于点，．若线段上只存在两个线段的直角点，直接写出取值范围．

参考答案第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）12345678DCDCCACB第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9.10.11.8012.13.14.15.①③④16.①.②.三、解答题：（本大题共12小题，共68分）17.解：整理，得，配方，得，即，∴，∴，．18.(1)解：如图所示：(2)①∵，，∴线段扫过的图形面积为：，故答案为：；②由图知点的坐标为又∵B4,0∴的中点的坐标为，即，故答案为：．19.(1)解：(2)解：证明：连接，为的垂直平分线，______．，______．点A，B，C都在上．点在上，（___________同弧所对的圆周角相等_____________）20.(1)证明：，该方程总有两个实数根．(2)由题意得：，，，则：，即：，即：，，即：，解得：或．21.解：设半径为rm，则m，∴m．∵m，，∴m．在中有，即，解得m则该桨轮船的轮子直径为10m．22.解：绕点顺时针旋转得到，，，，，，，，．23.解：(1)∵该二次函数当时，；当时，，∴该二次函数的对称轴为．∵当时，，∴当时，，即；(2)解：∵该二次函数的对称轴为，∴该二次函数的顶点坐标为，∴可设该二次函数的顶点式为．∵当时，，∴，解得：，∴该二次函数的顶点式为．结合表格画出大致图象如下；(3)解：将代入，得：，∴当时，；(4)解：当时，，代入，即，解得：．画出大致图象如下，∵当时，总有，即当时，的图象在的上方即可，∴即可．24.(1)解：证明：连接，，，，，，，，，，，又为的半径．是的切线．(2)解：过点作于点，，，，四边形为矩形，，，设，则，，在中，，即，解得：，（舍去），，即的半径为；25.(1)解：根据题意，令，易得，令，，可求得，因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和；函数的对称轴为，此时，因此A喷头喷出的水流的最大高度是；(2)解：函数，令，，因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处．26.(1)解：化为顶点式为，抛物线G的顶点坐标为．(2)解：把点代入得，，解得，，，当时，点B的坐标为，抛物线解析式为，此时，抛物线与线段有两个交点；当时，点B的坐标为，抛物线解析式为，此时，抛物线与线段有一个交点；所以m的取值范围为；把点代入得，，解得，，，当时，点B的坐标为，抛物线解析式为，此时，抛物线与线段有两个交点；当时，点B的坐标为，抛物线解析式为，此时，抛物线与线段有一个交点；所以m的取值范围为；综上m的取值范围为或．27.(1)解：画图如下∵将线段绕点逆时针旋转至线段，，．在和中，．，．(2)解：点的位置不改变，点是的中点．理由如下：如下图，设直线与的交点为，过点作，交的延长线于，．，．，，，，，,，．，．在和中，，∴点是的中点．28.(1)解：①当时，则点，点，∵点是中点，∴点，∴，∵，，∴，∴点不是线段的直角点；∵，，∴，∴，∴点是线段的直角点；∵，，∴，∴，∴点是线段的直角点；故答案为：，；②当直线经过点时，设直线交轴于点，得：，解得：，∴直线的解析式为，当时，得：，∴，∴，∴，即直线与轴所成的锐角为，∵或者为直角，∴点在以为直径或为直径的圆上，如图，当直线与以为直径的圆相切时，直线与以为直径的圆和以为直径的圆有三个交点，即存在三个线段的直角点，当直线与以为直径的圆相切时，直线与以为直径的圆和以为直径的圆有三个交点，即存在三个线段的直角点，设切点分别为、，以为直径的圆的圆心为，以为直径的圆的圆心为，直线与轴交于点（当直线与以为直径的圆相切时，与轴交于点），连接，，∵直线与以为直径的圆相切，∴，∵直线与直线：平行，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，用同样的方法，当直线与以为直径的圆相切时，，∴，∴，∴，当直线经过点时，直线与以为直径的圆和以为直径的圆有三个交点，即直线上存在三个线段的直角点，此时，∴当或时，直线与以为直径的圆和以为直径的圆有四个交点，即直线上存在四个线段的直角点；(2)∵直线与，轴交于点，，当时，得：；当时，得：，∴，，∴，，∴，∴，∴，如图，当直线与以为直径的圆相切于点，设为直径的圆的