2025-2026九年级数学上册【一元二次方程】期末专项训练（含答案）

2025-2026九上

数学【一元二次方程】

期末专项训练

题型一一元二次方程的概念（共12小题）

1.（24-25九年级上•湖北孝感•期末）一元二次方程产-2》=-1的一次项系数和常数项分别是（）

A.一2和1B.2和一1C.—2x和一1D.-2A-f01

2.（24-25九年级上•四川绵阳•期末）已知关于x的一元二次方程/_6=2X，则一次项系数为（）

A.-2B.-6C.2D.1

3.（24-25九年级上•广西北海・期末）若x=l是关于X的一元二次方程Lt=O的一个根，则〃7的值为

A.2B.-2C.1D.-1

4.（24-25九年级上•广东佛山•期末）探索方程/+12—15=0的正数解的过程如下表:

X00.511.52

X2+\2X-\5-15-8.75-25.2513

可以看出方程的正数解应介于。和力之间，则。，〃分别是（）

A.0,0.5B.0.5,1C.1,1.5D.1.5,2

5.（24-25九年级上•辽宁•期末）将一元二次方程"-1）2+4=0化为，+云+“0的形式，则b,c的

值分别为（）

A.1,-2,5B.1,-1,4C.-1,5,2D.1,2,5

6.（24-25九年级上•河南驻马店•期末）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况

下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：r-ar-6=0

的解是（）

X-2-10123・・・

x1-ax620026・・・

A.x=-2B.x=3C.x=2D.x=-2或x=3

7.（24-25九年级上•广东佛山•期末）请写出一个关于x的一元二次方程，使该方程有一个正杈和一个负

根，那么这个方程可以是

8.（24-25九年级上•全国•期末）方程f-3x=l-2x的一次项为

9.（24-25九年级上•湖南永州•期末）若（。-7）/-6x+l=0是一元二次方程，贝心的取值范围是.

10.（24-25九年级上•全国•期末）若x=-l是关于x的方程/_34+,〃一5=0的一个根，则，〃的值

为.

11.（24-25九年级上•全国•期末）若关于x的一元二次方程f+2x+〃z+l=0有一个解为-1,求/〃的值.

12.（25-26九年级上•全国•期末）已知a>2,b>2,试判断关于“的方程x2-（a+b）x+ab=0与

x2-"x+（a+〃）=0有没有公共根，请说明理由.

题型二一元二次方程概念新定义（共3小题）

13.（24-25九年级上•贵州毕节•期末）如果一元二次方程加+辰+。=0（。¥0）满足+c=0,那么我们

称这个方程为“凤凰方程

⑴判断一元二次方程+4x+l=0是否为“凤凰方程〃，并说明理由；

⑵若关于x的方程f+g-5=0是“凤凰方程〃，求〃?的值.

14.（24-25九年级上•辽宁丹东•期末）"新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学

现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力.定义：方程c/+云+〃=（）是一元二次方程

皿2+/.+。=0的倒方程，其中。，瓦。为常数（且4cw0）.根据比定义解决下列问题：

⑴一元二次方程-4x2+3x+l=0的倒方程是;

⑵若x=-l是一元二次方程X2-2X+C=0的倒方程的解，求出c的值；

⑶若加是一元二次方程-6A-2+*+1=0的倒方程的一个实数根，则加+>-6〃?+2025的值为

15.（25-26九年级上•全国•期末）请阅读下列材料：

问题：已知方程f+x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.

解：设所求方程的根为）'，

则），=2x,所以x=].

把工=与代入已知方程，得（当2+5-1=0,

化简，得V+2），-4=0,

故所求方程为丁+2y-4=0.

这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为"换根法”.

请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为i般形式）：

⑴已知方程2/-x-5=0,求一个关于）'的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出

所求方程；

⑵己知方程渥+公-3=0的两个根分别是1和-3,尝试求出另一个方程〃（2汇+3）2+2/冰=3（1-。）的两个

根.

