2026届高三数学二轮复习：进阶点2 数列中的创新问题

进囱点2数列中的创新问题

高考定位解决数列中的创新问题，要“过三关”：第一关,准确转化关，即一定要充分理解题目中

新定义的本质含义，紧扣题目所给的新定义、运算法则等对所求问题进行恰当地转化;第二关，方法

选取关，对此问题，可以采取特例法、逻辑推理法等;第三关，审读题目关，严格按照数列新定义、法

则、性质的要求,避免教材知识或已有知识对信息的干扰,突破思维定式.

【类型突破】

类型一数列的新定义、新运算问题

例1(2025・抚州调研)若各项为正的无穷数列｛m｝满足"〃成+「Q然d,其中d为非零常数,则称

数列｛4〃｝为为数列.记bn=an^\~Cln.

⑴判断无穷数列小二信和。后2〃是否为。数列，并说明理由；

(2)若｛m｝是。数歹证明:数列｛加｝中存在小于1的项；

n

(3)若｛〃〃｝是。数列，证明:存在正整数〃，使得E->2025.

1=1Qj

(1)解⑦尸6是。数列，。“二2"不是。数列，理由如下.

当。尸迎时，a^=n,

则若+i-若』

故a后瓜是。数列.

当an=2n时，欣=22〃,成+1=22〃+2,

贝Q2+i-嫌=2%+2-22"=3X2%,

故。产2"不是。数列.

(2)证明若｛〃〃｝是£>数列,则ari>0且成+「W=d,

此时数列｛Q分是以^为首项、d为公差的等差数列，

故以=Q*(〃T)力0.

当心0时，总存在正整数小

使域+(〃-1)80,

与W〉o矛盾，故d>0恒成立.

由Q(=Q3+(〃T)办(〃T)d,

a^+1=al+tul>nd,

得afl>y/(n-l)d,a,^\>yjnd,

贝Ia,^i+an>y/(n-l)d+y/nd

=(Vn+Vn—1)V3,

所以bn=an+\-an

ad4d

V一二’j

,

an+1+an(>/n+Vn-l)VdVn+Vn-1

由石+ST=T随〃的增大而增大,知总存在正整数〃，使7^三<1,

Vn+vn-l

所以数列｛仇｝中存在小于1的项.

(3)证明由(2)得Q然Q1(〃T)”,

故内尸,a；+(十一l)d,

即工1J

Q“lal+(n-l)d

2

Jal+(n-l)d+Jal+(n-l)d

2

Ja；+nd+Ja1+(n-l)d

2[af+nd-czf+(n-l)d]

[Jal+nd+Jal+(n-l)d][Ja^+nd-Ja{+(n-l)d]

2lja^+nd-jaj+(n-l)d]

d

贝*a；+2d-Ja,+d+•-+nd-y/al+(n-l)d]=^(7ai+nd-ai),

由J回十八du随〃的增大而增大,c/>0,

且/：-4-oo时，-(yjal+Tidpi)--+8,

得对任意的公0,总存在正整数〃，

ft^(7al4-nd-ai)>2025,

n

即总存在正整数〃，使得W上>2025.

/=!因

规律方法遇到新定义、新运算问题，应耐心读题，分析新定义、新运算的特点，弄清新定义的性质,

按新定义、新运算的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决，有时还需要用类

比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义透彻理解.但是,透过现象看本质，它们考查的还是

基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

训练1(2025・蚌埠调研)如果数列｛%｝的任意相邻三项"内,而|满足egWa，(i22,则称

该数列为“凸数列”.

(1)已知｛小｝是正项等比数列，｛6｝是等差数列,且a]=b]=\,l+f/3=Z?2+Z?4,。2+2=历.记Cn=—.

①求数歹|J(Cn］的前〃项和；

②判断数列｛c〃｝是不是数列”，并证明你的结论.

(2)设〃项正数数列的,42,…M是“凸数列”，求证:

其中〃>2,〃£N*.

