2026高考物理总复习讲义含答案解析-第4章 重难突破5平抛运动的综合问题

重难突破5n平抛运动的综合问题

四黑”•探考点»»BI型规律方选

突破点一与斜面有关的平抛运动问题

与斜面有关的平抛运动的三种情境分析

模型方法基本规律

水平：vx=vo

竖直：vy=gt

分解速度，构建速度三角形，找到斜合速度：

网面面倾角。与速度方向的关系

V=Jvx2+vy2

方向：tan0=-

Vy

水平：Vx=V0

竖直：Vy=gt

合速度：

1分解速度,构建速度的矢量三角形

•

v=jvx2+vy2

方向：tan0=—

Vx

模型方法基本规律

水平：x=vot

；瓦好・函】

5竖直：y=好

!点水Hti分解位移，构建位移三角形，隐含条

:出H落在］合位移：

邂”步件：斜面倾角瞪于位移与水平方向的

22

夹角s=Jx+y

方向：tan0=-

X

顺着斜面的平抛运动

【例1】（2025•贵州遵义三模）可视为质点的运动员从尸点以w的速发水平飞出，若不计空气阻力，运动员在空中

飞行3s后落在斜面.匕0点。简化示意图如图所示，已知sin37°=0.6,cos37°=0.8,g取lOm/sz,则运动员

由Q到。的过程中（）

A.水平初速度大小为30m/s

B.水平初速度大小为20m/s

1/10

C.尸到。的位移大小为45m

D.P到Q的位移大小为60m

答案：B

解析：运动员由尸到。的过程中，有tan37°=近=菱，可得水平初速度大小为叩=鼻7=20m/s,故A错误，

匚I?ot2Vo2tan37°

B正确；运动员由尸到0的过程中，水平位移为x=w=6（）m,则尸到。的位移大小为$=^^=75m,故C、D

错误。

口教兔独具

如图所示，从倾角为。的足够长的斜面顶端P以速度vo抛出一个小球，落在斜面卜.某处。点，小球落在斜而卜.的

速度与斜面的夹角为呢若把初速度变为3w,小球仍落在斜面上。下列说法中正确的是（）

A.小球在空中的运动时间不变

B.P、。间距是原来的9倍

C.夹角a与初速度大小有关

D.夹角a将变小

解析：B位移与水平方向夹角的正切值tan0=酬=詈，则小球在空中运动的时间f=迎则，若初速度变为原来

的3倍，则小球在空中运动的时间变为原来的3倍，这样竖直位移或水平位移都变为原来的9倍，P、。间距变为

原来的9倍，A错误，B正确；速度方向与水平方向夹角的正切值tan〃=史，可知速度方向与水平方向夹角0的正

v0

切值是位移与水平方向夹角。正切值的2倍，小球落在斜面上，位移方向相同，则速度方向相同，可知夹角。与初

速度大小无关，C、D错误。

对着斜面的平抛运动

【】2】如图所示，斜面倾角为0=30°,在斜面上方某点处，先让小球（可视为质点）自由下落，从释放到落到斜

面上所用时间为力，再让小球在该点水平抛出，小球刚好能垂直打在斜面上，运动的时间为⑵不计空气阻力，则

F为（）

*2

A立B血C-D匹

10->/2。2Dy

答案：D

解析：设小球水平抛出的初速度为回，则打到斜面上时，沿竖直方向的分速度〃=E=g/2,水平位移X=M）/2,抛

,tan。0

出点到斜面的竖直高度仁合+―缶+手=等又仁/2,解得,广等仁等则户黑口正

确。

2/10

突破点二与曲面有关的平抛运动问题

与曲面有关的平抛运动的三种情境分析

运动情景物理量分析

tan。=上=更一

VxVOg

在半圆内的平抛运动，

%r„OR

1R+、R2f2

R+JR2—h2=vo/—>/=-----

运动情景物理量分析

小球恰好从圆柱体的。点沿切线6过，此时半径垂直于速度方向，圆心角

n可。与速度的偏向角相等

【奂3］如图所示，在竖直放置的半球形容器的中心。点分别以水平初速度力、P2沿相反方向抛出两个小球1和2

（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的力点和〃点，已知。4与互相垂直，且CM与竖直方向成a角,