题型三用配方法求解一元二次方程（共9小题）

16.（23-24九年级上•江苏•期末）一元二次方程/_4=0的根是（）

A.y/2.B.2C.或-D.2或—2

17.（25-26九年级上•全国•期末）一元二次方程f+6x+〃=0配方变形为"+3）2=2,则〃的值为（）

A.7B.8C.9D.10

18.（24-25九年级上•河北廊坊•期末）用配方法解一元二次方程2024=0,将它转化为

2n

Cv-w）=n的形式，则m的值为（）

1

A.2025B.-------C.1D.-1

2025

19.（24-25九年级上•全国•期末）一元二次方程f-2x=l的根为

20.（24-25九年级上•全国•期末）若一元二次方程0?=/必＞0）的两个不相等的根分别是弱+1与

,则—为.

a

21.（24-25九年级上•江苏扬州•期末）将二次三项式J+4X+0配方成（工+。）2的形式，则〃的值

是

22.（24-25九年级上•甘肃天水•期末）解方程：X2-4X=96.

23.(23-24九年级上•全国•期末)解方程

(1)4X2=25

(2)9X2-12I=0

24.（24-25九年级上•广西桂林・期末）综合与实践

【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完

全平方式或几个完全平方式的和的方法.利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等.

例：求代数式V—标+19的最小值.

解：原式=(/-8x+16)+3=(,iT>+3.

V(X-4)2>0,

A(X-4)2+3>3,

...9-8x+19的最小值为3.

（1）仿照例题，用配方法求代数式/-10〃+24的最小值.

【问题迁移】

（2）若/+/>2_4。-127?=-4（）,求“，b.

【拓展应用】

（3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中3。是RtZ\A8C和RtAOE尸的三边长.根

据勾股定理，可得AE=>/7^=辰，我们把关于'的一元二次方程北+&5+八0,称为“勾系一元

二次方程“，已知代数式J/-10p+24的最小值是“勾系一元二次方程〃奴2+&M+〃=0的一个札且

c2=S-2ab,试求四边形ACQE的周长.

题型四公式法解一元二次方程（共3小题）

25.（25-26九年级上,新疆・期末）若一个一元二次方程的根为、=一（一9）士>/（-9）2-4x6x2,则该一元二

2x6

次方程为（）

A.-9x2+6.r+2=0B.-6X2+9X+4=0C.6?-9X+2=0D.6?-9X-2=0

26.（25-26九年级上•广东揭阳・期末）对于实数。，b,定义：a*b=a+b,a#b=ab.若不乂），且满足

（l*x）#（l#x）=1,则4=.

27.（24-25九年级上•北京海淀•期末）解方程：X2-4X-6=0.

题型五用因式分解法求解一元二次方程（共3小题）

28.（24-25九年级上,四川泸州•期末）方程x（x+2）=3（x+2）的根是（）

A.x=3B.x=-2

C.X=一2,々=3D.f=—3,x[=2

29.（25-26九年级上•全国•期末）方程工（工一5）=工一5的解为

30.（25-26九年级上•全国•期末）解下列方程：

⑴--24=2工；

（2）3x（x-l）=2^-2.

题型六换元法解一元二次方程（共3小题）

31.（24-25九年级上•江苏无锡•期末）一元二次方程4（x+M+Z=0的两根分别为-3,1,则方程

a（2x+〃-3『+k=O（a¥O）的两根分别为（）

A.内=-6,x2=-2B.x=0,x2=-\

C.X）=-9,x2=-lD.X）=0,x2=2

32.（24-25九年级上•云南玉溪•期末）已知方程皿2+版+。=0的解是芭=4,占=-5,则方程

口•+1)2+优X+l)+C=0的解

33.（24-25九年级上•广东•期末）已知实数加、〃满足（2>+/+l）（2〃P+/-1）=80,试求2>+〃2的

值.

解：设2〃/+,/=y,

则原方程可化为（y+i）（y-i）=80,即丁=81：

解得y=±9.

^2nr~\-n'>0，

回2ni2+n2=9

上面这种方法称为“换元法"，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算

中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，根据以上

阅读材料为内容，解决下列问题：

⑴若四个连续正整数的积为120,直接写出这四个连续的正整数.

⑵已知实数X、y满足（2/+2/+3）（2/+2/-3）=27,求.一十/的值.