⑴解①设｛〃〃｝的公比为式9>0),｛d｝的公差为d,

由题意可得｛；萼丁二+2慧

所以。产3"i(〃£N*),

bn=2n~\(n£N)故

记数列｛。7｝的前〃项和为Sn,则

S产CI+C2+C3+…+c〃|+。］

2n-3271-1

=1号亭T3ti-2+371-1，

,争产1.352n-32n-l

332333n-13n

两式相减得,

翔近2X(打靠+喜+...+^)-瑞=2-簧，

即S尸3募

②数列｛。,｝是“凸数列”.证明如下：

由①知。尸部三，

222

匚U］、J2i-32i+l4i-4i-34i-4i+l/2i-l\2

所以c+尸尹・B=不丁<卞h二(尹)二生，

故数列｛心｝是“凸数列”.

W-1

(2)证明记刍。尸S=42+〃3+，

则原不等式等价于

2+a)n(n-2)(S+a

(7?-1)-S(S+«।ni)-(S+aw)>

即(〃T)2.S2+(〃-i)2.s(ai+Q〃)2〃(〃-2>S2+〃(〃-2>S(ai+a〃)+，(〃-2)・aia

2

因而只需证明S+S(«in(n-2)-a\an>

因为si£N*),

所以上-《色二《巴三《…

an-ian-2an-3a2a\

故a\an^aianx^ayan2W…,

而S=O2+43+**・+。小I=][（。2+。加1）+（。3+。〃2）+，，叶（。〃2+。3）+

（6Ml+tZ2）l2，。2即-1+/。3。八-2+…+也_2a3+/册_逆22（〃-2）/%册,

从而群+5（。1+。"）2（〃一2）%1。”+2（〃-2）・。1。尸（〃2-2〃）。1。”,

2

即S+S（a1+an）n（n-2）-a1a,h结论得证.

类型二数列中的新情境问题

例2（2025.福州质检）将足够多的一批规格相同、质地均匀的长方体薄铁块置放于水平桌面上,每个

铁块总比其卜层铁块向外伸出一定的长度，如图，那么最上层的铁块最多可向臬沿外伸出多远而不

掉下呢?这就是著名的“里拉斜塔”问题.将铁块从上往下依次标记为第1块、第2块、第3

块、…、第〃块，将前z（/=l,2,3,…,⑶块铁块视为整体,若这部分的重心在第（计1）块的上方,且全部

铁块整体的重心在桌面的上方,整批铁块就保持不倒.设这批铁块的长度均为1,若记第〃块比第

5+1）块向桌沿外多伸出的部分的最大长度为则根据力学原理,可得且｛5｝为等差数列.

匚可第登愕坎

■i1第5块

।……筋〃块

说囱〃+i）块

।

⑴求伍〃｝的通项公式；

（2）记数列｛»｝的前n项和为Sn,

①比较S〃与扣（〃+1）的大小；

②时于无穷数列｛皿｝,如果存在常数A,对任意的正数&总存在正整数No,使得V心No,品-川则称

数列怵｝收敛于4也称数列｛.%｝的极限为A,记为lim无产4;反之,则称｛加不收敛.请根据数列收敛

MT+8

的定义判断｛S〃｝是否收敛?并据此回答“里拉斜塔”问题.

解（1）依题意，第1块铁块比第2块铁块向桌沿外伸出部分的最大长度为第1块铁块自身长度的一

半,则ai=^f

由身为等差数列，得其首项为占2，

公差t7=---=4-2=2,

a2al

因此工二1）42+2（〃-1）二2〃，

anal

即4“二；,

2n

所以｛an｝的通项公式是〃”=/.

⑵①由⑴知,s尸冲*

2462n

《(1+抖升…+》

令函数/x)=ln(l+x)-x,x>0,

求导得八工)=左-1<0,

即函数/U)在(0,+8)上单调递减，

贝”兀x)qo)=。，即ln(1+x)<xt取x=\

于是，>ln(1+,)=ln(〃+l)Tn/?,

则1+^+^4■…J>ln2~ln1+ln3-ln2+ln4-ln3+…+ln(〃+l)Tn〃=ln(〃+1),

23n

所以S〃，ln(〃+1).

②｛&｝不收敛.

