2025-2026学年高一数学上学期期末复习（常考140题28类题型专练）解析版

高一数学上学期期末复习真题精选（常考140题28类题型专练）

1.（24-25高一上•安徽铜陵•期末）下列关系中正确的个数是（）

①06N：②Kez：金WR；④nWQ

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解题思路】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案.

【解答过程】OEN,Hcz,|e/?,TTCQ,①②③正确，④错误.

故选:C.

2.（24-25高一上•广西玉林期末）若3Wfl,2,。2）,则。的值为（）

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A.-y/3B.V3C.一6或祗D.0

【答案】C

【解题思路】根据元素与集合的关系，即可根据。2=3求解.

【解答过程】因为3E{1,2,次},所以小=3,.••。=±巡

故选：C.

3.(24-25高一上•山东聊城・期末)已知集合时={0,1},则集合'=[00/)|无£用了€闻}中所含元素的个数

为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解题思路】根据集合描述法用列举法求出集合中元素得解.

【解答过程】因为集合M={0,1},N={(x,y)|xeM,yGM)»

所以N={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)},

故选：D.

4.(24-25亩一上•上海徐汇・期末)设zn是实数，集合M=。珥m2},若则血=.

【答案】-1

【解题思路】根据元素与集合关系及互异性求参数即可.

【解答过程】若m=l,则m2=l,不符合集合元素的互异性；

若血2=1,则m=-1(正值舍)，此时M=满足；

综上，m=-1.

故答案为：一L

5.(24-25高一上•安徽合肥•期末)已知集合?!={xla/-4x+1=0,a€/?}只有一个元素，则a的取值集合

为.

【答案】{0,4}

【解题思路】分a=0,a*。两种情况讨论可求a的取值集合.

【解答过程】①若Q=0,则-4/+1=0,解得x=3满足集合力中只有一个元素，所以符合题意；

②若。=0,则a/一钛+1=0为一元二次方程，因为集合A有且只有一个元素，

所以A=16-4Q=0,解得a=4.

综上所述：Q的取值集合为{0,4}.

故答案为：{0,4}.

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题型2集合间的基本关系（共5小题）

（24-25高一上,云南昆明•期末）已知集合4={-2,0A/五},^={—2,m},BQA,则爪二（）

A.0B.1C.0或1D.4

【答案】B

【解题思路】根据包含关系可知比64分租=0或m二后两种情况讨论，结合元素互异性可得.

【解答过程】因为力={-2,0,标J,K=[-2,m],8GA,

所以所以m=0或771=后，即m=0或m=1.

当相=0时，y/m=0,集合4中的元素不满足互异性，舍去；

当利=1时，4={_2,0,1},8={-2,1},满足BU4

综上，m=1.

故选：B.

2.（24-25高一上•广东深圳期末）已知QER,若集合{。,一。,0}={加2川，则。=（）

A.0B.-1C.1D.2

【答案】B

【解题思路】由集合相等的定义建立方程求得结果.

【解答过程】--{a,-a,0}=匕砂同，

故选：B.

3.（24-25高一上•广东梅州•期末）设集合时={。6},N={123},则满足MGN的集合M有（）种情况

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解题思路】列举集合N含有两个元素的子集，可得结果.

【解答过程】因为集合N含有两个元素的子集有：{1,2},{1,3},{2,3}共3个，

所以集合M有3中情况.

故选:C.

4.（24-25高一上•上海•期末）已知集合/={-2,2},8={-2,-1,Q+3},且4U则实数Q的值为.

【答案】-1

【解题思路】由集合包含关系得到a43=2即可求解；

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【解答过程】由题意可知。+3=2,

解得：a=-1,

故答案为：-1.

5.（24-25高一上•云南昆明期末）已知集合人=[9,13],=[m+1,2m-1].

（1）若力。8,求实数m的取值范围；

（2）若力麋3,求实数7九的取值范围.

【答案】⑴[7,8];

（2）[7,8].

【解题思路】（I）由8=[7九+1,27九一1]为非空数集，得m+即m>2,结合子集的概念，得

到不等式，算出实数机的取值范围；

（2）由8=旧+1,2加一1]为非空数集，得7n+l<2m-l,即m>2,结合真子集的概念，得到不等式,

算出实数m的取值范围：

【解答过程】（1）因为8=[?71+1,2m一1]为非空数集，得m+lV2m-l,解得m>2,

若&则{2北t强;3,解得7工6^8,即实数m的取值范围是[7,8]；

(2)因为B=[m+1,2m-1]为非空数集，得m+lV2m—1,解得m>2,

若倨B,Wj{2m-1>13或{2北-1>13,

解得7WmW8,即实数m的取值范围是[7,8].