则两小球的初速度之比”为（）

A.tanaB.cosa

C.tanctVtanaD.cosay/cosa

答案：C

解析：两小球被抛出后都做平抛运动，设容器的半径为R,两小球运动的时间分别为小力。则对小球1有Rsina

22

=VI/H/?COS«=^gt1,对小球2,有Rcosa=V2,2，7?sin«=^gt2»解得两小球的初速度之比为j=tan而，故

C正确。

□教。独具

〔多选〕（2025•广西南宁模拟）如图所示，四分之一圆弧面的半径及与斜面的竖直高度相等，斜面的倾角为

60°,圆弧面的圆心为图中。点，在斜面的顶端力点将多个小球以不同的水平速度抛出，设小球碰到接触面后均

不再反弹，已知重力加速度为g,则以下说法正确的是（）

A.小球有可能垂直打到圆弧面_L

B.小球抛出的初速度越大，则运动时间越短

3/10

C.小球抛出的速度等于时，运动时间最长

D.若小球抛出的速度小于行，则落到接触面时速度偏角均相同

解析：AD如图所示，根据平抛运动的推论，速度方向延长线交于水平位移的中点，当圆心。为图中水平位移

/⑷的中点时，小球垂直打在圆瓠面8点，故A正确：根据〃=氐凡当小球打在斜面上时，小球抛出的初速度越

大，小球下落高度越大，小球运动的时间越长；当小球打在圆弧面上时，小球抛出的初速度越大，小球下落高度

越小，小球运动的时间越短，故B错误；当小球刚好落在O点正下方时，下落高度最大，运动时间最长，则有R

=*凡焉=%3联立解得叩=用故C错误；由以上可知，若小球抛出的速度小于旧，小琮均落在斜面

上，根据平抛运动推论可知，落到斜面上时速度偏角均满足lan9=2tan60°=2於，即落到接触面上时速度偏角

均相同，故D正确。

突破点三平抛运动中的临界极值问题

1.常见的“临界术语”

（1）题目中有“刚好”“恰好”“正好”“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存

在临界点。

（2）题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值。

2.平抛运动临界、极值问题的分析方法

（1）确定研究对象的运动性质：

（2）根据题意确定临界状态；

（3）确定临界轨迹，画出轨迹示意图；

（4）应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。

平抛运动的临界问题

【例4】如图所示，窗子上、下沿间的高度〃=1.6m,竖直墙的厚度d=0.4m,某人在距离墙壁乙=1.4m、距窗子

上沿〃=0.2m处的P点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并

落在水平地面上，不计空气阻力，重力加速度取g=10m/s2,则可以实现上述要求的速度大小是（）

A.2m/sB.4m/s

C.8m/sD.10m/s

4/10

答案：B

解析：小物件做平抛运动.恰好擦着窈子卜沿右侧墙边缘穿过时速度V最大。此时有/.=Vm山I.力=氐匕2.代入数

2

据解得Wm=7m/S,小物件恰好擦着窗口下沿左恻墙边缘穿过时速度V最小，则有£+d=Vmin/2,//+/z=^gt2,代

入数据解得Umin=3m/s,故丫的取值范围是3m/sWi，W7m/s,故B正确，A、C、D错误。

平抛运动的极值问题

【例5】某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示。模型放到0.8m高的水平桌子上，最高点距离水

平地面2m,右端出口水平。现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌

面的高度应设计为（）

A.0B.0.1m

C.0.2mD,0.3m

答案：C

解析：设最高点距离水平地面的高度为“，右端出口距离地面距离为人小球从最高点到右端出口，根据机械能守

恒定律，有〃7g（〃一万）=}〃廿，从右端出口飞出后小球做平抛运动，有X=力=氐凡联立解得工=

2^（H-h）h,根据数学知识知，当，一/?="时，x最大，即力=lm时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面

高度为M=1m—0.8m=0.2m,故C正确。

O培养“思维”・■落实»»物鼻・使封华

夬1综合综

1.（2025•安徽蚌埠三模）如图为某运动员自由式滑雪训练场景示意图，运动员从跳台a处沿水平方向匕出，在斜

坡人处着陆，如果其在空中运动过程中与斜面间的最大距离为?m，斜坡与水平方向的夹角为30°,重力加速度

g取10m/s2,则其从。处飞出时的速度大小为（）

A.1（）73m/sB.56m/s

厂10V3,c5々/

C.---m/sD.——m/s

33

解析：A将运动员在。处的速度及重力加速度g分解为垂直于斜面方向和沿斜面方向，则沿垂直于斜面方向，当

2

运动员到达距离斜面最大高度时，有功=’:加心：：=^m,解得々=1（）bm/s,故选A。

2.（2025•福建福州期末）如图所示，以水平初速度宣）=10m/s抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为