给定正数A,对Vc>0,令|扣(〃+1)-川々，

则A-8<-\n(n+1)<A+e

2t

解得/St)-l<n<e2(/l-f)-l,

取M=[e2("T)T](印表示不超过工的最大整数)，

显然当心No时，不等式|扣(〃+1)-川<£不成立，

即有：ln(〃+l)>A+2,

2

因此数列6巾(九+1)｝不收敛，

则由①可知，当n〉No时，

S厂/4411(〃+1)-A>e,

因此当n>No时,|S厂A|<£不成立，

所以｛&｝不收敛，

｛S"的意义是〃块叠放的铁块最上层的最多可向桌沿外伸出的长度，因为｛8｝不收敛于任意正数A,

所以只要铁块足够多，最上层的铁块最多可向桌沿外伸出的长度可以大于任意正数.

规律方法新情境题型或给出几个新模型来创设新问题的情境,应耐心读题,在阅读理解的基础上,

依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息迁移,达到灵活解题的目的.

训练2(2025・广州质检)随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常

用的数据加密算法通常有AES,DES,RSA等,不同算法密钥长度也不同,其中RSA的密钥长度较

长,用于传输敏感数据.在密码学领域,欧拉函数是非常重要的,其中最著名的应用就是在RSA加密

算法中的应用.设〃,q是两个正整数,若p,q的最大公约数是1,则称〃,q互素.对于任意正整数比欧

拉函数是不超过〃且与〃互素的正整数的个数,记为叭n).

(1)试求酬1)+9(9),。7)+破21)的值;

⑵设p,q是两个不同的素数，试用〃，女表示3(/力(ZWN)并探究(p(pq)与9(P)和9(幻的关系；

(3)设数列｛。〃｝的通项公式为。〃尸二^•夕(3加)("7£N”),求该数列的前m项和Tm.

解⑴易得以1尸1,

不超过9且与9互素的正整数有1,2,4,5,7,8,则讽9)=6,

不超过7且与7互素的正整数有1,2,3,45,6,则以7)=6,

不超过21且与21互素的正整数有1,2,4,5,8,10,II,13,16,17,19,20,则^(21)=12,

所以夕(1)+贝9)=7,研7)+9(21)=18.

(2)在不大于小的正整数中，只有〃的倍数不与〃人互素，而〃的倍数有p—i个，

因此9(p4=pJpkT=(p—l)pkT.

由p,q是两个不同的素数，得e(p)=pT,3(夕)二夕T,

在不超过pq~\的正整数中,p的倍数有q-\个,q的倍数有p7个，

于是(p(pq｝=pq-1-(p-1)-(q-1)=pq-p-q+11)①-1),

所以叭pq)=s(p>(p(q).

(3)根据(2)得^=(5/w-3)X3m-1,

所以T,“=2X3°+7X3+12X3?+••一(5加一3>3e一1,

3Tm=2X31+7X32+12X3?+…+(5机—3)3”,

两式相减，得-27；产2+5X3+5X32+--+5-3m~1-(5/n-3)-3w,

所以-27；,尸⑸'一"一"—(5加一3)3〃+2,

1—3

故7k乎(早一？)3”・

类型三抽象数列的拆分或变换

例3(2024・新高考I卷)设m为正整数,数列的,。2,…,何什2是公差不为0的等差数列，若从中删去

两项3和砒与)后剩余的4〃?项可被平均分为m组,且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列

41,。2,…，。山〃+2是(，,/)-可分数列.

⑴写出所有的《,力，1W&/W6,使得数列42,…,〃6是a,力-可分数列；

⑵当,心3时，证明:数列a\y42,…,。4加+2是(2,13)-可分数列；

(3)从1,2,…,4"z+2中一次任取两个数i和记数列a\ys,…,。4〃+2是(A力-可分数列的概率为

Pm,证明:P〃沾

8

⑴解满足题意的所有(i,力为(1,2),(1,6),(5,6).

(2)证明当m=3时，删去aiy03,其余项可分为以下3组:m,a4fait〃io为第1组，egg02为第2

组,45,48,ai\,414为第3组，

当m>3时，删去42,6/13,

其余项可分为以下m组：

a\,。4,ai,mo为第1组，

03,06,。9,。12为第2组，

05,48,a\\y414为第3组，

05,416,417,418为第4组，

09,420,421,422为第5组，

ClAmAtClAmyCl4m+1,Cl4m+2为第171组,

可知每组的4个数都能构成等差数列，

故数列a\t42,…,44加+2是Q,13)-可分数列.