题型3集合的基本运算（共5小题）

1.（25-26高一上・北京・期末）已知集合力={x|—2V%<1},8={刈一1W》<2},则/CB=（）

A.{x|-2<x<2}B.{x|-l<x<l}

C.{x|-l<x<1}D.{x|-1<x<2}

【答案】B

【解题思路】根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答.

【解答过程】因为A={x|—2<x<1}»B=(x\—l<x<2},

所以力AF={x|-2<x<1}n{x|-1<%<2}={%|-1<%<1}.

故选：B.

2.(25-26高一上•河北•期末)已知集合4={刈-1V无<1},B={x\0<x<2},则力U8=()

A.{x|-l<x<2}B.{x|-1<x<2]

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C.{x|0<x<1}D.{x|0<x<2}

【答案】B

【解题思路】根据题意，结合并集的定义与运算，直接求解，即可得到答案.

【解答过程】由集合4={x|-l<x<l},B={x|0<x<2},可得4U={x|-1<x<2].

故选:B.

3.(24-25高一上•山东威海•期末)设全集U=R,集合A=[x\\x\<1),F=(x|-1<x<3),则(QM)nB=

()

A.(-1,1)B.(-1,1]C.(1,3]D.[1,3]

【答案】D

【解题思路】由集合交并补运算的定义直接运算即可.

【解答过程】因为4={洌田V1}={x|-1<x<1},所以Q4=(—口,一1]U[1,+8).

又0={刘一1<XS3}，所以(Cu<)c〃=[1,3].

故选:D.

4.(24-25高一上•上海虹口•期末)已知全集〃=R,集合力={x|x4Q—1},8={无|无>Q+2}C={%1%<0

或为24},且不gGC,则实数a的取值范围为.

【答案】(一8,2)U[5,+8)

【解题思路】利用并集的定义得4U8,从而得不g=Q(AUB),根据集合包含关系列不等式求解.

【解答过程】全集U=R，集合A=Wa—1},B={x\x>a+2}»

所以4u8={x\x>a+2或％<a—1]»

所以Q/G4UB)={x\a-1<x<a+2].

集合C={x\x<0或%>4},且C〃(力uB)qc,

所以a+2<0或a—1工4,

解得a<一2或a>5,

即a的范围为(一8,2)U[5,+8).

故答案为：(-oo,2)U[5,+Q0).

5.(24-25高一上•四川广元•期末)已知集合4={%|3-aWxW3+a},B={川x<0或%>4}.

(1)当Q=2时，求An8和AU8；

(2)若Q>0,且力n(CRB)=4求实数。的取值范围.

【答案】(1)力08={x|4<x<5},AU8={工|无<0或工21}；

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（2）0<a<1

【解题思路】（1）利用交集和并集概念求出答案；

（2）先得到CRB={x|O<x<4}；AcCRB,分力=。和力工。两种情况，得到不等式，求出答案.

【解答过程】（l）a=2时，A={x|l<x<5]»又8={刈％<0或x>4},

故/n8={x|l<x<5}A{无|xV0或x>4}={x|4<x<5},

71U={x|l<x<5}U{%[%<0或%>4}=xV0或％N1}；

（2）An（QRB）=A,故AGCRB,

CRB={x|O<x<4},

当H=0时，3—Q>3+Q,解得口<0,与a>0矛盾，舍去，

'3—QW3+Q

当4工。时，3-a>0,解得OVaMl,

3+a<4

综上，实数a的取值范围为0<aWL

题型4充分、必要与充要条件（共5小题）

1.（24-25高一上•陕西西安•期末）末〉匕”是“a>b+l”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解题思路】由充分条件、必要条件的定义即可判断.

【解答过程】由Q>b+1,得。>匕，反之不成立，则“Q>b”是“a>b+l”的必要不充分条件.

故选：C.

2.（24-25高一上•广东深圳期末）设集合A={3,Q2,0},B={4,a-2}厕、CB={4}”是“a=一2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解题思路】根据集合交集运算及元素与集合的关系，结合充要条件的判定即可判断.

