2026届高三一诊模拟考试数学试题（含答案）

重庆市育才中学高2026届一诊模拟考试

数学试题

（本试卷共150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上

无效。

3、试卷由圈”整理排版。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合口={1,2,3,4,5,6},A={\,2,3},8={3,4},则（Q/0n（Cg）=（）

A.15,6}B.{1,2,4,5,6}C.{1,2,5,6}D.{3,4,5,6}

2.已知，•为虚数单位,则复数2=持在复平面内对应的点位十（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知平面向量G=（1，2）,b=（-1»3）,若（入&+1（入,一族），则入=（）

A.±2B.±|C.±yD.±V2

4.已知{%}为等差数列，其前〃项和为9,2a4+a7=a2+a10+3,则S5=（）

A.10B.15C.20D.30

5.函数）可J）部分图象如图,则f（工）可能是（）

cosx

-“、COSX„，/、sin2x「，/、

4/«=—fW=—C./(x)=D.f(x)=x2sin2x

6.已知正方体力BCD-48iC]Di棱长为1,过点8、仇的平面截正方体所得截面为菱形时，该截面的面积为

（）

A.vB.-C.V2D.V6

24

7.将函数/（%）=sin（dx（co>0）的图象平移得到g（x）=sin（cox-三）的图象，且直线％?为曲线产g（x）在

y轴右侧的首条对称轴，则上述的平移方式可以是（）

A.向左平移;个单位B.向右平移:个单位

C.向左平移9个单位D.向右平移;个单位

8.已知实数处人均不为0,函数f(x)=a，n(盘g+b(x-l)在某个关于原点对称的区间上恰有两个极值点

X1，工2，则/(%1)+/(%2)=()

A.laB.-2aC.2bD.-2b

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.近年来，巫溪县大力发展生态农业，蒲莲蜜柚因其形大、汁多、味甜深受消费者追捧.己知某批次蜜柚的

重量(单位:克)X~N(1500,2OO2),P(|X-1500|<200)=m,规定重量不小于1300克的蜜柚为合格品，重量

在1500克到1700克之间的蜜柚为优等品.现从该批次蜜柚中随机抽取一个，下列说法正确的是()

A.该蜜柚是优等品的概率为三

B.该蜜柚是合格品的概率为耍

C.若该蜜柚重量大于1500克，则其为优等品的概率为〃？

D.若该蜜柚是合格品，则其重量不小于1500克的概率为就

10.抛物线必=4%的焦点为凡准线为/,过尸作斜率大于0的直线m与抛物线交于点A(位于第一象限)

和点B,交/于点R,APlh垂足为尸，\PF\=\AF],下列说法正确的是()

A.直线机的斜率为遍B.|PQ=|RQ

C.|.4F1=2|/?F|D.S^APB=胃

11.如图，已知锐二面角P-AB-Q大小为a,P为定点，N为上的动点，设PN=x,PN与AB所成的角为仇

PN与平面48Q所成的角为0,PN在平面A8Q上的投影与48所成的角为丫，下列说法正确的是()

A.0<pB.0<a

C.cosO-c,。邓的值随x增大而增大D.当且仅当;<a<]时，存在点N使得。=/

三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.

12.(2-3x)7的展开式中，各项系数的和是.

13.过点(1,0)作圆/+、2+以一6丫+4=0的切线，则切线长为.

14.若kWN,正整数71=耿•2"+a"i•2”TT----1--2+a0,其中瞅=1，Q"-i，…%，劭€{0，1}，则

ann

(kk-i。1。0)2为的二进制表示.记似九)=a.k+(ik_1+•••4-at+a0.则m(11)=：rn(1)

+co(2)+…+(o(31)=.

四、解答题:本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)在重庆轨道交通故障排查演练中，三名工程师分别检查三个不同的系统，假设甲发现故障的概率

为j乙、丙两人同时发现故障的概率是!甲、丙两人均未发现故障的概率是(目.三人各自能否发现故障相

Z68

互独立.

(1)求乙、丙两人各自发现故障的概率；

(2)用X表示三人中发现故障的人数，求X的分布列和期望EIX).

16.(15分)如图，已知圆锥尸。,43为底面圆0的直径，点C在圆。上(不同于A,=而=入前

«5

(0<A<1).

(1)若a=g,证明：4。〃平面OCE;

(2)若%=4B=2RC=4,平面平面求人的值.

17.(15分)如图，ZUBC中，。为BC上一点，8。=4,DC=2.

(I)若NBD4为钝角，△人8。与△人。C均为等腰三角形，求“8。的面积;

(2)^cosZ-BAC=—6,AD1BC,求AD.

