2026届河北地区2025-2026学年高三年级上册11月期中考试数学试题（含答案）

2026届河北地区高三期中考试数学试题

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知系数z=2+i,则行-3i|二

A4B.26C.5D.4遮

2

2.已知集合A={x|log2|x|<1],B=[x\-x+3x-2>0}，则AA(CR8)=

A(-2,0)U(0,1)B,(-2,1)C.(-2,0)D.(0,1)

3.已知平面向量a=(2,2),a+2b=,则匕在a方向上的投影向量为

A..-1aBr>.一一1aC「.—近aDc.冉a

4444

4.设a==log53,c=85，则下列结论正确的是

he<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.a<b<c

5.已知一正三棱柱的底面边长为3,其内部有一球与其各面都相切，则该正三棱柱的外接球的表面积为

A157TB.457TC.307rD.60TT

6.若0Vav],0v6Vpcos(a+6)=1,sin~f)=卷，则cos(a+g)=

A.立C噌D.±

23657

7.设数列｛%｝的前71项和为外,Sn=个,%=a，数列协J的前几项和为〃，若不等式7；>m+

W-3对任意的neN•恒成立,则实数m的取值范围为

A(-8，胡B.(-oo,2)C.(-oo,3)D.(-8,4)

8.己知a,b,c是△ABC的三条边旦a<b<c.设函数/1(x)=axbx-cx,则下列结论中错误的是

A.存在正数与不能作为一个三角形的三条边长

B.存在汇>1,产,炉,/能作为一个直角三角形的三条边长

C当△力8c是钝角三角形时，函数人均有零点

D.存在%€（0,1）,使得/（x）W0

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的

得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.下列说法错误的是

A.若是函数y=（m2-2m-2）xm在（0,4-oo）上单调递减，则m=3

B.“向量a与向量b共线”是“存在AGR,使得a=2b”的充要条件

C若a,/?的终边不相同，则cosa工cos/?

D.在△4BC中,角4,B,C的对边分别为a,■c,则“a>b"是"sin4>sinB且cosAVcosB”的充要条件

10.如图，已知正方体/8C0的棱长为4,M,N分别是/D,CCi的中点,P是线段718上的动点,则下列

说法正确的是

A.平面PMN截正方体所得的截面可能是五边形

B.△MPN一定是锐角三角形

C.当P与4点重合时，取Q为正方形ABCD内（含边界）一点满足平面4QQ1平面PMN，则A.Q的最小值为

2V5

D.PM+NP的最小值是2百

11.数列｛an｝满足前两项都是1,之后每项都等于它前面两项之和,这就是著名的斐波那契数列.若｛an）的前〃项

和为S”,则下列结论正确的是

A=a7a9+1

B.存在实数A，使得｛an+1-Aan］成等比数列

C.S2022+1=。2024

D.C%+C}9+C?8+Cf7+Cj6+C?s+C?4+CL+C?2+C?i+C;g=a20

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若命题“Vx6(0,6],x+；>a”为假命题，则实数a的取值范围是一.

13.己如函数/(x)—(依—2a)(ln%—2b),若/(x)>0恒成立，则a—b的最小值是.

14.已知在三棱锥力一BCD中，BAlAC,^DAB=-,^.CAD=~,48==夜,4C=1,P,〃分别是直线

34

AB和AC上的动点，存在实数A，使得AAP+(1-A)AQ=AB+^AC成立，则D到直线PQ距离d的取值范围

为一.

四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)如图，在四棱锥中，P4,E为AP的中点,PA=AB=BC=

4,CD=CE=6.

(1)：,正明:P4_L平面A8C0；

(2)己知E,A,B,C四点均在球0的球面上,证明：C,瓦。三点共线.

16.(15分)已知函数/(x)=cos?芋+gsin等cos等3>0).从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为

已知，使函数f(x)存在且唯一确定.

(1)求3的值；

(2)若不等式/(无)<1在区间(0,m)内有解，求实数m的取值范围.

条件①，函数八切的图象关于x=：7T对称，且在区间(0,加)有且只芍一个最大值和一个最小值；

条件②，函数/(X)在区间&与)内无极值点，且VxeR,f偿)</)<f仁)恒成立.注:如果选择多个条件分

别解答,则按第一个解答计分.

