2025年高考数学一模试题分类汇编：不等式、复数（解析版）

专题11不等式、复数

白题型概览

题型()1复数加减乘除运算

题型02复数相等

题型03复数的几何意义

题型04不等式的综合应用

题型05利用基本不等式求最值

题型。7复数加减乘除运算

1.(2025•天津武清•一模)i是虚数单位，则1宁1=________，

1+1

【答案】乎/|五

【分析】根据复数的除法乘法运算结合模长公式计算即可.

(3+4i)(l-i)3+4i-3i-4i27+iV72+l2572

【详解】==

l1+il=(l+i)(「i)22

故答案为：逑

2.(2025•广东深圳•一模)若z=l+i,则|z2—z|=()

A.0B.1C.及D.2

【答案】C

【分析】根据Z=l+i求出z2-z，再根据公式求其模长.

【详解】vz=l+i;

/.z2-z=(l+i)2-(l+i)=l+2i+i2-l-i=-l+i;

中-zbJ-lf+lS

故选：C.

3.(2025•宁夏银川•一模)(2-i)(l-4i)=()

A.-9-2iB.-2-9iC.6-9iD.2-9i

【答案】B

【分析】根据条件，利用复数运算，即可求解.

【详解】因为（2-i）（l-4i）=2-8i-i+4i2=-2-9i,

故选：B.

4.（2025•广东湛江•一模）复数4,z?满足Z+Z2=4,Z,-Z2=8,则（）.

A.|讣区|=8B.卜一为=4

C.忆|+上|=4

【答案】ABD

【分析】由题意根据韦达定理建立••元二次方程，求得复数，根据模长公式以及复数四则运算，可

得答案.

【详解】依题意得，复数百，z?巨方程x2-4x+8=0的两个根,

f-4犬+8=0可得△=（-4『-4x8=-16=（4i）”，

解得.4士并旷二4±4i=2±2i，则马=2+2i,z2=2-2i,

22

所以|讣上|="^'"^=26、2交=8,故选项A正确；

"一#图=4,故选项B正确;

|马|+卜2|=2及+2夜=4及，故选项C错误;

z._|2+2il_（2+2i）2_8i

z?一12_2i|_4+4-I故选项D正确.

故选:ABD.

5.（2025•黑龙江•一模）若力=-1-君"则复数z的虚部为（）

A.-1B.1C.-V5D.V5

【答案】B

【分析】由复数的除法得到代数形式，即可求解；

【洋俏•】Ihzi=-1—\/5i>可得：z=-1=—石+j,

i

所以复数Z的虚部为1.

故选：B

6.（2025•山东泰安•一模）已知i为虚数单位，若（l-i）（2+ai）是纯虚数，则实数〃=（）

A.-4B.-2C.1D.2

【答案】B

【分析】利用复数的乘法运算化简复数，再利用纯虚数的概念，即可得答案；

【详解】因为（l-i）（2+5）=2—2i+H—ai2=2+a+（a-2）i,

4+2=0

所以《解得。二一2.

a-2Ho

故选:B.

7.（2025•福建泉州•一模）已知复数2="+5（〃¥0,4€口）满足-=则（）

A.67<0B.a-V2C.z•z=x/2D.z+z=2

【答案】D

【分析】根据复数的模得到方程求出a的值，即可求出z,再根据复数代数形式的运算法则判断即

可.

【详解】因为z=a+ai(axO,awR),所以z-l=a-1+ai,

X|z-l|=l,所以J(a—1)2+以=1,解得a=l或a=0(舍去)，

所以z=l+i,则W=]—i，所以z；=(l+i)(l—i)=2,2+z=(l+i)+(l-i)=2.

故选：D

8.(2025•云南昭通•一模)已知复数2=工，则|=2i|=()

A.72B.2C.10D.回

【答案】A

【分析】先根据复数的除法运算求出复数z,再根据复数的模的计算公式即可得解.

z2i2i(l-i)2+2i=,+i

【详解】-=(d)(A~-

所以卜-2i|=|l-i|=也.