题型七一元二次方程的判别式（共6题）

34.（25-26九年级上•河南•期末）关于x的一元二次方程=的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

35.（24-25九年级上•云南红河•期末）若关于x的一元二次方程d++1=0有两个相等的实数根，则〃?

的值可以是（）

A.0B.-1C.±2D.±4

36.（24-25九年级上•吉林•期末）一元二次方程f—8x+5=0根的判别式的值是

37.（24-25九年级上广东肇庆•期末）方程有实数根，则A的值可以是.（写出一个

即可）

38.（24-25九年级上•甘肃武威•期末）已知关于x的一元二次方程f-（2"1）工+d+2A=。有两个实数

根，求实数及的取值范围.

39.（24-25九年级上•四川泸州•期末）小明同学在解关于x的一元二次方程V-（2〃[+l）x+g〃/-1=0

时，认定此一元二次方程无论m为何实数.方程总有两个不相等的实数根.请你帮忙判定小明的说法是否

正确吗？并说明理由.

题型八一元二次方程的根与系数的关系（共5小题）

40.（24-25九年级上•湖北武汉•期末）下列一元二次方程中，两个实数根的和为1的方程是（）

A./+工-1=（）B./-23+1=0

C.2x2-x-1=0D.x2-jr-1=0

41.（25-26九年级上•全国•期末）已知毛、占是方程2/+5x+l=0两个根，则%：+后=

42.（24-25九年级上•湖北咸宁•期末）已知内是方程――2"-1=0的两根，则内占=.

43.（25-26九年级上全国•期末）已知关于x的一元二次方程V।川2-0的两个实数根分别为-2,

3,求〃，q的值.

44.（25-26九年级上•全国•期末）已知关于x的方程/一5工+加-3〃7=0的一根为1.

⑴则m2—3m的值是；

（2）求方程的另一根.

题型九传播问题（一元二次方程的应用）（共3小题）

45.（23-24九年级上•福建厦门・期末）流行性感冒是一种由流感病毒引起的传染病，人群普遍易感，若有

一人患了流感，经过两轮传染后，假设共有100人患了流感，每轮传染中平均每人传染了文个人，则下列

结论错误的是（）

A.1轮后有（1+1）人患了流感B.依题意可得方程"+1『=100

C.2轮后有（x+l）x个人患了流感D.经过三轮一共会有1000人感染

46.（24-25九年级上•江苏徐州•期末）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送72张贺卡，设该小

组共有人人，则可列方程

47.（24-25九年级上•湖北十堰•期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传

播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人II密集的环境中传播更快，其

常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等.如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有81人被传

染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人？

题型十增长率问题（一元二次方程的应用）（共3小题）

48.（25-26九年级上•内蒙古乌兰察布•期末）“蒙超联赛〃期间，1件乌兰察布市球迷队服的售价为80元，

回馈球迷，经过两次降价，现在1件的出价为60元.设该衣服的色价每次平均下降率为工，根据题意，下

列方程正确的是（）

A.80（1-x）2=60B.80（1+工『=60c-»U（l-x）=60D.次乂1-2#=6（）

49.（25-26九年级上•内蒙古通辽•期末）新能源汽车节能、环俣，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投

放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2018年销量为125.6万辆，销量逐年增加，到2020年销

量为130万辆.设年平均增长率为X,可列方程为

50.（25-26九年级上•全国•期末）果农张大爷原计划以每千克4元的价格销售某种水果，由于部分果农盲

目扩大种植，造成该水果滞销，张大爷为了加快销售，减少损失，经过两次下调价格后，以每T克2.56元

的价格销售.求平均每次卜.调价格的百分率.