【解答过程】若4nB={4},则464

所以。2=4,解得Q=±2,

当a=2时,4={3,4,0}]={4,0},此时4n8={4,0},不合题意舍去,

当a=-2时，/=[3,4,0},。={4,—4},此时/C口={4},满足题意，

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则a=-2,则充分性成立，

反之，亦得必要性成立，

则"ACB={4}”是“Q=-2”的充要条件.

故选：C.

3.（24-25高一上•广东肇庆•期末）已知力={x|xW={无|无43},若不£力是x€8的必要条件，则m的

取值范围是（）

A.TH>3B.TH>3C.m<3D.zn<3

【答案】B

【解题思路】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出m的范围即可.

【解答过程】,.•X”是工68的必要条件，.-.BQA,••.mN3.

故选：B.

4.（24-25高一上•安徽宣城期末）已如2:2不一小40用:14不42,若〃是q的一个必要不充分条件，则实

数加的取值范围是.

【答案】m>4

【解题思路】化简命题P，再利用必要不充分条件的定义列式求解.

【解答过程】命题p：x45,而命题q：lW%W2,由p是g的一个必要不充分条件，

得今>2,解得m>4,所以实数m的取值范围是m>4.

故答案为：m>4.

5.（24-25高一上•甘肃甘南•期末）已知集合。={x|a+1WxK2Q+1},Q={x|-2<x<5].

（1）若Q=4,求（CRP）CQ;

（2）若“xGP"是"GQ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】⑴{%|-24》<5}

（2）{a|a<2]

【解题思路】（1）当a=4时，求出集合P,利用补集和交集的定义可求得集合（C/）nQ；

（2）分析可知IP是Q的真子集，分P=。、P工。两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数a的不

等式（组），综合可得出实数a的取值范围.

【解答过程】（1）当Q=4时，集合P={x|5WxW9},可得CRP={x|xV5或x>9},

因为Q={x|-2<x<5）,所以（CRP）nQ={x|-2<x<5].

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（2）若“xeP”是“％eQ”的充分不必要条件，所以P是Q的真子集，

当a+l>2a+l时，即QVO时，此时P=0,满足P是Q的真子集;

f2a+1>a+1

当PW0时，则满足2Q+1W5，解得0工。工2,

Q+12—2

当a=0时，P=（1},此时。是Q的真子集，合乎题意；

当a=2时，P={x|3<%<5）,此时P是。的真子集，合乎题意.

综上,实数a的取值范围为{a|aW2}.

题型5全称量词与存在量词（共5小题）

1.（24-25高一上•安徽池州•期中）命题p：3x<0,%2—2%+。40的否定是（）

A.Vx>0,x2—2x+a<0B.3x>0,x2—2x+a<0

C.Vx<0,x2—2x+a>0D.3x<0,x2—2x+a>0

【答案】C

【解题思路】根据存在量词命题的否定是全称量词命题求解即汇.

【解答过程】命题P：3%<0,2%+。工o的否定是Vx40,x2—2x+a>0.

故选:C.

2.（24-25高一上•江苏盐城•期末）命题Tx>0,必一3%>0”的否定是（）

A.3x<0,x2—3x<0B.3x>0,x2—3x<0

C.Vx<0,x2-3x<0D.Vx>0,x2-3x<0

【答案】D

【解题思路】根据存在量词的命题的否定的规定，改变量词并否定结论即可.

【解答过程】命题等%>0,%2一答>0"的否定是“v%>0,X2-3x<0M.

故选：D.

3.（24-25高一上•辽宁丹东•期末）己知命题p：Dx£R,岛命题q：3x£Z,Vx^<-x+l,贝ij（）

A.〃和q都是真命题B.-ip和q都是真命题

C.〃和~iq都是真命题D.和-都是真命题

【答案】B

【解题思路】举出反例，得到p为假命题，举出实例，得到q为真命题.

【解答过程】命题P，当％=0得，*•=1,故p为假命题，「p为真命题,

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命题q,x=-UFf,V%2=l,-x+1=2,故满足q为真命题.

故选：B.

4.（25-26高一上•全国•期末）已知命题p“存在实数居使得不等式37+2X+Q工0成立"为真命题，则Q的

取值范围是,

【答案】（一8』

【解题思路】由于命题p是真命题，即不等式3%2+2%+Q工0有解，则可通过求解ANO,即可得结果.