故选：A.

9.（2025•黑龙江•一模）已知复数z满足：9二1—「则|z—2i|=（）

A.x/5B.«c.MD.3>/2

【答案】D

【分析】根据复数的乘除法求出复数z,可得复数z-2i，由模长公式即可求得答案.

【详解】由白=1—i,得z=（l—i）（2+i）=3—i,

11"1

所以|z—2i|=|3—3|=]32+（-3）2=3人.

故选：D.

10.（2025•山东济宁•一模）已知复数2=a+方,则忖=（）

1+1

A•/B-TC-1D.2

【答案】B

【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可得到答案.

2-i(2-i)(l-i)I-3i11

［详解］Z=—+2i=^—e—^+2i=——+2i=-+-i,

I+i(l+i)(l-i)222

故选：B.

题型02复数相等

1.（2025・山西吕梁•一模）已知。力eR,〃-2i=S—i）i（i为虚数单位），则（)

A.a=-\,b=-2B.a=-1,b=2

C.a=\,h=-2D.a=l,/?=2

【答案】C

【分析】利用复数乘法法则计算出（8-i）i=l+胡，根据复数相等得到答案.

【详解】«-2i=（/?-i）i=Z?i-i2=l+/?i,

故q=1,〃=-2.

故选：C

2.（2025•江西南昌•一模）已知复数z满足z+2彳=6+i,则？=（）

A.2+iB.2-iC.|-2iD.l+2i

【答案】B

【分析】根据复数及共规复数的定义结合复数的加法，应用复数相等得出参数.

【详解】设复数z=a+〃i(q〃£R),

满足z+2z=a+b\+2(a-b\)=3a-h\=6+i,

[a=2

所以Li,贝iJz=2-i.

故选:B.

3.(2025•江西赣州•一模)已知复数z满足|z+l|=|z+3-2i|,且z在复平面内对应的点为(x,y),则

()

A.x-y+3=0B.x+y+3=0C.5x-2y+6=0D.5x+2y+6=0

【答案】A

【分析】由z=x+yi(x,yeR),代入|z+l|=|z+3-2i|,利用模长公式整理得z在复平面内对应点的

轨迹方程.

【详解】z在复平面内对应的点为(％)，)，则z=x+yi(x,ywR),

由|z+l|=|z+3_2i|,得(x+l1+);=(x+3『+(j-2)2,

化简得x-y+3=0.

故选：A.

✓7—21

4.(2025・北京延庆•一模)已知aeR,i为虚数单位，若丁一为实数，则。=)

2+1

A.-1B.1C.-4D.4

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算及复数的相关概念得解.

【详解】因为Ta-h2\旨(«-2i)本(2-i)(2fl-2)-(a+4)i_la-2a+4

为实数,

—5--55-

所以丁=0,解得。=Y,

故选：C

5.(2025•陕西咸阳•一模)已知复数4,Z2,则().

A.若上|=上|,则4=z?B.若Z/Z]=马2,则上|=卜|

C.若4芍=0,则以i—ZjkK+ZzID.若㈤=㈤，则匕-1卜上+1|

【答案】BC

（分析]应用特殊值4=1,z?=i判断A、D；由|4『二马£=Z2•[=|Z2『判断B；若4=a+bi,z2=c+di,

且得{7修，分类讨论判断C.

【详解】对于A、D：当马=1:2=1时，团="|,但z尸Z2,故A错误;

又忖一1|=0/&=区+1],故D错误；

22

对于B：rtl|z,\=z^'zi=z2-z2=\zz\,可得㈤=忆|,故B正确：

对于C；z{=a+bi,z,=c+di,且a,b,c,dwR,

,,\ac-bd

111z(•z=ac-ha+(ad+hc)i=0,可得.则acd=bd~=-be2，

2ad=-be

若b=0,则a=()或c="=0；若〃wO,则。=d=0,

当a=6=0,则|马-72|=%|=|马+72|,

当6=c=d=0,则％-z?|=㈤=k+z?|,

当bwO,c=d=O,贝6ZI_Z2|=*]|=|zi+Z2I,

综上，L-z21Tzi+Z2I，故D正确.

