2025年高考数学三轮复习冲刺卷：抛物线的基本量与方程（含解析）

高考数学三轮冲刺卷：抛物线的基本量与方程

一、选择题（共20小题；）

I.已知点P在抛物线必=6上，则点尸到点Q（2,-l）的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取

得最小值时，点P的坐标为（）

A.Q,-1）B.Q,l）C.（1,2）D.（1,-2）

2.经过抛物线y2=的焦点,日方向向量为五二0-2）的直线1的方程是（）

A.x-2y-1=0B.2x+y-2=0C.%+2y-1=0D.2x—y—2=0

3.在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为（）

A.2-B.1C.2D.4

4.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4,则点4与抛物线焦点的距离为（）

A.2B.3C.4D.5

5.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于4B两点,交C的准线于0,E两点.己知|工8|=4四,

IDE|=2百，则C的焦点到准线的距离为（）

A.2B.4C.6D.8

6.抛物线y=2/的焦点坐标是（）

儿仔。）B.&0)C.®)D.(0,3

7.已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2,-l）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取

得最小值时，点P的坐标为（）

A.(：，-1)B.Q,l)C.(1,2)D.(1,-2)

8.抛物线y=\x2的焦点到准线的距离为（）

8

A.2叼C.l0.4

9.4是抛物线y2=2px（p>0）上一点，尸是抛物线的焦点，0为坐标原点，当口尸|=4时,

WFA=120°,则抛物线的准线方程是（）

A.x=-1B.y=-1C.x=-2D.y=-2

10.已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2,-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取

得最小值时，点P的坐标为（）

A（：,T）C.D.&I）

11.已知点4（2,0）,抛物线C：M=4y的焦点为凡射线兄4与抛物线。相交于点M,与其准线相

交于点N,则尸=（）

A.2：V5B.1:2C.1:V5D,1:3

2

12.已知双曲线G：会、=1（。>Q,b>0）的渐近线与抛物线C2:y=2px（p>0）的准线围成一个

等边三角形，则双曲线q的离心率是（）

A.竽B.V3C.yD.2

13.将两个顶点在抛物线y2=2px（p>0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为ri,

则（）

A.n=0B.n=1C.n=2D.n>3

14.已知抛物线f=16%的焦点与双曲线l（a>0,b>0）的焦点尸重合，C的渐近线恰

为矩形。”8的边04,OB所在直线（。为坐标原点），则C的方程是（）

A.江一火=1C.^-^=lD.^-^=l

124323241288

15.已知双曲线％2一?=1与抛物线y2=8%的一个交点为P,r为抛物线的焦点，若|PF|=5,

则双曲线的渐近线方程为（）

A.x±2y=0B.2x±y=0C.昌士y=0D.x±V3y=0

16.已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5,那么点P到y轴的距离是（）

A.2B.3C.4D.5

17.已知正六边形48Q9"的边长是2,一条抛物线恰好经过该六边形相邻的四个顶点，则抛物线

的焦点到准线的距离是（）

A.—B.—C.A/3D.2V3

42

18.已知圆/+丫2+m工一：=()与抛物线),=；/的准线相切，则瓶的值等于()

A.±V2B.V3C.V2D.±V3

19.设F为抛物线C-.y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30e的直线交C于A,B两点，。为坐标原点,

则△OAB的面积为()

A.迥B.乎C.MD.2

48324

20.P是抛物线y一/上任意一点，则当P和直线x+y+2-0上的点距离最小时，Pm该抛物线

的准线距离是()

A.-B.-C.1D.2

92

二、填空题(共5小题；)

21.若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p=：准线方程为

22.已知抛物线V=4x焦点/恰好是双曲线接一卷=1的右焦点，且双曲线过点移㈤，则该双

曲线的渐近线方程为.

23.已知抛物线y=ax2-l的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形

面积为.

24.一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的通径K,若拱口宽为

a米，则能使卡车通过的Q的最小整数值是.

25.已知4ai，yj是抛物线y?=4x上的一个动点，B(x2,y2')是椭圆?+?=1上的一个动点，

N(l,0)是一定点，若轴，且与<不，则AM4B的周长2的取值范围是.

三、解答题(共5小题।)

26.若抛物线y=1x2上距点A(0,a)(a>0)最近的点恰好是原点，求实数a的取值范围.

27.一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米.

(1)建立如图所示的平面直角坐标系xOy,试求拱桥所在抛物线的方程.

6.51/

26

(2)若一竹排上有一个4米宽、6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？

28.设抛物线C的焦点在y轴正半轴上，且抛物线上一点Q(-3,m)到焦点的距离为5,求此抛物线

的标准方程.

29.如图，在平面直角坐标系％0y中，点4(8,-4),P(2,V0)在抛物线y?=2px(p>0)上.

(1)求p,t的值；

(2)过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线与抛物线的另一交点为8,点C在直线

4M上，若PA,PB,PC的斜率分别为七，七，k3,且自十七=2自，求点。的坐标.

30.已知抛物线y2=2px(p>0)上点M(3,m)到焦点3的距离为4.

(1)求抛物线方程.

(2)点P为准线上任意一点，力8为抛物线上过焦点的任意一条弦，设直线尸力，PB,P尸的斜

率为k],k2,k3,问是否存在实数人使得幻+七二2心恒成立，若存在，请求出入的值:

若不存在，请说明理由.