【解答过程】由题意得A=4-4X3QZ0,解得QW点

所以Q的取值范围是（一83

故答案为：（一8彳］.

5.（24-25高一上•云南玉溪•期末）写出下列命题的否定，并判断其否定的真假:

(l)VmWN,Vm2+1€/V；

（2）存在一个六边形4BC0EF,其内角和不等于720。.

【答案】（l）mmWN,Vm2+1EN,真命题;

（2）任意六边形A8CD",其内角和等于720。，真命题.

【解题思路】（I）由全称命题的否定是把存在改为存在，并否定原结论，进而判断真假:

（2）由特称命题的否定是把存在改为任意，并否定原结论，进而判断真假.

【解答过程】（1）由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为mmEN,后FEN,

因为m=OWN时，V02+1=1G/V,故为真命题;

（2）由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为任意六也形力8CDE凡其内角和等于720。，易知其

为真命题.

题型6由不等式的性质比较数（式）大小（共5小题）

1.（24-25高一上•新疆和田・期木）已知M=/-X+3,N=X+2,则和与N大小关系是（）

A.M>NB.M<N

C.M>ND.M<N

【答案】C

【解题思路】利用作差比较法求解.

【解答过程】因为M-/V=%2-x+3—(%+2)=x2-2x+1=(x—I)2>0,

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所以MZN.

故选：C.

2.(24-25高一上•广东梅州・期末)每次去加油站，甲选择加固定金额的油，乙选择加固定体积的油.在油

价的波动情况下，哪种方式更经济呢？()

A.加固定金额的方式B.加固定体积的方式

C.两种方案一样D.要视具体价格而定

【答案】A

【解题思路】设两次加油的油价分别为刈y(x,y>0,且x=,分别计算两种方案的平均油价，然后比

较即得.

【解答过程】设两次加油的油价分别为心y(x,y>0,且xHy),乙方案每次加油的量为。(。>0)；甲方

案每次加油的钱数为b(b>0),

则乙方案的平均油价为：誓=等，甲方案的平均油价为：+=逑=鬻,

乙n4xyxy人丁,

因为等-第=悬§>。，

所以字>当，即甲方案更经济.

故选：A.

3.(24-25高一上•甘肃平凉・期末)若a,b,c€R,则下列命题正确的是()

A.若a>b,贝ijac?>be2B.若黄>/，则。<b

C.若QVbVcVO,贝Ij2v±D.若a>b,则a?>〃

aa+c

【答案】c

【解题思路】举反例令c=0可得A错误；由不等式的性质可得B错误：作差法可得C正确；举反例可得D

错误.

【解答过程】对于A选项，当c=O时不满足，故A错误；

对于B选项，由不等式性质知，卷两边同时乘以c2>0,可得Q>b,故B错误；

对干C选项，若QVb<c<0,则a+c<0,b-a>(b-d)c<0,a(a4-c)>0,

A4,bb+cb(a+c)-a(b+c)(b-a)cbb+c小干“

故「病=虫+c)=诉<。即故C正确；

对于D选项，取。=-1,b=-2t可得a2Vb2,故D错误.

故选；C.

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4.（24-25高一上•广东广州•期末）两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为

Pi，P2，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则

种购物策略比较经济.（填“甲”或“乙”）

【答案】乙

【解题思路】由题意依次将两种策略两次购买物品的平均价格表示出来，用作差法比较大小即可.

【解答过程】设甲策略每次买“件物品，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数为y元，

则甲策略两次购买物品的平均价格为P3=*等=空，乙策略两次购买物品的平均价格为P4=生=

2Pm

Pl+P2*

由S"1+P22Plp2（P1+P2）Z-4P1P2（Pl-P2）2HFIs

所以P3—P4=-诉二盘+P27二痂%NOn即P4&P3，

所以乙种购物策略比较经济.

故答案为：乙.

5.（24-25高一上•山西晋中•期末）为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与

该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%,且不超过50%,而且这个比值

越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为加^,Mp2.

（I）若这所住宅的地面面积为IOOm2,求这所住宅的窗洞口面积的范围；

（2）若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了xm2,判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明

理由.