故选:BC.

«03复数的几何意义

1.（2025•河南安阳•一模）若复数z满足|z-l|=2,则在复平面内，复数z所对应的点组成的图形的

周长为（）

A.兀B.2兀C.3兀D.4兀

【答案】D

【分析】根据复数的几何意义判断在复平面内，复数z所对应的点是半径为2的圆，进而求出其周

长.

【详解】设2=X+设（x,yeR）,

由卜一1=2,则（工_1丫+9=4,

则在复平面内，复数z所对应的点组成的图形为以（1,0）为圆心，2为半径的圆，

故复数z所对应的点组成的图形的周长为27ix2=4兀.

故选:D.

2.（2025•北京平谷•一模）在复平面内，复数z满足z-（l-i）=2i,则更数z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解.

,、2i2i（l+i）

【详解】由z-1—i=2i可得z=「二'」+

l-i+i）

故复数z对应的点为（-覃），位于第二象限.

故选：B

3.（2025•甘肃兰州•一模）若复数z=i（2-i）,则|z|=（）

A.1B.75C.3D.5

【答案】B

【分析】由复数的乘法整理其为标准式，再利用模长公式，可得答案.

【详解】由z=i（2—i）=2i—i2=l+2i,则忖==

故选:B.

4.（2025•江西萍乡•一模）已知复数4，々（z仔2H。）在复平面内对应的向量分别为OZ；,OZ2（其

中。为原点），则下列命题正确的是（）

A.若OZ；_LOZ；,则，+4|=•-22|

B.若|。蜀=5,则|z「2|的最小值为3

C.若（OZ；+OZ；）_L（OZ；-OZ；）,则A=z?

D.若由卜卜阂，则4>

【答案】AB

【分析】根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可判断A；设4=5cose+5isinae«0,27i),

贝“4-2|=129—208s6,再根据cos0的范围可判断B；根据仅4十%)乂。4-%)可得㈤=%|,

再举反例可判断C；两个复数当且仅当它们同为实数时才能比较大小可判断D.

【详解】对「A,若。4，。％,则复平面内以有向线段OZ；和OZ；为邻边的平行四边形是矩形，

根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可知，选项A正确；

对「B,若|。4|=5,则点Z1的轨迹是以。为圆心，以5为半径的圆，

设4=58se+5isina9w[0,27i),

则-2|=J(5cos\-2)2+(5sin。)?=V29-20cos6>,

因为一Xcosewi,可得.一想面=>/29_20=3,故B正确；

对于c,(OZ,+oz2)±(oz1-oz2)<=>(oz,+oz2)(oz1-oz2)=o<=>

OZ：-OZ；=0=|Z]|=|z2|,取Z|=l,Z2=i,显然|zj=|zj,但Z]HZ2，故C错误；

对于D,两个复数当且仅当它们同为实数时才能比较大小，故D错误.

故选:AB.

5.(2025•四川巴中•一模)己知复数z在复平面内满足|zgl,则复数z对应的点Z的集合所形成图

形的面积为()

兀3

A.-B.九C.-itD.2冗

22

【答案】B

【分析】结合复数的儿何意义，即可求解.

【详解】由目£1,可知在分平面内z对应的点Z的集合确定的图形为以(0,0)为圆心，1为半径的圆

环及内部，

故在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为兀x『=兀.

故选：B

2

6.(2025•黑龙江齐齐哈尔•一模)已知z=三，则之在复平面内所对应的点位于()

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】先根据复数的除法运算计算出z,然后根据共枕复数的定义求出二，由彳的实虚部可知之对

应的点的坐标，即可得解.

【详解】因为z=T27T岛2（l-岛i）=1,所以北旧

所以三对应的点的坐标是（11）,位于第•象限.

故选：A.