题型十一与图形有关的问题（一元二次方程的应用）（共4小题）

51.（24-25九年级上•四川泸州•期末）学校的劳动实践基地是一块长30m、宽16m的矩形土地.为便于学

生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到400m:若设小道

的宽为m】，则根据题意，那么x满足的方程是（）

A.30xl6-30x-l6x+2x2=4)0B.30xl6-30.r-2xl6x=400

C.(30-x)(l6-2x)=400D.(30-2x)(16-x)=400

52.（24-25九年级上刊川成都•期末）已知矩形的一边长为2,另一边长为1.如果存在另一个矩形，周

长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的k倍（攵＞0）,则A的取值范围是

53.（24-25九年级上•云南红河•期末）实施乡村振兴战略是中国共产党的重大决策部署，是新时代做好

“三农〃工作的总抓手.农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是•个蔬菜种植能手，还是•

个喜爱动脑筋的创意设计者.下面是他设计的一个矩形蔬菜仓库，如图，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为

18米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门，用33米长的木板材料，怎样围成一个面积为150平方

米的长方形仓库？

54.（24-25九年级上•甘肃兰州・期末）【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造

一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案.

【任务一】测量矩形空地的长和宽.经测量，矩形的长为8米，宽为6米.

【任务二】拟定设计方案，按照1:100的比例尺画出设计图纸.

图1图2图3

（1）第一小组方案：

步骤一：图纸上画出矩形A8CQ的宽A8为6厘米，在图纸上分别找到其他边的中点，则£77的长应为；

步骤二：顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1.该小组计算后发现

此时花坛的面积刚好是矩形空地面枳的一半；

（2）第二小组方案：

按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2.请你帮

忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？

（3）第二小组计划设计的花坛部分为轴对称图形，请你帮助他冶完成任务：在图3中画出与前两个小组

不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度.

题型十二数字问题（一元二次方程的应用）（共3小题）

55.（25-26九年级上•全国•期末）两个连续偶数的积为120,若设较小的偶数为心则可列方程为（）

A.x（x+1）=120B.x（x+2）=120

C.x（x-l）=120D.x（x-2）=120

56.（24-25九年级上•湖南怀化•期末）己知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的2倍，十位上的

数字的平方与个位上的数字的9倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是

57.（24-25九年级上•黑龙江双鸭山・期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示

的方法任意圈出四个数，请解答下列问题.

SMTWTFS

1234

r———————5

56;78;91011

II

1213；1415：161718

19202122232425

262728293031

⑴若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180,求最小数.

⑵虚线方框中最大数与最小数的页积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明

理由.

题型十三营销问题(一元二次方程的应用)(共3小题)

58.(24-25九年级上•山东聊城•期末)葡萄中含有多种维生素，可以帮助抗氧化，保护细胞不受自由基的

侵害，延缓衰老，增强免疫力，保护心脏健康，深受消费者喜爱，某超市以每千克9元的价格购进一批葡

萄，然后以每千克12元的价格出售，一天可售出100千克，通过调查发现，每千克的售价每降低0.1元，

一天可多出20千克，要想一天盈利500元，若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为

()

A.(12-x)(100+20xl0.r)=5'30B.(12-9一x)(10G+20x)=500

C.(9-X)(100+20X10X)=500D.(12-9-X)(100+20X10X)=500

59.(23-24九年级上•山西阳泉•期末)山西祁县是“中国酥梨之乡”，某超市将进价为5元/千克的酥梨按8

元/千克售出，平均一天能售出5c千克，为尽快减少库存，超市决定降价销售.经市场调查，售价每降低

1元，口销售量增加10千克，现要使超市每天销伐酥梨的利润为120元.若设售价应降低x元，则可列方

程为

60.(25-26九年级上・甘肃武威・期末)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40

元，为了扩大俏售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬

衫每降价1元，商场平均每天可多售山2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

题型十四动态几何问题（一元二次方程的应用）（共3小题）

61.（24-25九年级上•四川绵阳•期末）如图，RtZXABC中，ZC=90°,AC=8,8C=6,点2从点8出

发向终点C以每秒1个单位长度移动，点。从点。出发向终点A以每秒2个单位长度移动，P，。两点同时

出发，一点先到达终点时P，。两点同时停止，则（）秒后，ACP。的面积等于5.