(3)证明易知0,42,…,。4〃汁2是力-可分数列=1,2,…,4阳+2是(4〃+1,4厅2)-可分数列，其中p、q

£{0,1,…,m].

当OWpWgWm时，删去4p+1,4夕+2,

其余项从小到大，每4项分为1组，可知每组的4个数都能构成等差数列，

故数列1,2,…,4团+2是(4p+l,4q+2)-可分数列，

可分为(1,2,3,4),…,(4〃-3,4〃-2,4pT,4p),…,(4(q+l)T,4(q+l),4(g+l)+l,4(q+l)+2)：…,(4加-

1,4/n,4m+l,4m+2).

p,q的可能取值方法数为%+i+"7+l=(m+?(m+2).

易知。1,42,…,。4,“+2是(，,/)-可分数列=1,2,…,4〃?+2是(4p+2,4q+l)-可分数列，其中p,q£

{0,1,…,m].

当q-p>\时，删去4P+2,4尹1,

将1~4〃与4q+3~4m+2从小至ij大，每4项分为1组，可知每纽的4个数成等差数列.

考虑4〃+1,4〃+3,4〃+4,…,4夕,4q+2是否可分，等同于考虑1,3,4,…,404什2是否可分，

其中t=q-p>\t可分为

(1,z+1,2/+1,3/+1),(3,Z+3,2f+3,3/+3),(4,Z+4,2/+4,3/+4),…，(/,2t,3/,4/),(Z+2,2t+2,3/+2,4z+2),每

组4个数都能构成等差数列.

故数列1,2,…,4/〃+2是(4〃+2,4>1)-可分数列，

p,9且q-p>1的可能取值方法数为C左+1

(m+l)(m+2)(m-l)m

2

2.2vm+m+l1

从而尸,〃》8m2+6小+1>3

C^m+2

规律方法由于本题等差数列是抽象数列,解答的基础是运用等差数列的性质:序号等成差,则对应

的项为等差.

训练3(2025・武汉调研)对于每项均是正整数的数列Pm,G,…定义变换八，刀将数列P变换成

数列T|(P):〃,a\~\,〃2-1,…，a〃T.对于每项均是非负整数的数列Q\b\,岳，…，数定义

S(Q)=2Si+2历+…+/汕〃J+*+b介…+b*,定义变换乃,乃将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所

有为零的项,得到数列7XQ).

⑴若数列Po为2,4,3,7,求S(力(尸o))的值;

(2)对于每项均是正整数的有穷数列Po,令R+尸乃⑺(P。),

①探究S⑺(尸o))与S(尸())的关系；

②证明:S(R+i)WS(P0.

⑴解依题意，尸o:2,4,3,7,刀(尸o):4,1,3,2,6,

S(Ti(Po))=2(4+2X1+3X3+4X2+5X6)+16+1+9+4+36=172.

(2)①解记Po:ai,U2,…,an(a\yg,…,

Ti(Po):〃，…，a”T,

S(Ti(Po))=2[〃+2(4iT)+3(々2-1)+“,+(〃+1)(a〃T)]+〃2+(。]-1>+(42-1户+…-1广，

又S(R))=2(m+2a2+3a3+••叶〃4“)+。什吗+…+W，

所以5(T1(Po))-5(Po)=2n+2tzi+2«:+2(/?+1)+序-2QI-2。2一,,r-2an+n=n2+3n-^2n+6^n=0,

2

所以S(Ti(Po))=S(Po).

②证明设A是每项均为非负整数的数列…,以〃,

当存在1〃，使得sW©时，交换数列4的第i项与第j项得到数列B,

则S(B)-S(A)=2(iaj+ja-iarjaj)

=2(i~/)(矿口)W0,

当存在1Wm<5,使得1二加+2二••=〃“二()时，若记数列41,6,…,am为C,

则5(O=S(A),

因此S(乃(A))<S(A),从而对于任意给定的数列Po,

由P^I=72(TI(PA))(^=0,1,2,…),S(R+i)WS⑺(尸人))，

由①知S⑺(Pk)尸S(Pk),

所以S(R+|)WS(R).