答案

I.A【解析】如图所示，点Q(2,—l)在抛物线的内部,

由抛物线的定义，抛物线上的点P到F的距离等于点P到准线x=-l的距离.

过Q作直线x=-l的垂线QH交抛物线于点K,则点K即为取最小值时的所求点.

当y=—1时，由1=4%得x=工.

4

所以满足条件的点P的坐标为Q,-i).

2.B

3.C

4.D

5.B

【解析】不妨设C：y2=2px(p>0),4ai，2&),则与=察=/由题意可知1041=10。|,得

(02+8=Q)2+5,解得p=4(舍负).

6.D

如图，因为点Q(2,—l)在抛物线的内部，由抛物线的定义，|「尸|等于点「到准线％=-1的距离.过

Q作％=-1的垂线QH交抛物线于点K,则点K为取最小值时的所求点.当y=-l时，由1=4x

得所以点尸的坐标为(；,一1).

8.D【解析】抛物线的标准方程为x2=8y,则焦点坐标为(0,2),准线方程为y=-2,

所以焦点到准线的距离d=2-(-2)=4.

9.A【解析】过4向准线作垂线，设垂足为B,准线与x轴的交点为D.

因为40E4=120%

所以△ABF为等边三角形，乙DBF=30°,

从而p=|DF|=2,因此抛物线的准线方程为x=-l.

10.A

【解析】因为丫2=公，

所以p=2,焦点坐标为（1,0），

过P作准线的垂线于M,由PF=PM,

依题意可知当P,Q和M三点共线且点P在中间的时候，距离之和最小，如图,

故P的纵坐标为-1,然后代入抛物线方程求得x=；.

4

11.C

12.A

13.C【解析】如图所示，

根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于％轴对称，过焦点作两条直线倾斜角分别为30。

和150°,它们和抛物线的交点与抛物线焦点可形成两个正三角形.

14.D

15.C

【解析】因为点P在抛物线y2=8%上，IPFI=5,

所以P（x0,y0）满足久o+：=5,得欠0=5-：=5-2=3,

因此煽=8xn=24,得yQ=±2乃，

所以点P（3,±2乃）在双曲线M一3二1上，

可得9一处=1,解之得m=3,

m

所以双曲线标准方程为/-?=1,

得a=l,b=V3,渐近线方程为y=±-,即y=

16.C【解析】抛物线y2=依，则准线方程为x=-l,

因为P到其焦点的距离为5,则到其准线的距离也为5,

所以P点到y轴的距离为4.

17.B【解析】如图可知力（m,1）,F（n,2）,代入抛物线方程f=2px求出m,n,然后令n-7九二

V3即可.

18.D【解析】抛物线的准线为y=-l,将圆化为标准方程（x+/y+y2=F，圆心到直线的距

离为1=得m=±V3.

19.D

20.B

21.2,x=-1

22.y=±^x

23.2

【解析】抛物线y=a/-i的焦点坐标为（o,专—1）,它是坐标原点，则得a=%从而丫=3/.

1.抛物线与坐标轴的交点为（0,-1）,（一2,0）,（2,0）,以这三点围成的三角形的面积为gx4x1=2.

24.13

【解析】由题意可设抛物线方程为/=一数伍＞o）,当x=B时，y=-7：当％=0.8时，y=

.由题意知£一吆23,即十一12。一2.56NO.解得a的最小整数值为13.

u4a

25・（果9

y2=4x%一

/y2得

!T+T=1

*.*AB//x轴，且占<x7,/.0<%!<x?<2.

又N(1,O)是抛物线的焦点，・・.|AN|=Xi+l,\ABl=x2-xlf

2222

又|BN|=(x2-l)+yf=(X2-1)+3(1-^)=^(4-X2),AIW|=1(4-x2)=2-1x2.

・,・周长E=3+二%2，而三<小<2,<Z<4.

233

26.设PQ,y)为抛物线y=上的动点，则

|P4|=-0)2+(y_a)2=yjx2+y2-2ay+a2,

因为P在抛物线y=g/上，所以为2=2y,代入上式，得

\PA\=y/y2-I-(2-2a)y+a2=y/[y+(1-a)]24-2a-l(y>0),

因为当P在原点，即当y=0时，IP川有最小值，所以Q-IWO.

又a>0,故实数a的取值范围0VaW1.

27.(1)设抛物线方程％2=-2py.

由题意可知，抛物线过点(26,-6.5),

代人抛物线方程，得262=13p,

解得p=52.

所以抛物线方程为/二一io%.

(2)把x=2代人，求得y=-R

而6.5—6=0.5>三,

26

所以木排能安全通过此桥.

28.由题意,设抛物线为x2=2py(p>0),

因为点Q(—3,m)在抛物线上，

所以(-3尸=2pm,即m=5,........①

因为点Q(—3,m)到焦点的距离为5,所以|训+々=5,……②

由①②得，/+々=5,解得P=1或9,

所以抛物线的标准方程为/=2y,或/=18y.

29.(1)将点4(8,—4)代入y?—2px,得p-1.

将点P(2,£)代入y2=2%,得t=±2.

因为t<0,

所