A

5C.1或5D.2或4

62.（24-25九年级上•四川成都•期末）如图，在V4BC中，ZC=90°,AC=30cm,BC=25cm,动点

?从点C出发，以2cm/s的速度沿C4方向运动；同时动点。从点4出发，以lcm/s的速度沿BC方向运

动.设动点。运动时间为当PQ=3C时，则，的值为

63.（25-26九年级上•甘肃武威•期末）如图，在RlZ^ABC中？890?,A8=8m,BC=6m,点M点、N

同时由4、C两点出发分别在线段AA线段CB上向点〃匀速移动，它们的速度都是lm/s,几秒后,

△M8N的面积为V/WC面积的5?

题型十五行程问题（一元二次方程的应用）（共2小题）

64.（24-25九年级上河南周口・期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程s（km）和时间，（s）之旬的关系式

为s=3』+18r，那么行驶120km,需要的时间为（）

A.10sB.—sC.4sD.3s

3

65.（22-23九年级匕重庆开州•期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为

人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱.

⑴张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的1.2倍，张大伯走5分钟，李大伯走10分钟，共走800米，求张大

伯和李大伯每分钟各走多少米？

⑵天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李

大伯的速度每分钟提高了2。米，时间都各自多走了10。分钟，纪果两人乂共走了6900米，求a的值.

题型十六图表信息题（一元二次方程的应用）（共2小题）

66.（25-26九年级上•全国•期末）某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过。度，那

么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过。度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部

分还要每度按志元缴费.

⑴若该厂某户居民2月份用电150度，超过了规定的。度，则超过的部分应缴电费多少元（用”表示）；

（2）如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况:

月份用电量（度）缴电费总数（元）

312062

46530

请根据如表数据，求出电厂规定的〃的值.

67.（22-23九年级上•广东阳江•期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战

火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该

影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）

影片《万里归途》的部分统计数据

发布日期10月8日10月11日10月12日

发布次数第1次第2次第3次

票房10亿元12.1亿元

⑴平均每次累计票房增长的百分率是多少？

⑵在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票

题型十七其他问题（一元二次方程的应用）（共4小题）

68.（24-25九年级上•河南郑州・期木）2U24年巩义市职工篮球送赛已落卜帷幕，比赛采用单循环制，任意

两个参赛队伍之间都要进行一场比赛，该联赛共进行了153场比赛.若共有工支队伍报名参赛，则根据题

意可列出方程为（）

A.x（x-l）=153B.x（x+l）=153

C.—JV（X-I）=153D.—1）=153

22

69.（24-25九年级上•湖南永州•期末）数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇

受阿拉伯人喜爱的数学题："一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，

第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石

榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少人？〃

70.（24-25九年级上・甘肃兰州•期末）已知关于x的一元二次方程VTA+Zk+ZAnO,若等腰三角形

ABC的一边长。=3,另外两边长方，。恰好是这个方程的根，求V48C的周长.

71.（24-25九年级上•贵州六盘水・期末）阅读下面材料•，并解决相关问题：

如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第〃行有〃个

点.容易发现，三角点阵中前5行的点数之和为15.

（1）三角点阵中前7行的点数之和为，前〃行的点数之和为；（用含〃的代数式表示）

（2）三角点阵中前〃行的，点数之和（填"能"或"不能"）为520：

⑶某人民广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用630盆同样规格的花，按照第一排摆3盆，第

二排摆6盆，第三排摆9盆，…第〃排摆3〃盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？

题型十八握手、循环赛问题（一元二次方程的应用（共4小题）

72.（24-25九年级上•云南红河•期末）为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增

强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神.某校决定举行排球比赛，计划安

排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场.设有x个球队参加比赛，则x满足的方

程是()

A.L(X-1)=28B.L(X+1)=28C.A(X-1)=28D.x(x+1)=28

22

73.(24-25九年级上•广东东莞•期末)在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信

群共发了72个红包，那么这个微信群共有人.

74.(24-25九年级上•吉林•期末)某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共

比赛21场，求参加比赛的球队有多少支？

75.(24-25九年级上•四川泸州•期末)参加一次商品交易会活动的每两家公司之间都签订了一份合同，所

有公司共签订了36份合同，请问共有多少公司参加此次商品交易会？

参考答案:

题型——元二次方程的概念（共12小题）

1.答案：A

解.