【答案】（l）[10,50]m2

（2）变好，理由见解析

【解题思路】（1）依题意得出不等关系，解不等式即可得出结果；

（2）利用作差法计算比较出大小，可得结论.

【解答过程】（1）因为6=100,所以10%W急工50%,

解得10WQW50,

所以这所住宅的窗洞口面积的范围为[10,50]m2.

（2）由题意得0VQ<8,x>0,

原来的窗地面积比为今现在的窗地面积比为霍

.1.ia+xa_ab+bx-ab-ax_x（b-d）

^b+x~~b=~（b+x）b-=b（b+xy

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因为0<a<b,x>0,所以力(b+X)>0,x(b-a)>0

LL-Q+Xa-a+xa

所以百F>°，u即rl/。

所以窗洞口和地面同时增加了相等的面积，住宅的采光效果变好了.

题型7基本不等式（共5小题）

1.（24-25高一上•江苏盐城•期末）若实数a,人满足｝+*=〃万，则帅的最小值为（）

A.V3B.3C.273D.6

【答案】C

【解题思路】根据基本不等式的性质进行求解即可.

【解答过程】因为打在信，所以立〉《+>。，所以0>。力>。.

所%+R房22后=若，

解得ab>2V3,当且仅当5=*时，即a=身=3岛时等号成立,

此时此取最小值为2遍.

故选：C.

2.（24-25高一上•山西大同•期末）函数/（%）=展+%（%>3）的最小值是（）

A.7B.1C.5D.-1

【答案】A

【解题思路】=A+%$+%-3+3,然后利用基本不等式求解最小值即可.

XOX«5

【解答过程】因为久>3,所以％-3>0,

所以/（%）=展+%=*+%-3+3N2J展•（%-3）+3=7.

当且仅当白=%-3,即x=5时等号成立，所以f（x）的最小值是7.

故选：A.

3.（24-25高一上•安徽合肥•期末）已知x+y=3,且x>0,>1>0,则：+/的最小值是（）

A.1B.2C.1D.2V2

【答案】A

【解题思路】由％+y=3,可得="+（y+i）］=l,利用1的代换结合基本不等式求出最小值.

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【解答过程】•••％+'=3,x+y+1=4,^[x+(y+1)]=1

111/I1\1/y+1x\1/ly+1x\

—+----r=7[x+(y+1)](—+---r)=7(2+----4-—-r)>-I2+2------—-rI=1

xy+14L"7J\xy+1/4\xy+1/4\Jxy+1/

当且仅当｛nt1?,即时取等号.

故透:A.

4.(24-25高一上•四川泸州•期末)若正数4,8满足：b+2a=2ab,则a+4b的最小值为.

【答案】学

【解题思路】根据基本不等式求最值的条件，结合T”的妙用，即可求解.

【解答过程】因为正数。，b满足：b+2a=2ab,即止+”1,

iab

所以a+4b=(。+助(或+3=打弓+牌？+2^^=学，

当日=今且以+11，得。=e+/=1+4时等号成立，

所以a+4b的最小值为空.

故答案为：空警.

5.(24-25高一上•江苏苏州・期末)已知a、b均为正实数，ab=a+2b+t(te/?).

(1)若t=0,求a+b的最小值：

(2)若t=6,求六+£■的最小值.

、7a—20-1

【答案】(1)3+272

⑵6

【解题思路】(1)当£=0时，由已知等式变形得出1,将代数式a+b与;+/相乘，展开后利用基

本不等式可求得a+b的最小值；

(2)当"6时，由已知等式变形得出("2)("1)=8,再利用基本不等式为+高的最小值.

【解答过程】⑴当"。时，ab=a+2b,则鸿=1.

因为a、b均为正实数，

所以a+b=(a+b)(^+0=3+^+>3+2g=3+2V2,

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(巴=弛

IJ«a_一

当且仅当(2+1=1时，即当Q=2+VL6=&+1时取等号,

Iab

\a>0,b>0

所以a+匕的最小值为3+2\[2.

(2)当t=6时，ab=a+2b+6,可得Q/J—Q—25+2=8,则(a—2)(b—1)=8,

所以b=W，因为b>0,a>0,所以a>2,进而得b>l,

a-/

所以Q-N>”一01，>0-

所哈+言之2后工=2位=&，

_2_=4

当且仅当（a-8时，即当Q=2+&\6=4及+1时取等号,

a>2,b>1

所以=7+工的最小值为调.