17.(15分)如图，四棱锥P-48CD中，PA15FffiABCD,AD//BC,AB1AD,PA=2,AB=243,BC=

2,4)=4,M是PO的中点.

(1)证明：CM〃平面248.

(2)求平面PAB与平面PCD所成角的正切值.

(3)在线段BD上是否存在点Q,使得点0到平面P/1Q的距离为竽？若存在，求出黑的值：若不存在，请

说明理由.

18.(17分)函数f(x)=sinx-2Asinxcosx(AeR).

(1)当入=：时，求f(x)在［0,用上的最大值；

(2)若gW=fW+②—l)x在R上单调递减，求实数A的取值范围;

(3)证明:V2(l-^)<sin^+sin歼…+sin券<等，兀EN-.

19.(17分)如图，设「是由？1xn(n>2)个实数组成的九行九列的数阵，其中a^i,j=1,2,…，九)表示位于第i行

第/列的实数，且a0G{l,-l).

alt…au

a2iait…a知

a<2.1

定义Psf=2X1a5i&i(s,t=1,2,…,71,sHt)为第s行与第t行的积和.若对于任意s,t(sHt)，都有ps[=0，则

称数阵「为正交数阵.

例如数阵r,

留

即为正交数阵.

(1)当n=4时，试写出一个符合条件的正交数阵；

(2)是否存在2026行2026列的正交数阵，并说明理由；

(3)设「为九行九列的正交数阵，且对于任意的i=1,2,-』和j=12…,k,都有旬=

1,证明;kl<n,

2026届河北地区高三期中考试数学参考答案及评分意见

1.B【解析】由题意,z=2+i,所以分=2—i.

所以自-3i|=|(2-i)-3i|=|2-4i|=y/22+(-4)2=2店,故选B.

2.4【解析】因为8={%|——+3%-2工0}=[1,2],所以C/=(-8,l)u(2,+8),因为力=(-2,0)U

(0,2)，所以4n(CRF)=(-2,0)U(0,1).故选A.

3.A【解析】由向量2=(2,2)海+26=信，得6=&力则2)=2.又因为闭=2鱼，所以6在2方向

上的投影向量为笄a=：a.故选A

|a|24

4.D【解析】因为a=；=logs遮<logs遍vlogs3,所以a<b.

J

3

又因为c=83=(2)3=4,b=log53Vlogs5=1,所以c>b.所以a<b<c,故选D.

5.A【解析】正三棱柱的内切球与外接球的球心重合，设为0,如图.边长为3的正三角形的内切圆半径R=；x

•J

?x3=^，即内切球半径，

所以正三棱柱的高0]。2=2R=V5,即002=R.

2

外接球半径r=OA=y/OOl+O2A=J：+6x哼x3'=苧,

所以外接球的表面枳为4"2=44x釜=15"，故选A.

4

6.C【解析】因为0<1</,0<夕<，所以0<a+/?<九,所以sin(a+0)=J1-cos?(a+/?)=g.

又因为冶<”(<也所以cos("§=$_$而("§=苏

所以cos(a+§=cos[(a+/?)-(0-=cos(a+0)•cos(0-+sin(a+/?)-sin(0-

=为工+士、总=巴故选C.

51351365

7.D【解析】由Sn=，得an=Sn—Sn-1=-("-。：+吁1=n,n>2,n6N,

当力=1时,%=Si=1符合，所以an=n,neN♦，所以bn=卷

123n-1n

%=R+R+R+…+后+五,

两边同乘以：得1=专+套+亮+...+等+/,

两式相减，得力=3+蠢+…+/一肃=1_蠢一品，

所以〃=2-^7-^.

则由'G>m+辞—3,得2一泰一会>帆+会一3,即5一絮>根,对任意的"WN♦恒成立.

令/6)=5-耍,九62，

则/(n)-fd-D=5-竽-5+等=竽，〃WN”且八工2,

当7!=2时,f(2)<f(1),当九23,nWN"时,/'(n)>f(n-1).