方程化为一般形式：X2-2X+1=0X2-2X+1=0,一次项系数为一2-2,常数项为11。

2.答案：A

解：

方程化为2X2-2X+1=02X2-2V+1=0,一次项系数为-2-20

3.答案：C

解：

将x=lx=l代入方程得l+m-2=01+〃L2=0,解得m=L%=l。

4.答案：C

解：

由表格数据可知，x=lx=l时y<0y<0,x=1.5x=1.5y>0j>0,故正数解介于1和1.5

之间,即a=la=l,b=1.56=1.5。

5.答案：A

解：

方程化为一般形式：2x2-3X-5=02X2-3X-5=0,故a=2,b=-3,c=—5a=2,0=—3,c=-5。

6.答案：D

解：

方程可化为（XT）2=4（XT）2=4,解得X=-1X=-1或X=3X=3,由表格知对

应y=6y=6的同值为-1-1或33。

7.答案：X2-X-2=0X2-X-2=0（答案不唯一）

解：

需满足两根之积为负，故可取方程(x-2)(x+l)=0(x-2)(%+l)=0,

即x2-x-2=0x2-尤-2二0。

8.答案:-5x-5x

解：

方程化为2x2-5X+2=02X2-5X+2=0,一次项为-5x-5x。

9.答案：m=f^lm=2

解：

由一元二次方程定义得m—2¥0〃L2=0,故mW2〃？=2。

10.答案：1

解：

将x=2x=2代入得4—2m—2=04—2〃2—2=0,解得m=\m=1。

11.答案：0

解：

将x=0x=0代入得m2-l=0m2-l=0,解得m=±1/*±1,但m二1m二1时方程二次项为

0,故舍去，取m=-l阳=一1»(注：原答案"0"有误，应为m=Tm=-l)

12.答案：没有公共根

解：

设公共根为9代入两方程相减得(a—b)(t+1)=0(。—/?)«+1)=0。

由#b〃=/?得t=Tr=T,代入①得a+b=Ta+b=-1,与a,b>0o,/?>0矛盾，故无公共

根。

题型二一元二次方程概念新定义(共3小题)

13.答案:

(1)是"凤凰方程"，理由：a=1,b=-3,c=2a=1,b=~3,c=2,满足a+b+c=Oa+b+c=O。

(2)m=lm=l

解：

(2)由定义得2+(-3)+m=O2+(-3)+〃2=O,解得m二l〃『l。

14.答案：

(1)2x2+3x+1=02X2+3X+1=0

(2)c=-2c=-2

⑶2025

解；

(1)倒方程为2x2+3x+1=02x2+3x4-1=0。

⑵倒方程为x2+3x+c=0x2+3x+c、=0,代入x=-l尸T得l-3+c=01-3+c=0,

c=2c=2o

⑶倒方程为x2+2024x+1=0X2+2024X+1=0,代

入x=rwc=m得m2+2024m+l=0/〃2+2024〃2+l=0,

即m2+2024m=—l〃22+2024〃z=-l,

故m2+2024m+2026=2025，〃2+2024m+2026=2025。

15.答案：

⑴x2-3x+2=0%2-3x+2=0

(2)x1=2,x2=3xi=2盟=3

解：

(1)设新方程根为yy,则y=-xy=-x,即x=-yx=-y,代入原方程

得y2-3y+2=0>,2-3y4-2=0o

⑵令y=x2Ty=x2-1,则方程化为y2-3y+2=0y2—3y+2=0,解

得y=ly=l或y=2y=2,即x2—1=1x2-1=1或x2—1=2x2-1=2,解得x=±2x=±2

或x=±3尸土3。

题型三用配方法求解一元二次方程(共9小题)

16.答案:D

解：

(X-2)2=1(X-2)2=1,开方得x-2=±lx-2=±l,故x=3x=3或x=lx=lo

17.答案：A

解：

配方得(x-3)2=n(x-3)2=〃，即x2—6x+9=nr2—6x+9=〃，对比原方

程x2-6X+2=0X2-6X+2=0得n=7〃=7。

18.答案：D

解：

配方得(x—2024)2=2025(x—2024)2=2025,故m=2024,n=2025m=2024,/?=2025,

(m-2024)n=02025=0(An-2024)«=02025=0c(注：原答案"-1"有误)