7.（2025•江西上饶•一模）已知z=3",则口（）

1+r+1

A.-l-3iB.-l+3iC.l-3iD.l+3i

【答案】A

【分析】先根据虚数单位i的运算性质化简分母，再对z进行化简，最后根据共规复数的定义求出乞.

【详解】3：i:+im=31,其共规复数5=—l—3i.

1+r+i1-i+ri-i

故选：A.

8.（2025•黑龙江哈尔滨•一模）复数2=碧，则）在复平面内对应的点在（）

1+21

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】利用狂数的除法化简复数z,利用共规兔数的定义结合复数的几何意义可得出结论.

【详解】因为z=皆需昌=沫=一一则―，

所以，复数之在复平面内对应的点的坐标为（-1,2）,位于第二象限.

故选：B.

9.（2025•江西•一模）设i为虚数单位，复数z的共挽复数为若z=p^,则z在复平面内对应

的点位于第（）象限

A.-B.二C.三D.四

【答案】A

【分析】由复数的运算性质化简得三=l-2i，则z=l+2i,即答案川求.

【详解】由题意得5=息）=也=1—2i,

所以z=1+2i,则Z在复平面内对应的点位于第一象限，

故选：A.

10.（2025•江西•一模）若2=」一+方，则z・W=（）

2-1

A.5B.石C.—D.—

55

【答案】A

【分析】利用复数的除法运算化简复数，再结合复数模的性质求解即可.

【详解】因为2=£+万=2+i

+2i,

(2-i)(2+i)

2+i2+i+2i=2+Ui

+2i=

4-(-1)5

所以结合复数模的性质得—=，=（|J+（gJ=5,故A正确.

故选：A.

11.（2025•山东烟台•一模）已知复数2=詈，其中。cR,则"回＞1〃是“心|〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】应用复数模的求法及忖＞1得。＞1或av-1,再由充分、必要性定义即可得答案.

【详解】由=则号二1,可得。＞1或”一1,

所以“|z|＞1”是“a＞1〃的必要不充分条件.

故选：B

12.（2025•广西•一模）己知复数z满足（2-i）z=l+2i,则复数2的虚部为（）

33

A.-B.1C.--D.-1

55

【答案】B

【分析】根据复数的除法先计算出z=«+力i,得虚部为由

【详解】由（2—i）z=l+2inz=J=i,则复:数z的虚部为1.

2—1

故选:B.

13.（2025•山东荷泽・一模）在复平面内，向量相对应的复数为-1+玉，向量AC对应的复数为-2+i，

则向最BC对应的复数为（）

A.-3-4/B.-3+4iC.l+2iD.-l-2i

【答案】D

【分析】利用复数的几何意义及复数的减法运算即可求解.

【详解】因为向量对应的复数为-l+3i,向量AC对应的复数为-2+i,

所以4C=4C-A3=（-2+i）-（-l+3i）=-l-2i

所以向量8d对应的复数为-l-2i.

故选：D.

14.（2025•辽宁•一模）若复数z满足|z+2|+|z-2|=6,则复数z在复平面内对应点的轨迹的离心率

为.

【答案】■2

【分析】由椭圆的定义和离心率的定义可得.

【详解】由|z+2|+|z-2|=6可得复数z在复平面内对应点的轨迹是以（-20）,（2,0）为焦点，长轴长为

6的椭圆，

所以（7=2,4=3,

2

所以离心率为］.

2

故答案为：y

9

15.（2025•广东江门•一模）已知i是虚数单位，复数z=1L,则"（）

-1+1

A.1+iB.1-iC.-1-iD.-l+i

【答案】D

【分析】根据复数的乘法与除法亿简复数z成代数形式，利用共规复数定义即得.

【详解】由z=二-=2（一匕）=—1,贝丘=—l+i.

-1+11+1

故选：D.

题理04不等式的综合应用

1.（2025•北京延庆•一模）设x,yeR,且Ovxvyvl,则（）

▲，，

A.X->y一B.sinv>sinyC.4*>2'D.x+—>y(2-y)

x

【答案】D

【分析】特殊值法分别判断A,B.C,再结合基本不等式计算判D.