所以/(n)=5-管的最小值/(2)=4,所以mV4,即实数m的取值范围为(一8,4).故选D.

222

8.D【解析】对于A,不妨取Q=b=l,c=&,％=2,则a?=匕2=I,。？=2，满足a+b=c,

此时a2,b2,c2不能作为一个三角形的三条边长，故A正确.

对于B,取a=b=l,c=V2,x=2,则a2=b2=l,c2=四,满足(a2)2+(b2)2=(c2)2,

222

此时atb,c能作为一个直角三角形的三条边长，故B正确.

对于C,若△ABC是钝角三角形，且aW匕Wc,则角C为最大角，且角C为钝角.

由余弦定理，得cosC=<o,即a2+b2-c2<0.

弋2"ab了

由三角形三边关系，得f⑴=a+b-c>0，又因为/(2)=a2+b2-c2<0，且函数fM在R上连续，

由函数零点存在定理知，存在项)e(1,2)，使得f(xo)-0,

所以当△ABC是钝角三角形时，函数/(x)有零点，故C正确.

对于D,/(x)=a"+匕"-c"=c"+(3-1］，

若GWZ?=c，则f(x)=a”,对任意的xG(0,1),/(%)>0,若aWb<c,则0<rV1,0<g<1.

令如=$+掰-1,

因为函数、=Q)\y=Q)X在(0,1)上均单调递减，

所以函数g(x)=Q)X+Q)X-1在(0,1)上单调递减.

因为g(0)=1>0,g⑴=声g-1=竺野>0,所以对任意的%6(0,1),gQ)>0Mf(x)=产•g(x)>0，故

D错误.故选D.

9.ABC【解析】对于A,因为第函数y=(/—2m-2)”在(0,十⑹上单调递减，

所以忆常一之j即管了卅一3二。,解得由=一］,故人错误;

对于B,当a与b共线，且b00时,才存在AGR，使得a=Ab,

所以“向量a与向量b共线”不是“存在AER，使得a=如”的充分条件，故B错误；

对于C,当a=巳3=一？时，满足a.p的终边不相同，但cosa=cos.，故C错误；

*5

对于口,在△ABC中,a>Z?，由正弦定理，昌二々，得sin4>sin氏同理，由sinA>sinB及正弦定理，得a>b,

sinAsinE

所以“a>b"与"sin4>sinB"互为充要条件;

a>b,即A>8，又因为y=cosx在(0,n)上单调递减,所以由4>8,得cosA<cosB，由cosA<cosB得AZ8,

所以“a>匕"与"cosA<cosB”互为充要条件.

所以“a>b”与“sin4>sinB且cosA<cosB”互为充要条件，故D正确.故选ABC.

10.AC【解析】对于A,如图，当点P与48两点不重合时，将线段PM向两端延长，

分别交CD,CB的延长线干点0,4,淬接NOrNH分别交干R,S两点，

连接RM,SP,此时截面为五边形MPSNR，故A正确.

对于B,当点P与点4重合时,MN=422+42+22=2瓜,PM=2,

PN=V424-42+22=6,MN2+PM2<PN?,故乙PMN是钝角，故B错误.

滑F7^

对于C,如图，以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系D-xyz,

则P(4,0,0),M(2,0,0),N(0,4,2),A.(4,0,4),D.(0,0,4).

又点Q为正方形ABCD内(含边界)一点，设Q(s,£,0),s,t6[0,4].

设平面PMN的法向量为m=(x,y,z)，乂两=(一2,0,0),丽=(一4,4,2),

则”・m=-2x=0,取m=(0,l,-2);

(PN-m=-4x+4y+2z=0,

设平面A^DiQ的法向量为n=(a,b,c)，又=(-4,0,0),A^Q=(s—4,t,-4),

则陛・n=-4a=。，取n=(0,4").

MIQ-n=(s-4)a+bt-4c=0,

因为平面A[QD[1平面PMN，所以m•n=4-2t=0，解得t=2，故Q(s,2,0).

则ArQ=J(S-4)2+4+46=J(s-4=+20，当s=4时,&Q的最小值2遍，故C正确.