60°的斜面上。不计空气阻力，重力加速度取g=10m/s2,则物体完成这段飞行的时间是（)

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A.-ysB.1sC.V3sD.2s

解析：A物体撞在斜面上的速度与斜面方向垂直，将该速度分解，如图所示。由于不计空气阻力，因此物体水平

方向的速度仍为内，设物体竖直方向口勺速度为四,则tan600=四=坦空，此外，由于物体竖直方向只受到重力，

VyVy

因此竖直方向的加速度为重力加速度g,且物体竖直方向的初速度为零，则有3,=印，联立两式解得/=?s,故选

Ao

3.(2025・四川德阳一模)如图所示，在竖直直角坐标系内有一高度为8m、倾角为37°的斜面，将小球从+了轴

上位置(0,8m)处沿+x方向水平抛出，初速度为4m/s,g取lOm/s?,则小球第一次在斜面上的落点位置为

()

A.(3m,4m)B.(3m,5m)

C.(4m,5m)D.(4m,3m)

解析：D设小球第一次在斜面上的落点位置为(x,y),小球在空中做平抛运动，水平方向有x=iw，竖直方向

有次一了=权》,其中w=4m/s,yo=8m,又由几何关系可得tan37：=[,联立解得x=4m,y=3m,故选D。

4.(2025•里龙江哈尔滨期中)如图所示，圆环竖直放置，从圆心。点正上方的P点，以速度w水平抛出的小球恰

能从圆环上的0点沿切线方向飞过，若0。与OP间夹角为0,不计空气阻力，重力加速度为g,则()

A.圆环的半径为R=-^-

gcosJ

B.小球从P点运动到。点的时间/二罟

C.小球从P点运动到Q点的速度变化最孤

D.小球运动到。点时的速度大小为vQ=^

6/10

解析：A以速度\，o水平抛出的小球恰能从圆环上的0点沿切线方向飞过，小球运动到。点时的速度大小为依=

焉.故D错误：小球在。点的竖直方向的速度为\@,=v°tan，,小球从0点运动到0点的时间，=詈=巴詈.故R

错误；小球水平方向做匀速直线运动，有Rsin9=wh联立可得圆环的半径为R=M，故A正确；小球从尸点运

动到。点的速度变化量Av=gZ=v（）tan0,故C错误。

5.（2025•江西赣州期末）如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为y=f,在y轴上有一点P,坐标为

（0,6）。从P点将一可以看成质点的小球水平抛出，初速度为lm/s。不计空气阻力，g取10mW,则小球打在

曲面上所用时间为（）

硒痣川

A.1sB.^s

C.—2-sD.—2s

解析：A小球做平抛运动，则打在由面上时，竖直方向位移为〃=太凡水平位移工=也3则小球的坐标为

（%36m—9），小球打在曲面上，满足曲面方程将小球坐标代入曲面方程，解得1=1s,故A正确,

B、C、D错误。

6.如图所示，乒乓球的发球器安装在水平桌面上，竖直转轴00距桌面的高度为爪发射器0%部分长度也为人

打开开关后，可将乒乓球从4点以初速度vo水平发射出去，其中阿演元设发射出的所有乒乓球都能

落到桌面上，乒乓球自身尺寸及空气阻力不计。若使该发球器绕转轴。9在90°角的范围内来回缓慢水平转动，

持续发射足够长时间后，乒乓球第一次与桌面相碰区域的最大面积S是（）

A.27th2B.3nh2

C.4瓶2D.8n/r

解析：C根据平地运动规律"=改凡解得』=后，以最小速度诉发射的乒乓球，水平位移最小，为占=

vM=j2gh义音=2h,对应的与桌面相碰区域的;圆半径为门=〃+第=3分，以最大速度丫2=2及正发射的乒乓球，

水平位移最大，为X2=\'2，=2j2ghXp=4h,对应的与桌面相碰区域的押半径为/2=〃+工2=5%，乒乓球第一次

与桌面相碰区域的最大面积S=，[（5/?）2—（3/?）2]=4n/?2,故C正确。

7.〔多选〕（2025•山东荷泽期中）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，为水平直径，。为圆心，同时从4点水