【精准强化练】

1.(2025・金华模拟)已知正〃边形的每个顶点上有一个数.定义一个变换T,其将正〃边形每个顶点上

的数变换成相邻两个顶点上的数的平均数，比如：

1,——.23,——,2

4^——132^——13

记〃个顶点上的〃个数顺时针排列依次为0,见…,小,则73)二味】；+】,i为整数,24W〃-

1,丁(。1)二血警,71加二笔比设/(㈤，(7(…丁(⑼)(共〃个T,表示〃次变换).

⑴若1=4,ai=i,1WiW4,求T2(«i),T2(«2),T2(a3),T2(«4);

(2)对于正〃边形，若丁(，〃尸/1证明:ai=。2=…二。止1=〃“；

(3)设〃=4左+2,正E，3,。2,・・・，飙｝二｛1,2,・・・，〃｝,证明:存在小£1^,使得T7〃(㈤(：1,2,…，〃)不全为

整数.

⑴解当片4时，尸(㈤的变换如下:

?

所以T(ai)-2,r(a2)-3,7-(«4)-3.

(2)证明*.*T(ai)=cuf

...。1+*1=々(2WiW1),

2

・・・{小}成等差数列，设公差为“

又.・・T(m)=ai用强,

贝|[2a\=a\+(n~\>d+ai+d,

rrr

/.J=0,贝i]a\=a2==an\=cin.

(3)证明(反证法)假设对任意〃：£N*,

次由《二1,2…,〃)均为整数.

由于7(0="-11°i+i(2WiW〃T),T(s)为整数，故ai-i与a+i的奇偶性相同，故a\,az>…,ou+i同奇

偶，42,44,…,OU+2同奇偶，

而{。1,42,…,W+2}={1,2,…,4攵+2},42,…,W+2中有(2Z+1)个奇数，(2Z+1)个偶数，

故不妨设…,W+1为奇数，*。4,…,444+2为偶数.

,•j2(Q3)二丁(02)+7(。4)

=_2+2=1+2%+刈5

一2一4'

又・・・72(〃3)为整数，且。3=必+1或4A+3(Z£N),

••a\和45除4的余数相同.同理,

。5+。707+。9

••尸(47)/86)+798)=2+2=丁5+2e+的

224

和49除4的余数相同.

,（〃4人1）二吗音卫也

a4k-3+049-1]。仙-1+。仙+1

=_22______

2

二，4k-3+2a4k-i+04k+i

一4，

04k3和〃取+1除4的余数相同，

.,.41,45,49,…,W+1除4的余数相同.

,•/（a）—,（04k+2）十7（a2）

。49+1+。1[a]+a3

二22

2

=&4卜+1+2。1+。3

一4，

••CUh-\和43除4的余数相同.

,,尸（。5）—,（°4）+7（。6）

aq+即.瓯+。7

=2+2=03+2as+a7

2・4，

.二43和m除4的余数相同.

.•T^（a^k3）=二4/-5+2-4k―3+。4。-1

4

:.44k5和04h1除4的余数相同,

43,47,411,…,04k-l除4的余数相同.

综上,a\y。3,…，。必+1除4的余数都相同，

而…,4软+2}={1,2,…,4攵+2},矛盾.

假设不成立，所以存在"ZEN*

使T*（a»（i=l,2…，"）不全为整数.

2.（2025•信阳模拟）若数列A:ai,或，…,。“（〃23）中々£N*（KW〃）且对任意的2WkWnT,

以+】+限】＞2以恒成立,则称数列A为“U-数列”.

（1）若数列l,x,），,7为“数列”，写出所有可能的用），；

⑵若“U-数歹A:m,。2,…4〃中，⑺=1,。2=1,-2017,求〃的最大值；

⑶设m为给定的偶数,对所有可能的“U-数列"A:ai,G,…，ano,记M=max{«i,及,…,an。},其中

max{xi,i2,…,E}表示孙X2,…，居这s个数中最大的数,求W的最小值.

解（D当A1时,{MM%

所以产2或尸3;

当x=2时,{江每%所以尸4:

当上23时,瓷’无整数解，

故所有可能的x,y为仁;，或