18.(17分)如图，椭圆(a>b>0)的离心率为《且经过点Q(2,&)，F)(-c,0),Fi(c,

0)是其左、右焦点，直线/:严乙+/(Q0,/>0)与。相切于点A.

(I)求椭圆C的标准方程；

(2)记B，B到直线/的距离分别为力，立,请问力在是否为定值?如果为定值，求出此定值；如果不为定

值，请说明理由；

(3)已知宜绞下九(九<-〃)与x轴交于点P,与/交于点6(6在x轴上方)，过A,6分别作直线4-c的垂线，

垂足分别为M,N,记NMPN=a,/PMN邛.求证:存在入，使得时;t=2tan^.

19.(17分)已知函数/(x)=s加x-xcosx,数列｛%｝满足臼=且Qn+i=/(an)(neAT).

(1)判断函数/⑴在区间(0用上的单调性；

(2)证明:当％G(。用时，0勺>(x)<x;

(3)设b〃=W，证明：对任意且〃£N・，有勾〈吃.

参考答案

题号12345678

答案ADDBBACD

题号91011

答案ABCABDABD

题号121314

答案-133,80

15.（13分）解：（1）记乙、丙各自发现故障为事件A,4？，由于事件相互独立,

则有尸(A)P(4)=9fi-lVi-P(A2)]=1,解得P(A)=|,p(&)4

0\乙)o

21

所以乙、内两人各自发现故障的概率分别为一，一.

34

(2)X的可能取值为0,1,2,3

…八、1131

P(X=0)=—x-x—=—,

2348

D/vn1131231115

23423423412

23)111213

2342342348

P(X=3)=—x—x—=—,

23412

X的分布列为

X0123

P531

8n8n

153117

E(X)=O--+1-—+2-+3—=—.

81281212

16.（15分）解：（1）取夕E中点凡并设CE与BD交于点G,连接OG,DF.

由4=」知。为PC中点，又F为PE中点、,则。尸〃C£

2

易知E乂为3尸中点，则G为中点.

因为O为A8中点，则OG〃4。.

因为4。仁平面OCE,OGu平面。CE,

则〃平面OCE.

p

(2)因为。在圆周上，AB为直径，则AC_L8C,同时，由圆锥知PO_L平面48C,

则以C为原点，CB、C4、过。与尸0平行的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。/yz.

因PA=A3=23C=4,

则C(0,0,0),40,26,0),3(2,0,0),PQ,瓜26),。(九行/1,26/1).

故CB=(2,0,0),CP=(1,C),AB=(2,—26,0),80=(4-2,百428;I),

设平面PBC的一个法向量机=(.y,zJ.

w-CB=0X=0,

则=>

w-CP=0X+6y+2>/Jz]=0,

不妨取y=2,则加=。2,-1).

设平面A3。的一个法向量〃=($,%,z,).

n-AB=02X2-2\/3y2=0,

则《=

h-BD=0(A—2)x)+\/3/ly9+=0,

不妨取&二百，则/i=-1.

A7

若平面A3。_L平面尸8。，则近•日=0,

即2-1i1=0,解得2=.

43

故4的值为二.

3

17.(15分)解：设A3=c,AC=b,

(1)因为N8DA为钝角，△ABZ)为等腰三角形，所以AD=BD=4,

又因为△AOC为等腰三角形，所以AC=4或AC=2(舍去)，

△ADC中，由余弦定理知，cosC=16+4-16=-,

2x2x44

从而可得sinC=Vl-cos2C叵

丁

由此可得5.八80=3。8­。15吊。=3岳.

由cosNBAC=在，得sin/BAC二画，叵

（2）解法1：S/^ASC=-ABACsinNBAC二

662~6~

-bcsinZBAC=-BCAD,得比=2%。,

225

再由cosN8AC=也知，cos（ZABC+ZACB）=,

66

且cos（ZABC+Z.ACB）=cosNABCcosZ.ACB-sinNABCsin/.ACB=-----^―

cbcbbe

贝ij〃c一遥（AZ）2—8）,

所以有^^AO="（A£>2—8）,得AO=2右或AO二—撞（舍）.

55

解法2：一方面，△ABC中，由余弦定理知从+。2-36=2"•业=逅儿：

63

一1一2———（\2\

另一方面，4。=一43+—4。且4。，。8,因此可得（AB-ACA-A3+-AC=0,

33133,

可得6/+而（：-12从=0,则（2c-病）（3c+2病）=0,所以c="〃，

2

带入从+。2-36二c=6,可知AQ=2\/5.