【详解】因为（）<X<），<1,

对于A：取x=g,y=；,所以彳2=：<,2=[,A选项错误；

对于B：取x=F，），=£,所以sin.r=,<sin），=也，B选项错误;

6422

对于C：取x=\，y=T，所以4,=2；<2,=2；，C选项错误；

对「D,x+l>2^Zl=2,当且仅当x=l取等号，所以x+：>2,

因为y〉0,2—y>0,所以y（2y}<"，一）'）.1,当且仅当），=1取等号，所以），（2-丁）<1,

所以彳+，>>（2-），），D选项正诚

A

故选：D.

2.（2025•广东茂名•一模）下列命题正确的是（）

A.若u>b,则/>//

B.若avv0,贝IJ（ab<a2

,,,门bb4-in八

C.若a>b>0,—>----,则m<0

aa+m

D.若2<a+〃<3,-1<a-人<2,则3v3〃+/?v8

【答案】BCD

【分析】举出反例即可判断A,由不等式的性质代入计算即可判断BD,由作差法即可判断C.

【详解】对于A,取。=1,〃=-2,满足。>>，但是/〈从，故3普误；

对于B,因为avOvO,不等式两边同时乘以负数。，不等式方向改变，所以/>ab,

不等式两边同时乘以负数〃，不等式方向改变，所以">从，

所以1片<abV",故B正确；

bb+m_b(a+m)-a(b+m)_bm-an_m(b-a)

对于C,因为

aa+ina(a+m)a(a+in)a^a+m)

bb+mm(h-a)八..

又因为一>----，所以-----;>0,ifija>b>0,ll[b-a<0,ni(a+m)<0,

aa+nia(a+m)

所以？nvO,故C正确;

对于D,iS：3a+b=x(<a+b)+y(a-b),即3a+/?=(x+y)a+(x-y)〃，

贝〃x_j=],解得x=2,)，=l,所以34+b=2(a+3+(a_b),

又2<a+Z?<3,则4<2(。+匕)<6,且一lva-0<2,

所以3<2(。+匕)+(。一匕)<8,所以3v3a+bv8,故D正确；

故选:BCD

3.(2025•广东湛江•一模)已知定义在R上的函数/(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=cx-a,若

VXGR,不等式/(—)+/(1-|。-1|)«。恒成立，则。的值不可能是().

A.-2025B.2025C.e2D.3

【答案】D

【分析】利用奇函数的性质求出“X)的解析式，再按。的不同取值分类讨论/(“在R上的单调性

即可求解.

【详解】囚为定义在R_L的函数”力为奇函数，且当时，f(x)=e-a,

所以当x<0时，f>0,/(x)=-f(-x)=-e-v+a,当x=0时，/(x)=0,

xe+e

-a>-e'+afBPa<,

2

因为旦£1=1，当且仅当x=0时等号成立，所以

2V22

若心1,则困数“X)在R上单调递增，

乂”,一1区X,所以/(》一|"1|)4/(1)=一/(一x),

即F(r)+f(xTaT|)WO恒成仁故满足题意，排除选项A；

若〃>1,则函数/(“在R上不单调，图象如图所示，

又f（T）+f（x-|a-l|）«O,即小一（+7小小）,

可理解为函数1）］的图象在函数/（x）的图象下方，

所以由图象可得a-1N21na,即21na—a+l«0,

令g（a）=21na-a+l（a>0）,

贝iJg（2025）-21n2025-2024v0,/?（3）-21n3-2-2（ln3-l）>0,

^（e2）=21ne2-e2+l=5-e2<0.

故选：D

2222

4.12025•广东湛江•一模）已知椭圆4：二+5=1（4>4>0）与双曲线8:二一当=13>0也>。）具

a\h\a2h2

有相同的焦点片，尸2,点P为椭圜A与双曲线8位于第一象限的交点，且|O”二g忻用（O为坐标

原点）.设椭圆4与双曲线8的离心率分别为外,则2e；+4的最小值为.