19.答案：X1=2+3,X2=2-3XI=2+3R=2-3

解：

配方得(x—2)2=3(x—2)2=3,开方求解。

20.答案:25

解：

由题意得m+7=-(2m-4)〃z+7=-(2m-4),解得m=Tm=-1,两根为6和6

故p=362=36,p+l=7p+l=7,原式=36-11=25=36-11=25。

21.答案：-6

解：

x2-6x+l1=(X-3)2+2X2—6X+11=(工一3)2+2,故b=-6b=-6。

22.答案：X1=1+2,X2=1-2XI=1+2R=1-2

解：

移顶配方得(X—1)2=2(XT)2=2,开方求解。

23.答案：

(1)X=±53X=±35

⑵x=5±26x=5±26

解：

(1)直接开方：3x=±53x=±5。

(2)配方:(X-5)2=26(X-5)2=26O

24.答案：

(1)最小值为-4

(2)a=2,b=-3a=2力=-3

⑶周长为10+2510+25

解：

Q)配方得(x—2)2—4(k2)2—4,最小值为4

(2)配方得(a-2)2+(b+3)2=0(〃-2)2+(〃+3)2=0,故a=2,b=-3〃=2力=-3。

(3)由勾股定理得c=a2+b2c=Q2+/;2,代入方程得2x2-25x+5=0Zv2-25x+5=0,解

得X=52X=25,故四边形周长为2a+2b+2c=10+252〃+28+2c=10+25。

题型四公式法解一元二次方程（共3小题）

25.答案：C

解：

由求根公式形式得a=2,b=-3,c=-1a=2,b=-39c=-1,方程

为2x2-3x-1=02x2-3%-1=0o

26.答案：2-22-2

解：

由定义得m0n=m2-n/7?0n=mi-n,故x02=x2-2r02=xi-2,

30x=9-x3代入方程得x2-2=9-K¥2—2=9—x,解得X=-1±532X=2—I±53,取

负值得x=T—532户2-1-53。(注：原答案"2-22-2"有误)

27.答案；xl=3,x2=-Lri=3^c2=-1

解：

公式法：A=16A=16,X=2±42X=22±4O

题型五用因式分解法求解一元二次方程(共3小题)

28.答案:C

解：

因式分解得(x-3)(x+1)=0(A—3)(x+1)=0,解得x=3x=3或x=T尸-1。

29.答案：xl=0,x2=3xi=0rT2=3

解：

提取公因式得x(x-3)=0x(x-3)=0o

30.答案：

(l)xl=3,x2=-2xi=3rx2=-2

(2)x1=0,x2=3xi=0^2=3

解：

(1)化为x2—X-6=0X2—X—6=0,分解为(x-3)(x+2)=0(x-3)(x+2)=0o

(2)移项得x(x-3)=0x(x-3)=0o

题型六换元法解一元二次方程(共3小题)

31.答案：D

解：

令t=x2r=%2,则方程化为t2-2t-3=0/2-2，一3=0,解得t=3r=3或t=-l片一1(舍)，

故X2=3X2=3,X=±3X=±3O

32.答案：x1=2,X2=-4XI=2^；2=-4

解：

令t=x+1G+1,则方程化为t2-2t-3=0/2-2r-3=0,解得t=3z=3或t=-l/=-l,

B|Jx+l=3x+1=3或x+1=—lx+1=-1,故x=2x=2或x=-4x=-4。

33.答案：

(1)Z3,4,5

(2)4

解：

Q)设四个数为nT,n,n+l,n+2〃-l几〃+1,〃+2,

则(n-l)n(n+lXn+2)=120(〃-l)〃(〃+l)(〃+2)=120,令m=n2+n,2+〃，

得m2T=120/n2-l=120,解得m=llr=10故n=3〃=3,四个数为2,3,4,5。

(2)令u=x+y,v=xy〃=x+y,v=xy,则u2-2v=10〃2-2u=10,v=3v=3,解得u=±4〃=±4,

,

取正得u=4w=4,故x2+y2=u2-2v=10x2+>2=w2-2v=10o

题型七一元二次方程的判别式(共6题)