对于D,如图.取0。】的中点K,连接KMBMKA，在KA的延长线上取点R,使得AR=4M,

连接NR交AB于点P',连接P'M，易得PM=PR,P'M=P'R.

因为KN1平面400i/li，K4u平面,所以KNJ./G4.

(PM+NP)mm=P'R+NP'=NR=J4?4-(2+V22+42)2=2力0+24，故D错误.故选AC.

an

11.BC【解析】由题意出=a2=1，厮+2=n+i+an(WN*).

对于A,因为a7=13,a8=21,a9=34,

所以嫌=21?=441,a7a9+1=443，所以a1丰a7a9+1,故A错误.

对于B,若｛an+1-Aan｝为等比数列，则设an+2-Aan+1=q(an+1-Aan)(qH0),

将即+2=。升1+«n代入得,Q〃+l+即一％Q"+1=式与+1-，

1+百l-x/5

q=「或.q二年

即(1-A)a+a=qa-qla，则有解珏

n+1nn+1n1->/5*,1+V5

A=A=­

所以存在实数入,使得数列｛an+1-lan｝为等比数列，故B正确.

aa

对于C,an=an+2-an+1，则a[+电+03+…+2022=-a2+a4-a3+-a4+•••+a2023-2022+

a2024一a2023=a2024一a2，即^2022=。2024—1,所以52022+1=。2024，故C正：确・

对于口,。20=6765,又因为C；5=3003,C；6+Cf4=4823,即Cf5+Cj6+C?4=7826>6765,

所以C%+C}9+Cf8+C?7+Cj6+Cf5+Cf4+CL+C?2+C?i+哦*a20，故D错误.故选BC.

12.(2临+8)【解析】命题“〃£(0,6],X+：2。”的否定为"北£(0,6],%+：<。”.

因为命题"VxE(0,6],x4-1>a"为假命题，所以命题"3x6(0,6],x+:<a"为真命题.

设/(%)=%+；,%£(0,6],因为%+P2=26，

当且仅当％即％=通€(0,6]时取等号，

所以/Wmin=/(V5)=2遮，所以a>26，所以实数a的取值范围是(275,+oo).

13.1-ln2【解析】因为函数/⑺的定义域为(0,+8),

当aW0时,五一2Q>0,由/(x)>0恒成立，则有Inx-2匕N0恒成立，

因为y=Inx的值域为R,所以InX-b工0不一定恒成立，所以a<0不成立;

当a>0时，由我—2。之0得％之4a2,4―2QV0得Ovxv4a2,

由In%—2b20得无2e2b,In%—2b<0得0<%<e?》,所以要使得/(x)>0恒成立,

则4a2=e2b，即b=Ina+ln2,所以a—b=a—Ina-ln2.

设/i(a)=a—Ina—ln2(a>0)，则九'(Q)=1—^=,

当。>1时,"(a)>0,函数/i(a)在(1/+oo)上单调递增,

当0VQ<1时,"(a)<0，函数/2(Q)在(0,1)上单调递减.

所以h(a)有最小值八(1)=1一ln2,所以a-8的最小值为1一ln2.

14.偿，刍【解析】以4为原点，分别以484。所在直线为y轴、无轴，建立空间直角坐标系，则4(0,0,0),

8(0,四,0)((1,0,0).

因为LDAB=巳4GW=7>AD=&，设0(%y，z)，则x.y.zGR,

•5■+

所以cosk箫p^pCos^^^M^Jimyl.”条

又因为/+y2+z2=2,所以z=所以D(14,日).

因为P,Q是直线AB和AC上的动点，设P(0,&t,O)QeR),Q(s,O,Q)(seR),

则由AAP+(1-A)AQ=而+g左得,((1一A)s,。)=&&,0).

因为入而+(1-A)AQ表示以4为起点，终点在直线PQ卜•的向量，其坐标为Q，鱼，0)，

所以直线PQ过定点(；，鱼,0),设为M.设》是O在xOy平面内的投影，则O,(1,0).

设Df到直线PQ的距离为小,则0到直线PQ的距离d=佰，+dj

当直线PQ经过点时,d'取得最小值0;

当PQ1MD'时,d'取得最大值的一1丫+(企一号了=y.