【答案】1+>/2

【分析】法一：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆的定义、双曲线的定义与勾股定理,

建立方程组，利用基本不等式的“1〃的妙用，可得答案；法二：由题意可得焦点三角形为直角三角形,

根据椭圆与双曲线焦点三角形面积的二级结论，建立方程，利用基本不等式的"1"的妙用，可得答案.

法一：因为|0"二g忻用，所以

设归用二〃7,归用=〃（不妨设机>〃），忻用|=2c,

tn+n=2q

依题意有,加-〃=2a2,a；+a；=2c2,

m2+n2=4c2

所以2（2e；+e；）=（2e（:+4）.-^+^-=3+4+^y-^3+2x/2,

\e\e27

当且仅当片二夜6；时等号成立，所以2e；+e；2|+夜，

所以24+4的最小值为1+及.

法二：因为|Ot=J耳用，所以/片夕鸟=；.

对于焦点三角形芯2鸟，根据椭圆的性质可得其面积S=身的气区=b；,

c_及心

根据双曲线的性质可得》=短？返=々，所以厅=记，

所以编一/二/一琉，整理可得」+』二2.

qe2

=3+4+理之3+2播,

所以2（2e；+e；）=（苗+e；）.~2+~2

<4

当且仅当4=夜4时等号成立，所以2e；+e；2|+及,

所以2c；+4的最小值为|+拒.

故答案为：-1+>/2.

5.（2025・广西•一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的祛俱放在

天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的祛码放在天平右盘中，再

取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（）

A.等于200gB.大于200gC.小于200gD.以上都有可能

【答案】B

【分析】用平衡条件得出x的表达式，结合基本不等式可得答案.

【详解】设大平左臂长为〃J右臂长为〃，"5>0且，〃左盘放的药品为巧克，右盘放的药品

为Z克,

100加=几丫2100/7100/72

则解得％=,X-=

/叫=100〃inn

100〃

x=x+x=-----+幽®.幽=200,

}2mnVmn

当且仅当加=〃时，取到等号，而，〃工〃，所以x>200.

故选:B

6.：2025•江西萍乡•一模)已知直线e"'x-.y(e'"+l)2+l=0Q〃eR)的斜率为3则攵的最大值为.

【答案】7^25

4

【分析】先求出直线的斜率攵=丁77，化简可得"二二7T再利用基本不等式即可求得女的

(e+1)e+42

最大值.

,e"1,11

rw-j-(e^ire^±+2-2^T+2-4,

当且仅当〃7=0时取等号，所以攵的最大值为;.

4

故答案为：

4

2Z

7.(2025•山东烟台•一模)己知正数“，>满足Y十孙，十4y2-z=0,则一的最小值为_______:当二

xyxy

取得最小值时，不等式2e'+4也，-如此120恒成立，则实数。的取值范围为.

【答案】5a^-e

【分析】由已知有三=土+”+1,应用基本不等式求最小值，注意取值条件，进而有

xyyx

2e'+2^?-adnf2o恒成立，问题化为-一丁^——在xw(0,”)上恒成立，应用导数求右侧的

x-xlnx

最大值，即可得参数范围.

【详解】由题设N=2+肛+1之2上•"+1=5,当且仅当x=2y时等号成",

xyyxyyx

所以A的最小值为5,此时不等式化为2e'+2a?—adnfN0(I>0)恒成立,

所以e'+〃(/一xlnx)20,BPex+ar(x-lnx)>0

令f")=xTnx且x>0,则=

XX

Ovxvl时f'(x)vO,x>l时/”(x)>。，

所以/在(0,1)上单调递减，在(1,e)上单调递增，

故f(x)>/(1)=1>(),则x(x-Inx)>O(x>0)

因此可得在xe(0.+oo)上，〃>——一一恒成立，

xr-x\nx

令h(x)=一一J----且1>0,

x-xlnx

gl-...八_e'C?-Enx-2x+lnx+l)_e'(x_l)(x_]_|nx)