34.答案:B

解：

化为3X2-23X+1=03X2-23X+1=0,A=12-12=0A=12-12=0,有两个相等实根。

35.答案：C

解：

△=4-4m=0A=4-4m=0,解得m=1m=1。

36.答案：44

解：

A=(-6)2-4x1x(—8)=36+32=68A=(—6)2—4X1x(—8)=36+32=68。(注：原答案"44"有

误)

37.答案：1(答案不唯一)

解：

需A=4-4k>0A=4-4Z:>0,gpk<lKL

38.答案：k<14fc<4i

解：

A=1-4k>0A=1-4k>0,解得k014任41。

39.答案：正确

解：

A=(2m+1)2-4(m2-1户4m2+4m+1-4m2+4=4m+5A=(2/n+1)2-4(〃22-1)=4加2+4根+

l-4m2+4=4m+5,由于4m+54〃z+5可能为负，故结论不正确。(注：原解析有误，

A=4m+5A=4m+5不一定恒为正）

题型八一元二次方程的根与系数的关系(共5小题)

40.答案：D

解：

需满足-ba=l-a0=l,只有D选项X2-X-2=0X2-X-2=0满足。

41.答案：13

解：

a+0=3,a0=_2a+夕=3,磔=-2,

则a2+[32=(a+B)2—2a[3=9+4=13a2+42=(a+夕)2—2侬=9+4=13。

42.答案：-3

解：

由韦达定理得x1+x2=-3xi+X2=-3O

43.答案：m=2,n=-3/n=2,/i=-3

解：

由韦达定理得m+n=-lm+〃=一1,mn=-6m/?=-6,解

得m=2,n=—3〃7=2,〃=—3或m=—3,n=2/n=—3,7t=20

44.答案：

(1)4

(2)4

解：

(1)代入得4-2m-4=04-2/n-4=0,m=0m=0o

(2)另一根为ca/2=-41/2=-2ac/2=i-4/2=-2。(注：原答案"4"有误)

题型九传播问题（共3小题）

45.答案：C

解：

2轮后患病人数为(1+X)2=100(1+X)2=100,故X=9X=9,2轮后人数为100100,(:错

误。

46.答案：x(x-1)=72x(x-1)=72

解：

每人送xTx-1张，共送X(K-D=72X(X-1)=72张。

47.答案：9人

解：

设每轮传染同人，则l+x+x(l+x)=1001+x+x(l+x)=100,解得x=9%=9。

题型十增长率问题(共3小题)

48.答案：A

解：

两次降价：80(1-X)2=6080(1-X)2=60O

49.答案:125.6(1+X)2=130125.6(1+X)2=130

解：

年均增长模型。

50.答案：20%

解：

4(1—x)2=2.564(l—X)2=2.56,解得x=0.2x=0.2。

题型十一与图形有关的问题(共4小题)

51.答案：D

解：

种植区域长为30—2x30—2羽宽为20—x20—x,面

«(30-2x)(20-x)=450(30-2^)(20-x)=450o

52.答案：2<k<42<K4

解：

已知矩形周长6,面积2o新矩形周长12,面积2k2A。设一边长a〃，

则a(6-a尸2屋7(6-。)=2亿A=36-8k>0A=36-8Z:>0；得k*.5代4.5,Xk>2Z:>2,

故2WkS4.52W仁4.5。

53.答案：长15米，宽10米

解：

设长为XX米，则宽为33-X+22=35—X2233-X+2=235-X,面积X-35-x2=150X-235-V=150,

解得x=15x=15或x=2(k=20(舍，因墙长18米)，宽为10米。

54.答案:

⑴5厘米

(2)小路宽2厘米

(3)设计图略

解：

(1)勾股定理计算得EF=5Er=5。

(2)设小路宽同厘米，则(8-2x)(6—2x)=24(8—2x)(6—2x)=24,解

得x=lx=l或x=6x=6(舍)，故宽2厘米(比例尺1:100,实际2米)。

(3)设计合理即可。

题型十二数字问题(共3小题)

55.答案：B

解：

设较小偶数为立，则较大为x+Zi+