平抛出甲、乙两个小球，初速度分别为环、V2,落在轨道上的。、D两点,OC、O。连线与竖直方向的夹角均为

30°,忽略空气阻力，两小球均可视为质点，则（）

7/10

A.甲、乙两球同时落到轨道上

B.vi：V2=H3

C.乙球的速度变化量比甲球的大

D.乙球在D点速度的反向延长线一定过。点

解析：AB两个小球下落的高度是相等的，根据力=氐凡又Ai，=g，，可知甲、乙两球下落到轨道的时间相等，速

度变化相等，故A正确，C错误；设圆形轨道的半径为尺,则甲水平位移为xi=R-Rsin30°=0.5R,乙水平位移

为X2=R+Rsin30°=1.5〃，可得力=3占，水平方向做匀速直线运动，则有也：口=1：3,故B正确；。点速度

反向延长线过水平位移中点，所以乙球在。点速度的反向延长线不过。点，故D错误。

素养提升综

8.（2025•云南昆明模拟）如图所示，从高H=5m处的力点先后水平抛出两个小球1和2。球I与地面碰撞一次

后，恰好越过位于水平地面上的竖直挡板落在水平地面上的E点，已知碰撞前后的水平分速度不变、竖直分速度

等大反向。球2的初速度的=3m/s,也恰好越过挡板落在£点，忽略空气阻力，取重力加速度g=10m/s2。下列

说法正确的是（）

A.小球2的水平射程为5m

B.小球1平抛运动的初速度为1.5m/s

C.抛出点A与竖直挡板顶端D点的高度差A=jm

D.抛出点A与竖直挡板顶端D点的高度差4=1.25m

解析：D根据，=那，尸i，“，小球2的水平射程为x=3m,A错误；两球均落到E点，根据沏称性可知，小球

1和2运动总时间之比为t\:/2=3：1，小球1落至。点的水平位移为x\=~1m,小球1平抛运动的初速度为ri

=半，得n=lm/s,B错误；球2运动至挡板顶端力与球1从挡板顶端。运动至最高点的时间相同，则对应的水

平方向位移之和为山后十以后=2m,得抛出点力与竖直挡板顶端。点的高度差为刀=1.25m,故C错误，D正

确。

9.（2025・湖北荆州期末）如图所示，斜面倾角为"位于斜面底端［正上方的小球以初速度如正对斜面顶点8水

平抛出，小球到达斜面经过的时间为，，重力加速度为g,"到斜面底边的竖直高度为从则下列说法中正确的是

（）

A.若小球以最小位移到达斜面，则，=迎配

9

B.若小球以最小位移到达斜面，则％=伸sin。

C.若小球能击中斜面中点，则/=华

8/10

D.若小球垂直击中斜面，贝卜=皿”

9

解析：B过抛出点作斜面的垂线。，如图所示，当小球落在斜面上的。点时，位移最小，设运动的时•问为/,

则水平方向，有x=M）f,竖直方向，有凡根据几何关系有土=tan。，则有排=tan。，解得/=碧，故A错

误；由A选项可知vo=x患，由几何关系可得此时竖直方向位移y=〃cos9cos6=〃cos2。，水平方向位移x=

HeosRin仇由以上可知物=楞出仇故B正确；若小球能击中斜面中点，小球下落的高度设为/?,水平位移设

为巾，则由几何关系可得tan8=2=2Y=誓，解得。=虫幽匕故C错误；小球垂直击中斜面时速度与竖直方向

勺voh2”o9

的夹角为仇则tan。=生，解得/=，句，故D错误。

必gtarS

?¥..豺人..卢

•飞w.卢尹

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A

10.（2025・沏北武汉模拟）如图所示，倾角为37°的斜面固定在水平面上，小球从斜面上M点的正上方0.2m处

由静止下落，在〃点与斜面碰撞，之后落到斜面上的N点。已知小球在碰撞前、后瞬间，速度沿斜面方向的分量

不变，沿垂直于斜面方向的分量人小不变，方向相反，sin37c=06,cos37c=。V，重力加速度人小取g=10

m",忽略空气阻力，则小球从“点运动至N点所用的时间为（）

A.0.2sB.0.3s

C.0.4sD.0.5s

解析：C由自由落体运动公式俨=2劭，得小球到M点的速度大小为v=2m/s,以沿斜面方向为x轴，以垂直于

斜面方向为y轴建立坐标系，如图所示。贝!尸vcos37°=1.6m/s,vv=vs