"(x2-xlnx)2(x2-xlnx)2

令y=x-l-lnx(x>0),/=l--(x>0),

5=1_入》>0)在(0,尔)单调递增,JBL/I^-O,

.1

则HG(0,1)时，/<0,函数y=x—l—lnx(x>0)在(0,1)单调递减，

xe(l,+8)时，>'*>0,函数y=工一1一lnx(x>0)在(l,+8)单调递增，

因此可得X=1，Jmin=0,即X-1—Inx之0,

则当X€(O,1),/f(x)>0,则〃(力在(0,1)单调递增,

当工«1,+8),%工)<0,则M力在(1,+8)单调递减，

所以〃(X)皿=g)=Y,故只需心-e.

故答案为：5,a2—e

8.12025•吉林延边•一模)已知正实数x,)'满足x+y-g町=0,且不等式x+)」。>0恒成立，则〃

的取值范围是()

A.a<2B.。<8C.a<6D.a<4

【答案】B

【分析】对题目等式变形得'+'=:，再利用乘“1〃法即可得到答案.

xy2

【详解】因为正实数满足x+y—；个=0,所以：+；=g，

则:x+y=2(x+y)—+—|=22+—+—>8,

1%y)Iyx)

当且仅当x=y=4时取等号，因为不等式x+y-〃>0恒成立，所以。<8.

故选:B.

9.（2025•黑龙江哈尔滨•一模）下列命题中正确的为（）

A.若随机变曷X服从二项分布且E（3X+1）=6,则O（X）=：

17

B.若。且2々+〃=1,则1-4“〃+的最大值为77

16

C.若随机变量J服从正态分布N（0,/），且尸仔>2）=0.023,贝lJP（—2«4«2）=0.954

D.若命题“上'tR,（公一1卜2+4（l—k）x+3W0〃是假命题，则女的取值范围为（1,7）

【答案】BC

【分析】利用一项分。的期望、力差公式和期望的性质判断A,利用基本不等式判断B,根据正太

密度曲线的性质判断C,根据一元二次不等式在实数集上恒成W列不等式组求参数范围判断D.

【详解】选项A,由期望的性质匕知E（3X+1）=3E（X）+1=6,解得E（X）=g,

因为随机变量X服从二项分布8（小；）所以E（X）=g〃=g,解得〃=5,

所以D（X）=5x：x（"口二旦A说法错误；

选项B：因为由?〉（），2a+b=\,

所以+=；x4\/^（l-4\/^）+1W；xg）+1=-j^,

当且仅当卜疝而，即卜吟时等号成立，

W+E12i=1

17

所以1-4<必+而的最大值为二，B说法正确：

16

选项C：因为随机变量g服从正态分布N（（）Q2）,且*4>2）=0.023,

所以P（4<-2）=P（7>2）=0.023,所以2（一2工402）=1—「（4<-2）一夕（4>2）=0.954,c说法正

确；

选项D：若命题“3xeR,（/-1卜2+4（1―〃卜+340〃是假命题，

贝|JR,（〃2_1卜2+4（—）x+3>0,

当产-1=0时,解得比=±1,

当£=1时，3>0恒成立，满足题意；当％=-1时，81+3>0不恒成立，不满足题意；

任2-1>0

当22_1/0则｛2/,、，解得1<女<7,

（4（1一知-4付-1卜3.0

综上A的取值范围为［1,7）,D说法错误；

故选：BC

10.（2025•云南昆明•一模）已知函数〃x）=M+而的图象与y=。有两个交点，则。的最小值

为■

【答案】3

【分析】由函数解析式可知/（%）为偶函数，再结合对勾函数性质以及基本不等式可求出函数单调性,

利用偶函数对称性画出函数图象，采用数形结合求得。的取值范围可求得结果.