题型8一二次函数与一元二次方程、不等式（共5小题）

1.（24-25亩一上•上海金山•期末）当OvaVI时，关于4的不等式Q—3）［（1—a）x+（a—3）］V0的解集

为（）

A-（-8黑）U（3,+8）B.(-8,3)U(W，+8)

C.（哈）D«,3)

【答案】C

【解题思路】将原不等式转换为。一3）（%—合）<0,在0<a<l的前提下，比较3,合的大小即可得解.

【解答过程】当0VQV1时，l-a>0,不等式。一3）［（1—。.+缶-3）］V0可化为（工一3）（工一合）

<0,

rn2LQ-3「Q-3—3Q+3-2Q口八.

因为』一3二=^=』，且°<QVI,

所以好?>。，~7>3,

所以（％—3）（%—合）<0的解集为卜|3<%V合}，

所以原不等式的解集为卜|3vxvg},即（3,合）

故选：C.

2.（24-25高一上映西期末）若关于4的不等式a/-bxic>0的解集为一1<xV2},贝昉/-ax+cV0

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的解集为()

A.(-1,2)B.(-oo,-1)U(2,+oo)

C.(-2,1)D.(-8,-2)U(l,+8)

【答案】B

【解题思路】利用韦达定理用a表示瓦c,代入所求不等式得到关于刀的不等式，求出不等式的解集即可.

【解答过程】由不等式一族+。>0的解集为3一1〈无〈2},

Q<0

5=1，即8=a,c=-2a,

「2

(a

所以不等式—a%+c<0,即为a/一以一2av0,又av0,

所以/-x-2>0,解得x<一1或%>2.

所以不等式纵：2-ax+c<0的解莫为(-oo,-1)U(2,+oo).

故选：B.

3.(25・26高一上•全国•期末)关于x的不等式/一2(巾+1〉+4加工0的解集中恰有4个整数，则实数加

的取值范围是()

A.^m||<m<3jB.^zn||<m<3|

C.-1<m<jD.{m\-l<m<-g或/<m<3}

【答案】D

【解题思路】由题意得2)。-2m)WO,根据m的范闱，分类讨论，求出不等式的解集，再结合已知列

出不等式求解得答案.

【解答过程】不等式必-2(m+1)%+4m<0<=>(x-2)(x-2m)<0,

当EVI时，原不等式的解集为卜|2m4工42},

由解集中恰有4个整数，得一2<2mW-l,解得一一去

当机21时。，原不等式的解集为{x|2Wx工2m},

由解集中恰有4个整数，得532泡<6,解得mm<3,

所以实数m的取值范围是一1VmW—或?<m<3.

故选：D.

4.(24-25高一上•内蒙古乌兰察布•期末)若不等式。/一。％+1—。>0对\/不£田亘成立，则实数a的取值

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范围是.

【答案】OWQ<1

【解题思路】讨论Q=0、QHO,结合二次函数性质列不等式求参数范围.

【解答过程】当a=0,则g2_或+1_°=1>0,显然对于V%WR都成立，满足；

当"O要使"2—0%+1—。>0对江£区恒成立，贝必=Q2_Z就_Q)V0，所以0<。<去

综上，0Wa<£

故答案为：OWQV3.

5.(24-25高一上・安徽亳州•期末)已知函数/(%)=(a2-4)x2+(a-2)x+4(aeR).

(1)若不等式/。)<0的解集为卜卜<一^或%>1},求Q的值；

(2)若不等式/(为>0对•切实数T恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)Q=1

(2)(_oo,-^)u[2,+oo)

【解题思路】(1)根据不等式的解集，利用韦达定理即可解；

(2)讨论层-4=0和M_4R0讨，/(X)>0恒成立的条件，然后求解即可.

【解答过程】(1)因为不等式/Q)<0的解集为卜卜<-g或%>1],

所以方程(。2-4)/+(a-2)%+4=0的两根为一g,1,

(Q2—4Ho

]4,_a-2_1

贝弘-§+11=一目=一言，解得Q=l.

，X1==

I3a2-4

(2)当。2一4=0时，Q=±2,

若a=2,不等式八无)>0转化为4>0对一切实数%恒成立，显然满足题意；

若口=-2,不等式f(X)>0转化为-4%十4>0对一切实数力恒成立，易知不满足题意；

Z

当a2-4n0时，由题意可知，{△=(a_2)^4(^-4)x4<0

解得Q<一胃或Q>2.