口也

18.解：（1）由椭圆的离心率为4及椭圆经过点。（2,、技）知・/=8

Ver2解得《，，因此椭圆方

2y=4

4+4=i

a~b~

22

程为x土+2■y

84

77

xy

(2)联立(尻+工，得(1+2二卜？+4依+2/一8=0,设A(*yQ,

y=kx+t

由直线与椭圆相切知△=（4切2一40+2-）（2产-8）=0,得8k2—『+4=0,即1+2公=?.

则K，8与与直线/的距离一：八'I,4二隼2,

\J\+k2y/\+k2

|（-2攵+。（2攵十。|『-4回四+4-4灯4（1+*）

则4"『后内="^=一1+公=下歹=4

故44是定值，为4.

-2kt-2kt一弘,4一824

（3）由（2）可得勺=7,yA=kxA+t=-，即A

1+2攵2PI4

7

因此可得”（一2,；

，8（4,初十1），N(—2,2k+f),

4Xk+t

(-2-X)t-2-Z-4(2+2)+(2+A)Atk+(2+A)r

因此tana=tan(NMPF、-4NPF、)=—

4-+f[(2+4)2+41+4/U

14

(—2—A)t(—2—4)

-4(2+2)+(2+Z)M+(2+2)r2

若tana=A,则

[(2+4)2+41+4及

即(412+2"—产+4)丸=2)一84—8.

/2J

假设2灯+4/一产+4=0,因为1+2二二—，得f=2Z,代入1+2%2=_得1+/=。，矛盾,

44

2r

所以2k+4代一产+4工()，所以2=---:,=-4,

2h+4-2—产+4

从而有tanp=।^।-2-Z_(-2-2)r

442即，=2tan"

%7

故存在4=-4,使得A=tana时r=2tan4.

19.(17分)解：(1)f\x)=cosx-[cosx+x(-sinx)J=xsinx,

当时，x〉0,sinx>0,r(x)>0,故/(x)在(0段上单调递增.

(2)由⑴可知/(X)在(0卷上单调递增，故当<0微时，/(x)>/(0)=0.

法一：要证sinx-xcosx<x,即证sinx-xcosx-x<0$.

构造函数g(x)=sinx-xcosx-x,

则g(x)=cosx-cosx+xsinx-l=xsinx-1,g"(x)=sinx+xcosx,

当xw(0,1时,g"(x)=sinx+xcosx>(),故g'(x)在xw(07,1.上单调递增.

2

又因为/(0)=-1,^^yj=y-l>0,

由零点存在定理，存在唯一小£0,1,使得g'(Xo)=O,

在(0,毛)上，gr(x)<0,g(x)单调递减；在卜o，g)上，g'(x)>0,g(x)单调递增.

又因为g(0)=0,=所以在上，g(x)vO,

12J2\2_

所以sinx-xcosx-x<0,即sinx-xcosx<x.

.sinxx(八Ji

<x<=>s1nx-xcos<=>-----------<x<=>tan—<x,xe\0,—

1+cosx2v2

令'室(哈

即证tan/<21,

构造函数g«)=2f-tanf,/e|0,—,则g'(f)=2------>0,

V4」cos-x

故刎在(0二单调递增，g«)>g(o)=o,即tanfv力,re|0,-,得证.

I4」I4」

(3)因为4=(,由(2)可知0<4川=/(。〃)<。〃，迭代可知0<。〃

法一：引理I：,sinx<x.

令r(x)=x-sinx,则，(x)=l-cosx>0,

故r(x)在0,—单调递增，于是r(x)>"0)=0,得证.

I2

引理2：VxG0,—,cosx>1-----.

I2」2

厂

令r(x)=cosx+-----1,则f'(x)=-sinx+x,

2

由引理1f(x)=-sinx+x>0,故，(x)在(0二单调递增,

所以«x)>«0)=0,得证.

引理3：V/?GN+,------y>-.

an+\an3

%+ian3(sina”-a”cos%)一4314J

由引理1和(2),0<sinan-ancosan<an-ancosan=a”(1一cos%,

]__________J_>]________1

sin4一a,cosq『《a；t(1-cos4『a；

于是只需证：-------

!------7-4->i<=>a；+3)(1-cos/)?-3<0.

^(1-cos^y可3

由引理2,0<l-cos«<^-t

2

于是只需证：■“2+3).3_一3〈0。4「+3q4-12<0.

2

令人0二，即证/+3”-12<0.

:16

构造函数：以工)=产+3/-12(f>0),则〃⑺=3/+6，>0,故/?⑺在区间(0,+8)上单调递增,

所以〃(f)W力—</?(1)=-8<0,得证.

l16J

由引理」71j_、1n-\16n-\4n+3...

江—T>-----+—>------+-=------(/?>2),

可*：=)3/333

当〃=1时，」7=二>3也成立.

a~7T3

法二：先证引理：-5——V>->V/?eN*.

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111111M,/.