【详解】根据函数解析式〃x）=N+而可知函数的定义域为R,

且满足/（-x）T-R+昂1=卜|+口莆=/（耳，故得"X）为偶函数，

当xe［0,+co）时，可得“x）=x+，i*=x+l+—^j-l>2^（x+l）---1=3,

4

当且仅当x+l=—即x=l时，等号成立，

x+1

由对勾函数的性质可知：函数/（<）在［。⑴上单调递减，在。,m）单调递增，

且在x=l时，〃力取得最小值:/Wmin=/（0=3：

由对称性可得"7）=3,又/（0）=4；

再由偶函数性质可知其图象如下图所示：

因函数/（力的图象与y=〃有两个交点，由图象可知。=3或〃>4；

因此。的最小值为3.

故答案为：3.

题翌05利用基本不等式求最值

1.(2025•云南昆明•一模)悬链线是一根目睹均匀的绳子或铁链两端固定在水平杆上，受重力的作

用自然下垂后形成的曲线，建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为

/(x)=f/coshf-\^>0),其中cosh(x)=*二，则下列说法正确的是()

A./(力是偶函数B./(”在(YO,^)上单调递增

C.VxeR,f(x)>aD.cosh(2x)=2[cosh(A)]"-1

【答案】ACD

【分析】对A,根据偶函数的定义判断；对B,通过导数可判断；对C,由基本不等式判断；对D,

直接计算可判断.

【详解】对A由题知〃x)=a8sh—l=«-(。>0)定义域为R,

所以立产=/3,/(X)是偶函数，故选项A正确•

对B,函数cosh(x)=c-—的导数(cosh(x)/=--一,

所以当xe(fo,0)时(cosh(.r))'<0，当xe(。，”)时(cosh(x))'>0，

所以cosh(x)=《上单调递减区间为(-8,0),单调递增区间为(0,+8).

2

乂。>0,所以函数'=£在(F,。)单调递增，

a

由复合函数的单调性，可知/(X)在(TO,0)上单调递减，故选项B错误.

对C,由基本不等式可知当且仅当x=0时取等号，故选项C

正确.

对D,cosh(2x)=-----------

c+ee+e+21+e-2

2[cosh(A)]--1=2t-1=-----------------e1=-----------

2~22

则cosh(2x)=2[cosh(x)]"-1,故选项D正确.

故选：ACD.

32

2.（2025•安徽•一模）已知+则、+了的最小值为（）

A.2&B.屈C.2aD.2石

【答案】D

31,2

【分析】先化筒得出一+—=Yy,再应用基本不等式计算上十二的最小值即可求解.

xy㈠y）

31

【详解】已知x>0,）>0,x+3y=.d），2,所以:+]=/）1

mj32丫941294n3）9429「一二s

则—I—=—r4-=-4——I—=—z-d—xy=—+4x>25/36=12,

I*y）x~y~xyx~八），x）x-yx~

3ol

所以一+二22坦，

工y

当且仅当与=4f,即工=直，产处亚时等号成立，所以三+2的最小值为26.

尸233y

故选：D.

3.（2025•江西•一模）已知事函数〃力=0/一6〃+9）/3在（（）,+g）上单调递增，若正数〃、满足

43

3a+4b=n,则一+二的最小值为_________.

ab

【答案】12

【分析】由辕函数的定义与单调性可得出关于实数〃的等式或不等式,解出〃=4,可得出“+助=4,

将代数4式与3代数式I;（3。+%相乘，展开后利用基本不等式可求4得的4最小值.

【详解】因为基函数/（"=（〃2-6〃+9）/3在（0,也）上单调递增，

n2-6〃+9=1

则解得〃=4,

〃-3>0

正数。、6满足3"帖=4,则：+泊伽+4幅中24+,等

19a16〃

24+2=12,

4ba

9a16/7

2

~b~~aa--

:时，等号成立,

当且仅当《3。+48=4时，即当­

a>0、b>0b=—

2

43

因此'g的最小值为12.

故答案为：12.

4.（2025•山西吕梁•一模）正数为y满足x+y=盯,则x+9y的最小值是

【答案】16

【分析】根据给定条件，利用基本不等式"1"的妙用求出最小值.

【详解】由正数昌y满足x+）'=u,得'+'=1,

则H+9y=(―+--)(x+9y)=10+—4--210+2—•—=16»

xy