综上，实数a的取值范围为(一8,-3)u[2,+8).

题型9函数的概念与表示(共5小题)。

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1.(24-25高一上•陕西•期末)下列图象中，可以表示函数的为()

【解题思路】根据函数的定义判断.

【解答过程】选项A,C,D的函数图象中存在不，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正

确.

故选：B.

2.(24-25高一上•甘肃甘南•期末)下列四组函数：0/(x)=^,g｛x)=V%2：②f(%)=宏f，g(%)=

(V?)3；(3)/(x)=X2-2x+l,g(t)=(t—I)2：(4)/(x)=l,g(x)=(x+1)°；其中表示同一函数的是()

A.②④B.②③C.①③D.③④

【答案】B

【解题思路】根据函数的定义域和对应法则进行判断即可.

【解答过程】对于①，函数/■(%)=手的定义域为｛小。0｝,函数g(%)=V^的定义域为xWR,

其定义域不同，所以不是同一函数，故错误；

对干②，函数/(%)=含=%。。)=(遮)3=x,两个函数定义域都是％eR,

对应法则也一样，是同一函数，故正确；

对干③，函数/㈤=X2-2x+l,g(t)=(t-l)2=t2-2t+l,

两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确；

对于④，函数f(x)=1的定义域为R，函数g(x)=(x+1)°=1定义域为｛x|x工一1｝，

两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误.

故选：B.

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3.(24-25高一上•贵州黔西•期末)已知定义在R上的函数/(%)满足：/(2)=2,且

VxGR,f(x+1)</(x)+\,f(x+4)>/(x)+2x+3,则/1(10)=()

A.9B.25C.15D.24

【答案】D

【解题思路】由函数性质通过赋值得到/'(10)W24和/1(10)224,即可求解;

【解答过程】由/(%+1)4/(乃+与可得：

/(9)</(8)+1,

f(8)Wf(7)+/

/•⑺⑹+宏

/(3)</-(2)+1,

累加可得:/(10)</(2)+1+|+^+|+|+^+|+1=24,

又/Q+4)之/(%)+2%+3,

得：/(10)Nf(6)+12+3,

/(6)>/(2)+4+3,

相加可得：/(10)>24,

所以/(10)=24,

故选：D.

4.(25・26高一上・全国•期末)已知函数/■(%)的定义域为R,且/(%+y)+/a-y)=/(%)/'(?),f(l)=1,

则60)=.

【答案】2

【解题思路】取特殊值，取％=14=0,代入题干关系式即可得结果.

【解答过程】由f(x+y)+fa-y)=fG：)f(y),取％=i,y=】可得f(++f(i)=/(i)f(0),又f(i)=L

所以/(o)=2.

故答案为：2.

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5.(24-25高一上•云南红河•期末)根据下列条件，求/'(%)的解析式.

(I)已知="+44+3；

(2)已知/(%)是二次函数，且满足/(0)=2,/(x)-/(x-1)=2x+3.

【答案】(l)/(x)=无2+6x+8(x>-1)

(2)/(x)=%12+4%+2

【解题思路】(1)利用换元法，可求得函数解析式；

(2)利用待定系数法，即可求得答案.

【解答过程】(I)令「=«—1«2一1),则叮=t+1/=(£+1尸，

所以由f(y/x-1)=X+4«+3,

得/(£)=(t+1)2+4(t+1)+3=t2+6£+8,

所以/(%)=为2+6%+8(x>-1)；

(2)由题意设f(jt)=a/+bx+c(。40),

因为71(0)=2,所以c=2,

因为/'(%)—/■(%-1)=2%+3,

2

所以a/+.+c-[a(x-I)+b(x-1)+c]=2x4-3,

所以2ax—a+b=2%+3,

所以｛-普713»得Q=l,b=4,

所以/(%)=x2+4x+2.

函数的定义域、值域问题(共5小题)。

1.(24-25高一上•浙江杭州•期末)函数/'(X)=等的定义域为()

A.[-2,-l)U(-l,2]B.(-8,-1)U(—1,2]

C.[-2,2]D.(-2,2)

【答案】A

【解题思路】根据函数的解析式有意义，可得不等式组，解之即得函数定义域.