所以dmin=y^max=今即0到直线PQ距离d的取值范围为俘，卦

15.证明：(1)如图，连接8E.因为PAJ.4B,E为4P的中点，所以EALAB.

又因为PA=力8=4,EA=PA=2，所以EB2=EA2+AB2=22+42=20.

又因为BC=4,CE=6又BE2+BC2=CE2，所以BEIBC.2分

又因为BC1AB,ABC\BE=B,ABc:平面P4B,BEu平面P4B,

所以BCJ,平面PAB.乂PAu平面PAB，所以P/l_L8C.4分

又因为PA1AB,ABCiBC=B,ABu平面ABCD,BCu平面ABCD,

所以241平面力BCD.6分

(2)方法一，如图，以点力为坐标原点，BC,AB,质的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立空间直角

坐标系A-xyz,

则4(0,0,0),B(0,4,0),C(4,4,0),P(0,0,4),E(0,0,2),0(4,—2,0).8分设O(x0,y0,z0)，由OA=OB=OC=OE得,

222

以+M+z噂=瑞+(7o-4尸+z1=(x0-4)+(y°-4)+=瑶+y=+(z0-2),

解得a=y()=2,z()=1,所以点0的坐标为(2,2,1).12分

因为诧二(4,4,-2)，所以前二(2,2,-1)=1EC.

又因为E为正，瓦5的公共点，所以C,E,0三点共线.13分

方法二，如图，不妨设M为EC的中点,N为AC的中点，连接MN厕MN//EA.

由(1)知区41平面48C,所以MN1平面A8C.由A818C,得N8=M4=NC.

直线MN上任一点到A,B,C三点的距离相等，所以。€直线MN.10分同理EA1AC，过点M且垂直于平面

EAC的直线I上任一点到4匕。三点的距离相等，

所以0W直线L因为/ClMN=M，所以点。即为点M，所以C,匕。三点共线.13分

16.解:(1)函数f(x)=cos??+V5sin?cos卓=i+c：3x^Sjna)x

—|cosa>x+ysin6dx4-1=sin(MC+力方分

若选择①，因为函数/⑺的图象关于x="对称，所以43+：*+k7T(kWZ),解得3=H"(kWZ).

因为0VX<7T,所以2Ve%+马<3亢+2.

666

若函数fM在区间(0,7T)有且只有一个最大值和一个最小值，

则3V+£W?,解得9V3<：.即:V；+“45,则有

Zt07roZ333Z2399

又AWZ,所以k=1,所以3=3+：=2，函数f(x)存在且唯一确定.6分

若选择②，设函数人无)的最小正周期为T,

因为f⑺在区间&亨)内无极值点，且V%eRJ管)Wf(x)<AQ),

所以£=9一£=5，即7=凡但=2.所以函数f(x)存在且唯一确定.

综上，函数fM存在且唯一确定，则幻=2.6分

(2)由(1)得,/(x)-sin(2x+,

所以不等式sin(2x+匀+g<1，即sin(2x+,)<葭8分

所以2/nr-卫V2X+巳<2kn4--(/ceZ),

666

即kn――<x<kn(k6Z).10分

因为0<%<m,/c7r-g<%<kn[kGZ),

则当k=l时，n--<x<n,即£<%V7T.13分

33

所以要使得不等式/3)V1在区同(0,m)内有解，则m>p

所以实数m的取值范围为备，十8).15分

17.(1)证明:如图，取/1P的中点E,连接ME.

因为M是PD的中点，所以ME〃力D,ME=)D.l分

又因为BC//AD且BC=\AD，所以ME//BC,ME=BC,2分所以四边形BCME是平行四边形，所以CM//BE.3

因为CMU平面PAB,BEu平面PAB，所以CM//平面PAB.5分

(2)解:由题意，PA1ABCD,AB1AD,贝ijAP,AB,力。两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐

标系A-xyz.

乂因为=2,AB=28,BC=2,AD=4,

所以P(0,0,2),8(275,0,0),0(0,4,0),C(2百,2,0).7分

平面PAB的一个法向量为%=(0,1,0).8分

设平面PCD的法向量为%=(匕“),因为无=(2低2,-2),而=(0,4,—2),

所以卜小信+”z=0,令尸=1,则叱=停1,2),9分

K3

,n2-PD=2y-z=0,)

设平面PAB与平面PCD所成角为J,

1_V3

cos=|cos<n,n)|=|n「“2l_

所以。124

|nil|n2|11+1+4

3g八sin。V39

sinO=\J1—cos20=1177=~T~»tan。==—z—.

164cos03

所以平面PAB与平面PCD所成角的正切值为浮.10分

⑶解:设器=4且0工2工1,而=(2V3.0,0),丽=(-244.0),

则BQ=ABD,AQ=AB+ABD=(2百-28尢4A,0),AP=(0,0,2).11分

设平面P4Q的法向量为由=(r0,y0,z0),

则心型=273(1-A)x0+4恢=。,令，所以(/,

(n3-AP=2z0=0,1遍。一1))

又因为点D到平面PAQ的距离为竽，而=(0,4,-2),

所以喏［=4="即下=(1_刈2，解得入=114分所以存在点Q,使得点0到平面PAQ的距离

电172

43(7)2十，

为号，此时分=915分

/DUZ

18.(1)解:/(%)=sinx-2^sinxcosx=sinx—Asin2x(A6R)，

当)=g时,fM=sinx-|sin2x,

f'W=cosx—cos2x=cosx-2cos2x+1=(1—cosx)(l+2cosx).2分

当;vE时,1一cosxN0,当％=0时等号成立,

当X€时,1+2cosx>0/(%)>0,/(x)单调递增,

当jW管中)时,1+2cosx<0/(%)<0,/(x)单调递减.

所以/a)max=fg)=si吟一三吟=当一1(一日)=限6分

(2)解:g(x)=f(x)4-(2)—l)x=sinx-Asin2x+(2A—l)x,

q'(x)=cosx—2Acos2x+2/1—1=—4/lcos2x+cosx+4A—1=(1—cosx)(4/lco5x+4A—1),

1—cosxN0,当x=2mn(mEZ)时等号成立，

当久W0时,4Acosx+44-1=4A(cosx+1)-1<0,g'(x)<0恒成立,g(x)在R上单调递减，符合题意;

当人>0时,4ACOS7T+4A-1=-1<0，要使gM为单调函数,

则只需42cos%+4A—1<0，即—1>cosx怛成立，所以2—121,解得A<，所以0<2工：.

综上，实数A的取值范围为(-oo,l].12分

(3)证明:先证明左边，

由⑴知，当入=1H4,/(x)=sinx-gsin2》在(。,引上单调递增，

所以当xW(0,引时,f(x)>f(0)=0,即sinx>:sin2x.

乂因为sin'=匹，所以sin2>2sin/二',sin二〉二sin2>—,---,sin-^r>今，

428244162882n+12n

累加得sing+sin+…+sin就yN乎+[+,,•+、=V2(1-最?)，九WN,.13分

再证明右边，

由(2)知，当入=:时,g(x)=sinx-：sin2x-无在R上单调递减，

oo4

所以当x>0吐g(x)<g(0)=0，得8sinx<sin2x+6%,令工=-^,k=1,2,3,

累力I得

111

/7TTC7T\nnn+++

8(sin-+sin-+4-sin—<sin-+sin-+•••4-sin—+37rx2-4--

I-o乙，乙■*乙2n

所以7(sin?+s呜+…+sin品)<sin，-sin品+3-xV1+37r.

所以sin：+sin^+•••+sin^7<eN*.16分

综上,a(1一Wsin*+sin/+…+sin六V军,九€N*.17分

19.(1)解:由题意，当n=4时，数阵/I为：

alla12a13a14

a21022。23a24

a31a32a33a34

a41a42a43Q44

要使数阵力为正交数阵，则对于任意s,t(sHt),

都有P"=^slatl+QS242+%343+QS444=0，又Q"€{1,-1},显然答案不唯一，如:

1111

11-1-1

1-11-1

1-1-11

4分

(2)解:假设存在2026行2026列的正交数阵「.

根据正交数阵的