【解答过程】由函数/(%)二穿有意义，等价于｛：[：)(?，

解得—2<x<2且x工—1,

故函数的定义域为[-2,-1)U(-1,2].

故选:A.

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2.(24・25高一上•云南楚雄•期末)已知函数/(x)的定义域为(-1,2),则函数g(x)=比m的定义域为()

A.(-1,1)B.{1}C.(1,3)D.(-1,3)

【答案】C

【解题思路】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可；

【解答过程】由题意：要使g(x)二军岑有意义，贝叶一1\：[1<2，

解得1cxV3,所以9(%)的定义域为(1,3).

故选:C.

3.(24-25高一上•辽宁朝阳•期末)函数/(x)=V^=i-2x的值域为()

【答案】D

【解题思路】换元法，令行二T二tzo,得到y=-2(t-92一手，从而得到函数值域.

【解答过程】令7x-l=t>0,则％=t2+1,

则7=t-2(t2+1)=-2t2+t—2=—2(t——泉

故当”刎，/(x)=-2(t-1)一卷取得最大值，最大值为一半

所以/'(%)=五一1一2%的值域为(一8,-畜.

故选:D.

4.(24-25高一上・贵州毕节•期末)已知函数/~(%)=(吁1)/+；-*+2的定义域是R则。的取值范围是()

A.(1,9)B.(1,8)C.[1,9)D.[1,8)

【答案】C

【解题思路】将定义域是R的问题转化为不等式恒成立，对a—1是否为零进行分类讨论即可求得结果.

【解答过程】根据题意(a-I)%2+(a-l)x+2>0对于VxfcR恒成立；

当a—1=0时，2>0显然成立，可得a=1符合题意；

当a—l>0时，若满足题意可得{△=(“_1夕二晨%_1)<0,解得1VQV%

当a—IV0时，若满足题意可得b=(Q_i夕二晨/此时无解；

综上可得，Q的取值范围是口,9).

故选;C.

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5.（24-25高一上•北京东城•期末）函数f（x）=的定义域为.

【答案】（3,+8）

【解题思路】根据题意得x一3>0解出即可.

【解答过程】要使函数/'（乃二卷有意义，

则％—3>0,即％:>3,

所以函数f（x）的定义域为：（3,+8）,

故答案为：（3,+8）.

函数的单调性、最值问题（共5小题）。|

1.（24-25高一上・江苏苏州•期末）函数f（x）=疡=1的单调递减区间为（）

A.（-oo,-1]B.（-oo,0]C.[0,+oo）D.口,+8）

【答案】A

【解题思路】利用复合函数的单调性可求得函数/（X）的减区间.

【解答过程】对于函数/'CO=4匚T,由广一1>0可得“<一1或X>1

所以，函数/（X）=疡1T的定义域为（-00,-1]U[l,+8）,

因为内层函数比=/一1在区间（一8,—1]上为减函数，在口,4-8）上为增函数，

外层函数y=曰在[0,4-8）上为增函数，

由复合函数的单调性可知，函数/（%）=标7"的减区间为（一8,—1].

故选：A.

2.（24-25高一上•湖北・期末）若函数f（x）="以2+2%-1在口,+8）上单调递增，则实数Q的取值范围是

（）

A.[—1,+8）B.（-1,+8）C.[0,+8）D.（0,+8）

【答案】C

【解题思路】令七=。/+2%-1,则/（%）=在，t>0,利用/（工）=/（9（%））单调递增则/（乃，9（%）单调性相

同的性质，得出亡=32+2%—1在[1,+8）上单调递增，且tNO,分情况讨论得出a的取值范围.

【解答过程】令£=a/+2%—1,则/㈤=向tN0.

已知/（%）在[1,+8）上单调递增，则”。/+2》一1在[1,+8）上单调递增，且蜂0.

若a=0,则t=2x-l,此时/（%）=V2x-1在口,+8）单调递增,

且t=2x-1>/（I）=1>0,符合题意.

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若aW0,则£=a/+2x—1须满足:

(a>0,

即1。+2,120,NQ>O.

\-f2-a<1,

综上，a>0.

故选：C.

3.(24-25高一上・江西吉安•期末)设函数f(%)=max{%2+2x+4,|x—4|},其中max{a,b}表示a力中的最大

者，若/(x)在区间［m,n］上的最大值为7